数学模型3-4关键路径分析

• 如果计较代价，如何缩短总工期而且使得 赶工成本最少，这个问题就是所谓的赶工 优化问题。
赶工优化问题－数学描述
• 设项目中活动e的最少耗时为b(e), 正常情况 下耗时l(e), 赶工成本为每天c(e),现在要赶 工ΔT天，应该在那些活动上赶工多少天， 才能使赶工总成本最小？
几点考虑
• 待赶工活动对象－浮动时间小于要缩短的 工期。R(e)<ΔT. 不妨称之为“准关键路径”
• 需要加入空边以表示活动的依存关系.
AOA 表示：例子
地基4
s
挖沟1.7
喷绘4.8
砌砖15 管线 2
t
木工8.4
屋顶10
这里粉红色的线不代表任何活动，只是为了 表示活动的依存关系
AON 表示
• 每个节点代表一项活动。 • 有向弧表示活动之间的依存关系，表示一
项活动是另一项活动的前提条件。 • 顶点的值表示活动延续时间。 • 人为引进“开始”和“结束”节点。
• 费用网络：待赶工活动对象组成一个网 络。权取为赶工费用。注意：如果b(e)=l(e), 表示该活动不能加快，故取赶工费用为∞.
几点考虑 (续)
• 最小赶工费用－费用网络中的最大流所对 应的(最小)切割流量。
• 一项活动的耗时量一经修改，改变了“准关 键路径的分布”，需要重新计算。
• 逐天压缩工期，故可以重复上面的考虑来 完成全部的赶工期数。
关键路径算法(CPM)
• 初始化： • 递归
• 终止：如果v=t 停止
实例演示：初始化
地基4
s0
挖沟1.7
喷绘4.8
砌砖15 管线 2
t
木工8.4
屋顶10
实例演示：递归(1)
地基4
s0
挖沟1.7
4
喷绘4.8
砌砖15 管线 2
t
木工8.4
屋顶10
1.7
实例演示：递归(2)
地基4
s0
挖沟1.7
4
3.4 关键路径分析(CPA)和计划 评审技术(PERT)
关键路径分析算法 赶工优化问题
引言
• 中学课本华罗庚先生的一篇文章：统筹方 法: 如何有效地安排各项活动的顺序。
• 历史：
– CPM－1956年， 美国杜邦公司。 – PERT－1958年，美国海军特种计划局。 – PDM (Precedence Diagramming Method)－
4,4,100
s
10,8,90
b
c
5,2,200
边上的数字对应于(l(e), b(e), c(e))，要把工期 提前三天，如何赶工，使得总赶工费用最小？
实例演示 (2)
6
6
a
11,9,40
17 17
d
8,7,160
25
t
6,4,30
0
s
10,8,90
0
1
6,5,100
11
b
5,2,200 10 16
赶工优化问题－解法
• 计算浮动时间 • 费用网络：
• 费用网络的最大流所对应的切割(P,Q)上的 活动赶工一天。
• 将赶工天数减一，并将上一步得到的切割 (P,Q)上的活动工序减一后重复上面的步 骤，直到完成全部赶工天数为止。
实例演示 (1)
11,9,40
a
8,7,160
d
tHale Waihona Puke Baidu
6,4,30
6,5,100
1964年，美国IBM公司。
• 现代应用：项目管理，TCP/IP网络分析
项目管理
• 数据采集
– 项目活动组成. – 每项活动和其他活动之间的依存关系. – 每项活动需要延续的时间.
• 目标：如何安排项目活动最节约时间、最 经济.
一个例子
编号 1 2 3 4 5 6 7
活动 地基 挖沟 管线 砌砖 喷绘 木工 屋顶
前期活动 无 无 2
1，2，3 4 4 6
延续时间 4.0 1.7 2.0 15.0 4.8 8.4 10.0
图形表示
• Activity on arc (AOA) • Activity on node (AON)
AOA 表示
• 每项活动以图形的边表示. • 活动的延续时间作为边的权. • 节点代表两个活动间的连接点. • 人为加入“开始”和“结束”节点.
23.8 37.4
44
砌砖15 19 管线 2
32.6
木工8.4 19
t
37.4 屋顶10
1.7 2
27.4 27.4
地基4
0 s0
0.3 挖沟1.7
44
喷绘4.8
23.8 37.4
44
砌砖15 19 管线 2
32.6
木工8.4 19
t
37.4 屋顶10
1.7 2
27.4 27.4
关键路径上的活动：地基，砌砖，木工，屋顶最早开 工、最晚开工时间相等。
AON 表示：例子
4.0 15
地基
开始
砌砖
挖沟
管线
1.7 2.0
4.8
喷绘
结束
木工
屋顶
8.4
10
总工期问题
• 从开工到结束至少需要多长时间？
• 说明：乍一看似乎是一个最“短”路径问题， 但由于PERT图的特殊性(只有当前的活动 结束后后面的活动才能)，实际上是一个求 最长轨道的问题。
• 关键路径算法(CPM)求解
喷绘4.8
4
砌砖15 管线 2
木工8.4
t
屋顶10
1.7
实例演示：递归(3)
地基4
s0
挖沟1.7
4
喷绘4.8
4
砌砖15 管线 2
木工8.4
19
t
屋顶10
1.7
实例演示：递归(4)
地基4
s0
挖沟1.7
4 23.8
喷绘4.8
4
砌砖15 管线 2
木工8.4
19
t
屋顶10
1.7
27.4
实例演示：递归(5)
地基4
s0
挖沟1.7
4 23.8
喷绘4.8
4
砌砖15 管线 2
木工8.4
19
t
37.4
屋顶10
1.7
27.4
实例演示：路径回溯
地基4
s0
挖沟1.7
4 23.8
喷绘4.8
4
砌砖15 管线 2
木工8.4
19
t
37.4
屋顶10
1.7
27.4
关键路径算法说明
• 关键路径算法给出的时间是任一活动的最 早开工时间。若e=[uv], 则最早开工时间 E(e)=λ(u).
• 关键路径上活动的拖延将会引起整个工期 延长。
• 相反，非关键路径上的活动的是容许一定 时间的延迟的，故可考虑如下的问题：活 动的最晚开工时间是多少？
最晚开工时间计算L(e)
• 若活动由边e表示, e=[uv]则
• 初始化
w
u
v
实例演示：最晚开工时间
地基4
0 s0
0.3 挖沟1.7
44
喷绘4.8
不在关键路径上的活动：挖沟(0,0.3)，管线 (1.7,2.0)，喷绘(19, 32.6)。最早开工、最晚开工时间 有一个时间差－浮动时间，记为R(e), R(e)=L(e)-E(e).
赶工优化问题
• 关键路径上的活动的任何延误将会延长总 工期。相反如果要缩短工期，在不计较代 价的情况下，自然的做法是把关键路径上 的活动耗时量缩小。