1.5平方差公式教案(2课时)
北师大版数学七下1.5平方差公式教案
《平方差公式》教学设计教学重难点、关键：1、重点：平方差公式的探索和应用。
2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。
3、关键：准确找到a，b。
目标分析：学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。
(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。
一、创设情境，引入课题提问问题：21×19=?103×97=?(学生口答)二、明确学习目标学习目标：1.知道并能推导平方差公式.（重点）2.明确平方差公式的结构特征，并能运用公式进行运算.（难点）3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、新课讲授1、如果一个正方形边长是a，在它的右下角切去一个边长是b的小正方形，试用多种方法求剩余区域的面积? 求解的方法是否一样？剩余区域的面积=22b a - 长方形面积=(a+b)(a-b)结论：平方差公式(a+b)(a-b)=22b a -两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
在这里，要求学生独立思考完成，教师要适时的引导学生进行简单的图形分割和平移；根据两种解法，引导学生观察算式特征，得出等式。
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教学设计
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教学设计一. 教材分析北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》是学生在学习了有理数的乘方、完全平方公式的基础上，进一步研究平方差公式。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅可以简化运算，还能解决一些实际问题。
本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，也是本章的一个难点。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式的知识，具备了一定的代数运算能力。
但是，对于平方差公式的推导和应用，还需要老师的引导和启发。
此外，学生可能对代数式的运算感到困惑，对于如何运用平方差公式解决实际问题还需要进一步的学习和实践。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，记住平方差公式。
2.能够运用平方差公式进行简单的计算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导和记忆。
2.运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究、发现平方差公式。
2.运用实例讲解，让学生在实际问题中运用平方差公式。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式的推导过程、实例讲解等。
2.准备一些实际的数学问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。
例如，计算(3+2)(3-2)的结果。
让学生尝试解决这个问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生理解和记忆平方差公式。
同时，解释平方差公式的含义和应用。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些相关的练习题，让学生独立完成，巩固对平方差公式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）教师出示一些综合性的问题，让学生小组合作，运用平方差公式解决问题。
北师大版七年级数学下册1.5.1 平方差公式 教案设计
1.5 平方差公式（1）教学目标：1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想．2.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算．3.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式解决生活中的实际问题．4.培养学生观察、归纳、概括等能力．教学重点与难点：重点：平方差公式的推导和应用．难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教法与学法指导：教法：引导探讨归纳应用变通．学法：提前预习，小组合作，探讨交流，归纳总结．课前准备：教师准备：多媒体课件、纸板教具、彩色粉笔．学生准备：预习纸板教学过程：一、创设情境，导入新课【美丽的校园】师：上学期，我们作为第一届入住新校区的初一新生，很荣幸的搬入了新建设的二十九中校园，一学期过去了，大家对于我们美丽的校园还满意吗？生：满意！师：现在，学校要规划一块新草坪，规划的方案有两种，一种是建成10米乘以10米的正方形，另一种方案是把这块正方形的草坪的一边缩减3米，相邻边增加3米，把草坪改成长方形．校长说，改成长方形草坪后，不光美观，还能节约购买草皮的成本呢？你知道这是为什么吗？生（集体）：猜测讨论．师：通过本节课的学习，你将能轻松的解决这个问题，大家说，这节课要不要认真学习啊？学生（充满好奇）：要！【设计意图】通过了解发生在校园内真实存在的事例，既能调动学生的研究兴趣，又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．二、百花齐放，探索新知1．数形结合，探究公式师：解决校园草坪建设方案的问题之前，老师先提两个简单的问题来考一考大家，看看大家上节课的内容学习的怎么样了？有没有能力解决今天的新问题．计算：1．（x+1）（x-1） 2.（m+2）（m-2）生（集体）：算出来了…算出来了…师：好，老师请两位同学说一说计算的结果．生1：第一题的结果是：x2-1生2：第二题的结果是：m2-4师：正确的同学请举手（全体同学基本上都正确），看来大家学的真不错哦！师：下面大家继续观察上面两个算式，看看它们的结果，你有没有什么新发现？生3：我发现它们的结果是这两个数的平方的差．师：好，那么我们请这位同学把你看到的现象用粉笔描述出来．（生3 分别使用了蓝色粉笔和黄色粉笔区别表示，效果非常好）师：大家观察一下，这位同学描述的规律对不对？生（齐）：正确！师：哪位同学能再举个例子来验证一下？生4：（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-9=a2-9（a+3）（a-3）=a2-32 = a2 -9师：结果一样吗？生（齐）：一样！师：那好，以后符合这个规律的习题，我们就可以直接进行计算，不要再用多项式的乘法这么麻烦了，还有谁再举例应用一下？生5（抢）：（5+x）（5-x）=52- x2 =25- x2生6（抢）：（y+6）（y-6）=y2-62 = y2-36师：谁用语言来描述一下这个规律？生（7）：等式的左边是两个两项式的乘积，这两个两项式中，其中一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差，等式的右边等于这两个数的平方的差．师：那么我们能不能把这个规律用符号表示出来呢？师生合作：（a+b）（a-b）=a2-b2文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．*提示：这里a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．师：同学们真不简单，现在大家给我们总结的规律起一个名字吧．生（齐）：平方差公式！【设计意图】通过观察，让学生自然、直观的接触到平方差的概念，再通过习题简单的应用，便于学生总结出公式，理解和掌握公式．教师板书课题：1.5 平方差公式（1）师：看来大家预习的非常棒！接下来，我们通过拼图游戏，再从几何图形的角度来验证一下这个公式的正确性，下面大家拿出我们课下准备好的纸板，按要求计算阴影部分的面积．生8：第一个图形的面积：a 2-b 2 生9：第二个图形的面积：（a+b ）（a-b ）师：这两种方法算出来的阴影部分的面积相等吗？生（齐）：相等师：由此我们得到（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，从而再次验证了平方差公式的正确性，大家对这两种证明平方差公式的方法都理解了吗？生（齐）：理解了！【设计意图】利用求图形的面积，进一步理解和验证平方差公式，培养学生数形结合的思想和一题多解的观念．2．简单应用，掌握公式师：那么接下来我们就来应用一下吧，请看例题例1利用平方差公式计算：（1）（5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）（3）（ab +8）（ab －8）；我们请3位同学到黑板上来演示，其他同学在练习本上计算，愿意来展示自己的同学请主动上台表演吧！生10：解：（5+6x ）（5－6x ） 生11：解：（x －2y ）（x +2y ）= 52－（6x ）2 = x 2－（2y ）2=25－36 x 2 = x 2－4y 2生12：解：（ab +8）（ab －8）a-b=（ab ）2－82= a 2 b 2－64师：大家看看这3位同学的表现的怎么样？生（齐）：非常好！师：下面做正确的同学请举手（大约90﹪以上），不错哦！大家感觉对于今天学习的内容掌握的怎么样了？生：都掌握了，没问题了师：*注意：对于平方差的结果，要化成最简，得数中不能保留像（2y ）2 、82 、（ab ）2 的没有运算完全的算式．【设计意图】利用简单的问题加深学生对平方差概念的理解，鼓舞学生的士气，为下一步更深入的学习和理解公式奠定基础．3．乘胜追击，深入公式师：既然大家都觉得练得不错了，那么老师对习题再升升级，检验一下大家的思考能力：例2 利用平方差公式计算：（1）（－m +n ）（－m －n ）； （2）)41(y x --)41(y x +-； 师：这两道题好做吗？在这里老师先提个小建议，请大家找出算式里面的“a ”和“b ”，然后再用公式计算．（2分钟后）谁找到了，主动站起来回答一下？生13：第一个算式里面的“a ”是“－m ”, “b ”是“n ”生14：第二个算式里面的“a ”是“x 41-”, “b ”是“y ” 师：这两位同学照的对不对？生：对．师：好，下面请这两位同学到黑板上来把这两道题计算完整．生15：（－m+n ）（－m －n ）=（－m ）2－（n ）2 =m 2－ n 2生16：)41(y x --)41(y x +-=（x 41-）2－y 2=x12－y 2 生（梁森）：老师，我有一个发现，我发现我们找的“a ”是相同的数，“b”是相反的数．师：噢？！我们班的数学大王有了新发现，大家发现这个规律了吗？生：真的，还真有这样的特点啊，梁森就是聪明．师：大家为梁森同学鼓掌！我国有“两弹 一星”元勋钱学森，我们班有数学大王梁森，老师有个提议，我们把梁森同学的这个新发现命名为生（集体鼓掌）：好！师：有了“梁森定律”的发现，我们做题就变得轻松多了．以后我们大家在碰到两项式乘两项式的时候，如果这两项中有一组相同的项和另一组相反的项，我们就可以应用平方差公式进行计算了．但是老师还有一个问题需要大家进一步的明确，找出了相同的项和相反的项，最后的结果是用谁的平方减去谁的平方呢？生（齐）：相同的项的平方减去相反的项的平方．师：下面请大家观察图片，通过图片，更直观的理解平方差公式（看上图），看明白了吗？生（齐）：明白了．【设计意图】通过增加例题的难度引导学生深入的探究公式，从而总结出更加简便有效的应用平方差公式的方法．三、综合应用，延伸拓展师：考验你的时候到了，下面老师出一道难度等级为5星的题，大家有没有信心做出来？生（集体）：（摩拳擦掌，跃跃欲试）能，出吧．师：小组合作探究：计算（-a-b）（a-b）（2分钟后）谁来回答这个问题？生（巩恒）：老师，我代表我们小组来回答这个问题，在这道题中，为了便于观察，我们小组采取的方法是，交换了括号内两项的位置，交换后（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）（学生到黑板板书），这样我们就可以很轻松的找出相同的项是“-b”，相反的项是“a”，根据“梁森定律”，用相同的项的平方减去相反的项的平方，最后的结果是：（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）=（－b）2－ a2 = b2－a2师：同学们，这位同学讲解的好不好？生（集体鼓掌）：好！师：大家说“梁森定律”的作用体现在什么地方呢？生（争先恐后）：应用“梁森定律”，可以很方便的辨别能否用平方差公式进行多乘多的运算．师：good!那我们通过练习来应用一下这个新方法吧．下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?(1) (a+b)(a−b) （能）(2) (a−b)(b−a) （不能）(3) (a+2b)(2b+a) （不能）(4) (a−b)(a+b) （能）(5) (2x+y)(y−2x) （能）师：你是怎么辨别出来的？生（齐）：通过找相同项和相反项．师：你们太有才了！生（集体）：笑师：下面大家在练习本上把上面的5道题计算出来，看谁算得又对又快．（让同学们把答案落实到本子上，避免出现“笔下误”，同时老师通过巡视，发现并指出学生可能出现的错误）【设计意图】通过例题，巩固刚才学习的新规律，再通过相关练习的训练，达到巩固和强化平方差公式应用的目的．四、感悟课堂，直抒胸臆师：同学们，通过今天的学习，你掌握了哪些知识，谁来总结一下？生17：我们通过多种方法学习了平方差公式；生18：我印象最深的是通过找相同项和相反项来应用平方差公式；生19：我感觉平方差公式简化了多乘多的运算，是人类智慧的体现；生20：我觉得这节课过得轻松愉快；生21：我认为还有很多的困难在等待着我们去克服；【设计意图】及时完美的总结是一节课精华的体现，让学生从他们的视角去总结一节课的所得所感，更能发现学生对知识接受和理解的程度．好的老师，要善于倾听，适时点拨，让学生在轻松愉快中实现对知识的梦想．五、实战演练，各尽其能【我当老师】1.下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？1) (x+4)(x-4)=x2-4; （）2) (a+2b)(a-2b)=a2-4b; （）3) (-2y+3)(2y+3)=4y2–9. （）（通过纠错，发现问题，避免自己在做题中出现类似的错误）【小试牛刀】2.计算下列习题，看谁做的又快又准确，并注意观察习题的结构特点．（1）(x+2y)(x-2y) （2）(2a-b)(b+2a)（3）(4a+3b)(4a-3b) （4）(-3m+2n)(3m+2n)（5）（a+b）（-b+a）（6）（-a-b）（a-b）（应用公式，巩固本节课的劳动成果，老师通过巡视找出同学们的易错点）【思维拓展】运用平方差公式计算：（平方差公式的灵活应用）（1）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（2）（a-b）（a+b）（a2+b2）（有点难度哦，小组之间讨论讨论吧，集体的智慧是无穷的）【实际应用】同学们，下面我们回过头来解决上课前我们提出的建设草坪的问题：问题回顾：一块边长为10米的正方形的Array草坪．把这块草坪的一边减少3米，相邻的另一边增加3米，整改前后的草坪的面积变化了吗?分析：原方案（正方形草坪）：10×10=100(m2)整改后（长方形草坪）：（10+3）×（10-3）=102 -32=91(m2)改成长方形后，草坪的面积变小了，当然节约购买草皮的成本了．（利用所学知识解决生活中的实际问题，让同学体会生活中处处有数学）【设计意图】由浅入深，由简到繁，逐步深入，各个击破，通过不同层次的习题设置，让更多的同学学到更深入的知识，提升他们的信心和勇气．六、分层作业，各显所长必做题：习题1.9 第1题．选做题：习题1.9 第2题．【设计意图】必做题是本节课的基础题，要求全体学生掌握的；选做题为综合性题，题量很小，但要求的能力较强，喜欢的同学可以选做，上交后让老师对其解题思路提出合理化建议，分层作业的主要目的是因材施教，让不同层次的学生实现他们同样的梦想．板书设计：1.5 平方差公式（1）1.复习回顾：2.规律总结：3.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2例1：4.数形结合，理解公式例2：5.找相同项相反项理解公式拓展训练：达标检测：教学反思：这节课我尝试用三种方法逐层深入的给同学们讲解和应用平方差公式，第一种是让孩子们直接感受公式，直接应用公式进行计算，初步了解平方差公式的用法；接着通过例题增加一点习题的难度，进而引导学生找出两个相乘的二项式中的“a”和“b”，更深一步的理解平方差公式的应用；最关键的是第三步，通过老师进一步的引导，让学生观察到“a”和“b”的特点，即“a”是两项式中的相同项，“b”是两项式中的相反项，进而得出平方差公式是用相同项的平方减去相反项的平方，最终让学生彻底的理解和掌握了平方差公式．总体来讲，当学生们在老师的带领下，一步一步笑到最后的时候，我本人感到非常的欣慰，因为这节课没有让学生感到枯燥和乏味，反而是在欢声笑语中度过的，从而我也感到了备好一节课对学生包括对我自己的重要性．市优案的评选，让我获益多多，通过做市优案和应用市优案，我收获了很多教学的方法和技巧，它完善了我们的教学，体现了教学相长和老师们的经验共享，它对我们的教学有着积极和长远的影响．。
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案一. 教材分析北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》这一节主要让学生掌握平方差公式的推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以帮助学生解决一些实际问题，而且也是学习更高阶数学的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法，对因式分解也有一定的了解。
但他们在解决实际问题时，往往不能灵活运用平方差公式。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将已知的知识与平方差公式联系起来，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式，并能灵活运用解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生归纳总结的能力，提高学生解决问题的策略。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题与平方差公式联系起来，提高解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和实例分析法，引导学生主动探究，发现规律，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，以便进行课堂练习。
2.准备多媒体教学设备，以便进行课件展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如停车场的设计、购物优惠等，让学生感受数学在生活中的应用。
引导学生思考如何用数学公式来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生观察、思考并总结出公式。
在这个过程中，引导学生发现平方差公式的规律，理解其含义。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选一个实际问题，运用平方差公式进行解决。
教师在这个过程中提供必要的指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型例题，让学生独立解答。
解答过程中，教师注意引导学生运用平方差公式，检查他们的理解程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些与平方差公式相关的拓展问题，如：如何求解一个关于平方差的一元二次方程？如何判断一个多项式是否可以分解为平方差的形式？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，使学生明确平方差公式的推导过程和应用。
北师大版数学七年级下册 1.5 平方差公式 ppt（2课时打包）
新课讲解
练一练 3 计算下列式子： (3) (-2a2+5b)(-2a2-5b) ;
1
1
(4)( 4 x+y)(-4 x+y) .
解：(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b)= (-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2 ;
(4) ( 1 x+y)(-1 x+y)=y2-( 1 x)2=y2- 1 x2 .
第一章 整式的乘除
5 平方差公式 课时1 平方差公式的认识
学习目标
1.了解并掌握平方差公式.（重点） 2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行 计算.(难点）
新课导入
思 考 观察下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=x·x-x+x-1=x2 -12 ;
(2) (m+2)(m-2)=m·m-2m+2m-4=m2 -4=m2 -22 ;
当堂小练
计算下列式子： (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) ;
(2)102×98.
解：(1) (2)
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=4y+1 ; 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
当堂小练
为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（ B ）
=(2a+1)×1 =2a+1.
布置作业
请完成对应习题
(3) (2x+1)(2x+1)=2x·2x-2x+2x-1=(2x)2 -1=(2x)2 -12 .
1.5 平方差公式教学设计.5《平方差公式》教学设计
1、沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一
独 立 试
对比左边的公 合作探究 式， 熟记平方差公 式的表示方法。
1、判断正误： (1)(4x+3b)(4x-3b)＝4x 2-3b2；( (2)(4x +3b)(4x-3b)＝16x2-9 ( 自我挑战 (1)(-a+b)(a+b)（ (3)(-a+b)(a-b)（ (1) (t+s)(t-s)= (3) (1+n)(1-n)= 2、用平方差公式计算： ① (3x +2)(3x-2) 堂清试题 ③（-x +2y） （-x-2y） ⑤ (-0.3x+y)(y+0.3x) 自我总结 预留作业 ②（b+2a） （2a-b） ④（-m+n）(m+n） ⑥ (- a-b)( a-b)
平方差公式
板书设计
一、平方差公式 二、平方差公式运用 三、自学检测 四、堂清试题
导学反思
课题 学习 目标 学习 重难点 学法 指导
平方差公式（一）
1、记住平方差公式。 2、会平方差公式解决相关问题。 1、平方差公式。 2、平方差公式解决相关问题。 讲练结合法 多媒体演示法 探究法
授课教师
尝试指导法
学 习 过 程 学 个矩形， 并用代数式表示 出你新拼图形的面积。 2、计算下列各式的积 (1) x 1x 1 (2) m 2m 2 = = (3) 2 x 12 x 1 (4) x 5 y x 5 y = = 观察以上算式的结构，你发现了什么规律？ ①上面四个算式中每个因式都是 项。 ②它们都是两个数的 与 的 。(填 “和”“差”“积”) 根据大家作出的结果，你能猜想（ a+b） （ a－ b） 的结果是多少吗？ 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （a+b） （a－b）= = 。 得出： a ba b 。其中 a、b 表示任 意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个 公式叫做整式乘法的 公式。 用语言叙述为 。 认真阅读课本 第 20、21 页，完 成： ①完成想一想 ② 看懂例题的 解题过程 ③完成第 21 页 的随堂练习 时间 10 分钟。 案 导 案
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
1.5.2平方差公式(峄城 许冲)
课时课题：第一章第5节平方差公式第2课时执教者：峄城区吴林中学许冲课型：新授课授课时间：2013年3月11日星期一第1、2节课教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.3．了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，我以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，指导学生深刻思考，细心观察，在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b．课前准备：多媒体课件，一张正方形纸板，剪刀．教学过程:一、我班有个小神童师：班级准备召开联欢会，班上生活委员周宁同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，周宁就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”周宁同学说：“过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道周宁同学用的是什么公式吗？怎么计算的呢?（学生讨论，部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理，仍有部分学生很困惑．） 师：这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像周宁一样聪明，能够迅速得到结果，我们开始今天的学习吧．教师板书课题：平方差公式（2）师：大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容，哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况.（出示课件）利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --；（3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++．（学生独立做题，师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数，也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过生活小情境，调动学生学习的热情，能迅速集中注意力投入到新知识学习中.在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．二、师生合作，验证公式师：同学们，要验证平方差公式，我们只要把左边的多项式相乘展开合并就行了，其实我们还有其他方法去验证、体会这个公式的正确性.请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a .这个正方形的面积是多少？生：a 2．师：请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形.现在我们就有了一个新的图形(如下图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？生：剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2)．师：你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论．(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b)，长是a；下面的小长方形长是(a－b)，宽是b．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为(a+b)、(a－b)，面积为(a+b)(a－b) ．师：比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？生：这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2．生：这恰好是我们上节课学过的平方差公式．生：用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证．师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识，避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病.通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想．三、观察思考，探究结论师：为了解决上课之初周宁的那个问题，我们来看下面一组题目．（出示课件） 想一想：(1)迅速计算下列各组算式，并观察它们的特点．7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(1)中算式算出来的结果如下：⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179生：从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．师：是不是所有的自然数都有这个特点呢？学生再举例说明结论的正确性．师：你能用字母表示这一规律吗？生：设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有(a +1)(a －1)=a 2－1． 师：用上节课的平方差公式也能验证．这里的a 只能是一个自然数吗？(同学们交流讨论)生：a 可以是任意数．师：很好！下面运用你得到的结论来计算．(出示课件)例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122．生：因为103=100+3，97=100－3，所以103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991．第(2)题学生独立完成．118=120－2，122=120+2．118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396．师：我们再来看一个例题(出示课件).例4 计算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．师生共同分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简．解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4．(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x-25．注意：2x(2x-3)的结果要用括号括起来.设计意图：想一想中通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫.例3运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．例4运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．随堂练习计算：（1）704×696；（2）9.8×10.2；（课堂引例）（3）(2)(2)(1)(1)x y x y x x+-++-；（4）11 (1)()()33x x x x---+．(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，同桌互查互纠．)设计意图：习题的设置是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力．四、拓展延伸，发散思维从前有一个农民向地主租了一块“十字型”土地，如下面左图所示．为了便于种植，他想换一块面积相同的长方形土地，你能帮他算一下这块长方形的土地长和宽分别是多少吗？学生以小组为单位展开讨论．解法一：“十字型”土地面积应为a2-4b2，逆用平方差公式可得a2-4b2=(a+2b)(a-2b)．所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b．解法二：将“十字型”土地分割可以重新拼成长方形，如图．所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b．设计意图：学生能根据平方差公式的形式，逆用公式.提高学生灵活运用公式，综合运用公式的能力.第二种方法学生使用的更多，理解也更方便．五、课堂小结，反思提高师：同学们，这节课你有哪些体会和收获？学生板演区 生1：我能用拼图对平方差公式进行几何解释．也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面．生2：平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式．生3：我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方．例如a (a +1)－(a +b )(a －b )一定要先算乘法，同时减号后面的积(a +b )(a －b )，算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了．师：大家说的很好，以后在学习过程中要善于总结问题，积累知识．设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的．六、达标检测，评价矫正计算：（1）2001×1999－20002；（2）(3mn +1)(3mn －1)－8m 2n 2；（3）1(2)2x -1(2)2x +－14x (x +8)． 设计意图：通过检测及时获知学生对所学知识掌握情况，，及时反馈，查漏补缺．七、布置作业，落实目标必做题：课本第22页 习题1.10 第1，2题．选做题：（1）(x +y )2－(x －y )2 ； （2）252－242．板书设计：1.5平方差公式（2）平方差公式的推导例3例4教学反思：本节课我从一个生活情境出发激起学生的学习热情和求知欲，紧接着从复习旧知识入手，通过拼图、速算比赛，调动学生学习的积极性，活跃了课堂气氛，也收到了一定的效果.在发现学生不积极时，适时鼓励，让学生知道正确与否并不重要，重在参与．学生在与同学交流时，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，取得了不错的效果.学生的参与度是本节课的亮点．回顾这一节课，有两点不足，一是学生参与不够；二是教师急于求成．学生参与不足是因为整个活动的操作环节过于匆忙急于完成教学任务，进而导致学生探索的效果不理想，当我看到学生说不出来时，急于求成，就替学生完成了有难度的活动．难度大的问题都让教师解决了，学生的锻炼机会就没有了，也就失去设计探索活动的意义了．解决这两点不足，我觉得首先在备课之初，就要考虑选择的探索活动对于学生而言，难度是否适中，如果太难了，必然影响教学效果．另一个就是课前准备充分，如果教师能够组织学生准备一些教具，这样学生就能参与进来，有了更加直接的感性认识，探索活动的效果必然会好些，教学目标“过程与方法”才能有效的落实．。
初中数学15平方差公式(二)教学设计
三、想一想
（1）计算 下列各组算式，并观察它们的共同特点．
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？ （3）请用字母表示这 一规律，你能说明它的正确性吗？ 四、例题教学 例3、用平方差公式进行计算： （1）103 × 97； （2）118 × 122． 例4、计算：
（1）a2( a + b) ( a - b ) + a 2b2；（2）( 2 x - 5) ( 2 x + 5 ) - 2 x ( 2 x-3)
批
注
重点难点：
教学重点：巩固掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运 算. 教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平 方差公式进行计算．
教具准备： 教学方法： 教
教学环节设计： 一、复习 1、平方差公式是什么？ 2、运用公式时应该注意什么？ 二、探索平方差公式 的几何背景
学
过
程
如图1-3，边长为a 的大正方形中有一 个边长为b 的小正 方形． （ 1） 请表示图1-3 中阴影部分 的面积． （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长 和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ （3）比较（1）（2）的结果，你能验证方差公式吗？ 引导学 生进行探索，并帮助学生理解公式的几何解释.
课题：平方差公式 课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时 三维目标： 1. 知识与技能目标：会用面积法验证平方差公式 ，并能运用公式进行简 单的运算及解决相关问题. 2. 数学思考目标：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结 合的思想 方法. 3. 问题解决目标：了解平方差公式的几何背景, 能运用公式进行简单的 运算. 4. 情感态度目标：让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的 喜悦.
七年级数学下册《1.5.2 平方差公式》教案 (新版)北师大版
【类型二】平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，课 Nhomakorabea检测1．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）
A． 5 B．-5 C．10 D．-10
2．9.8×10.2=________；
3．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．
（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．
9．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？
10．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
引出研究本节课要学习知识 的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
北师大版初中数学七年级下册1.5平方差公式(教案)
3.培养学生的数学建模素养：通过解决实际问题，让学生学会运用数学知识建立模型，提高解决实际问题的能力，体会数学在生活中的应用价值。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模能力，使学生在掌握知识的同时，提升学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²的推导与应用。
北师大版初中数学七年级下册1.5平方差公式（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版初中数学七年级下册第一章第五节《平方差公式》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.平方差公式的推导与应用：通过实际问题和具体例子的分析，引导学生发现并理解平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²。
2.运用平方差公式进行简便计算：培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力，提高计算速度和准确性，并能解决一些简单的实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天在教授平方差公式这一部分内容时，我发现学生们对公式的推导和应用过程产生了浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过日常生活中的实际问题，成功引起了学生的好奇心，这为后续的教学奠定了良好的基础。
1.5平方差公式课件
多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知1－讲
例1 〈义乌〉如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去 一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开， 把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积 为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
第一章 整式ห้องสมุดไป่ตู้乘除
1.5 平方差公式
1 课堂讲授 平方差公式的特征
平方差公式
2 课时流程 利用平方差公式简便计算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾： 上一节课中我们学习了哪些整式的乘法运算？ 它们的运算法则是什么？
知识点 1 平方差公式的特征
计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)；(2) (1+3a) (1－3a )； (3) (x+5y) (x－5y)；(4)(2y+z) (2y－z) .
(2)118×122
=(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2)
=1002－32
=1202－22
=9 991 ；
=14 396 .
知3－讲
知3－讲
例6 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
2
(3) 40
×39 1
.
3
3
C．是多项式
D．是单项式或多项式
3 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计一. 教材分析平方差公式是北师大版七下数学1.5.2的内容，它是代数学习的重要基础，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程和应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，但对于平方差公式的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究平方差公式的推导过程。
2.通过实例讲解，让学生理解平方差公式的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解两个数的平方差。
例如：已知一个数的平方是16，另一个数的平方是25，求这两个数的平方差。
2.呈现（15分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生理解平方差公式的由来。
通过讲解和示例，让学生掌握平方差公式的表达式。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的练习情况，进行讲解和巩固。
通过一些变式题目，让学生熟练掌握平方差公式的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平方差公式的推广和应用。
例如：已知两个数的和与差，如何求解这两个数的平方和与平方差。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调平方差公式的推导过程和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方差公式的练习题目，让学生巩固所学知识。
1.5平方差公式教学设计
1.5平方差公式教学设计【教学内容】北师版七年级下册数学第一章第五节第1课时【教学对象】聋教九年级学生【教学时间】2018年4月25日【教材分析】平方差公式是在学生学习了多项式乘法等知识的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现了教材从一般到特殊的安排意图。
学好本节课的内容，不仅得到了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为接下来完全平方公式的学习奠定了基础，因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，是初中阶段一个重要的公式。
【学情分析】学生是在学习积的乘方和多项式乘多项式后学习平方差公式的，但在进行积的乘方的运算时，底数是数与几个字母的积时往往把括号漏掉，在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项的符号及漏项等问题。
学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛性的理解。
【教学目标】知识与技能：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力。
过程与方法：经历“特殊到一般再到特殊”（即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验,进一步增强同学们的符号感、推理和归纳能力及解决问题的能力。
情感态度与价值观：结合具体情境，让学生体验到数学与生活的密切联系，培养学生合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的能力。
【教学重点】理解并掌握平方差公式的推导和应用。
【教学难点】平方差公式的推导【教学方法】讲授法、启发式教学法、操作演示法、练习法【教学过程设计】一、情境引入用微课小视频播放林雄发同学去校园超市买东西的生活情境。
由此，激发学生想知道是哪个数学公式的学习兴趣。
二、平方差公式的证明1、探索规律通过计算几个特殊多项式的积，引导学生发现规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差。
2、验证一般性：22))((b a b a b a -=-+3、平方差公式的几何推导。
七年级数学下册《1.5平方差公式》教案北师大版
1。
5平方差公式一、教学目标1.探索平方差公式的运算过程，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
2。
正确地运用公式进行简单的运算,并能解决一些实际问题。
3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。
二、课时安排：1课时三、教学重点：平方差公式的运算法则.四、教学难点：平方差公式的灵活运用.五、教学过程（一）导入新课以课本上有趣的求阴影部分面积为引例,让学生从中抽象出简单的数学模型，在列式计算时平方差公式的运算形式,给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，引导学生理解几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法，进行推导尝试，力争独立得出结论.（二）讲授新课探究（一）：平方差公式运算法则:列出算式为：思考：你列出的算式有什么规律？？2、探究算法（1).))((22b a b a b a -+=-(2）.（2x + 3）（2x –3）=( ) ( )(3). (a +3b) (a −3b)= （ ) （ ）3、仿照计算，寻找规律①(—21a —b )(21a -b ) =（ ） （ ）②(x+2a 2)（x-2a 2）= （ ） （ ）教师引导学生总结平方差公式运算法则:两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
探究（二）：平方差公式简便运算：列出算式为：思考：你列出的算式有什么规律？2、探究规律7×9 = ( -1） ×( +1）=( — )=（ ）。
79×81=( -1) ×( +1）=( — )=（）。
98×102=( -2）×( +2)=( - ）=（）.3、仿照计算,寻找规律①51×49 =（）×(）=（—）=（）。
② 9。
8×10.2=( ) ×（）= （ - )=（）。
教师引导学生两数之积如果满足上述规律，可以利用平方差公式求两数之积。
(三)重难点精讲例一、计算：(1） (3x+4)(3x –4）—（2x+3)(2x –3) (2） (x+y）（x-y)(x2+y2）解:=9x2-16—(4x2-9) 解：=（x2-y2 ) （x2+y2）= 9x2-16—4x2+9 = x4-y4= 5x2—7例二、（x ＋ y ＋ 1)( x ＋ y －1）解：[（x+y）+1][(x+y）-1］=（x+y)2－1=（x+y）（x+y)-1=x2+2xy+y2—1（四）归纳小结：引导学生总结本课知识点:(五）随堂小测：1.下列各式计算的对不对?如果不对，应怎样改正？（1） (x+2）（x-2)=x2-2 (2) （—3a-2)(3a-2)=9a2-4(3） (x+5）(3x-5）=3x2-25 (4） (2ab-c)(c+2ab)=4a2b2-c22。
《1.5 平方差公式》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.5平方差公式》教案教学目标：（一）知识目标1.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.（二）能力目标1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.（三）情感与价值观目标1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.3.乐于通过动手操作发现和学习数学知识.（四）教学重点，难点教学重点：探索平方差公式的过程.教学难点：理解平方差公式的特征.二.教材处理1.突出重点：学生通过自主探究，剪纸拼图的方法发现和认识平方差公式.2.突破难点：学生通过尝试对公式特征的语言叙述，认识和理解公式本质的内容.三.学法指导1.由问题情境产生思考，激发对新知的求知欲.2.通过动手剪纸拼图，认识和解释情境中的问题，同时，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.3.通过交流辨析，进一步理解平方差公式四.教学具准备大正方形纸板，剪刀.五.教学过程（一）创设问题情景，引入新课1、在一个边长为a米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池，改建后草坪的面积是？2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试看！同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听.（教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法.） 3、可能拼出的情况： （1）可以拼成长方形把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a －b ），长是a ；下面的小长方形长是（a －b ），宽是b .我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a －b ），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a +b ），（a －b ），面积为（a +b ）（a －b ）. （2）还可以拼成长方形把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，然后按右图拼接成大长方形，大长方形的长和宽分别为（a +b ），（a －b ），则其面积为（a +b ）（a －b ）.（3）可以拼成梯形把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为（a －b ），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成梯形.这个梯形的上底为2b ，下底为2a ，则其面积为21（2a +2b ）（a －b ），化简为（a +b ）（a －b ）.（4）可以拼成平行四边形把剩下的图形（即阴影部分）沿折痕（对角线）剪开，得到两个直角梯形，我们可以注意到，两个直角梯形的高均为（a－b），所以我们可以将这两个边重合，然后按右图拼接成平行四边形.由剪拼过程我们可以知道，这个平行四边形的边长为（a+b），高为（a－b）.所以这个平行四边形的面积为（a+b）（a－b）.师：“对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？计算你所拼出的几何图形的面积，你能发现什么？”（学生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形给予充分的评价并鼓励学生从中发现知识，交流自己的观点）设计意图：通过动手剪纸拼图，让学生经历平方差公式的探索，在认识和解释情境的过程中，发现数学知识，感受知识的发生和发展过程.4、你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？设计意图：学生利用多项式乘多项式的法则计算（a+b）（a-b），验证自己的猜想.（二）得出概念1、（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式称为平方差公式（1）你能用语言叙述这个公式吗？设计意图：锻炼学生的总结能力及语言表达能力.“两个数的和乘以两个数的差等于它们的平方差.”（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？设计意图：体会数学的逻辑性及利用平方差公式计算的简洁性.2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎样确定？利用平方差公式计算的关键：确定a和b.其中两个完全相同的项为a，另两个只有符号不同的项为b，其结果等于符号相同的数的平方减去符号不同数的平方.3、现学现卖：按要求填写下面表格注意：根据学生层次的不同，若学生不能观察出公式特征，教师可增加启发性的问题，如：“两个多项式有什么相同，有什么不同？”“两项的符号都不同吗？”“等于什么？”学生由此观察发现公式的特征.（三）例题教学1、（1）（2x +y ）（2x -y ） （2）（21x +2）（21x -2） （3）（-5a +3b ）（-5a -3b ） （4）（m +n ）（n -m ）（可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤.） 2、活学活用： 运用平方差公式计算：1）59.8 ×60.2 2）101 ×99（其中第1题师生共同分析式子特点，由教师给出规范步骤，第二题让同学板演或口答.） （四）实战演练1、我问你答：请你为你的同桌出一道能用平方差公式计算的问题.（在练习本上完成，先由同桌同学互查互纠，教师巡视过程中，如果有有争议的问题，提出来由老师解决.对共性的错误，教师展示给同学辨析，纠正错误.） 2、小试牛刀：下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？ 1）（x +4）（x -4）=x 2-4； （ ） 2）（a +2b ）（a -2b ）=a 2-4b ； （ ） 3）（-2y +3）（2y +3）=4y 2–9. （ ） 3、应用拓展：运用平方差公式计算：（1）（x +2y ）（x -2y ） （2）（2a -b ）（b +2a ） （3）（4a +3b ）（4a -3b ） （4）（-3m +2n ）（3m +2n ） 4、请你支招有一位狡猾的地主， 把一块边长为a 米正方形的土地.租给李老汉种植.今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边增加4米，另一边减少4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好象没有吃亏，就答应.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？（五）课堂小结：1、通过本节课的学习，你认为：（1）什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？（2）平方差公式中字母a、b可以是那些形式？（3）怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？2、师生总结：（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2（2）我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：①公式中的字母a、b可以是任意代数式；②利用平方差公式计算的关键是：准确确定a和b；③完全相同的看作a，只有符号不同的看作b.（六）布置作业。
《1.5 平方差公式》教案7
《1.5平方差公式》教案课时安排说明:《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.一、学生起点分析学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.二、教学任务分析学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.本节课的教学目标是：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.三、教学过程设计基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：复习旧知、引入新课；探究规律、发现结论；典例分析、巩固提高；观察思考、拓展延伸；当堂达标、自我检测；课堂小结、布置作业.第一环节复习旧知、引入新课活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备.实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用.第二环节探究规律、发现结论活动内容：1.提出问题计算下列各题(1) (x+2)(x－2)； (2)(1+3a)(1－3a)(3) (x+5y)(x－5y)；(4)(2y+z)(2y－z)观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律.活动内容：2.验证猜想类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式：1、 (－x +y )(－x －y )2、 (ab +c )(ab －c )3、 )221(y x -)221(y x - 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a +b )(a −b )＝a 2−b 2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.第三环节 典例分析、巩固提高活动内容：巩固练习判断下面计算是否正确(1))121(+x )121(-x =1212-x ( ) (2)(3x －y )(－3x +y )=9x 2－y2 ( ) (3)(m +n )(－m －n )=m 2－n 2( ) 活动目的：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a 和b .活动内容：例1 利用平方差公式计算：(1) (5+6x )(5－6x )； (2)(x －2y )(x +2y )(3) (－m +n )(－m －n )巩固练习利用平方差公式计算：(1) (a +2)(a －2)； (2)(3a +2b )(3a －2b )活动目的：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a 和b ，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.活动内容：例2 利用平方差公式计算：(1))41(y x --)41(y x +- ； (2)(ab +8)(ab －8) 巩固练习利用平方差公式计算：(1)1()3x y -1()3x y +； (2)(－mn +3)(－mn －3) 活动目的：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a 和b ，巩固平方差公式，进一步体字母a 、b 可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.实际教学效果：例2中的第1题和巩固练习中的第1题，学生在确定公式中a 和b 时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a 与b ，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点.第四环节 观察思考、拓展延伸活动内容：想一想(a −b )(－a −b )=？你是怎样做的？ 练一练计算 1、(5m －n )(－5m －n )2、(a +b )(a －b )(a 2+b 2)活动目的：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式，体会新、旧知识之间的联系，并通过“练一练”，进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.实际教学效果：学生在处理“想一想”时，部分学生可能没看出可应用平方差公式，从而采用多项式乘多项式计算，教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示，让学生自己经历选择方法的过程，加深对平方差公式的理解和应用.第五环节 当堂达标、自我检测活动内容： 利用平方差公式计算：(1) (－x －1)(1－x )(2) (0.3x +2y )(0.3x －2y )(3) )21(-x )21(+x )41(2+x 活动目的：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.第六环节课堂小结、布置作业活动内容：1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项：1)注意平方差公式的适用范围2)字母a、b可以是数，也可以是整式3)注意计算过程中的符号和括号活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.布置作业1. 必做题：教材习题1.92. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？。
《1.5 平方差公式》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.5平方差公式》教案学习目标：1、会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征.2、能够运用平方差公式进行整式乘法的运算.学习重点：理解平方差公式的结构特征，会运用公式进行运算.学习难点：平方差公式的灵活运用.学习过程：一、导学质疑1、复习多项式与多项式的乘法法则是什么？请写出来.2、自学教科书20页的内容，尝试完成以下问题.计算下列各式的积（1）)1)(1(-+x x （2）)2)(2(-+m m（3）)12)(12(-+x x （4）)5)(5(y x y x -+观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？①上面四个算式中每个因式都是 项.②它们都是两个数的 与 的 .（填“和”“差”“积”）根据大家作出的结果，你能猜想（a +b ）（a －b ）的结果是多少吗？为了验证大家猜想的结果，我们再计算：（a +b ）（a －b ）= = .得出：（a +b ）（a －b ）= .其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 .3、自学教科书20页的例1和例2，要求如下：记住利用平方差公式进行计算的方法和步骤；理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则计算.1）判断下列式子是否可用平方差公式（1）（-a +b ）（a +b ） （ ） （2）（-2a +b ）（-2a -b ） （ ）（3）（-a +b ）（a -b ） （ ） （4）（a +b ）（a -c ） （ ）2）参照平方差公式“（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2”填空.（1）（t +s ）（t -s ）= （2）（3m +2n ）（3m -2n ）=（3）（1+n ）（1-n ）= （4）（10+5）（10-5）=二、自主探究例：计算（1）102×98 （2）)1)(1()2)(2(+---+y y y y三、合作交流1、下列各式计算的对不对？如果不对，应怎样改正？（1）（x +2）（x -2）=x 2-2 （2）（-3a -2）（3a -2）=9a 2-4（3）（x +5）（3x -5）=3x 2-25 （4）（2ab -c ）（c +2ab ）=4a 2b 2-c 22、用平方差公式计算：1）（3x +2）（3x -2） 2）（b +2a ）（2a -b ）3）（-x +2y ）（-x -2y ） 4）（-m +n ）（m +n ）5）（-0.3x +y ）（y +0.3x ） 6）（-21a -b ）（21a -b ） 3、利用简便方法计算：（1）102×98 （2）20012 -19992四、能力拓展1、运用平方差公式计算：（1）（x +y ）（x 2+y 2）（x 4+y 4）（x -y ） （2）（a +2b +c ）（a +2b -c ）2、计算（1）1002-992+982-972+962-952+……+22-12（2）)1011)(911)...(411)(311)(21-1(22222---- （3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1。
《1.5 平方差公式》教案新部编本4
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.5平方差公式》教案学习目标：1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.学习重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用.学习难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.学习过程：一.类比引入［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）.［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b），长是a；下面的小长方形长是（a－b），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a －b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的特点.⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 （2）从以上的过程中，你发现了什么规律？（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］（1）中算式算出来的结果如下：⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有（a +1）（a －1）=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？（同学们惊讶，然后讨论）［生］a可以代表任意一个数.二.思考讨论例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.［例1］用平方差公式计算：（1）103×97 （2）118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3，97=100－3，因此103×97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第（2）题的“奥妙”.118=120－2，122=120+2118×122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.三.例题学习［例2］计算：（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2；（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2=a2（a2－b2）+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）=（2x）2－52－（4x2－6x）=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例3］公式的逆用（1）（x+y）2－（x－y）2（2）252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：（1）（x +y ）2－（x －y ）2=［（x +y ）+（x －y ）］［（x +y ）－（x －y ）］=2x ·2y=4xy（2）252－242=（25+24）（25－24）=49随堂练习1.（1）704×696（2）（x +2y ）（x －2y ）+（x +1）（x －1）（3）x （x －1）－（x －31）（x +31）（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠） 解：（1）704×696=（700+4）（700－4）=490000－16=489984（2）（x +2y ）（x －2y ）+（x +1）（x －1）=（x 2－4y 2）+（x 2－1）=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1（3）x （x －1）－（x －31）（x +31）=（x 2－x ）－［x 2－（31）2］=x 2－x －x 2+91=91－x四.应用拓展解方程：（2x +1）（2x －1）+3（x +2）（x －2）=（7x +1）（x －1）（先由学生试着完成）解：（2x +1）（2x －1）+3（x +2）（x －2）=（7x +1）（x －1）（2x ）2－1+3（x 2－4）=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －16x =12 x =2五.小结作业。
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平方差公式（第一课时）
一、教学目标： 1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力； 2、会推导平方差公式，并能运用公式进行计算和推理； 二、教学重点：
平方差公式的推导及应用 三、教学难点：
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用该公式 四、教学过程： （一）预习导学：
复习回顾：(1)(
)(
)
c ab b a 6
3
62-⋅-
(2) ⎪⎭⎫
⎝
⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22322ab ab ab
(3) ()()x x -⋅-6.01 (4) ()2
y x -
探索计算：（1）()()22-⋅+x x （2）()()a a 3131-⋅+ （3）()()y x y x 55-⋅+ （4）()()z y z y 33-⋅+
★观察上述算式，你发现了什么规律？
★观察上述算式的结果，你又发现了什么规律？
（二）新授
1、平方差公式：（1）推导过程
（2）语言叙述
（3）字母表示 （4）结构特征
2、典型例题
例1、下列式中能用平方差公式计算的有（ ） （1）11
()()22
x y x y -
+；
（2）(3)(3)a bc bc a ---； （3）(3)(3)x y x y -++-；（4）(1001)(1001)+- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例2、填空题：
（1）(6)(6)x x +-= . （2）11()()22
x x -+--= . （3）2
42(25)(
)425a b a b --=-
例4、下列式中，运算正确的是（ ） ①2
2
2
(2)4a a =；②2111
(1)(1)1339
x x x -
++=-； ③2
3
5
(1)(1)(1)m m m --=-；④23
2482a b a b ++⨯⨯=．
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 例5、利用平方差公式计算
（1）()()b a b a 3232-+ （2）()()a b b a 2332+-+ （3）()()b a b a 3232+-+ （4）()()b a b a 3232--+-
三、课堂检测
1、利用平方差公式计算 （1）(
)()
32
3
2y x
y x -+ （2）⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-224141y x y x
2、填空
（1）22(32)(________)94x y x y -+=-+
（2）(______3)(2_____)[(_____)2][(_____)2]x x y y y --+-=-+
（3）若1a b -=，则代数式22
2a b b --的值为 ． 3、化简求值
（1）()()2
1)1(52323-
=---+x x x x x ，其中 （2）2,2
1),)(()2)(2(2
2
2
=-=-+-+-y x y x y x y x y x x 其中
（3）已知的值。
求22294
1
,033215321y x y x y x n
-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+++- 四、课堂小结
1、平方差公式是什么？
2、平方差公式的结构特点是什么？
五、布置作业： A 层：
1、利用平方差公式计算 （1）()()23
3
2x y y
x --- （2）()()3223a a +-
（3）()()22x y x y -+-- B 层： 2、（1）计算()()y y y x y x 244222122122+-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+，并说明结果与y 的取值无关．
（2）先化简再求值：()()()()2
1
3333-
=-+--+x x y y x y x x y ，其中，12
y =
；
平方差公式（第二课时）
一、教学目标：
1、了解平方差公式的几何背景；
2、会用面积法推导平方差公式，并能灵活运用公式进行计算和推理； 二、教学重点：
平方差公式的几何解释和广泛应用 三、教学难点：
灵活运用平方差公式进行简单运算 四、教学过程： （一）复习回顾：
1、什么是平方差公式？
2、具备什么特点的两个多项式相乘才能用平方差公式？
3、计算：
（1）()()y x y x 2323--+- （2）()()z y x z y x -++-22 （3）⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
222121b x b a （4）()()()4222+-+m m m
（二）新授
1、平方差公式的几何背景
如图1-3，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形. （1）请表示图1-3中阴影部分的面积
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？
你能表示出它的面积吗？ （3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
2、探索计算：
（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= （2）从以上过程中，你发现了什么规律？
（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
3、典型例题
例1、计算：（1）20031997⨯ （2）3
13932
40⨯
（3）9910110001⨯⨯ （4）2000199819992
⨯- 例2、计算：
(1)()()()
1112
2
+++-y x xy xy
(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛-y x y x y x y x 312131213121312
1
(3) ()()()()()
2486421212121...21+++++ （构造用） (4) (
)()()()
421624282+++-n n n n
x x x x
（连续用）
例3、逆用平方差公式
（1）若()()2
2
94933y x y mx y mx +-=---，则m 的值为 ．
（2）若(
)24
2
93x y
y
x m -=-，则代数式m 应是
作业：
A 层：1、计算： (1)2
200420032005-⨯
（2）(34)(34)(23)(32)x x x x +--+-
（3）2
2
2
2
2
2
122009201020112012-++-+- B 层：（4）⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
222201211311211
（5）24815
11111
111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2、（1）若()的值求222
,035y x y x y x -=+-+-+ （2）化简求值：
()()1113232,2222a b a b a b a b a b ⎛
⎫⎛⎫+---+=-= ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，其中。