导数大题经典(重点讨论)练习及答案(整理、理科)

导数大题专题训练

1．已知f (x )＝xlnx －ax ，g (x )＝－x 2－2，

(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx ＋1＞ex e x 21-成立．

2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x

=+->.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P （1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x)＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x ―b （b ∈R ）.当a=1时，函数g (x)在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.

3． 设函数f (x)=lnx+(x －a)2，a ∈R .（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）若函数f (x)在1[,2]2

上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.

4、已知函数21()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2

g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.

5、已知函数())0(2ln 2>-+=a x a x

x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区间；

(Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围；

(Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，求实数b 的取值范围．

6、已知函数1ln ()x f x x

+=． (1)若函数在区间1(,)2

a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥

+恒成立，求实数k 的取值范围．

1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x

2在),0(+∞∈x 恒成立；令x x x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(x

x x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，

即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .

(Ⅱ)当时，

1-=a x x x x f +=ln )(，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21e x =. ①当210e

m <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(e

x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+

1e m ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ， ]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分

(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x e

e x x x x x 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x

f +=ln )(的最小值是2

1e -，当且仅当21e x =时取得， 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'x e

x x -=1)(，易知e G x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， 但，e e 112

->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有ex e x x 211ln ->+成立. 2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x =-

+，所以22'(1)111

a f =-+=-，所以a=1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）

（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=， 由'()0f x >解得2x a >；由'()0f x <解得20x a

<<.所以f (x)在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a =时，函数f (x)取得最小值，min 2()y f a =. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，

所以2

()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a

+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e

.