2013年广州市高三第一次模拟考试试题答案

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中

14~15题是选做题，考生只能选做一题．

11．(]1,2 12．1238. 13．8，2

2n n -+ 14．1116,

π⎛⎫

⎪⎝⎭

15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．

② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,

(ππ⎛⎫

+∈ ⎪⎝⎭

Z ).

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，

∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T π

ω

=

=，得4

π

ω=

. ……………3分

∴()2sin(

)44

f x x π

π

=+. ……………4分

（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫

=+==

⎪⎝⎭

， ……………5分

(4)2sin 2sin 44f πππ⎛

⎫=+=-= ⎪⎝

⎭ ……………6分

∴(4,P Q . ……………7分

∴OP PQ OQ ===……………10分

∴

2

2

2

222

cos 23

OP OQ PQ

POQ

OP OQ

+-+-∠=

=

=

……12分 解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫

=+==

⎪⎝⎭

……………5分

(4)2sin 2sin 44f πππ⎛

⎫=+=-= ⎪⎝

⎭

……………6分

∴(4,P Q . ……………8分 ∴(2,2),(4,OP OQ ==

. ……………10分 ∴cos cos ,3

6OP OQ POQ OP OQ OP OQ

⋅∠

=<>=

=

=

. ……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos 2

44f πππ⎛⎫

=+==

⎪⎝⎭

5分(4)2sin 2sin 4

4f ππ

π⎛

⎫=+=-= ⎪⎝

⎭6∴(4,P Q . ……………7分

作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥

轴,垂足分别为11

P Q ,,

∴112,OP OP PP =

==

=114OQ QQ ,

==………8分

设11POP QOQ ,

αβ∠=∠=,

则13sin ,cos

,sin ,cos ααββ=

===

. ……………10分 ∴cos cos POQ ∠=()3

cos cos sin sin αβαβαβ+=-=

.………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解:样本中产量在区间(

4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株）

，…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）

， ……………2分

依题意，有()41001000023a b .=

⨯+，即()4

0023

a b .=+.①…………3分 根据频率分布直方图可知()

00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 （2）解：样本中产量在区间(

5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为

123A A A ,,,4A ， ……………… 7分

产量在区间(

5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，(

)

14A A ,

()()()()()()1

1

1

2

2

3

2

4

2

1

2

2

A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()3

4

A A ,,()3

1

A B ,,

()3

2

A B ,，()()4

1

4

2

A B A B ,,,,()1

2

B B ,. ……………10分

其中产量在(

5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()(

)

1112A B A B ,,,,

()()()()2

1

2

2

3

1

3

2

A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4

1

4

2

A B A B ,,,，()1

2

B B ,. ………11分

记“从样本中产量在区间(

5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(

5560,⎤⎦上的

果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93

155

P M =

=. ……………12分 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，

∴O 是AC 的中点. ……………1分