随机信号分析 题目及答案

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：

（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++

解：（1）()

121222()jv X X jvX jv X jvX

X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤

⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

12

21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立

（2）()

1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤

==⋅⋅⎣⎦⎣

⎦

12536

12jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 6

12(5)(3)jv e v v φφ=

2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ (2) 当,t t τ+在同一个时隙时：

[]222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯=

当,t t τ+不在同一个时隙时：

[][][](,)()()()()0.20.20.04

X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=

（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++

3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0

ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。

（1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；

（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解：

（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，因此非独立。

根据题意有

1

2f ()θπ

=

。

[]001

sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π

π

ωθθπ

-

=+Θ=

+=⎰， []001

cos()02E[Y(t )]E t cos(w t )d π

π

ωθθπ

-

=+Θ=

+=⎰ {}121212010201020120120121

211

242

XY XY C (t ,t )R (t ,t )E[X (t )Y(t )]E[sin(w t )cos(w t )]

sin(w t )cos(w t )d sin[w (t t )]sin[w (t t )]d sin[w (t t )]π

ππ

π

θθθθθπ

θθπ-

-

===++=++=

+++-=-⎰⎰

由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性

无关。

除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，

所以1

X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )均值平稳。

[]

120102010201201201201

21

2411

22

X R (t ,t )E sin(w t )sin(w t )sin(w t )sin(w t )d {cos[w (t t )]cos[w (t t )]d cos[w (t t )]cos(w )π

ππ

π

θθθθθπ

θθπ

τ-

-

=++=++=

-+++-=-=⎰⎰

同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。

由于1212012011

22XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和

Y(t )联合广义平稳。

4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c ω均为常数）？如果不能，请写出理由。

（1）cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧

≤

⎪=⎨

⎪⎩

其它

（2）cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧

≤

⎪=⎨

⎪⎩

其它

（3）10cos() ||() 0 c

c R πωττωτ⎧

≤⎪=⎨

⎪⎩

其它

（4）()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解：（1）不能，因为零点连续，而4/π点不连续。

（2）能。

（3）不能，因为

20c R()R()π

ω=，而R()τ又不是2c /πω的周期函

数。

（4）能。 5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的

双边功率谱密度0

1 W/Hz 2N =，求系统输出噪声的功率谱密度函数

和自相关函数，以及输出噪声总功率。

解：系统的传递函数为()1

1R H j R j L j ωωω==++，

则系统输出功率谱密度为