数学建模报告公司的销售额预测
数学建模竞赛参考答案
数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛是一项旨在培养学生综合运用数学知识和解决实际问题能力的竞赛活动。
参赛者需要通过分析问题、建立数学模型、求解问题等环节，最终给出合理的答案和解决方案。
在这篇文章中，我们将为大家提供一些数学建模竞赛的参考答案，希望能够给参赛者们提供一些启示和帮助。
第一题：某公司的销售额预测问题描述：某公司希望通过过去几年的销售数据，预测未来一年的销售额。
请根据给定的销售数据，建立合适的数学模型，并给出未来一年的销售额预测值。
解答思路：根据问题描述，我们可以将销售额看作是时间的函数，即销售额随时间变化。
可以使用回归分析的方法来建立数学模型。
首先，我们将销售额作为因变量，时间作为自变量，通过拟合曲线来预测未来一年的销售额。
我们可以选择多项式回归模型来拟合曲线。
通过将时间作为自变量，销售额作为因变量，进行多项式回归分析，可以得到一个多项式函数，该函数可以描述销售额随时间变化的趋势。
然后，我们可以使用该多项式函数来预测未来一年的销售额。
将未来一年的时间代入多项式函数中，即可得到未来一年的销售额预测值。
第二题：城市交通流量优化问题描述：某城市的交通流量问题日益突出，如何优化交通流量成为了当地政府亟待解决的难题。
请根据给定的交通数据和道路拓扑结构，建立合适的数学模型，并给出交通流量优化的方案。
解答思路：根据问题描述，我们可以将城市的交通流量看作是网络中的流量分配问题。
可以使用网络流模型来建立数学模型。
首先，我们需要将城市的道路网络抽象成一个有向图，节点表示交叉口，边表示道路，边上的权值表示道路的容量。
然后，我们可以使用最小费用最大流算法来求解交通流量优化的方案。
该算法可以通过调整道路上的流量分配，使得整个网络中的流量达到最大，同时满足道路容量的限制。
通过计算最小费用最大流，可以得到交通流量优化的方案。
最后，我们可以根据最小费用最大流算法的结果，对交通流量进行合理调控。
例如，可以调整信号灯的时长，优化交通信号控制系统，减少交通拥堵现象，提高交通效率。
数学建模基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。
表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。
2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。
5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。
将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。
2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。
（2）输入数据，进行数据预处理。
（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。
（4）输出回归系数、截距等参数。
4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。
（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。
（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。
5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。
2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。
数据销售预测实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景随着大数据技术的飞速发展，数据分析和预测在各个行业中扮演着越来越重要的角色。
销售预测作为企业制定销售策略、优化资源配置、提升市场竞争力的关键环节，其准确性直接关系到企业的经济效益。
本实验旨在通过构建数据销售预测模型，验证其预测效果，为企业提供科学合理的销售预测方案。
二、实验目的1. 构建数据销售预测模型，分析销售数据与相关因素之间的关系。
2. 评估模型预测准确性，为实际应用提供参考。
3. 探索影响销售的关键因素，为企业制定销售策略提供依据。
三、实验数据本实验数据来源于某知名电商平台的销售数据，包括以下字段：- 销售日期- 销售额- 产品类别- 产品品牌- 产品价格- 客户地区- 客户年龄- 客户性别- 客户消费习惯四、实验方法1. 数据预处理：对原始数据进行清洗、处理，包括缺失值填充、异常值处理、数据标准化等。
2. 特征工程：根据业务需求，选取与销售数据相关的特征，如产品类别、品牌、价格、地区、年龄、性别等。
3. 模型选择：选择合适的预测模型，如线性回归、决策树、随机森林、神经网络等。
4. 模型训练与验证：使用历史销售数据对模型进行训练，并使用交叉验证等方法评估模型性能。
5. 模型优化：根据验证结果，调整模型参数，优化模型性能。
6. 预测与分析：使用优化后的模型对未来的销售数据进行预测，并分析预测结果。
五、实验结果与分析1. 模型选择与训练本实验选取了线性回归、决策树、随机森林、神经网络等模型进行预测。
经过交叉验证，随机森林模型的预测效果最佳，其均方误差（MSE）为0.095，R²值为0.95。
2. 特征重要性分析通过分析特征重要性，发现以下因素对销售数据影响较大：- 产品类别：不同产品类别的销售情况存在显著差异。
- 价格：价格对销售数据的影响较为明显，价格较低的产品销售情况较好。
- 客户地区：不同地区的销售情况存在差异，可能与地区消费习惯、市场竞争等因素有关。
3. 预测结果分析使用优化后的随机森林模型对未来的销售数据进行预测，预测结果如下：- 预测销售额：未来3个月销售额预计为1000万元。
数学模型在销售预测中的应用
数学模型在销售预测中的应用销售预测是企业决策制定的重要组成部分，企业需要根据市场需求和自身资源来预测销售额并进行生产和营销计划。
如何精确地进行销售预测是企业发展的关键之一。
数学模型可以帮助企业进行销售预测，在决策制定、资源配置、风险控制等方面发挥着重要作用。
销售预测模型的类型在销售预测中，常用的模型包括时间序列模型、回归模型、神经网络模型等。
其中最为常见的是时间序列模型，该模型可以对未来一段时间内的销售量进行预测。
在将时间序列模型应用于销售预测中时，需要根据历史销售数据来对模型进行训练。
通过对历史数据的分析，可以确定不同时间段内销售量的分布规律，并根据规律进行预测。
回归模型则是根据市场和消费者的需求来预测销售量。
该模型需要进行数据的收集和建模，然后进行拟合和预测。
现代企业的销售预测常常会使用多个回归模型，针对不同的销售渠道和产品类型，以提高预测精确度。
神经网络模型则是根据数据进行建模，通过模拟人类的神经网络来预测销售量。
神经网络模型通常对数据要求更高，在训练和预测时需要更多的时间和计算资源。
数学模型的优势将数学模型应用于销售预测中，具有以下优势：提高预测精确度：数学模型可以对历史数据进行精确的分析，从而预测未来销售量的分布规律。
通过对模型进行不断训练和优化，可使预测精确度得到不断提高。
降低决策风险：数学模型可以帮助企业从更加科学的角度对市场和消费者的需求进行分析，较好地预测未来的市场变化趋势。
这有助于企业在生产和营销决策时降低风险，避免损失。
提升资源配置效率：数学模型可以通过数据来识别分析企业的市场和消费者需求。
根据预测结果，企业可以合理配置资源，将资源优先投入到有潜力的市场或产品上，从而提高资源利用效率，做到事半功倍。
应用现状与趋势目前，数学模型在企业销售预测中已经得到了广泛应用。
围绕销售预测的软件工具也越来越多。
例如，SAS销售预测分析软件、SAP销售预测软件、IBM Cognos销售预测软件等。
数学建模报告电子商务平台销售数据分析与预测
数模论文论文题目: 电子商务平台销售数据分析与预测题号 A作者电子商务平台销售数据分析与预测摘要：对电子商务平台销售数据分析与预测要建立在数据的基础上,但世界工厂分析认为,现在不是缺数据，而是数据太多。
据统计，在今天的互联网上，每秒会产生几百万次的搜索、网络上会有几十万次的内容。
稍大的电子商务公司，都会采集一些行为数据,这些数据中包含了大量对市场分析,预测有用的潜在信息，对这些信息进行深度分析，企业可以改进电子商务网站的质量并且可以提高电子商务的经营效率。
论文以购买历史数据为预测客户行为的基础数据,采用神经网络,马尔可夫链方法为建模工具,对电子商务的客户访问行为、商品销售预测等问题进行了研究。
本论文的主要工作如下：1．分析每个店铺的销售特点（包括价格，服务态度，售后服务,产品质量，优惠,日常管理等店铺政策）和其销售量的关系,可用雷达图法进行分析，建立最大利润函数模型。
2．利用效用函数对所搜集到商品信息进行数学模型,但仅仅按照两种商品进行建立,需要进一步的扩展。
３。
利用MＡTＬAB 统计中的命令rｅgreｓs求解。
将回归系数的估计值带入模型中，即可预测未来两年的销售总额。
正文：问题一：搜集同一款手机（三星note3)销量前20位的店铺相关信息,把这些信息与销售量进行相关性分析,并据此对店铺如何提高销售量提出建议。
分别到京东商城,国美，苏宁,亚马逊,淘宝等相关网站了解相关的店铺的信息得到销售量前20位的店铺.分析每个店铺的销售特点（包括价格,服务态度,售后服务，产品质量，优惠,日常管理等店铺政策)和其销售量的关系。
分析用户的购买情况同等重要。
(此雷达图摘自百度文库）利用条形图进行不同的店铺之间的对比，饼状图同店铺不同要素之间的影响进行对比分析。
对每一个影响因素建立最大利润函数模型f（x）=ａx2＋bｘ＋c,每一种因素分别对应ｘ1，x2.。
.。
.．。
.得到图形,利用图形对店铺进行销售建议.问题二:针对某一种类的商品（比如女式凉鞋），搜集50组店铺对应的商品信息（至少涵盖销量、价格、用户评价、品牌、样式、材质等信息),并据此建立数学模型分析用户的消费习惯。
数学建模用灰色系统预测未来的销售量
在市场经济条件下,影响药品市场销售量的因素很多，如何准确预测药品销售量，对药品生产厂家来说尤为重要。
没有确切的预测数字，药品生产数量不足，会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果生产过剩，一时销售不出去，造成药品积压占用流动资金，影响资金周转，也会造成经济损失。
因此，掌握一个较为准确的预测药品销售量的方法是很重要的。
常见的定量化预测方法，大多是应用“趋势外推”的思想，当历史资料较少而预测的时间跨度又较长时，往往遇到困难。
灰色系统预测模型-GM （1，1），近年来的应用实践表明，这种预测方法有较好的准确性和适应性。
根据2012年的各个月各个销售点的需求量来预测2013年的各个销售点的月需求量问题。
模型建立假设原始数据是：0(1)(2)......()x x x n 、希望的到观测值令 00(1)(2)......x n x n ++、、令101()()ki x k x i ==∑（k=2,3,...,n),称为原始数据的一次累加生成序列。
不难理解，非负序列经多次累加后的生成数列将表现出良好的指数增长特性。
由微积分学知道，一个随时间按指数规律变化的连续变量1()y x t =可以看作下列微分方程dyay b dx+= （1） 的解： 对该方程求解,将时间t 离散化，得： 1(1)[(1)]akb bx k x eaa-+=-+（2） 由的定义求原函数列的公式为： 011(1)(1)()x k x k x k +=+- （3）取k ≥n 的正整数，即可得所求预测值0(1),(2),........x n x n ++。
上述（1）、（2）、（3）构成所谓GM （1,1）预测模型。
模型中参数a 、b 由最小二乘法原理求得：1()T T a A A A B b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（4）其中1111111[(1)(2)]121[(2)(3)]12............1[(1)()]12x x x x A x n x n ⎛⎫-+ ⎪⎪⎪-+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭000(2)(3)........()x x B x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由（4）式求得a 、b 后，带入（2）式算出再由（3）式便可算出所求的预测值。
2023数学建模国赛a题详解
2023数学建模国赛a题详解2023数学建模国赛A题要求我们通过研究某公司的数据集，分析并预测销售额的变化规律。
本文将详细解析解题思路和方法，并进行具体的数据分析和预测。
1. 问题描述与分析我们首先需要详细了解题目描述和所给的数据集。
根据题目要求，我们已经得知某公司的销售数据集包括了过去几年的销售额数据，每个季度为一个数据点。
我们的目标是利用这些数据进行分析和预测，找出销售额的变化规律，并给出未来一段时间内的销售额预测。
2. 数据处理与可视化在进行数据分析之前，我们首先需要对所给的数据进行处理和可视化。
我们可以借助Python编程语言中的数据分析库，如NumPy和Pandas，对数据进行导入和处理。
然后，我们可以使用Matplotlib或Seaborn等库来绘制可视化图表，以更好地理解数据的分布和趋势。
3. 数据分析与模型建立在对数据进行可视化之后，我们可以开始进行数据分析和模型建立。
根据经验，销售额的变化往往受多个因素的影响，比如季节性变化、市场需求、竞争压力等等。
我们可以通过构建适当的数学模型来描述这些因素与销售额之间的关系，并进行参数估计和模型验证。
以季节性变化为例，我们可以使用时间序列分析方法，如ARIMA模型或季节性指数平滑方法，来捕捉销售额随季节变化的规律。
此外，我们还可以考虑使用回归分析或神经网络等方法，以探索销售额与其他因素之间的复杂关系。
4. 模型评估与预测在模型建立之后，我们需要对模型进行评估和预测。
我们可以使用历史数据的一部分来验证模型的拟合效果，比较模型预测值与真实值的差异。
如果模型表现良好，则可以将其应用于未来一段时间内的销售额预测。
在进行预测时，我们应该注意模型的置信区间和误差范围。
销售额的预测结果往往是一个区间范围，而不是一个确定的数值。
这是由于预测中存在不确定性和随机性因素的影响。
我们可以使用Bootstrap方法或蒙特卡洛模拟等方法，来估计销售额的置信区间和误差范围。
数学建模 汽车销量预测
数学建模汽车销量预测在当今汽车市场竞争越来越激烈的时代，汽车销量成为衡量企业实力的重要指标之一。
因此，汽车销量预测成为汽车企业必须要面对的一个问题。
在这个问题中，数学建模将会是一种非常好的方法来解决这个预测问题。
在数学建模中，需要从多方面的角度来考虑汽车销量预测，其中包括以下几点：1.市场历史数据分析了解汽车市场的历史数据可以为汽车销量预测提供非常有价值的基础数据。
这些数据可能包括销售数量、价格、销售地区、汽车供应链等等。
通过对这些历史数据进行分析，可以发现某些趋势和模式，从而为汽车销量预测提供参考。
2.消费者心理分析消费者心理分析可以帮助企业更好地了解消费者的想法和消费动态。
例如，年轻人可能更喜欢酷炫的车型和高科技配置，而家庭用户可能更注重车内空间和舒适性。
通过研究消费者需求，可以更准确地预测汽车销售量。
3.经济环境分析经济环境是影响汽车销量的一个重要因素。
例如，通货膨胀、利率变化、人口流动等都可能对汽车销量造成影响。
因此，在汽车销量预测中，必须充分考虑当前的经济环境因素。
在汽车市场上，竞争环境也是一个非常重要的因素。
通过研究竞争对手的产品定位、价格、推广等信息，可以更好地预测销量。
此外，也可以通过在市场上进行调研，了解消费者的购买意愿和竞争对手的销售情况来预测销量。
5.数学建模最后，将以上四个方面的因素结合起来，通过数学建模来预测汽车销量。
数学建模是一种利用数学工具来分析和解决实际问题的方法，而在汽车销量预测中，可以采用统计分析、时间序列分析、回归分析等方法来进行建模。
在进行数学建模时，需要注意各个因素之间的影响关系，避免偏差和误差，提高预测的准确性。
此外，也需要不断对模型进行验证和更新，以保证预测的效果。
综上所述，在汽车销量预测中，数学建模是一种非常有用的工具。
通过分析多个方面的因素，并利用数学建模来处理和预测数据，可以帮助企业更好地掌握汽车市场的动态，从而更好地制定销售策略和计划，提高市场竞争力。
销售额预测模板
销售额预测模板1. 背景销售额预测是企业管理中的重要环节之一，它可以帮助企业制定合理的销售计划、优化资源配置，并为决策提供支持。
销售额预测模板是一种工具，可以根据历史数据和市场趋势，预测未来一段时间内的销售额。
2. 预测模型销售额预测模板基于数据分析和统计模型，通过对历史销售数据、市场趋势、产品特性等进行分析，建立数学模型来预测未来的销售额。
常用的销售额预测模型包括时间序列模型、线性回归模型和机器研究模型等。
2.1 时间序列模型时间序列模型基于时间的变化规律进行预测，常用的时间序列模型有移动平均模型、指数平滑模型和ARIMA模型等。
这些模型可以捕捉销售额在时间上的变化趋势和季节性变动，从而进行准确的销售额预测。
2.2 线性回归模型线性回归模型基于自变量与因变量之间的线性关系进行预测，可以通过建立多元线性回归模型来预测销售额。
在建模过程中，需要选择适当的自变量，如市场规模、广告投入、产品价格等，以提高预测的准确性。
2.3 机器研究模型机器研究模型是一种通过训练算法和样本数据来研究销售额预测模型的方法。
常用的机器研究算法包括决策树、支持向量机和神经网络等。
这些算法可以通过对大量样本数据的研究，发现销售额预测的规律和模式，从而进行准确的预测。
3. 使用方法销售额预测模板的使用方法如下：1. 收集历史销售数据：从企业的销售系统中获取过去一段时间内的销售数据。
2. 确定预测的时间范围：根据需要预测的时间段，确定预测模型的时间跨度。
3. 选择合适的模型：根据数据的特点和要求，选择适合的预测模型，如时间序列模型、线性回归模型或机器研究模型等。
4. 建立预测模型：使用历史销售数据和选定的模型，建立销售额预测模型。
5. 验证和调整模型：通过对历史数据和实际销售情况进行比较，验证和调整预测模型的准确性和可靠性。
6. 进行销售额预测：根据建立的模型，进行未来一段时间内的销售额预测。
7. 分析和应用预测结果：对预测结果进行分析，制定合理的销售计划和决策，并对资源进行合理配置。
数学建模试卷参考答案
数学建模试卷参考答案数学建模试卷参考答案数学建模试卷是一种常见的考试形式，旨在考察学生在实际问题中运用数学知识进行建模和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一份数学建模试卷的参考答案，并对其中的一些问题进行详细解析，希望能够帮助读者更好地理解数学建模的思路和方法。
第一题：某公司的销售额数据如下，请根据给定数据绘制销售额变化折线图，并分析销售额的趋势。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出销售额变化的折线图。
通过观察折线图，我们可以发现销售额在前三个月呈现上升趋势，然后在第四个月达到峰值后开始下降。
这可能是由于季节性因素或市场竞争加剧导致的。
从整体趋势来看，销售额呈现出一个先增长后下降的趋势。
第二题：某城市的人口数量在过去十年中呈现如下变化，请根据给定数据绘制人口数量变化柱状图，并分析人口增长的原因。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出人口数量变化的柱状图。
通过观察柱状图，我们可以发现在过去十年中，该城市的人口数量呈现稳步增长的趋势。
人口增长的原因可能有多种，比如经济发展带来的就业机会增加，吸引了更多的外来人口；或者是政府实施的人口政策鼓励生育等。
需要进一步的数据和研究才能得出更准确的结论。
第三题：某地区的温度数据如下，请根据给定数据绘制温度变化曲线图，并分析温度的季节性变化。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出温度变化的曲线图。
通过观察曲线图，我们可以发现温度呈现出明显的季节性变化。
在春季和夏季，温度逐渐升高，达到峰值；而在秋季和冬季，温度逐渐下降，达到最低点。
这种季节性变化可能是由于地球自转轨道和倾斜角度的变化导致的。
第四题：某公司的产品销量数据如下，请根据给定数据绘制产品销量变化饼图，并分析各产品销量的占比。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出产品销量变化的饼图。
通过观察饼图，我们可以发现各产品销量的占比。
比如产品A的销量占总销量的30%，产品B的销量占总销量的40%，产品C的销量占总销量的20%等。
数学建模全部实验报告
一、实验目的1. 掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
2. 提高数学建模能力，培养创新思维和团队合作精神。
3. 熟练运用数学软件进行数据分析、建模和求解。
二、实验内容本次实验选取了以下三个题目进行建模：1. 题目一：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量，表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
2. 题目二：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），某公司计划招聘一批新员工，要求男女比例分别为1:1，甲系女生比例60%，乙系女生比例40%，丙系女生比例30%。
请为公司制定招聘计划。
3. 题目三：研究某市居民出行方式选择问题，收集了以下数据：居民年龄、收入、职业、出行距离、出行时间、出行频率等。
请建立模型分析居民出行方式选择的影响因素。
三、实验步骤1. 问题分析：对每个题目进行分析，明确问题背景、目标和所需求解的数学模型。
2. 模型假设：根据问题分析，对实际情况进行简化，提出合适的模型假设。
3. 模型构建：根据模型假设，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。
4. 模型求解：运用数学软件（如MATLAB、Python等）进行模型求解，得到结果。
5. 结果分析与解释：对求解结果进行分析，解释模型的有效性和局限性。
四、实验报告1. 题目一：线性回归模型（1）问题分析：利用线性回归模型预测公司销售量，分析行业销售额对销售量的影响。
（2）模型假设：假设公司销售量与行业销售额之间存在线性关系。
（3）模型构建：根据数据，建立线性回归模型y = β0 + β1x + ε，其中y为公司销售量，x为行业销售额，β0、β1为回归系数，ε为误差项。
（4）模型求解：运用MATLAB软件进行线性回归分析，得到回归系数β0、β1。
（5）结果分析与解释：根据模型结果，分析行业销售额对销售量的影响程度，并提出相应的建议。
2. 题目二：招聘计划模型（1）问题分析：根据男女比例要求，制定招聘计划，确保男女比例均衡。
全国大学生数学建模优秀论文 B题：产品销量预测
承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：队员签名：1.2.3.日期：年月_日编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注B 题 产品销量预测摘要产品销量预测问题是当前世界上所有企业最关心的问题之一。
企业若想长期生存发展，就必须做销量预测。
本文对产品的销量及其影响因素进行了讨论。
对于问题一，鉴于比例系数未知，给出比例系数为每一产品在单位时间内平均吸引k 个顾客，使其购买k 个该产品这一假设，建立Malthus 模型，预测出0t 时刻的产品销量0()x t 。
分析得Malthus 模型所得结果只与实际销售量在初始阶段的增长情况比较符合，不宜用于销售量的中、长期预测。
对于问题二，结合问题一并假设一个消费者仅购买一种该产品。
此时问题可理解为在某时刻t 时，产品销量的增长率既与到时刻t 为止的已经购买该种产品消费者数目)(t x 成正比，也与尚未购买该产品的潜在消费者数目)(t x N 成正比。
建立Logistic 模型，预测出0t 时的产品销量0()x t 。
分析得，产品销售情形与此模型非常相似，特别在销售后期更加吻合。
对于问题三，根据产品生命周期理论，结合龚柏兹曲线，运用三段对数和法，建立模型，预测出市场容量N 。
对于问题四，考虑到影响产品销量的因素有广告、企业竞争、产品竞争、消费者的购买能力、国家的经济水平等。
结合本文，选取广告、企业竞争、产品竞争三个因素分别建立独家销售的广告模型、竞争销售的广告模型、同类产品的竞争模型来预测0t 时的产品销量0()x t 。
销售额预测分析报告
销售额预测分析报告在当今竞争激烈的市场环境中，准确预测销售额对于企业的决策制定、资源规划和战略布局具有至关重要的意义。
本报告旨在对销售额进行深入的预测分析，为企业的未来发展提供有价值的参考依据。
一、销售数据收集与整理为了进行准确的销售额预测，首先需要收集和整理大量的历史销售数据。
这些数据应涵盖不同的时间段、产品线、销售渠道和地区等多个维度。
通过对这些数据的详细分析，可以发现销售的趋势、季节性波动、周期性变化以及与其他因素之间的潜在关系。
在收集数据的过程中，确保数据的准确性和完整性是至关重要的。
任何数据的缺失或错误都可能导致预测结果的偏差。
经过对数据的初步筛选和清理，将其按照时间顺序进行排列，并对异常值进行识别和处理。
二、市场趋势分析对市场趋势的深入了解是销售额预测的重要基础。
通过对行业报告、市场调研数据以及宏观经济指标的研究，可以把握市场的整体发展方向。
例如，经济增长、消费者信心指数、行业竞争格局的变化等因素都会对销售额产生影响。
近年来，随着科技的迅速发展和消费者需求的不断变化，某些行业呈现出快速增长的趋势，而另一些行业则面临着市场饱和和竞争加剧的压力。
对于我们所关注的产品或服务，需要具体分析其在市场中的地位和发展潜力。
三、销售渠道评估不同的销售渠道在销售额贡献方面可能存在显著差异。
线上销售、线下零售、批发、代理等渠道各自具有特点和优势。
对各个渠道的销售数据进行单独分析，可以了解它们的增长趋势、市场份额以及对整体销售额的影响程度。
以线上销售渠道为例，随着电子商务的普及，其销售额呈现出持续增长的态势。
但同时，也面临着物流配送、客户服务等方面的挑战。
而线下零售渠道虽然受到一定冲击，但在某些地区和产品类别中仍然具有不可替代的作用。
四、产品与服务分析产品或服务的特性、生命周期阶段以及市场需求的变化都会对销售额产生直接影响。
新产品的推出通常会带来新的销售增长点，但也需要一定的市场培育期。
成熟产品的销售额可能相对稳定，但需要关注市场竞争和消费者偏好的变化，以避免销售额的下滑。
第6章 企业销售额问题
第六章 6.4.2 模型的建立与求解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Matlab数学建模案例分析
图6- 5 散点拟合图
第六章
Matlab数学建模案例分析
图6- 6 直线拟合图 公司销售额与行业销售额之间满足以下直线方程：
yt 0.176xt 1.455
第六章 6.5 问题二 6.5.1 模型的分析
Matlab数学建模案例分析
et
t 2
0.120120 0.7113 0.16887
0.120120 DW 21 0.5773 0.16887
第六章 6.6 问题三
Matlab数学建模案例分析
第六章 DW检验程序如下：
Matlab数学建模案例分析
% DW模型优化后的程序： clc,clear,close all y=[20.96;21.40;21.96;21.52;22.39;22.76; 23.48;23.66;24.10;24.01;24.54;24.30;25 .00;25.64;26.36;26.98;27.52;27.78;28.2 4;28.78]; y1=y(2:20,1); y2=y(1:19,1); y3=y1-0.71133*y2; x=[127.3;130.0;132.7;129.4;135.0;137.1; 141.2;142.8;145.5;145.3;148.3;146.4;15 0.2;153.1;157.3; 160.7;164.2;165.6;168.7;171.7]; x1=x(2:20,1); x2=x(1:19,1); x3=x1-0.71133*x2; a=ones(19,1); y4=y3-0.173*x3+0.263*a % 残差
数学建模-新产品销量
数学建模-新产品销量预测问题销量预测问题一、 摘要本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。
模型由简单到复杂、由理想到现实，逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了广告费用对销售量产生的影响，建立比较符合现实的模型。
问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。
问题二中，产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx 与该产品的潜在容量)(t x N -成正比，故建立阻滞增长模型求解。
问题三中，则考虑了广告费用对产品销量的影响，分析了广告费用与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了Matlab 软件编程求解。
二、 问题提出一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。
如何采取有效措施，使得产品销量大，获取更大的利润，这是每个经营者最为关注的问题。
1、设t 时刻产品销量的增长率dxdt 与)(t x 成正比, 预测t 时的产品销量()t x ；2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt dx与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测t 时的产品销量()t x ；3、试考虑影响产品销量的广告因素，并建立模型，预测t 时的产品销量()t x .三、 模型假设与符号系统模型假设：模型基本假设：；假设1：在考虑影响商品销售的因素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政治干预等；假设2：产品的销售量符合产品的生命周期；假设3：产品为日常用品，不是耐用品，每个人都需要。
符号系统：x(t) 为t 时刻新产品的销售量a 为每件新产品的宣传效率N 为市场的销售容量b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数s(t) 为商品t 时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不是总销售量)M(t) 为t 时刻的广告费用θ 为销售量本身的衰减系数∂ 为广告宣传对销售速率的影响T 为商品销售速率最大的时刻四、 模型的建立与求解问题一模型的建立与求解：模型的建立：t 时刻时，新产品的销售量为x （t ），把x （t ）当做连续、可微函数处理。
数学建模报告公司的销售额预测
公司的销售额预测一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型.二、问题分析与假设销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值.表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.定义与符号说明t x 行业销售额 t y 公司销售额 ˆt y公司销售额的估计值三、模型建立与求解一、基本统计回归模型建立以行业销售额t x 为自变量、以公司销售额t y 为因变量的散点图,其中1,220t =图1 t y 对t x 的散点图从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型01t t t y x ββε=++,t ε为随机误差 ()1 假设t ε与t x 是相互独立的,且t ε服从均值为零的正态分布.由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.参数 参数估计值 置信区间0β -1.45475 [-1.90465 -1.00485] 1β0.176283[0.173248 0.179318]21R = 14888F = 0.00000p =表2 模型()1的计算结果将参数估计值代入()1得到,ˆ 1.454750.176283t t y x =-+ ()2由表2知21R =,t y 几乎处处可由()2确定.用Matlab 作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的Export 下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2.图2 回归分析中的交互式画面二、自相关性的判别我们可以看到模型()2的拟合度很高(21R =),即可认为t y 可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对t 独立的基本假设.现在我们考虑如下模型：011t t tt t t y x u ββεερε-=++=+ ()3其中ρ是自相关系数,1ρ≤,t u 相互独立且服从均值为0的正态分布.模型()3中,若0ρ=,则退化为普通的回归模型;若0ρ>,则随机误差t ε存在正的自相关;若0ρ<,则随机误差t ε存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.D W -检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型()2得到的残差,计算DW 统计量如下：21221()ntt t ntt e eDW e-==-=∑∑ ()4其中n 是观察值个数,残差ˆt t t e y y=-为随机误差项的估计值.当n 较大时, 122121nt t t nt t e e DW e -==⎡⎤⎢⎥⎢⎥≈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()5而()5式的右端1221nt t t ntt e ee-==∑∑正是自相关系数ρ的估计值ˆρ,于是 ˆ2(1)DW ρ≈- ()6 由于ˆ11ρ-≤≤,所以04DW ≤≤,并且若ˆρ在0附近时,则DW 在2附近,t ε的自相关性很弱(或不存在自相关性);若ˆρ在1±附近时,则DW 在0或4附近,t ε的自相关性很强. 要根据DW 的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样本容量和回归变量数目,查D W -分布表,得到检验的临界L d 和U d ,然后由表3中DW 所三、加入自相关后的模型根据()4式可计算出0.73465DW =,对于显著性水平0.01,20,1n q α===,查D W -分布表,得到检验的临界值0.95L d =和 1.15U d =,现在L DW d <,由表3可以认为随机误差存在正自相关,且ρ的估计值可由()6式得ˆ0.63268ρ=. 作变换,'1t t t y y y ρ-=-,'1t t t x x x ρ-=-, ()7则模型()3化为''''01t t t y x u ββ=++,其中()'001ββρ=-,'11ββ= ()8 以ρ的估计值代入()7式作变换,利用变换后的数据't y 、't x 估计模型()8的参数,得到对模型()8也做一次自相关检验,即诊断随机误差t u 是否还存在自相关,从模型()8的残差可计算出 1.65199DW =,对于显著性水平0.01,1q α==以及19n =时,检验的临界值为0.93, 1.13L U d d ==,故4U U d DW d <<-,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换()7得到的回归模型()8是适用的.最后,将模型()8中的't y 和't x 还原为原始变量t y 和t x ,得到结果为：11ˆ0.391410.632680.173740.10992t t t t yy x x --=-++- ()9 四、结果分析与预测从机理上看,对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据,加入自相关的模型()9更为合理,而且在本例中,衡量与实际数据拟合程序的指标——剩余标准差从模型()2的0.081减少到0.0671.当用模型()9对公司的销售额t y 作预测时,先估计未来的全行业销售额t x ,比如,设t=21时,t x =174.1,容易由模型()9得到ˆt y=29.1860.四 、模型的评价一、模型的优点经D W -检验认为普通回归模型()1的随机误差存在自相关,由()4,()7式估计出自相关系数ρ后,采用变换()8的方法得到模型()9,成称为广义差分法.这种方法消除了原模型随机误差的自相关性,得到的()9式是一阶自相关模型.二、模型的缺点D W -检验和广义差分法在经济数据建模中有着广泛的应用,但是也存在着明显的不足：若DW 的数值落在无法确定自相关性的区间,则只能设法增加数据量,或选用其他方法;如果原始数据序列存在高阶自相关性,则需要反复使用D W -检验和广义差分,直至判定不存在自相关为止.另外,D W -分布表中数据容量n 的下限是15.参考文献[1] 徐金明,张孟喜,丁涛,《MATLAB 实用教程》,北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2005.7(2007.8重印).[2]. 姜启源,谢金星、叶俊,《数学模型(第四版)》,北京:高等教育出版社,20011.1(2012.5重印).附录1.散点图的程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;plot(x,y,'*')2.模型(1)的计算程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;x=[ones(20,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)输出结果:b =-1.454750041396340.176282811457384bint =-1.90465420468789 -1.004845878104790.173247525367995 0.179318097546773r =-0.0260518571286674-0.06201544806360460.02202096100146280.1637542388108240.0465704946494760.04637659058897010.043617063613695-0.058435434718124-0.0943990256530576-0.149142463361581-0.147990897733738-0.0530535559647056-0.02292823950276460.1058516072708220.08546379914980310.1061022401947010.02911240009385810.0423164640535205-0.0441602514643726-0.0330086858365206rint =-0.195385871759251 0.143282157501916-0.231871886037631 0.107840989910421-0.152853753861225 0.196895675864150.0131634673388031 0.314345010282846-0.128820728276878 0.22196171757583-0.130374632908482 0.223127814086423-0.135221944162416 0.222456071389806-0.236666572408848 0.119795702972601-0.26910531130757 0.0803072600014548-0.313617420748614 0.0153324940254506-0.31288219186159 0.0169003963941133-0.232314787682902 0.126207675753491-0.203701178032592 0.157844699027063-0.0664228030147936 0.278126017556437-0.0879446576592735 0.25887225595888-0.0620923905849254 0.274296870974328-0.144034956949209 0.202259757136925-0.128748679311955 0.213381607418996-0.211614739705066 0.123294236776321-0.197152337494454 0.131134965821413stats =Columns 1 through 30.998792444207198 14888.1435565111 1.01315527327091e-027Column 40.007405683407079543. 散点图的交互式程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;rstool(x,y,'linear')4.模型(2)的残差x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;for i=1:1:20z(i)=-1.45475+0.17628*x(i);e(i)=y(i)-z(i);endze输出结果:z =Columns 1 through 320.985694 21.46165 21.937606Columns 4 through 621.355882 22.34305 22.713238Columns 7 through 923.435986 23.718034 24.19399Columns 10 through 1224.158734 24.687574 24.352642Columns 13 through 1525.022506 25.533718 26.274094Columns 16 through 1826.873446 27.490426 27.737218Columns 19 through 2028.283686 28.812526e =Columns 1 through 3-0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.0223940000000056 Columns 4 through 60.164118000000002 0.0469500000000025 0.0467620000000046 Columns 7 through 90.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998 Columns 10 through 12-0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987 Columns 13 through 15-0.0225059999999964 0.106282000000004 0.0859059999999978 Columns 16 through 180.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025 Columns 19 through 20-0.0436859999999974 -0.03252599999999365.计算DW和e =[-0.0256939999999979-0.06165000000000020.02239400000000560.1641180000000020.04695000000000250.04676200000000460.0440140000000042-0.0580339999999993-0.093989999999998-0.148733999999997-0.147574000000002-0.0526419999999987-0.02250599999999640.1062820000000040.08590599999999780.1065540000000030.02957400000000380.0427820000000025-0.0436859999999974-0.0325259999999936];s=0;for t=2:1:20s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:20m=m+e(i)^2;endDW=s/mp=1-1/2*DW输出结果:DW =0.734645539224993p =0.6326772303875036.模型(3)中的数据变换x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;p=0.63268for t=1:1:19y1(t)=y(t+1)-p*y(t);x1(t)=x(t+1)-p*x(t);endy1x1输出结果:p =0.63268y1 =Columns 1 through 38.1390272 8.420648 7.6263472Columns 4 through 68.7747264 8.5942948 9.0802032Columns 7 through 98.8046736 9.1307912 8.762412Columns 10 through 129.3493532 8.7740328 9.625876 Columns 13 through 159.823 10.1380848 10.3025552 Columns 16 through 1810.4502936 10.3686464 10.6641496 Column 1910.9131168x1 =Columns 1 through 349.459836 50.4516 45.443364 Columns 4 through 653.131208 51.6882 54.459572 Columns 7 through 953.465584 55.153296 53.24506 Columns 10 through 1256.371596 52.573556 57.575648 Columns 13 through 1558.071464 60.436692 61.179436 Columns 16 through 1862.528324 61.713944 63.928192 Column 1964.9668847.模型(3)的计算结果y1 =[8.13902728.4206487.62634728.77472648.59429489.08020328.80467369.13079128.7624129.34935328.77403289.6258769.82310.138084810.302555210.450293610.368646410.664149610.9131168];x1 =[49.45983650.451645.44336453.13120851.688254.45957253.46558455.15329653.2450656.37159652.57355657.57564858.07146460.43669261.17943662.52832461.71394463.92819264.966884];x2=[ones(19,1),x1];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x2)输出结果:b =-0.3914137287916260.173739484728835bint =-0.743959505289538 -0.0388679522937137 0.167481672152938 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1910.89593642616e =Columns 1 through 3-0.0627147066400013 0.0465970159999998 0.122427138639998 Columns 4 through 6-0.0648796779199987 0.00539693200000002 0.00980716071999943 Columns 7 through 9-0.0930269641599999 -0.0601324470399991 -0.0969747244000008 Columns 10 through 12-0.0532******* 0.0313131805599998 0.0140929164799992 Columns 13 through 150.125073844640001 0.0292239319199989 0.0646499893599994 Columns 16 through 18-0.0219674117599986 0.0378757694399994 -0.0513244780799997 Column 190.01718037384000059.求模型(3)的DW值e =[-0.06271470664000130.04659701599999980.122427138639998-0.06487967791999870.005396932000000020.00980716071999943-0.0930269641599999-0.0601324470399991-0.0969747244000008-0.0532*******0.03131318055999980.01409291647999920.1250738446400010.02922393191999890.0646499893599994-0.02196741175999860.0378757694399994-0.05132447807999970.0171803738400005];s=0;for t=2:1:19s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:19m=m+e(i)^2;endDW=s/m输出结果:DW =1.6519922652328。
数学建模预测案例
数学建模预测案例《数学建模预测案例：神奇的“数字魔法”》嘿，你有没有想过，就像拥有一个能预见未来的魔法水晶球一样，数学建模也可以搞预测呢！这可不是瞎忽悠的事儿。
我有个朋友小明，他在一家电商公司上班。
那公司啊，有一大堆关于销售的数据，什么不同商品的销量啊，每个月的销售额变化啊，多得像一团乱麻。
这时候，数学建模就像超级英雄登场啦。
小明跟他的团队就开始鼓捣数学建模，想预测下一个季度的销售情况。
他们首先得找各种数据之间的关系。
比如说，就像在一个复杂的拼图里找到那些关键的小块一样。
他们发现商品的价格和销量之间有个很有趣的联系。
就拿那种时尚的T恤举例吧，价格要是定高了，销量蹭蹭地往下降，就像高温下的雪人，化得特别快。
可要是价格合适呢，那销量啊，就像火箭发射一样，噌地就上去了。
然后他们用各种数学公式来构建模型。
这模型可复杂了，就像是一个超级精密的机器，每个小齿轮都得转得恰到好处。
他们把各种影响销售的因素，像季节、流行趋势、促销活动都放进去啦。
再说说我另一个朋友小美在的环保组织。
他们想用数学建模预测城市的空气质量。
这可不像电商销售数据那么直观。
小美他们就像是侦探一样，找各种线索。
比如说，汽车的排放量、周围工厂的运行情况、还有天气因素。
他们把这些的数据收集起来，然后建立模型。
这就好比盖房子，一块砖一块砖地把模型搭建起来。
然后发现，只要到了冬季，空气质量就特别容易变差，就像人在冬天更容易感冒似的。
这时候呢，如果能控制住那些工厂的排放量，就像给城市穿了一层防护服，空气质量就能好不少呢。
从这些案例来看，数学建模预测真的特别有用啊。
它能让企业提前做好准备，像是在暴风雨来临前把船帆调整好。
也能让环保组织制定策略，像给混乱的交通指挥一样，规划好改善环境的步骤。
我就觉得啊，数学建模预测就像是一把神奇的钥匙，能打开未来那扇神秘的大门，让我们不管是在商业还是环保等多个领域，充满信心地朝着正确的方向大步前进，真的是非常了不起啊。
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公司的销售额预测一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型.二、问题分析与假设销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值.表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.定义与符号说明t x 行业销售额 t y 公司销售额 ˆt y公司销售额的估计值三、模型建立与求解一、基本统计回归模型建立以行业销售额t x 为自变量、以公司销售额t y 为因变量的散点图,其中1,220t =图1 t y 对t x 的散点图从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型01t t t y x ββε=++,t ε为随机误差 ()1 假设t ε与t x 是相互独立的,且t ε服从均值为零的正态分布.由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.参数 参数估计值 置信区间0β -1.45475 [-1.90465 -1.00485] 1β0.176283[0.173248 0.179318]21R = 14888F = 0.00000p =表2 模型()1的计算结果将参数估计值代入()1得到,ˆ 1.454750.176283t t y x =-+ ()2由表2知21R =,t y 几乎处处可由()2确定.用Matlab 作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的Export 下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2.图2 回归分析中的交互式画面二、自相关性的判别我们可以看到模型()2的拟合度很高(21R =),即可认为t y 可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对t 独立的基本假设.现在我们考虑如下模型：011t t tt t t y x u ββεερε-=++=+ ()3其中ρ是自相关系数,1ρ≤,t u 相互独立且服从均值为0的正态分布.模型()3中,若0ρ=,则退化为普通的回归模型;若0ρ>,则随机误差t ε存在正的自相关;若0ρ<,则随机误差t ε存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.D W -检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型()2得到的残差,计算DW 统计量如下：21221()ntt t ntt e eDW e-==-=∑∑ ()4其中n 是观察值个数,残差ˆt t t e y y=-为随机误差项的估计值.当n 较大时, 122121nt t t nt t e e DW e -==⎡⎤⎢⎥⎢⎥≈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()5而()5式的右端1221nt t t ntt e ee-==∑∑正是自相关系数ρ的估计值ˆρ,于是 ˆ2(1)DW ρ≈- ()6 由于ˆ11ρ-≤≤,所以04DW ≤≤,并且若ˆρ在0附近时,则DW 在2附近,t ε的自相关性很弱(或不存在自相关性);若ˆρ在1±附近时,则DW 在0或4附近,t ε的自相关性很强. 要根据DW 的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样本容量和回归变量数目,查D W -分布表,得到检验的临界L d 和U d ,然后由表3中DW 所三、加入自相关后的模型根据()4式可计算出0.73465DW =,对于显著性水平0.01,20,1n q α===,查D W -分布表,得到检验的临界值0.95L d =和 1.15U d =,现在L DW d <,由表3可以认为随机误差存在正自相关,且ρ的估计值可由()6式得ˆ0.63268ρ=. 作变换,'1t t t y y y ρ-=-,'1t t t x x x ρ-=-, ()7则模型()3化为''''01t t t y x u ββ=++,其中()'001ββρ=-,'11ββ= ()8 以ρ的估计值代入()7式作变换,利用变换后的数据't y 、't x 估计模型()8的参数,得到对模型()8也做一次自相关检验,即诊断随机误差t u 是否还存在自相关,从模型()8的残差可计算出 1.65199DW =,对于显著性水平0.01,1q α==以及19n =时,检验的临界值为0.93, 1.13L U d d ==,故4U U d DW d <<-,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换()7得到的回归模型()8是适用的.最后,将模型()8中的't y 和't x 还原为原始变量t y 和t x ,得到结果为：11ˆ0.391410.632680.173740.10992t t t t yy x x --=-++- ()9 四、结果分析与预测从机理上看,对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据,加入自相关的模型()9更为合理,而且在本例中,衡量与实际数据拟合程序的指标——剩余标准差从模型()2的0.081减少到0.0671.当用模型()9对公司的销售额t y 作预测时,先估计未来的全行业销售额t x ,比如,设t=21时,t x =174.1,容易由模型()9得到ˆt y=29.1860.四 、模型的评价一、模型的优点经D W -检验认为普通回归模型()1的随机误差存在自相关,由()4,()7式估计出自相关系数ρ后,采用变换()8的方法得到模型()9,成称为广义差分法.这种方法消除了原模型随机误差的自相关性,得到的()9式是一阶自相关模型.二、模型的缺点D W -检验和广义差分法在经济数据建模中有着广泛的应用,但是也存在着明显的不足：若DW 的数值落在无法确定自相关性的区间,则只能设法增加数据量,或选用其他方法;如果原始数据序列存在高阶自相关性,则需要反复使用D W -检验和广义差分,直至判定不存在自相关为止.另外,D W -分布表中数据容量n 的下限是15.参考文献[1] 徐金明,张孟喜,丁涛,《MATLAB 实用教程》,北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2005.7(2007.8重印).[2]. 姜启源,谢金星、叶俊,《数学模型(第四版)》,北京:高等教育出版社,20011.1(2012.5重印).附录1.散点图的程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;plot(x,y,'*')2.模型(1)的计算程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;x=[ones(20,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)输出结果:b =-1.454750041396340.176282811457384bint =-1.90465420468789 -1.004845878104790.173247525367995 0.179318097546773r =-0.0260518571286674-0.06201544806360460.02202096100146280.1637542388108240.0465704946494760.04637659058897010.043617063613695-0.058435434718124-0.0943990256530576-0.149142463361581-0.147990897733738-0.0530535559647056-0.02292823950276460.1058516072708220.08546379914980310.1061022401947010.02911240009385810.0423164640535205-0.0441602514643726-0.0330086858365206rint =-0.195385871759251 0.143282157501916-0.231871886037631 0.107840989910421-0.152853753861225 0.196895675864150.0131634673388031 0.314345010282846-0.128820728276878 0.22196171757583-0.130374632908482 0.223127814086423-0.135221944162416 0.222456071389806-0.236666572408848 0.119795702972601-0.26910531130757 0.0803072600014548-0.313617420748614 0.0153324940254506-0.31288219186159 0.0169003963941133-0.232314787682902 0.126207675753491-0.203701178032592 0.157844699027063-0.0664228030147936 0.278126017556437-0.0879446576592735 0.25887225595888-0.0620923905849254 0.274296870974328-0.144034956949209 0.202259757136925-0.128748679311955 0.213381607418996-0.211614739705066 0.123294236776321-0.197152337494454 0.131134965821413stats =Columns 1 through 30.998792444207198 14888.1435565111 1.01315527327091e-027Column 40.007405683407079543. 散点图的交互式程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;rstool(x,y,'linear')4.模型(2)的残差x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;for i=1:1:20z(i)=-1.45475+0.17628*x(i);e(i)=y(i)-z(i);endze输出结果:z =Columns 1 through 320.985694 21.46165 21.937606Columns 4 through 621.355882 22.34305 22.713238Columns 7 through 923.435986 23.718034 24.19399Columns 10 through 1224.158734 24.687574 24.352642Columns 13 through 1525.022506 25.533718 26.274094Columns 16 through 1826.873446 27.490426 27.737218Columns 19 through 2028.283686 28.812526e =Columns 1 through 3-0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.0223940000000056 Columns 4 through 60.164118000000002 0.0469500000000025 0.0467620000000046 Columns 7 through 90.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998 Columns 10 through 12-0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987 Columns 13 through 15-0.0225059999999964 0.106282000000004 0.0859059999999978 Columns 16 through 180.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025 Columns 19 through 20-0.0436859999999974 -0.03252599999999365.计算DW和e =[-0.0256939999999979-0.06165000000000020.02239400000000560.1641180000000020.04695000000000250.04676200000000460.0440140000000042-0.0580339999999993-0.093989999999998-0.148733999999997-0.147574000000002-0.0526419999999987-0.02250599999999640.1062820000000040.08590599999999780.1065540000000030.02957400000000380.0427820000000025-0.0436859999999974-0.0325259999999936];s=0;for t=2:1:20s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:20m=m+e(i)^2;endDW=s/mp=1-1/2*DW输出结果:DW =0.734645539224993p =0.6326772303875036.模型(3)中的数据变换x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;p=0.63268for t=1:1:19y1(t)=y(t+1)-p*y(t);x1(t)=x(t+1)-p*x(t);endy1x1输出结果:p =0.63268y1 =Columns 1 through 38.1390272 8.420648 7.6263472Columns 4 through 68.7747264 8.5942948 9.0802032Columns 7 through 98.8046736 9.1307912 8.762412Columns 10 through 129.3493532 8.7740328 9.625876 Columns 13 through 159.823 10.1380848 10.3025552 Columns 16 through 1810.4502936 10.3686464 10.6641496 Column 1910.9131168x1 =Columns 1 through 349.459836 50.4516 45.443364 Columns 4 through 653.131208 51.6882 54.459572 Columns 7 through 953.465584 55.153296 53.24506 Columns 10 through 1256.371596 52.573556 57.575648 Columns 13 through 1558.071464 60.436692 61.179436 Columns 16 through 1862.528324 61.713944 63.928192 Column 1964.9668847.模型(3)的计算结果y1 =[8.13902728.4206487.62634728.77472648.59429489.08020328.80467369.13079128.7624129.34935328.77403289.6258769.82310.138084810.302555210.450293610.368646410.664149610.9131168];x1 =[49.45983650.451645.44336453.13120851.688254.45957253.46558455.15329653.2450656.37159652.57355657.57564858.07146460.43669261.17943662.52832461.71394463.92819264.966884];x2=[ones(19,1),x1];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x2)输出结果:b =-0.3914137287916260.173739484728835bint =-0.743959505289538 -0.0388679522937137 0.167481672152938 0.179997297304732 r =-0.06268549262106760.04662674104632460.122454283086727-0.06484857214893940.005427294230647920.00983895095872533-0.0929956860946302-0.060100299345299-0.0969435599642878-0.05320511359044030.03134399898906540.01412631234283520.1251074959825240.02925880199630980.0646852421508761-0.02193146392603220.0379112976474367-0.05128780893441840.0172175781936197-0.194112737017012 0.0687417517748767-0.0885336593085636 0.1817871414012130.0161292648746043 0.228779301298849-0.201462271956211 0.0717651276583323-0.133792997199822 0.144647585661118-0.131797031575754 0.151474933493204-0.225302669864897 0.0393112976756366-0.1985101568317 0.0783095581411017-0.228268383451548 0.0343812635229727-0.192519727444524 0.0861095002636433-0.107973506382257 0.170661504360388-0.127481451736758 0.155734076422428-0.000122557504840748 0.250337549469889-0.109224013348295 0.167741617340915-0.0693312030770827 0.198701687378835-0.157373208239308 0.113510280387243-0.0980543981169386 0.173876993411812-0.181348373667138 0.0787727557983009-0.112564188002673 0.146999344389912stats =Columns 1 through 30.995069834050953 3431.159******** 4.68398711682588e-021 Column 40.004508149250504388.模型(3)的残量clear;y1 =[8.13902728.4206487.62634728.77472648.59429489.08020328.80467369.13079128.7624129.34935328.77403289.6258769.82310.138084810.302555210.450293610.368646410.664149610.9131168];x1 =[49.45983650.451645.44336453.13120851.688254.45957253.46558455.15329656.37159652.57355657.57564858.07146460.43669261.17943662.52832461.71394463.92819264.966884];for i=1:1:19z(i)=-0.39141+0.17374*x1(i);e(i)=y1(i)-z(i);endze输出结果:z =Columns 1 through 38.20174190664 8.374050984 7.50392006136Columns 4 through 68.83960607792 8.588897868 9.07039603928Columns 7 through 98.89770056416 9.19092364704 8.8593867244Columns 10 through 129.40259108904 8.74271961944 9.61178308352Columns 13 through 159.69792615536 10.10886086808 10.23790521064Columns 16 through 1810.47226101176 10.33077063056 10.71547407808Column 1910.89593642616e =Columns 1 through 3-0.0627147066400013 0.0465970159999998 0.122427138639998 Columns 4 through 6-0.0648796779199987 0.00539693200000002 0.00980716071999943 Columns 7 through 9-0.0930269641599999 -0.0601324470399991 -0.0969747244000008 Columns 10 through 12-0.0532******* 0.0313131805599998 0.0140929164799992 Columns 13 through 150.125073844640001 0.0292239319199989 0.0646499893599994 Columns 16 through 18-0.0219674117599986 0.0378757694399994 -0.0513244780799997 Column 190.01718037384000059.求模型(3)的DW值e =[-0.06271470664000130.04659701599999980.122427138639998-0.06487967791999870.005396932000000020.00980716071999943-0.0930269641599999-0.0601324470399991-0.0969747244000008-0.0532*******0.03131318055999980.01409291647999920.1250738446400010.02922393191999890.0646499893599994-0.02196741175999860.0378757694399994-0.05132447807999970.0171803738400005];s=0;for t=2:1:19s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:19m=m+e(i)^2;endDW=s/m输出结果:DW =1.6519922652328。