数学建模实例ppt课件

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案例1:一位女士每天摄入2500cal食物,1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗),并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼,其他的热量转变为身体 的脂肪(设10000cal可转换成1kg脂肪)。星期天 晚上,该女士的体重是57.1526kg,星期四那天她 饱餐了一顿,共摄入了3500cal的食物,要求建立 一个通过时间预测体重的数学模型,并用它估计: (1)星期六该女士的体重? (2)为了不增重,每天她最多的摄入量是多少? (3)若不进食,N周后她的体重是多少?
则 W (t) 81.25 24.0974e0.0016t
W (3) 57.26799kg
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(2)当3 t 4 时,每天体重的变化:
dW (3500 1200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为:
W
(t)
143.75
C e0.0016t 2
初始条件为:W (3) 57.26799,代入解出
微分方程模型
一、微分方程建模简介 二、微分方程模型 三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
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一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具,在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式: 净变化率=输入率-输出率(守恒原理)
由已知,T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解:
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29,代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
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建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程,如: 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律,
C2 86.89812
则 W (t) 81.25 86.89812e0.0016t
W (4) 57.40625kg
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(2)当t 4 时,食物的摄入量恢复正常
dW (2500 1200) 16W
dt
10000Βιβλιοθήκη Baidu
积分后可求得其通解为:
W
(t
)
81.25
C e0.0016t 3
初始条件为:W (4) 57.40625,代入解出
△t →0,即得到 dW 的表达式.
dt
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3、配备物理单位: 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位.
4、确定条件: 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述,应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
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二、微分方程案例分析
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引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体,测得尸体温度是 29oC,当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC,若人体的正常温度是37oC,估计死者 的死亡时间。
解:设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度;k 为比例系数。由牛顿冷却定律,得
则通解为
dT dt k(T T0 )
T Cekt 21 3
转换成脂肪量=1300 – 16W(cal)
3、体重的变化/天=
W t
(千克/天) dW
t0 dt
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1、翻译或转化: 2、配备物理单位: 3、建立表达式: 4、确定条件:
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单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的,而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出,考虑单位 的匹配,利用
1kg cal 10000
C3 23.9968
则 W (t) 81.25 23.9968e0.0016t
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最后得到不同阶段的微分方程是:
81.25 24.0974e0.0016t ,
W
(t
)
143.75
86.8981e0.0016t
,
81.25 23.9968e0.0016t ,
0t 3 3t 4 t4
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二、微分方程模型
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化:
在实际问题中许多表示导数的常用词,如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中),
“衰变”(在放射性问题中),以及“边际的”(在经
济学中)等.
2、建立瞬时表达式:
根据自变量有微小改变△t时,因变量的增
量△W,建立起在时段△t上的增量表达式,令
现回答上述问题
(1)t 6 代入对应方程,求得
W (6) 57.48247kg
(2)要满足体重不增,即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914=2114cal
(3)由于每天不摄取能量,所以
dW dt
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1、翻译或转化: 2、配备物理单位: 3、建立表达式: 4、确定条件:
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1、“每天”:体重的变化=输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收;输出是进行健身训练时的消耗.
2、上述陈述更好的表示结构式: 取天为计时单位,记W(t)为t天时体重(kg),则: 每天的净吸收量=2500 – 1200 =1300(cal) 每天的净输出量=16(cal)×W=16W(cal)
如牛顿第二定律,放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程. 2、利用微元分析方法建模
根据已知的规律或定理,通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法,如:
在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清 楚,而且现象也相当复杂,因而需根据实际资料或大量的实验 数据,提出各种假设,在一定的假设下,给出实际现象所满足 的规律,然后利用适当的数学方法得出微分方程。
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1、翻译或转化: 2、配备物理单位: 3、建立表达式: 4、确定条件:
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建立表达式
(1)当0 t 3 时,每天体重的变化:
dW (25001200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为:
W
(t)
81.25
C e0.0016t 1
初始条件为:W0 57.1526 ,代入解出 C1 24.0974
0.0016W
解得 W (t) W (0)e0.0016t 57.1526e0.0016t
因此,n周后的体重为W (7n) 57.1526e0.0011687n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片,科学家们把它们带 到实验室,作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24%,此人生活在多少年 前?
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