数学建模实例ppt课件
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案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体 的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天 晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她 饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立 一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？
则 W (t) 81.25 24.0974e0.0016t
W (3) 57.26799kg
14
（2）当3 t 4 时，每天体重的变化：
dW (3500 1200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W
(t)
143.75
C e0.0016t 2
初始条件为：W (3) 57.26799，代入解出
微分方程模型
一、微分方程建模简介 二、微分方程模型 三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
1
一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具，在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式： 净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
C2 86.89812
则 W (t) 81.25 86.89812e0.0016t
W (4) 57.40625kg
15
（2）当t 4 时，食物的摄入量恢复正常
dW (2500 1200) 16W
dt
10000Βιβλιοθήκη Baidu
积分后可求得其通解为：
W
(t
)
81.25
C e0.0016t 3
初始条件为：W (4) 57.40625，代入解出
△t →0，即得到 dW 的表达式．
dt
6
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
7
二、微分方程案例分析
2
引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
dT dt k(T T0 )
T Cekt 21 3
转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
3、体重的变化／天＝
W t
(千克／天) dW
t0 dt
10
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
11
单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位 的匹配，利用
1kg cal 10000
C3 23.9968
则 W (t) 81.25 23.9968e0.0016t
16
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e0.0016t ,
W
(t
)
143.75
86.8981e0.0016t
,
81.25 23.9968e0.0016t ,
0t 3 3t 4 t4
17
5
二、微分方程模型
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化：
在实际问题中许多表示导数的常用词，如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，
“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经
济学中)等．
2、建立瞬时表达式：
根据自变量有微小改变△t时，因变量的增
量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
（3）由于每天不摄取能量，所以
dW dt
8
解
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
9
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)
如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程． 2、利用微元分析方法建模
根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如：
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
12
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
13
建立表达式
（1）当0 t 3 时，每天体重的变化：
dW (25001200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W
(t)
81.25
C e0.0016t 1
初始条件为：W0 57.1526 ，代入解出 C1 24.0974
0.0016W
解得 W (t) W (0)e0.0016t 57.1526e0.0016t
因此，n周后的体重为W (7n) 57.1526e0.0011687n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带 到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年 前？
则 W (t) 81.25 24.0974e0.0016t
W (3) 57.26799kg
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（2）当3 t 4 时，每天体重的变化：
dW (3500 1200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W
(t)
143.75
C e0.0016t 2
初始条件为：W (3) 57.26799，代入解出
微分方程模型
一、微分方程建模简介 二、微分方程模型 三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
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一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具，在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式： 净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
C2 86.89812
则 W (t) 81.25 86.89812e0.0016t
W (4) 57.40625kg
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（2）当t 4 时，食物的摄入量恢复正常
dW (2500 1200) 16W
dt
10000Βιβλιοθήκη Baidu
积分后可求得其通解为：
W
(t
)
81.25
C e0.0016t 3
初始条件为：W (4) 57.40625，代入解出
△t →0，即得到 dW 的表达式．
dt
6
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
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二、微分方程案例分析
2
引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
dT dt k(T T0 )
T Cekt 21 3
转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
3、体重的变化／天＝
W t
(千克／天) dW
t0 dt
10
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
11
单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位 的匹配，利用
1kg cal 10000
C3 23.9968
则 W (t) 81.25 23.9968e0.0016t
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最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e0.0016t ,
W
(t
)
143.75
86.8981e0.0016t
,
81.25 23.9968e0.0016t ,
0t 3 3t 4 t4
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二、微分方程模型
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化：
在实际问题中许多表示导数的常用词，如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，
“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经
济学中)等．
2、建立瞬时表达式：
根据自变量有微小改变△t时，因变量的增
量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
（3）由于每天不摄取能量，所以
dW dt
8
解
1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
9
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)
如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程． 2、利用微元分析方法建模
根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如：
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
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1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：
13
建立表达式
（1）当0 t 3 时，每天体重的变化：
dW (25001200) 16W
dt
10000
积分后可求得其通解为：
W
(t)
81.25
C e0.0016t 1
初始条件为：W0 57.1526 ，代入解出 C1 24.0974
0.0016W
解得 W (t) W (0)e0.0016t 57.1526e0.0016t
因此，n周后的体重为W (7n) 57.1526e0.0011687n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带 到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年 前？