概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支,它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。
在实际应用中,概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布:离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质,以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征:均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质,以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布:线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法:随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质:样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计•点估计的概念和方法:矩估计、最大似然估计等。
•点估计的性质:无偏性、有效性、一致性等。
•置信区间的定义和计算方法。
3.3 假设检验•假设检验的基本步骤:建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。
•假设检验的错误和功效:第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。
•常见假设检验方法:正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结:1.随机事件:随机事件是指在一次试验中,可能发生也可能不发生的事件。
例如:掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率:概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1],表示事件发生的可能性大小,0表示不可能发生,1表示一定会发生。
3.古典概型:古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如:掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量:随机变量是用来描述试验结果的数值,它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如:掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布:随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布,如二项分布、正态分布等。
6. 期望值:期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量,期望值=E[X]=∑[xP(X=x)];对于连续型随机变量,期望值=E[X]=∫[x f(x)dx],其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差:方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性:两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结:1.样本与总体:在统计学中,样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量:参数是描述总体特征的数值,如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值,用来估计总体参数。
3.抽样方法:抽样方法是从总体中选取样本的方法,常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布:统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等,其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计:点估计是以样本统计量为基础,估计总体参数的数值。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ,指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件,指当且仅当 A ,B 中至少有一个发生时,事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件,指当A,B 同时发生时,事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件,指当且仅当 A 发生、B 不发生时,事件 A — B 发生A B ,则称事件 A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件 A 与事件 B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的A B S A B ,则称事件 A 与事件 B 互为逆事件,又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2.运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A (B C)(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数,比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率:设E是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1.概率P( A)满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件 A 0 P( A) 1(2)规范性:对于必然事件S P (S) 11(3)可列可加性:设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,有nn nP A k ) P( A) ( (n可kk 1 k 1以取)2.概率的一些重要性质:(i )P( ) 0(ii )若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,则有n Pn n( (n可以取)A k ) P( A )kk 1 k 1(iii )设A,B 是两个事件若 A B ,则P(B A) P( B) P( A) ,P( B) P(A) (iv)对于任意事件A,P(A) 1(v)P( A) 1 P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件,即{e i } {e } {e }A ,里1 i i k] 2,k是,中某个不同的数,则有i1 i 2, ,i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5.条件概率(1)定义:设A,B 是两个事件,且P( A) 0 ,称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支,主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件:指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率:用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型:指随机试验中,所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型:指随机试验中,基本事件的可能性不完全相等,与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量:定义在样本空间上的函数,用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量:取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量:取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望:反映随机变量平均取值的数值。
- 方差:反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律:指在独立重复试验中,随着试验次数增加,事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理:指在独立随机变量之和的情况下,当随机变量数目趋于无穷时,这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样:指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布:指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计:根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间:对于总体参数估计的一个区间估计,用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验:用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性:基于样本数据,对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析:用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析:通过观察变量之间的关系,建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表:将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象2、样本空间:随机现象的一切可能基本结果组成的集合,记为Ω={ω},其中ω表示基本结果,又称为样本点。
3、随机事件:随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件,∅表示不可能事件.4、随机变量:用来表示随机现象结果的变量,常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种:(1)用集合表示,这是最基本形式(2)用准确的语言表示(3)用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系(1)包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B,即事件 A 发生必然导致事件B发生,则称A被包含于B,记为A⊂B;(2)相等关系:若A⊂B且B⊃A,则称事件A与事件B相等,记为A=B。
(3)互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算(1)事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2)事件A与B的交:事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3)事件A对B的差:事件A发生而事件B不发生,记为 A-B。
用交并补可以表示为。
(4)对立事件:事件A的对立事件(逆事件),即“A不发生”,记为.对立事件的性质:。
8、事件运算性质:设A,B,C为事件,则有(1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA(2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC(4)棣莫弗公式(对偶法则):9、事件域:含有必然事件Ω,并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域,又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足:(1)Ω∈ξ;(2)若A∈ξ,则对立事件∈ξ;(3)若A n∈ξ,n=1,2,···,则可列并ξ。
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概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科,它在众多领域都有着广泛的应用,如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率(一)随机事件随机事件是指在一定条件下,可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
(二)样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合,通常用Ω表示。
(三)事件的关系与运算1、包含关系:若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B 包含事件 A,记作 A⊂B。
2、相等关系:若 A⊂B 且 B⊂A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作A = B。
3、并事件:事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件,记作 A∪B。
4、交事件:事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件,记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件:若事件 A 与事件 B 不能同时发生,则称 A 与 B 为互斥事件,即 AB =∅。
6、对立事件:若事件 A 与事件 B 满足 A∪B =Ω 且 AB =∅,则称 A 与 B 为对立事件,记作 B =A。
(四)概率的定义与性质1、概率的古典定义:若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件,且每个基本事件发生的可能性相等,则事件 A 的概率为 P(A) =n(A) /n(Ω) ,其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数,n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义:在大量重复试验中,事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近,则称 p 为事件 A 的概率,即 P(A) = p 。
3、概率的公理化定义:设随机试验的样本空间为Ω,对于Ω中的每一个事件 A,都赋予一个实数 P(A),如果满足以下三个条件:(1)非负性:0 ≤ P(A) ≤ 1 ;(2)规范性:P(Ω) = 1 ;(3)可列可加性:对于两两互斥的事件 A1,A2,,有P(A1∪A2∪)= P(A1) + P(A2) +,则称 P(A) 为事件 A 的概率。
概率论与数理统计各章重点知识整理
概率论与数理统计各章重点知识整理 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,.六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意:Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法: (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ~N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w+---μμ~t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式:
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x),求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时,FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时, FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为:
f
( x,
y)
概率论与数理统计知识点总结
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
… …… … 。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立,且 ,则有
若事件 、 相互独立,则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:
。
显然分布律应满足下列条件:
(1) , , (2) 。
(2)连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有
, ,
其中 、 为常数,则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 。
具有如下性质:
1° 的图形是关于 对称的;
2°当 时, 为最大值;
若 ,则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为
, ,
分布函数为
。
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支,它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点:一、概率论:1.概率的基本概念:随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理:条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式:全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布:随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布:随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布:二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计:1.统计数据的描述:数据的集中趋势度量(均值、中位数、众数)、数据的离散程度度量(极差、方差、标准差)、数据的分布形态度量(偏度、峰度)等。
2.参数估计:点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验:假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布:正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析:方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程:1.随机过程的基本概念与性质:随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链:马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述:概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类:齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论1.随机试验和样本空间:随机试验是具有不确定性的试验,其结果有多个可能的取值。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2.事件及其运算:事件是样本空间中满足一定条件的结果的集合。
事件之间可以进行并、交、补等运算。
3.概率的定义和性质:概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率具有非负性、规范性和可列可加性等性质。
4.条件概率和独立性:条件概率是在已知一事件发生的条件下,另一事件发生的概率。
事件独立表示两个事件之间的发生没有相互关系。
5.全概率公式和贝叶斯公式:全概率公式是一种计算事件概率的方法,将事件分解成互斥的多个事件的概率之和。
贝叶斯公式是一种用于更新事件概率的方法。
6.随机变量和分布函数:随机变量是样本空间到实数集的映射,用来描述试验结果的数值特征。
分布函数是随机变量取值在一点及其左侧的概率。
7.常用概率分布:常见的概率分布包括离散型分布(如二项分布、泊松分布)和连续型分布(如正态分布、指数分布)。
8.数学期望和方差:数学期望是随机变量的平均值,用于描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量离均值的平均距离,用于描述随机变量的分散程度。
二、数理统计1.统计量和抽样分布:统计量是对样本数据进行总结和分析的函数。
抽样分布是统计量的概率分布,用于推断总体参数。
2.估计和点估计:估计是利用样本数据对总体参数进行推断。
点估计是利用样本数据得到总体参数的一个具体数值。
3.估计量的性质和评估方法:估计量的性质包括无偏性、有效性和一致性等。
评估方法包括最大似然估计、矩估计等。
4.区间估计:区间估计是对总体参数进行估计的区间范围。
置信区间是对总体参数真值的一个区间估计。
5.假设检验和检验方法:假设检验是在已知总体参数的条件下,对总体分布做出的统计推断。
检验方法包括参数检验和非参数检验。
6.正态总体的推断:当总体近似服从正态分布时,可以利用正态分布的性质进行推断。
7.方差分析和回归分析:方差分析用于比较两个或多个总体均值是否相等。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)( ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P(v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1.事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =⋃=⋃(2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ (4)B A AB B A B A ⋃==⋃3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP(3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率 6.条件概率(1) 定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4) Bayes 公式: ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ (注意独立性的应用)第二章 随机变量与概率分布1. 离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2. 连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P4. 分布函数 )()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续; (4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>; (5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5. 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有 (1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则)()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6. 随机变量的函数 )(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松定理 0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ〔5〕几何分布 p q k p qk X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量,其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数, 2、分布函数的性质:〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
〔2〕对于连续型随机变量X 来说,它取任一指定实数a 的概率均为零,即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex x t d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布: 〔1〕分布函数法;(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y)()()(〔2〕设随机变量X 具有概率密度f X (x ),又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ,则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f X Y 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数,()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,max ,,min βα 3、 二维连续型随机变量 〔1〕联合分布函数为dudv v u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数 f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度. 其中: 0),(≥y x f ,⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f〔2〕基本二维连续型随机向量分布均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布:+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律:4、 连续型边缘概率密度,),()(dy y x f x f X ⎰∞+∞-= dx y x f y f Y ⎰∞+∞-=),()(F (x ,y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ,Y )是连续型随机变量,f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )分别为(X ,Y )的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ,y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律: 〔3〕条件分布函数:2、连续型随机变量的条件分布 〔1〕条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x Y X du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成, 〔2〕条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布:二项分布:设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p ),则 Z=X+Y 的分布律:Z ~b (n 1+n 2,p ).泊松分布:假设X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
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p k q nk
其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ,
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) .
当 n 1时, P(X k) pk q1k , k 0.1,这就是(0—1)分布,
所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊 松 设随机变量 X 的分布律为
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(完整版)概率论与数理统计知识点总结
A—B,也可表示为 A—AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事
件.
A、B 同时发生:A B,或者 AB。A B=Ø ,则表示 A 与 B 不可能 同时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是
互不相容的.
—A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A .它表 示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
P(A)= (1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
(6)几 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均
1
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何概型 匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域 来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
5° P(X x) F(x) F(x 0) .
对于离散型随机变量, F(x) pk ; xk x x
对于连续型随机变量, F(x) f (x)dx .
概型 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为1 p q ,用
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义:概率是描述事件发生可能性的数字,表示为一个介于0和1之间的数。
2.事件与样本空间:事件是可能发生的结果的集合,样本空间是所有可能结果的集合。
3.事件的运算:事件的运算包括并、交、差等,分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。
4.概率的性质:概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。
二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义:随机变量是一个变量,它的值由随机事件决定。
2.离散随机变量:离散随机变量只能取有限或可数个值,其概率表示为离散概率分布函数。
3.连续随机变量:连续随机变量可以取任意实数值,其概率表示为概率密度函数。
4.分布函数:分布函数描述随机变量的概率分布情况,包括累积分布函数和概率质量函数。
三、常见概率分布1.离散分布:包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.连续分布:包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。
3.其他分布:包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。
四、抽样与统计推断1.抽样:抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法,常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
2.统计推断:通过从样本中获得的数据,对总体做出有关参数的推断。
包括点估计和区间估计两种方法。
3.假设检验:通过对样本数据的统计量进行计算,判断总体参数是否满足其中一种假设。
包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。
五、回归分析与相关分析1.回归分析:研究两个或多个变量之间关系的统计方法,包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。
2.相关分析:研究两个变量之间相关性的统计方法,常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理:根据先验概率和条件概率,计算后验概率的统计方法。
2.贝叶斯推断:根据贝叶斯定理以及样本数据,推断参数的后验分布。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)())(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk knk kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P (v ))(1)(A P A P -=(逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计知识点
概率论与数理统计知识点概率论和数理统计是数学中的两个重要分支,研究随机现象的规律性和推断问题的方法。
概率论主要研究随机事件的概率及其计算方法,数理统计则是利用概率论的理论和方法,通过对数据进行收集、处理和分析,从中得到有关总体的参数估计和假设检验结果。
本文将介绍一些常见的概率论与数理统计的知识点。
一、随机事件与概率1. 随机事件的定义:随机事件指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件与不可能事件:必然事件是指在每次试验中一定发生的事件,而不可能事件则是指在每次试验中一定不会发生的事件。
3. 事件的运算:事件的运算包括并、交、补三种基本运算,分别表示两个事件的并集、交集以及一个事件的补集。
4. 概率的定义与性质:概率是度量随机事件发生可能性的数值,其范围介于0和1之间。
对于任意一个事件,其概率不小于0且不大于1,且必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。
二、概率分布1. 离散型随机变量及其概率分布:离散型随机变量的取值是可以数出来的,其概率分布由概率质量函数(Probability Mass Function,简称PMF)给出。
2. 连续型随机变量及其概率分布:连续型随机变量的取值是连续的,其概率分布由概率密度函数(Probability Density Function,简称PDF)给出。
3. 常见概率分布:- 二项分布:描述了一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
- 正态分布:也称为高斯分布,是最重要的概率分布之一,常用于自然科学和社会科学的统计分析。
- 泊松分布:用于描述在一段固定时间或空间内事件发生的次数的概率分布。
- 指数分布:用于描述连续时间上事件发生的间隔时间的概率分布。
- t分布:用于小样本情况下对总体均值的推断。
三、参数估计1. 点估计与区间估计:参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本数据直接估计出总体参数的取值,而区间估计是通过样本数据给出总体参数的一个区间估计范围。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件:一个事件是随机的,如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间:所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率:事件发生的可能性的度量,满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率:在另一个事件发生的条件下,一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理:描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件:两个事件A和B是独立的,如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件:两个事件A和B是互斥的,如果它们不能同时发生,即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量:将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量:取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量:可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数:描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数:连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数:随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值:随机变量的长期平均值。
- 方差:衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布:描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布:通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布:给定一个随机变量的值时,另一个随机变量的分布。
- 协方差:衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数:协方差标准化后的值,表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律:随着试验次数的增加,样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理:独立同分布的随机变量之和,在适当的标准化后,其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本:从总体中抽取的一部分个体。
- 总体:研究对象的全体。
- 参数估计:用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计:给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计:给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验:对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平:拒绝正确假设的最大概率。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
p
k
;
对于分布 二项分布
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中,设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
P( A)
(10)加法 公式 (11)减法 公式 (12)条件 概率
L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时,P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称
P(a X b) F (b) F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ;
F ( x) 是单调不减的函数,即 x1 x2 时,有 F ( x1) F ( x2) ;
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 27
(4)分布 函数
设 X 为随机变量, x 是任意实数,则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。
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《概率论与数理统计》第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性:§1.2 概率古典概型公式:P (A )=所含样本点数所含样本点数ΩA实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A :“每个盒子恰有1个球”。
求:P(A)=?Ω所含样本点数:nn n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n nn A P !)(=∴补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求:P(A i )=?Ω所含样本点数:6444443==⋅⋅A 1所含样本点数:24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数: 363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A P A 3所含样本点数:4433=⋅C161644)(3==∴A P注:由概率定义得出的几个性质: 1、0<P (A )<1 2、P(Ω)=1,P(φ) =0§1.3 概率的加法法则定理:设A 、B 是互不相容事件(AB=φ),则: P (A ∪B )=P (A )+P (B ) 推论1:设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容,则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3: P (A )=1-P (A )推论4:若B ⊃A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式):对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律:n n A A A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2121)n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂......2121 §1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式:P(A/B)=)()(B P AB P (P(B)≠0) P(B/A)=)()(A P AB P (P(A)≠0) ∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A )有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。
全概率与逆概率公式:全概率公式:∑==ni i i A B P A P B P 1)/()()(逆概率公式:)()()/(B P B A P B A P i i =),...,2,1(n i =(注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。
)§1.5 独立试验概型事件的独立性:)()()(B P A P AB P B A =⇔相互独立与贝努里公式(n 重贝努里试验概率计算公式):课本P24另两个解题中常用的结论——1、定理:有四对事件:A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ,如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立。
2、公式:)...(1)...(2121n n A A A P A A A P ⋅⋅⋅-=⋃⋃⋃第二章 随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列:⑴确定各种事件,记为ξ写成一行;⑵计算各种事件概率,记为p k 写成第二行。
得到的表即为所求的分布列。
注意:应符合性质—— 1、0≥k p (非负性) 2、1=∑kkp(可加性和规范性)补例1:将一颗骰子连掷2次,以ξ 表示两次所得结果之和,试写出ξ的概率分布。
解:Ω所含样本点数:6×6=36所求分布列为:补例2:一袋中有5只乒乓球,编号1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以ξ表示取出3只球中最大号码,试写出ξ的概率分布。
解:Ω所含样本点数:35C =10 所求分布列为:2、求分布函数F(x):分布函数{}∑≤=≤=xx kk px P x F ξ)(二、关于连续型随机变量的分布问题:∀x ∈R ,如果随机变量ξ的分布函数F (x )可写成F (x )=⎰∞-xdx x )(φ,则ξ为连续型。
)(x φ称概率密度函数。
解题中应该知道的几个关系式:0)(≥x φ ⎰+∞∞-=1)(dx x φ⎰=-=<<=≤≤badxx a F b F b a P b a P )()()(}{}{φξξ第三章 随机变量数字特征一、求离散型随机变量ξ 的数学期望E ξ =?数学期望(均值)∑=kkk p x E ξ二、设ξ 为随机变量,f(x)是普通实函数,则η=f (ξ)也是随机变量,求E η=?以上计算只要求这种离散型的。
补例1:设ξ的概率分布为:求:⑴1-=ξη,2ξη=的概率分布;⑵ηE 。
解:因为所以,所求分布列为: 和:当η=ξ-1时,E η=E (ξ-1)=-2×51+(-1)×101+0×101+1×103+23×103=1/4当η=ξ2时,E η=E ξ2=1×51+0×101+1×101+4×103+425×103=27/8三、求ξ 或η的方差D ξ =? D η=?实用公式ξD =2ξE -ξ2E其中,ξ2E =2)(ξE =2)(∑kk k p x2ξE =∑kk k p x 2补例2:求:E ξ 和D ξ解:ξE =-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2ξE 2=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 ξD =ξE 2-ξ2E =2.8-(-0.2)2=2.76第四章 几种重要的分布常用分布的均值与方差(同志们解题必备速查表..........)解题中经常需要运用的E ξ 和D ξ 的性质(同志们解题必备速查表..........)第八章 参数估计§8.1 估计量的优劣标准(以下可作填空或选择)⑴若总体参数θ的估计量为θˆ,如果对任给的ε>0,有 1}ˆ{lim=<-∞→εθθP n ,则称θˆ是θ的一致估计; ⑵如果满足θθ=)ˆ(E ,则称θˆ是θ的无偏估计; ⑶如果1ˆθ和2ˆθ均是θ的无偏估计,若)ˆ()ˆ(21θθD D <,则称1ˆθ是比2ˆθ有效的估计量。
§8.3 区间估计: 几个术语——1、设总体分布含有一位置参数,若由样本算得的一个统计量)...(ˆ11n ,x ,x θ及)...(ˆ12n ,x ,x θ,对于给定的α(0<α<1)满足: αθθθ-=<<1)}...(ˆ)...(ˆ{1211n n ,x ,x ,x ,x P 则称随机区间(1ˆθ,2ˆθ)是θ的100(1-α)%的置信区间,1ˆθ和2ˆθ称为θ的100(1-α)%的置信下、上限,百分数100(1-α)%称为置信度。
一、求总体期望(均值)E ξ 的置信区间 1、总体方差2σ已知的类型①据α,得)(0αU Φ=1-2α,反查表(课本P260表)得临界值αU ;②x =∑=n i i x n 11 ③求d=nU σα⋅ ④置信区间(x -d ,x +d ) 补简例:设总体)09.0,(~μN X 随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,13.2,求总体均值μ的95%的置信区间。
解:①∵1-α=0.95,α=0.05∴Φ(U α)=1-2α=0.975,反查表得:U α=1.96②∑==+++==4113)2.138.124.136.12(4141i iX X ③∵σ=0.3,n=4 ∴d=nU σα⋅=43.096.1⨯=0.29④所以,总体均值μ的α=0.05的置信区间为:(X -d ,X +d )=(13-0.29,13+0.29)即(12.71,13.29) 2、总体方差2σ未知的类型(这种类型十分重要!务必掌握!!)①据α和自由度n -1(n 为样本容量),查表(课本P262表)得)1(-n t α;②确定x =∑=ni i x n 11和∑=--=n i i x x n s 122)(11 ③求d=nsn t ⋅-)1(α ④置信区间(x -d ,x +d ) 注:无特别声明,一般可保留小数点后两位,下同。
二、求总体方差2σ的置信区间①据α和自由度n -1(n 为样本数),查表得临界值:)1(22-n αχ和)1(221--n αχ ②确定X =∑=ni i x n 11和∑=--=n i i x X n s 122)(11 ③上限)1()1(2212---n s n αχ 下限)1()1(222--n s n αχ④置信区间(下限,上限) 典型例题:补例1:课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布,对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下(单位:kg/cm 2): 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计(α=0.04)。
解:①∵α=0.04,又n=10,自由度n -1=9∴查表得,)1(22-n αχ=)9(202.0χ=19.7)1(221--n αχ=)9(298.0χ=2.53②X =∑=101101i i x =)469...493482(101+++=457.5∑=-=10122)(91i i x X s =91[2)4825.457(-+2)4935.457(-+…+2)4695.457(-]=1240.28③上限)1()1(2212---n s n αχ=)9(9298.02χs =53.228.12409⨯=4412.06下限)1()1(222--n s n αχ=)9(9202.02χs =7.1928.12409⨯=566.63④所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为(566.63,4412.06)第九章 假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路:1、提出待检假设H 02、选择统计量3、据检验水平α,确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型⑵:未知方差2σ,检验总体期望(均值)μ①根据题设条件,提出H 0:μ= 0μ(0μ已知); ②选择统计量)1(~/--=n t ns X T μ;③据α和自由度n -1(n 为样本容量),查表(课本P262表)得)1(-n t α;④由样本值算出X =?和s =?从而得到ns X T /0μ-=;⑤作出判断⎪⎩⎪⎨⎧->-<0000)1()1(H ,n t T H ,n t T 则拒绝若则接受若αα 典型例题:对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查5个,得到爆破压力的数据(公斤/寸2 )为:545,545,530,550,545。