Holling-iv型功能反应函数的脉冲捕食系统定性分析
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关 键词 ： Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ —ｉ ｖ型 ； 脉 冲； 稳定性 ； 持 久性 中图分类 号 ： ＴＢ 文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ３ １ ９ ８ （ ２ Ｏ ｌ ３ ） Ｏ ６ 一 Ｏ １ ７ ６ 一 Ｏ ３
Ｖ ｏ ＝｛ ｙ： Ｒ＋ ×Ｒ ａ Ｒ＋， 在（ 丁， （ ＋ １ ） Ｔ ］ × 脉冲现象作为一种 瞬时突变现象， 在现代科技各领域 非 负 整 数 集 ， 上 连续 ， 且 ｌ ｉ ｍ （ ￡ ， ） 一Ｖ（ Ｔ ＋， ） 存 在） 。 的实际问题中普遍存在 ， 其数学模型往往可归结为滕神微 Ｒ
（ 南京 航 空航 天 大 学理 学 院 ， 江苏 南京 ２ 究了功能反映 函数 为 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ —ｉ ｖ型 的捕食 一食饵 系统， 对其在 脉冲 状 态下 。 利 用脉 冲微 分 方程 的 比较 原 理、 Ｆ ｌ ｏ ｑ ｔ ｌ ｅ ｔ 定理等 ， 分析 了该 系统的解的穗 定性 与 系统的持久性 ， 得 到 了系统稳 定性与持久性 的条件 。
＾． ． ０ ， ‘
泛 函分析 的理论 ， 证 明 此 系 统 周 期 解 的存 在 性 ； 等等 。 本 文 主要 针 对 系统 （ １ ） ， 研 究 在 脉 冲 状 态 下 平 衡 点 的 稳
Ｘ（ Ｏ ＋） ＞Ｏ ， 则 Ｘ（ ￡ ） ＞０ ， 对所有 的 ￡ ≥Ｏ 。
定 性与 系统的持久 性 ：
１ 预 备知 识 为单调不 减的 。如果 ｒ （ ｆ ） 是 下面纯量脉 冲微 分系统 ： 记Ｒ ＋＝［ ０ ， ｏ ｏ ） ， Ｒ ＝｛ ｚ ∈Ｒ 。 ： ≥０ ） ， Ｏ －ｉ ｎ ｔ Ｒ ￣ － ， Ｎ 为
其 中函数 ｇ： Ｒ＋×Ｒ ａ Ｒ＋满 足条 件 （ Ｈ） ， ： Ｒ＋ａ Ｒ＋
Ｎｏ ． ０ ６ ， ２ ０ １ ３
现代商 贸工业 Ｍｏ ｄ ｅ ｒ ｎ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｔ ｒ ａ ｄ ｅ Ｉ ｎ ｄ ｕ ｓ ｔ ｒ ｙ
２ ０ １ ３ 年第 Ｏ ６期
Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ — ｉ ｖ型
功能反应 函数 的脉冲捕 食系统定性分析
刘 丹 丹 曹 荣 美
分 系统 。近年来 ， 脉 冲微分方 程系 统的 研究 不断深 入 ， 已经 定义 １ ． １设 函数 ： Ｒ＋×Ｒ 年ａ Ｒ＋ ， 则 ＶＥＶ ｏ是 指 ； 形成 一套 比较 完 善 的基 本 理 论 。脉 冲 微 分 方 程 主 要 有 三 （ １ ） Ｖ在 （ ｎ Ｔ， （ ＋１ ） 『 ］ ×Ｒ 上 连续 ， 且 ｌ ｉ ｍ 类ｔ 脉 冲发生在 固定 时刻的脉 冲微分 方 程 、 脉 冲发生 在变 时 （ ｔ ， ） ＝ （ Ｔ ＋， ） 存在； 刻 的脉 冲微分 方 程 和脉 冲 自治 微 分 方 程 。在 种 群 的 模 型 （ ２ ） Ｖ 关 于 满 足 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ条 件 。 中， 一般讨 论脉 冲发生在 固定 时刻 的脉 冲微分 方程 ， 丽在讨 并 定 义 Ｖ（ ｔ ， ） 在（ ｎ Ｔ， （ ， ｚ ＋１ ） ７ ＂ － １ ×Ｒ 的 右 上 导数 为 论 的过程 中 ， 一般 都利 用重 合度理 论 、 比较定 理 、 Ｆ ｌ ｏ ｑ ｕ ￣ 乘 １ 子、 中心 流 形 、 泛 函等 来研 究 ， 研 究 具 有 时 滞 比 率 依 赖 的 捕 Ｄ ＋ Ｖ （ ｔ ， ｚ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ ｕ ｐ ÷Ｅ Ｖ （ ｔ ＋ｈ ， ｚ ＋ｈ ｆ （ ｔ ， ） ） －Ｖ （ ｔ ， ） ］ 。 食 一食饵 系统 ， 利用 中心 流形 的方 法研 究 此 系统 在脉 冲 作 引理 １ ． １ 设 Ｘ（ ｆ ） 一（ （ ￡ ） ， （ ｔ ） ） 为系统 （ １ ） 满足初始值 用 下 解 出现 分 支 和 混 沌 的 现 象 ； 本 文 研 究 了 具 有 单 调 功 能 Ｘ（ Ｏ ＋） ≥ Ｏ的 解 ， 则 Ｘ（ ￡ ） ≥０ ， 对 所有 的 ｔ ≥０ ， 进一 步 的 ， 若 性 函数 的时滞 、 脉 冲基于 比率 依赖 的捕 食 一食饵 系统 ， 运 用
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一 ．
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引理 １ ． ２（ 比较 原 理 ） 设 ＶＥＶｏ ， 且
ｆ Ｄ＋ （ ￡ ， Ｘ） ≤ ｇ（ ｔ ， （ ｔ ． Ｘ） ） ， ｆ ≠ Ｔ， Ｉ Ｖ（ ｔ ， Ｘ（ ｔ 十） ） ≤ （ Ｖ（ ｔ ， Ｘ（ ￡ ） ） ） ， ￡ 一 Ｔ ，
ｆ － ａ ｓ ｃ （ １ － ｋ ） 一 ｍ ｘ ｙ Ｉ
｛
一 器 再 一 叫
≠ 丁
（ １ ）
Ｉ
定义 １ ． ２ 系统 （ １ ） 称 为永久持 续 的 ， 是 指存 在常 数 Ｍ ≥ ｍ＞ ０ ， 使 得 ｍ≤ （ ￡ ） ≤Ｍ， ｍ≤ Ｙ （ ￡ ） ≤Ｍ ， 对 所有 的 ｔ 都 成 立， 其中ｚ （ ￡ ） ， （ ） 为系统 （ １ ） 的任 意解 。 注： 设 函数 ｇ ： Ｒ＋×Ｒ ａ Ｒ＋满 足 （ Ｈ） ｇ在 （ ｎ Ｔ， （ ＋１ ） Ｔ］ ×Ｒ 上 连 续 ， 且对 任 意 的 ∈ Ｒ＋ ， １ ｉ ｎＥ Ｎ， ｇ（ ￡ ， ） ＝ｇ （ 丁 ＋， ｚ ） 存 在。
．
ｌ Ｉ Ａ ｘ （ ｔ ？ Ｔ ｚ ￣ ｙ （ ｔ ） 一 户、 Ｉ ｔ ＝ ． ７
其中， △ ｚ （ ￡ ） 一ｚ （ ￡ ＋） －ｘ （ ｔ ） ， ｚ Ｓ ｙ （ ｔ ） 一ｙ （ ｔ ＋） 一 （ ￡ ） ， ｐ ＞０ ， Ｔ
是 脉 冲效 应 的 周 期 ， ， ｚ ∈ｚ ＋。
砖 。启 动 燃 烧 器 应 安装 带 有 自动 安 全 控 制 系 统 来 显 示 在 系 如果 高炉煤气 不 能用 ， 启 动 燃 烧 器 应 安 装 在 热 风 炉 拱 统 操 作 过 程 中 出现 火 焰 熄 灭 或 其 他 情 况 等 。 顶， 消 耗 少 量 的天 然 气 来 保 证 拱 顶 温 度 大 约 １ ０ ０ ０ ＂ Ｃ和 废 气 排 气 系统 ， 包 括 风机 （ Ｆ ） ， 管道 和排 气 阀 （ ６ ）。用 于热 风 炉 温 度 大 约 ２ ０ ０ ℃， 这得需 要风 机 （ Ｂ ） 定 期 的 加 热 和 冷 却 格 子 检修时抽出炉内残留的煤气 。空气管道 由阀ｆ － ｊ （ ３ ７ ａ ） 连接 到风 砖 ， 这能保持热 风炉在工作状 态很长时间 。
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ３ １ ９ ８ （ ２ Ｏ ｌ ３ ） Ｏ ６ 一 Ｏ １ ７ ６ 一 Ｏ ３
Ｖ ｏ ＝｛ ｙ： Ｒ＋ ×Ｒ ａ Ｒ＋， 在（ 丁， （ ＋ １ ） Ｔ ］ × 脉冲现象作为一种 瞬时突变现象， 在现代科技各领域 非 负 整 数 集 ， 上 连续 ， 且 ｌ ｉ ｍ （ ￡ ， ） 一Ｖ（ Ｔ ＋， ） 存 在） 。 的实际问题中普遍存在 ， 其数学模型往往可归结为滕神微 Ｒ
（ 南京 航 空航 天 大 学理 学 院 ， 江苏 南京 ２ 究了功能反映 函数 为 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ —ｉ ｖ型 的捕食 一食饵 系统， 对其在 脉冲 状 态下 。 利 用脉 冲微 分 方程 的 比较 原 理、 Ｆ ｌ ｏ ｑ ｔ ｌ ｅ ｔ 定理等 ， 分析 了该 系统的解的穗 定性 与 系统的持久性 ， 得 到 了系统稳 定性与持久性 的条件 。
＾． ． ０ ， ‘
泛 函分析 的理论 ， 证 明 此 系 统 周 期 解 的存 在 性 ； 等等 。 本 文 主要 针 对 系统 （ １ ） ， 研 究 在 脉 冲 状 态 下 平 衡 点 的 稳
Ｘ（ Ｏ ＋） ＞Ｏ ， 则 Ｘ（ ￡ ） ＞０ ， 对所有 的 ￡ ≥Ｏ 。
定 性与 系统的持久 性 ：
１ 预 备知 识 为单调不 减的 。如果 ｒ （ ｆ ） 是 下面纯量脉 冲微 分系统 ： 记Ｒ ＋＝［ ０ ， ｏ ｏ ） ， Ｒ ＝｛ ｚ ∈Ｒ 。 ： ≥０ ） ， Ｏ －ｉ ｎ ｔ Ｒ ￣ － ， Ｎ 为
其 中函数 ｇ： Ｒ＋×Ｒ ａ Ｒ＋满 足条 件 （ Ｈ） ， ： Ｒ＋ａ Ｒ＋
Ｎｏ ． ０ ６ ， ２ ０ １ ３
现代商 贸工业 Ｍｏ ｄ ｅ ｒ ｎ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｔ ｒ ａ ｄ ｅ Ｉ ｎ ｄ ｕ ｓ ｔ ｒ ｙ
２ ０ １ ３ 年第 Ｏ ６期
Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ — ｉ ｖ型
功能反应 函数 的脉冲捕 食系统定性分析
刘 丹 丹 曹 荣 美
分 系统 。近年来 ， 脉 冲微分方 程系 统的 研究 不断深 入 ， 已经 定义 １ ． １设 函数 ： Ｒ＋×Ｒ 年ａ Ｒ＋ ， 则 ＶＥＶ ｏ是 指 ； 形成 一套 比较 完 善 的基 本 理 论 。脉 冲 微 分 方 程 主 要 有 三 （ １ ） Ｖ在 （ ｎ Ｔ， （ ＋１ ） 『 ］ ×Ｒ 上 连续 ， 且 ｌ ｉ ｍ 类ｔ 脉 冲发生在 固定 时刻的脉 冲微分 方 程 、 脉 冲发生 在变 时 （ ｔ ， ） ＝ （ Ｔ ＋， ） 存在； 刻 的脉 冲微分 方 程 和脉 冲 自治 微 分 方 程 。在 种 群 的 模 型 （ ２ ） Ｖ 关 于 满 足 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ条 件 。 中， 一般讨 论脉 冲发生在 固定 时刻 的脉 冲微分 方程 ， 丽在讨 并 定 义 Ｖ（ ｔ ， ） 在（ ｎ Ｔ， （ ， ｚ ＋１ ） ７ ＂ － １ ×Ｒ 的 右 上 导数 为 论 的过程 中 ， 一般 都利 用重 合度理 论 、 比较定 理 、 Ｆ ｌ ｏ ｑ ｕ ￣ 乘 １ 子、 中心 流 形 、 泛 函等 来研 究 ， 研 究 具 有 时 滞 比 率 依 赖 的 捕 Ｄ ＋ Ｖ （ ｔ ， ｚ ） ＝ｌ ｉ ｍｓ ｕ ｐ ÷Ｅ Ｖ （ ｔ ＋ｈ ， ｚ ＋ｈ ｆ （ ｔ ， ） ） －Ｖ （ ｔ ， ） ］ 。 食 一食饵 系统 ， 利用 中心 流形 的方 法研 究 此 系统 在脉 冲 作 引理 １ ． １ 设 Ｘ（ ｆ ） 一（ （ ￡ ） ， （ ｔ ） ） 为系统 （ １ ） 满足初始值 用 下 解 出现 分 支 和 混 沌 的 现 象 ； 本 文 研 究 了 具 有 单 调 功 能 Ｘ（ Ｏ ＋） ≥ Ｏ的 解 ， 则 Ｘ（ ￡ ） ≥０ ， 对 所有 的 ｔ ≥０ ， 进一 步 的 ， 若 性 函数 的时滞 、 脉 冲基于 比率 依赖 的捕 食 一食饵 系统 ， 运 用
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一 ．
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引理 １ ． ２（ 比较 原 理 ） 设 ＶＥＶｏ ， 且
ｆ Ｄ＋ （ ￡ ， Ｘ） ≤ ｇ（ ｔ ， （ ｔ ． Ｘ） ） ， ｆ ≠ Ｔ， Ｉ Ｖ（ ｔ ， Ｘ（ ｔ 十） ） ≤ （ Ｖ（ ｔ ， Ｘ（ ￡ ） ） ） ， ￡ 一 Ｔ ，
ｆ － ａ ｓ ｃ （ １ － ｋ ） 一 ｍ ｘ ｙ Ｉ
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一 器 再 一 叫
≠ 丁
（ １ ）
Ｉ
定义 １ ． ２ 系统 （ １ ） 称 为永久持 续 的 ， 是 指存 在常 数 Ｍ ≥ ｍ＞ ０ ， 使 得 ｍ≤ （ ￡ ） ≤Ｍ， ｍ≤ Ｙ （ ￡ ） ≤Ｍ ， 对 所有 的 ｔ 都 成 立， 其中ｚ （ ￡ ） ， （ ） 为系统 （ １ ） 的任 意解 。 注： 设 函数 ｇ ： Ｒ＋×Ｒ ａ Ｒ＋满 足 （ Ｈ） ｇ在 （ ｎ Ｔ， （ ＋１ ） Ｔ］ ×Ｒ 上 连 续 ， 且对 任 意 的 ∈ Ｒ＋ ， １ ｉ ｎＥ Ｎ， ｇ（ ￡ ， ） ＝ｇ （ 丁 ＋， ｚ ） 存 在。
．
ｌ Ｉ Ａ ｘ （ ｔ ？ Ｔ ｚ ￣ ｙ （ ｔ ） 一 户、 Ｉ ｔ ＝ ． ７
其中， △ ｚ （ ￡ ） 一ｚ （ ￡ ＋） －ｘ （ ｔ ） ， ｚ Ｓ ｙ （ ｔ ） 一ｙ （ ｔ ＋） 一 （ ￡ ） ， ｐ ＞０ ， Ｔ
是 脉 冲效 应 的 周 期 ， ， ｚ ∈ｚ ＋。
砖 。启 动 燃 烧 器 应 安装 带 有 自动 安 全 控 制 系 统 来 显 示 在 系 如果 高炉煤气 不 能用 ， 启 动 燃 烧 器 应 安 装 在 热 风 炉 拱 统 操 作 过 程 中 出现 火 焰 熄 灭 或 其 他 情 况 等 。 顶， 消 耗 少 量 的天 然 气 来 保 证 拱 顶 温 度 大 约 １ ０ ０ ０ ＂ Ｃ和 废 气 排 气 系统 ， 包 括 风机 （ Ｆ ） ， 管道 和排 气 阀 （ ６ ）。用 于热 风 炉 温 度 大 约 ２ ０ ０ ℃， 这得需 要风 机 （ Ｂ ） 定 期 的 加 热 和 冷 却 格 子 检修时抽出炉内残留的煤气 。空气管道 由阀ｆ － ｊ （ ３ ７ ａ ） 连接 到风 砖 ， 这能保持热 风炉在工作状 态很长时间 。