离散数学-----函数
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离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学 函数部分
一个十分重要的例子。
2020/3/14
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12
三、函数的合成运算
定义 考虑g：A→B，f：B→C是两个函数，则合成 关系f•g是从A到C的函数，记为 f•g：A→C，
称为函数g与f的合成函数。
显然，对任意x∈A，有 f•g(x)＝f(g(x))。
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16
例
例1 设f：R→R,满足： 1）f＝{<x,x2>|x∈R}； 2）f＝{<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1）对任意x∈R，有f(x)＝x2与之对应，所以 f不是单射函数，即f非双射函数，因此f的逆函 数不存在。 2）因f是双射函数，所以f-1存在，且有： f-1＝{<x,x-1>|x∈R}。
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5
例2
设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}，
此时从A到B的不同的关系有24＝16个。分别如下：
R0＝Φ R1＝{<a,1>} R2＝{<a,2>} R3＝{<b,1>}；
R4＝{<b,2>}；R5＝{<a,1>,<b,1>} R6＝{<a,1>,<b,2>}
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10
例2
设An＝{a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集， Bn＝{b1b2b3…bn|bi∈{0,1}}，对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
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三、函数的合成运算
定义 考虑g：A→B，f：B→C是两个函数，则合成 关系f•g是从A到C的函数，记为 f•g：A→C，
称为函数g与f的合成函数。
显然，对任意x∈A，有 f•g(x)＝f(g(x))。
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例
例1 设f：R→R,满足： 1）f＝{<x,x2>|x∈R}； 2）f＝{<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1）对任意x∈R，有f(x)＝x2与之对应，所以 f不是单射函数，即f非双射函数，因此f的逆函 数不存在。 2）因f是双射函数，所以f-1存在，且有： f-1＝{<x,x-1>|x∈R}。
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例2
设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}，
此时从A到B的不同的关系有24＝16个。分别如下：
R0＝Φ R1＝{<a,1>} R2＝{<a,2>} R3＝{<b,1>}；
R4＝{<b,2>}；R5＝{<a,1>,<b,1>} R6＝{<a,1>,<b,2>}
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例2
设An＝{a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集， Bn＝{b1b2b3…bn|bi∈{0,1}}，对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
离散数学第3章 函数
f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
软件学院
第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X
注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
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第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X
注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
离散数学-第八章函数
例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函 数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满 射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是 满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3， f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7
(2) A=[0,1]，B=[1/4,1/2]
令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4. (3) A=Z，B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。 解：F1是函数，F2不是函数。
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
离散数学 函数
f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。
证明：（1）对任意的y∈Y，由f是双射，得f是满 射，所以ran f=Y 故 dom fC=ran f=Y （2）对任意的y∈Y，若存在x1∈X， x2∈X使 <y, x1>∈fC 且 <y, x2>∈fC 则 <x1,y>∈f 且 <x2,y>∈f 由于f是单射，有x1=x2。 由（1）、（2）， fC是YX的函数。
⑵ 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2∈X,
x1≠x2，因f:XY是入射的，f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即g f (x1)≠ g f (x2)
所以g f 也是入射的。
六. 函数的类型
例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
1。 2。
。 a 。 b 。 。 3 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
。 a 。 b 2。 。 c 3。
Rs=Y 一对一
X1
s
Y
函数的类型
1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。 2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。 3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是 入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。 特别地：：Y是单射； ：是双射。
定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。
证明：（1）对任意的y∈Y，由f是双射，得f是满 射，所以ran f=Y 故 dom fC=ran f=Y （2）对任意的y∈Y，若存在x1∈X， x2∈X使 <y, x1>∈fC 且 <y, x2>∈fC 则 <x1,y>∈f 且 <x2,y>∈f 由于f是单射，有x1=x2。 由（1）、（2）， fC是YX的函数。
⑵ 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2∈X,
x1≠x2，因f:XY是入射的，f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即g f (x1)≠ g f (x2)
所以g f 也是入射的。
六. 函数的类型
例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
1。 2。
。 a 。 b 。 。 3 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
。 a 。 b 2。 。 c 3。
Rs=Y 一对一
X1
s
Y
函数的类型
1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。 2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。 3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是 入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。 特别地：：Y是单射； ：是双射。
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学-----函数_图文
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
离散数学第5章_函数
第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A， 有f(a)＝f(a)， 所以 (a， a)∈ρf， 故ρf自反； 任取a， b∈A， 若(a， b)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， 所以 f(b)＝f(a)， 即(b 任取a， b， c∈A， 若(a， b)∈ρf， (b， c)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， f(b)＝f(c) ， 所以 f(a)＝f(c)， 即(a， c)∈ρf； 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf， 由Rf的定义， 有a∈A， 使f(a)＝b， 即有［a］∈A/ρf， 使得 g(［a］)＝f(a)＝b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA＝｛(a， a)|a∈A｝是A 到A的双射， 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f： A→B， 对一切a∈A， 都 有f(a)＝b， b∈B， 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f： A→B， g： C→D， 若 有A＝C、 B＝D且对所有的x∈A， 有f(x)＝g(x)， 则称 函数f和g相等， 记为f＝g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA， 即 BA＝｛f|f： A→B｝
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|＝|B||A| 证明 设|A|＝m， |B|＝n（m， n∈Ｎ）； 又设A＝｛a1， a2， …， am｝。 因为 Df＝A，所以 f＝｛(a1， f(a1))， (a2， f(a2))， …， (am ， f(am))｝。 而每个f(ai)（i∈Ｎm）都有n种可能， {n·n·…·n } ＝n +m个 m个即 |BA|＝|B||A|
离散数学函数概念
离散数学函数概念1. 函数的概念在离散数学中，函数是一种非常重要的概念。
简单来说，函数就是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
具体地说，函数包括三个要素：定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是函数的输入集合，值域是函数的输出集合，对应关系则是对定义域中的每个元素，函数规定相应的输出元素的一个映射关系。
函数通常用符号f表示，可以写成f：A→B，表示从定义域A到值域B的映射。
2. 性质和操作函数在离散数学中有许多重要的性质和操作，下面我们分别介绍一下。
2.1. 单射、满射和双射在定义域和值域中，函数有三种重要的映射状态：单射、满射和双射。
如果对于定义域中的任意两个不同的元素，它们映射到值域中的不同元素，那么这个函数就是单射。
如果对于值域中的任意元素，都有至少一个定义域中的元素映射到它，那么这个函数就是满射。
如果函数同时满足单射和满射的条件，那么它就是双射。
双射函数可以看作是一种一一对应的关系，它在离散数学中有着重要的应用。
2.2. 复合函数另一个重要的函数操作是「复合函数」。
复合函数是指在两个或多个函数之间进行合成的操作，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
假设有函数f: A→B和函数g: B→C，那么它们的复合函数定义为g(f(x))，表示先将x代入函数f中得到f(x)，再将f(x)代入函数g中得到g(f(x))。
复合函数的应用在离散数学中非常广泛，是许多算法和数据结构的基础。
2.3. 逆函数逆函数是指在一个双射函数f的基础上，将定义域和值域交换位置得到的新函数。
逆函数通常用符号f-1表示，它的定义域和值域与原函数f完全相反，即f-1：B→A。
逆函数的作用是将一个函数的输入与输出交换位置，方便进行一些计算和处理。
3. 应用领域以及参考资料离散数学中的函数概念和相关操作在许多领域都有广泛的应用，如算法设计与分析、图形理论、密码学、计算机网络等。
对于一些计算机科学和工程学科的学生，掌握和理解离散数学中的函数概念和相关知识是非常重要的。
《离散数学》函数
A
B
C
y=f(x)
z =g( y ) =( g◦f )( x )
x
29
函数的复合
例
– f ： → ，f (x) = x+1， – g ： → ，g(x) = 2x+1, – h ： → ，h(x) = x2+1, g ◦ f (x)=g(f(x)) =2f(x)+1 =2(x+1)+1=2x+3 f ◦ g(x)=f(g(x)) =g(x)+1 =2x+1+1=2x+2 h ◦ g ◦ f (x)=h(g(f(x))) = (2x+3)2+1
20
函数的性质
练习 – f： + → + ， – f(1) = 1，f(n) = n–1 (n>1)
– 单射? – 满射? – 双射?
21
函数的性质
对于有限集合上的函数，有如 下主要结果：
定理 假设 A 和 B 是两个有限集合
且满足 |A| = |B|，则函数 f : AB 是单射当且仅当 f 是满射。
第五章 函数
《离散数学及应用》
第五章 函数
§5.1 函数的定义 §5.2 函数的性质 §5.3 函数的复合 §5.4 逆函数 §5.5 计算机科学中的常用函数 *§5.6 双射函数及集合的势
2
函数
A 和 B 为非空集合 设 f 为 A 到 B 的二元关系, 若对于任意 xDom( f ) 都存在唯一的 yRan( f ) 使得 (x, y)f 成立，则称 f 为函数 (function)。 函 数 也 称 作 映 射 （ mapping ） 或 变 换 （transformation）
离散数学第5章
19
练习:
3.已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满 射,h是单射,求证g是单射.
20
证明3:已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满射,h是单射. 求证g是单射.
证:假设 不是单射 假设g不是单射 假设 不是单射, 1.则存在y1≠y2,而 g(y1)=g(y2); 2.而f是满射,每个y都一定有对应的x,所以对于y1 和y2 必存在y1=f(x1), y2=f(x2) 2, 3.y1≠y2 所以f(x1)≠f(x2),所以x1≠x2 ; 4.h(x1)=g(f(x1))=g(y1) h(x2)=g(f(x2))=g(y2) 所以h(x1)=h(x2) 对于不同的x,h函数具有相同值, 显然就不是单射了,与已知条件矛盾! 所以原假设不成立! 所以原假设不成立!
一一对应
定义:集合X和Y间,存在从X到Y上的双 射,则称集合X和Y一一对应 一一对应. 一一对应 集合X和Y一一对应,则:
映射的条件 单射的条件 满射的条件
1.X中每个元素在Y中有唯一 象. 唯一的象 唯一 2.X中不同元素 象各不相同 不同元素的象各不相同. 不同元素 3.Y中每个元素在X上都有原象 原象. 原象
13
实例
判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}是否一一 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? 对应. 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? f为:f(a)=4, f(b)=5,f(c)=1,f(d)=3 不是一一对应的关系.虽然是单射,但 不是满射.所以不是双射.所以不是一 一对应的关系.
14
23
反函数的性质
也是双射函数. 是双射的, 也是双射函数 定理 设 f:A→B是双射的 则f 1:B→A也是双射函数 : 是双射的 是函数, 是关系, 证 因为 f 是函数 所以 f 1 是关系 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 假设有x 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有 1, x2∈A使得 ∈ 使得 <y,x1>∈f 1∧<y,x2>∈f 1 ∈ ∈ 成立, 成立 则由逆的定义有 <x1,y>∈f∧<x2,y>∈f ∈∧ ∈ 从而证明了f 是函数, 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了 1是函数,且是 满射的. 的单射性. 满射的 下面证明 f 1 的单射性 若存在 y1, y2∈B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 <y1,x>∈f 1∧<y2,x>∈f 1 ∈ ∈ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2 ∈∧ ∈
练习:
3.已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满 射,h是单射,求证g是单射.
20
证明3:已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满射,h是单射. 求证g是单射.
证:假设 不是单射 假设g不是单射 假设 不是单射, 1.则存在y1≠y2,而 g(y1)=g(y2); 2.而f是满射,每个y都一定有对应的x,所以对于y1 和y2 必存在y1=f(x1), y2=f(x2) 2, 3.y1≠y2 所以f(x1)≠f(x2),所以x1≠x2 ; 4.h(x1)=g(f(x1))=g(y1) h(x2)=g(f(x2))=g(y2) 所以h(x1)=h(x2) 对于不同的x,h函数具有相同值, 显然就不是单射了,与已知条件矛盾! 所以原假设不成立! 所以原假设不成立!
一一对应
定义:集合X和Y间,存在从X到Y上的双 射,则称集合X和Y一一对应 一一对应. 一一对应 集合X和Y一一对应,则:
映射的条件 单射的条件 满射的条件
1.X中每个元素在Y中有唯一 象. 唯一的象 唯一 2.X中不同元素 象各不相同 不同元素的象各不相同. 不同元素 3.Y中每个元素在X上都有原象 原象. 原象
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实例
判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}是否一一 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? 对应. 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? f为:f(a)=4, f(b)=5,f(c)=1,f(d)=3 不是一一对应的关系.虽然是单射,但 不是满射.所以不是双射.所以不是一 一对应的关系.
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反函数的性质
也是双射函数. 是双射的, 也是双射函数 定理 设 f:A→B是双射的 则f 1:B→A也是双射函数 : 是双射的 是函数, 是关系, 证 因为 f 是函数 所以 f 1 是关系 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 假设有x 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有 1, x2∈A使得 ∈ 使得 <y,x1>∈f 1∧<y,x2>∈f 1 ∈ ∈ 成立, 成立 则由逆的定义有 <x1,y>∈f∧<x2,y>∈f ∈∧ ∈ 从而证明了f 是函数, 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了 1是函数,且是 满射的. 的单射性. 满射的 下面证明 f 1 的单射性 若存在 y1, y2∈B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 <y1,x>∈f 1∧<y2,x>∈f 1 ∈ ∈ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2 ∈∧ ∈
离散数学第05讲
定义2.2 定义2.2 设f:A→B是函数,对任意的a,b∈A,且 是函数,对任意的a a≠b,都有f(a)≠f(b),或形式表为 都有f (x)(y)(x,y∈A∧x≠y→f(x)≠f(y)) )( )(x 则称f 则称f:A→B是单射函数(或一对一函数),或称 是单射函数(或一对一函数), ),或称 函数f 函数f:A→B是单射的,或入射的. 是单射的,或入射的. 本定义揭示了, 中不同的元素,其在B 本定义揭示了,A中不同的元素,其在B中像也是 不同的.于是, 是有穷集合, 不同的.于是,若A的B是有穷集合,存在单射函数 f:A→B,则|A|≤|B|. |≤|B
下面讨论由集合A和B,构成这样函数 f:A→B 会有多少呢 ? 或者说 , 在 A×B 的所有子 会有多少呢? 或者说, 集中, 是全部还是部分子集可以定义函数? 集中 , 是全部还是部分子集可以定义函数 ? 令 BA表示这些函数的集合,即 表示这些函数的集合, BA={f|f:A→B} 设 |A|=m , |B|=n , 则 |BA|=nm . 这是因为对 |=m |=n |=n 每个自变元,它的函数值都有n种取法, 每个自变元,它的函数值都有n种取法,故总共 有nm种从A到B的函数. 种从A 的函数.
上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义. 上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义. 定 义 1.5 设 A1,A2,,An 和 B 为 集 合 , 若 f: ,,A
Ai→B为函数,则称f 为n元函数.在<x1,x2,,xn>上 为函数,则称f 元函数. ,,x 的值用f 的值用f(x1,x2,,xn)表示. ,,x 表示. 一元函数中概念对n元函数几乎完全适用, 一元函数中概念对n元函数几乎完全适用,在这里 不多讨论了. 不多讨论了.
离散数学第五章函数
在本章中，首先将定义一般的函数，然后讨论特种函数，由一种特殊函数—— 双射函数引出不可数集合基数的比较方法。在以后的各章中，这些概念将起着 重要作用。在开关理论、自动机理论、可计算性理论等领域中，函数都有着极 其广泛的应用。
主要内容
PART 01
函数的基本概念和性质
PART 02
函数的合成和合成函数的性质
5.1 函数的基本概念和性质
例5.5 设集合X={a,b,c,d}和Y={1,2,3,4,5}，并且有 f={<a,1>,<b,3>,<c,4>,<d,4>}
试求出domf，ranf 和 f 的矩阵表达式。 解： domf ={a,b,c,d}
ranf ={1,3,4}
f 的简化关系矩阵为：
a 1
5.2 函数的合成和合成函数的性质
例5.10 设Z是整数集合，并且函数f: Z→Z给定成f(i)=2i+1。试求出合 成函数f3( i ) 。 解：合成函数 f3( i ) 是一个由Z到Z的函数，于是有
f 3(i) f 2 (i) f (i) ( f (i) f (i)) f (i) f ( f ( f (i)) f ( f (2i 1)) f (4i 3) 2(4i 3) 1 8i 7
Mf
b
c
3 4
d 4
5.1 函数的基本概念和性质
定义5.4 设A和B是任意两个集合，记：BA { f f : A B} 为从A到B的 所有函数的集合。
例5.6 设集合X={a,b,c}和集合Y={0,1}。试求出所有可能的函数f: X→Y。 解：首先求出的X×Y所有序偶，于是应有
X Y {a,0, b,0, c,0, a,1, b,1, c,1}
主要内容
PART 01
函数的基本概念和性质
PART 02
函数的合成和合成函数的性质
5.1 函数的基本概念和性质
例5.5 设集合X={a,b,c,d}和Y={1,2,3,4,5}，并且有 f={<a,1>,<b,3>,<c,4>,<d,4>}
试求出domf，ranf 和 f 的矩阵表达式。 解： domf ={a,b,c,d}
ranf ={1,3,4}
f 的简化关系矩阵为：
a 1
5.2 函数的合成和合成函数的性质
例5.10 设Z是整数集合，并且函数f: Z→Z给定成f(i)=2i+1。试求出合 成函数f3( i ) 。 解：合成函数 f3( i ) 是一个由Z到Z的函数，于是有
f 3(i) f 2 (i) f (i) ( f (i) f (i)) f (i) f ( f ( f (i)) f ( f (2i 1)) f (4i 3) 2(4i 3) 1 8i 7
Mf
b
c
3 4
d 4
5.1 函数的基本概念和性质
定义5.4 设A和B是任意两个集合，记：BA { f f : A B} 为从A到B的 所有函数的集合。
例5.6 设集合X={a,b,c}和集合Y={0,1}。试求出所有可能的函数f: X→Y。 解：首先求出的X×Y所有序偶，于是应有
X Y {a,0, b,0, c,0, a,1, b,1, c,1}
离散数学第三章 函数
射函数。
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
离散型函数
离散型函数离散型函数是一种特殊的函数类型，其定义域是离散的，即只包含整数。
离散型函数在数学中有着广泛的应用，尤其在离散数学和计算机科学中，是非常重要的概念。
一、离散型函数的定义离散型函数是指定义域为整数集合的函数，其表达式可以写成f(x) = y，其中 x 和 y 都是整数。
例如，一个简单的离散型函数可以定义为 f(x) = x^2，其中 x 为整数。
当 x 取值为 -3、-2、-1、0、1、2、3 时，对应的函数值分别为 9、4、1、0、1、4、9。
二、离散型函数的性质1. 像的集合：离散型函数的像是整数集合，即所有可能的函数值都是整数。
2. 奇偶性：离散型函数可以是奇函数、偶函数或既不是奇函数也不是偶函数。
3. 周期性：离散型函数可以是周期函数，即存在一个正整数 k，使得对于所有整数 x，有 f(x+k) = f(x)。
4. 单调性：离散型函数可以是单调递增函数、单调递减函数或者既不是单调递增函数也不是单调递减函数。
5. 可逆性：离散型函数可以是可逆函数，即存在一个函数 g(y)，使得对于所有整数 x，有 g(f(x)) = x。
三、离散型函数的应用离散型函数在离散数学和计算机科学中有着广泛的应用，如下所示：1. 密码学：离散型函数是密码学中的重要概念，可以用于加密和解密数据。
2. 图论：离散型函数可以用于图论中的路径算法和最短路径算法。
3. 组合数学：离散型函数可以用于计算排列、组合和分组数。
4. 计算机科学：离散型函数可以用于计算机科学中的算法设计和数据结构。
四、离散型函数的例子1. 单位阶跃函数：单位阶跃函数是一种离散型函数，其定义为： $$u[n]=begin{cases}1,&ngeq00,&n<0end{cases}$$2. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种离散型函数，其定义为：$$F_n=begin{cases}0,&n=01,&n=1F_{n-1}+F_{n-2},&n>1end{cases }$$3. 阶乘函数：阶乘函数是一种离散型函数，其定义为：$$n!=begin{cases}1,&n=0times(n-1)timescdotstimes2times1,&n>0end{cases}$$五、总结离散型函数是一种特殊的函数类型，其定义域是离散的，即只包含整数。
重庆大学《离散数学》课件-第4章函数
对于任意的 ∈ , ≠ ，因此 ∈ − 。 因为 = ，故有
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
离散数学 函数
2021/5/27
41
解答
(1)f1(x)=x2 ∵ f1(x)= f1(–x)= x2 ∴ f1不是单射函数； ∵Rf1为正实数集合，不是实数集合 ∴ f1不是满射函数；
2021/5/27
42
(2)f2(x)=2x 是单射函数
不是满射函数。
解答
2021/5/27
43
解答
(3)f3(x)=x3 是单射函数
34
满射举例
A={a,b,c,d} B={1,2,3} f:A→B f(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2 ∵ Rf = {1,2,3}=B ∴ f是满射函数。
2021/5/27
35
2、内射函数
函数f: X→Y
映入的映射
若RfY f是内射函数
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3、单射函数
函数f: X→Y 对任意x1，x2 ∈X
x1≠x2
f(x1)≠f(x2)
或 f(x1)=f(x2) 如果X原1像=不x2同,则像点不同
则f是单射函数
如果像点相同,则原像相同
一对一的映射
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内射、单射举例
A={a,b} B={2,4,6} f:A→B f(a)=2,f(b)=4 ∵ Rf = {2,4} B ∴ f是内射函数 且f也是单射函数。
是满射函数
是双射函数
2021/5/27
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解答
(4)f4(x)=x3-x2-5x+6 =(x-1)(x+2)(x-3) 是满射函数 不是单射函数
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45
第二节函数的合成和合成函数的性质
一、合成函数的定义 二、反函数
相关主题
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这种对应所表示的函数是：
f:Z N ,f(x) 2 x 2x1
x0 x0
f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
2020/8/5
32
8.5 集合的势
例2：N≈NE
▪ 解：构造函数f : N →NE
▪ 将N中元素以下列顺序排列并与NE中元素对应：
N 0 1 2 3 4 5…
NE 0 2 4 6 8 10 …
这种对应所表示的函数是：
f:N N E,f(x)2x
2020/8/5
f是N到NE的双射函数。从而证明了N≈NE。 33
8.5 集合的势
一个结论：
▪ 从上例可以看出：
N E N Z ， N E 但 N Z 。
这说明： ▪ 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
▪ 这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
（2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则
称 f : A→B是单射的.
（3）若 f : A→B既是满射又是单射的, 则称 f : A→B
是双射的。
注:
(1) f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y.
▪ f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为 双射
▪ g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tgx ，显然g为双射
▪ 于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)= tgπ(x- 1/2) ，也是双射函数
(2) f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2
2020/8/5
9
8.2 函数的性质
例：
2020/8/5
10
8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
16
8.3 一些常用函数
例：
▪ 已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
应商集的自然映射。
▪ R1={<2,3>,<3,2>}∪IA ▪ R2={<1,3>,<3,1>}∪IA ▪ R3={<1,2>,<2,1>}∪IA ▪ R4=EA ▪ R5=IA
2020/8/5
17
8.3 一些常用函数
2020/8/5
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
27
8.5 集合的势
▪ 令 f : A→B,
▪ f()=f0 ▪ f({2})=f2 ▪ f({1,2})=f4 ▪ f({2,3})=f6
▪ 故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
2020/8/5
6
8.1 函数的定义
3.B上A
▪定义8.4
▪ 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
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8.1 函数的定义
解：
▪ 设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, ▪ 则集合A到B的函数f形如：
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8.1 函数的定义
▪例2：判断下列关系中哪些能构成函数？
▪（1）f＝{<x,y>|x,y∈N, x＋y＜10} ▪（2）f＝{<x,y>|x,y∈R, x＝y2} ▪（3）f＝{<x,y>|x,y∈N, y＝x＋1}
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8.1 函数的定义
例3：
▪ 设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
▪ (2) 若A≈B，则B≈A
▪ (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
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8.5 集合的势
如何证明A≈B？ ▪ 构造从A到B的双射函数
1.有穷集之间的双射函数的构造
▪ 例1： A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
▪ 解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
则称 f 为严格单调递增的.
▪ 单调递减 ▪ 严格单调递减
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8.3 一些常用函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A’ A, A’ 的特征 函数 A’ : A→{0,1} 定义为
实例：
A'(a)10,,
aA' aAA'
设A={a,b,c}, A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
A ≤.B
▪ f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
▪ f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
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8.5 集合的势
例如:
▪ |N|≤|R|
▪ 定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 定理8.6
▪ 设A，B，C是任意集合，
▪ (1) A≈A
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
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8.3 一些常用函数
定义8.7
▪ (1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
▪ (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
有的x∈A 都有 IA(x)=x.
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8.3 一些常用函数
(3) 设f : A→B，
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≼ f(x2),
则称 f 为单调递增的；
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺ f(x2),
同的函数？分别列出来。
▪ 解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
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8.5 集合的势
例3： N×N≈N
▪ 解：分析
f :NNN f (m,n) (mn1)(mn) m
在 x 的值.
例如
▪ f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
▪ f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
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8.1 函数的定义
从A到B的函数
▪ 定义8.3
▪设A, B为集合, 如果 ▪ (1) f 为函数 ▪ (2) domf = A ▪ (3) ranf B,
▪则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
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▪ 故： (0,1) ≈ R
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8.5 集合的势
3.A与N之间构造双射
▪方法：
▪ 将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素 开始按照次序与自然数对应.
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8.5 集合的势
例1：Z≈N
▪ 解：构造函数f : Z→N
▪ 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 … ↓↓↓↓↓ ↓↓ N：0 1 2 3 4 5 6 …
▪f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} ▪对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
▪因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A| 。
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8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有
f∘g(x) = g(f(x)).
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8.4 函数的复合和反函数
函数复合的性质
定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
▪ (1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
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8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
f:Z N ,f(x) 2 x 2x1
x0 x0
f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
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8.5 集合的势
例2：N≈NE
▪ 解：构造函数f : N →NE
▪ 将N中元素以下列顺序排列并与NE中元素对应：
N 0 1 2 3 4 5…
NE 0 2 4 6 8 10 …
这种对应所表示的函数是：
f:N N E,f(x)2x
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f是N到NE的双射函数。从而证明了N≈NE。 33
8.5 集合的势
一个结论：
▪ 从上例可以看出：
N E N Z ， N E 但 N Z 。
这说明： ▪ 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
▪ 这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
（2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则
称 f : A→B是单射的.
（3）若 f : A→B既是满射又是单射的, 则称 f : A→B
是双射的。
注:
(1) f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y.
▪ f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为 双射
▪ g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tgx ，显然g为双射
▪ 于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)= tgπ(x- 1/2) ，也是双射函数
(2) f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2
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8.2 函数的性质
例：
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8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
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8.3 一些常用函数
例：
▪ 已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
应商集的自然映射。
▪ R1={<2,3>,<3,2>}∪IA ▪ R2={<1,3>,<3,1>}∪IA ▪ R3={<1,2>,<2,1>}∪IA ▪ R4=EA ▪ R5=IA
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8.3 一些常用函数
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f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
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8.5 集合的势
▪ 令 f : A→B,
▪ f()=f0 ▪ f({2})=f2 ▪ f({1,2})=f4 ▪ f({2,3})=f6
▪ 故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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8.1 函数的定义
3.B上A
▪定义8.4
▪ 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
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8.1 函数的定义
解：
▪ 设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, ▪ 则集合A到B的函数f形如：
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8.1 函数的定义
▪例2：判断下列关系中哪些能构成函数？
▪（1）f＝{<x,y>|x,y∈N, x＋y＜10} ▪（2）f＝{<x,y>|x,y∈R, x＝y2} ▪（3）f＝{<x,y>|x,y∈N, y＝x＋1}
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8.1 函数的定义
例3：
▪ 设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
▪ (2) 若A≈B，则B≈A
▪ (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
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8.5 集合的势
如何证明A≈B？ ▪ 构造从A到B的双射函数
1.有穷集之间的双射函数的构造
▪ 例1： A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
▪ 解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
则称 f 为严格单调递增的.
▪ 单调递减 ▪ 严格单调递减
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8.3 一些常用函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A’ A, A’ 的特征 函数 A’ : A→{0,1} 定义为
实例：
A'(a)10,,
aA' aAA'
设A={a,b,c}, A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
A ≤.B
▪ f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
▪ f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
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8.5 集合的势
例如:
▪ |N|≤|R|
▪ 定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 定理8.6
▪ 设A，B，C是任意集合，
▪ (1) A≈A
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
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8.3 一些常用函数
定义8.7
▪ (1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
▪ (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
有的x∈A 都有 IA(x)=x.
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8.3 一些常用函数
(3) 设f : A→B，
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≼ f(x2),
则称 f 为单调递增的；
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺ f(x2),
同的函数？分别列出来。
▪ 解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
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8.5 集合的势
例3： N×N≈N
▪ 解：分析
f :NNN f (m,n) (mn1)(mn) m
在 x 的值.
例如
▪ f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
▪ f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
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8.1 函数的定义
从A到B的函数
▪ 定义8.3
▪设A, B为集合, 如果 ▪ (1) f 为函数 ▪ (2) domf = A ▪ (3) ranf B,
▪则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
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▪ 故： (0,1) ≈ R
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8.5 集合的势
3.A与N之间构造双射
▪方法：
▪ 将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素 开始按照次序与自然数对应.
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8.5 集合的势
例1：Z≈N
▪ 解：构造函数f : Z→N
▪ 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 … ↓↓↓↓↓ ↓↓ N：0 1 2 3 4 5 6 …
▪f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} ▪对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
▪因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A| 。
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8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有
f∘g(x) = g(f(x)).
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8.4 函数的复合和反函数
函数复合的性质
定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
▪ (1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
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8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.