代数式与整式讲义
七年级秋季培优讲义整式专题
2018年七年级秋季培优讲义——整式专题一知识解读整式加减:1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方把数字或字母连接而成的式子;单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减1单项式:数与字母的积的代数式叫单项式;数字因数叫单项式的系数;所有字母的指数的和叫单项式的次数;单个的字母或单个的数也叫单项式.2多项式:几个单项式的和叫多项式;多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数;单项式的个数也就是多项式的基数.3单项式和多项式统称为整式.4同类项;两个单项式中;如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等;那么这两个单项式叫同类项.5整式的加减:整式的加减的本质也就是合并同类项;合并同类项的法则是:把系数相加减;字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念;合并同类项;去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础;也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础;同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础;归纳起来就是要注意以下几点:1.理解四式单项式、多项式、整式、n 次m 项式、三数系数、次数、项数和二项常数项、同类项2.掌握三个法则去括号法则、添括号法则、合并同类项法则.3.熟悉两种排列升幂排列、降幂排列.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.例题精讲例11已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式;求mn . 2已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ;求abc .例21先化简;再求值:224[62(42)]1x y xy xy x y ----+;其中12x =-;y =2. 2已知4m n -=;1mn =-;求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.例3已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式;当x =2时的值为-17;求当x =-2时;此多项式的值.例4已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关;求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.练1若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关;求代数式323222(42)a b a b ---的值.例5已知2234A x xy cy =-+;23B ax xy =-;222C x bxy y =-+;且23A B C x xy --=-+2y -;求a 、b 、c .例61当x =2时;代数式31ax bx -+的值等于-17;那么当x =-1时;求代数式31235ax bx --的值.2已知代数式3ax bx c ++;当x =0时的值为2;当x =3时的值为1;求当x =-3时代数式的值.3已知21x x +=;求432222012x x x x +--+的值.练2如果210a a +-=;求3222a a ++的值.例7倡导“节能减排”;鼓励居民节约用电.2012年7月1日起;湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度;方案如下:如:小明家3月份用电量为500度;则应付费:1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=元.1若小华家4月份电量为100度;则应付费元;5月用电量为210度;则应付费元;6月份电量为450度;则应付费元;2若小华家7月份的用电量为x 度;请用x 表示应付的电费;3若小华家9月份已付电费177.9元;请你求出小华家9月份的用电量;4若小华家某月的电费为a 元;则小华家该月用电量属于第几档.例8观察下面有规律的三行单项式:x ; 22x ; 34x ; 48x ; 516x ; 632x ;……①2x -; 24x ; 38x -; 416x ; 532x -; 664x ;……②22x ; 33x -; 45x ; 59x -; 617x ; 733x -;……③1根据你发现的规律;第一行第8个单项式为;2第二行第n 个单项式为;3第三行第8个单项式为;第n 个单项式为;例9已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式;求1197531a a a a a a +++++的值.练3已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式;求24a a +的值.例101已知x ;y 为整数;且5|(9)x y +;求证:5|(87)x y +.2已知x 、y 、z 均为整数;且11|(725)x y z +-;求证:11|(3712)x y z -+.跟踪练习1.单项式3243x y z -的系数是;次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式;单项式253n m x y -与该多项式次数相同;则mn =.3.4243527x x y xy ---是次项式;最高次项是;最高次项的系数是;常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式;则m =;n =.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项;则m =;n =;13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=;则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+;其中一个多项式是2235x x --;则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位;后面每排都比前排多3个座位;则第10排有.9.某城市广场中央;有一如图阴影部分所示的花坛;其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米;重叠部分都是边长2米的正方形;圆的半径是r 米;则这个花坛的占地面积为.10.1化简:22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----;2化简:{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---;3已知多项式22911A x x =--;2354B x x =++;求(2)A B --.11.12323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--;其中a =-2;2若2|1||2|1a ab c -+-=-;且a 、b 、c 都为正整数;求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数;单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式;①试求m 、n 的值;②当x=-1;y =1时;求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件:①21(2)2|2|02x m ++-=;②31y a b --与2352b a 是同类项;求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x -1;且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项;求m 的值.15.1多项式531ax bx ++;当x =2时;其值为-5;则x =-2时;该多项式的值为多少 2若241550x x +-=;求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.3若331x x -=;求432912372003x x x x +--+的值.4已知x =2时;多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3;则当x =-2时;求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤;夹克每件售价80元;T 恤每件售价50元;厂方在开展促销活动期间;向客户提供两种优惠方案:①买一件夹克送一件T 恤;②夹克和T 恤按定价的80%付款;现客户要向服装厂购买夹克50件;T 恤x 件x >50. 1若该客户按方案①购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示;若该客户按方案②购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示;2若x =100;通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算3若两种优惠方案可同时使用;当x=100时;你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方案;并说明理由.17.观察下面的三个数列:①-1; +2; -3; +4; -5; +6;……②-3; 0; -5; +2; -7; +4;……③-2; +4; -6; +8; -10; +12;……1这三个数列的第n个数分别是;2在第一行中是否存在连续的三个数;使得和为-40 若存在;求出这三个数;若不存在;请说明理由;3是否存在这样的一列;使其中三个数的和为78 若存在;求出这三个数;若不存在;请说明理由.18.1已知a、b为整数;且10=+;如果17|(5)n a b-;请你证明:17|n.a b2已知一个三位数;它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数;证明:这个三位数也是11的倍数.。
中考数学复习讲义课件 第1单元 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
则 3m+2[3m+(2n-1)]=( A )
A.-2
B.-1
C.2
D.3
[解析] ∵(m,n)是“相随数对”, ∴m2 +n3=m2++3n.∴3m+6 2n=m+5 n,即 9m+4n=0. ∴3m+2[3m+(2n-1)]=3m+2[3m+2n-1]=3m+6m+4n-2=9m+4n -2=0-2=-2. 故选 A.
[解析] (1)由图可知一块甲种纸片面积为 a2,一块乙种纸片的面积为 b2,一 块丙种纸片面积为 ab.∴取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 a2+b2. (2)设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新的正方形(x≥0), 则 a2+4b2+xab 是一个完全平方式. ∴x 为 4.故答案为 4.
A.2x-x=x
B.a3·a2=a6
C.(a-b)2=a2-b2
D.(a+b)(a-b)=a2+b2
[解析] A.原式合并同类项得到结果为 x,A 计算正确;B.原式利用同底 数幂的乘法法则计算得到结果为 a5,B 计算错误;C.原式利用完全平方公 式展开得到结果为 a2-2ab+b2,C 计算错误;D.原式利用平方差公式计 算得到结果为 a2-b2,D 计算错误.故选 A.
26.(2021·怀化)观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23 +24=25-2,…,已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199, 若 2100=m,用含 m 的代数式表示这组数的和是 m2-m .
[解析] 由题意,得 2100+2101+2102+…+2199=(2+22+23+…+2199)-(2+22+23+…+299)= (2200-2)-(2100-2)=(2100)2-2100=m2-m.故答案为 m2-m.
代数式讲义
代数式考点一:代数式的有关概念代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。
②书写代数式时,a ×b 通常写作ab ;1÷a 通常写作a1;数字通常写在字母的前面,带分数要先化成假分数;数字与数字相乘仍用“×”号。
③当实际问题中含有单位时,若运算结果是和的形式时,则要把整个的代数式括起来再写单位。
代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果p 叫做代数式的值. 求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值. 用代数式表达简单的数量关系(1)应特别注意数学语言中的关键词语。
(2)要分清代数式中数量关系的运算层次和顺序,必要时要正确地添加括号。
(3)有多种运算关系时,一般按“先读先写”的原则进行列式。
(4)分清代数式、等式和不等式。
例题:类型一:若正方形的边长为a ,则4a 表示的实际意义为类型二: ①甲,乙两地相距15km ,小刚骑自行车从甲地用了t h ,那么他骑车的速度是每小时 千米。
②某村去年梨的产量是a kg ,今年比去年增产30%,那么今年梨的产量是 千克。
类型三:如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒,按图中方式: ...... n=1 n=2 n=3 (1)搭2个正方形需要 根火柴棒; (2)搭3个正方形需要 根火柴棒; (3)搭100个正方形需要 根火柴棒;(4)若用n 表示所搭正方形的个数,则搭n 个正方形需要 根火柴棒; 用2011根火柴棒能搭 个正方形类型四:下列各式中哪些是代数式,哪些不是代数式 2x -1 a =1 π a 0.5 s =πr 0.5>0.3 类型五:当的值。
时,求代数式,)23)(32(43n m n m n m +-=-=基础应用:1、某校学生总数是m 人,其中男生占52%,则女生人数为 。
中考数学一轮复习讲义2__整式
中考数学一轮复习讲义2 代数式代数式的定义:整式的乘法整式的乘除与因式公解幂的运算法则同底数幂的乘法法则:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)幂的乘方法则:(a m)n=a mn(m,n是正整数)积的乘方法则:(ab)n=a n b n(n是正整数)单项式乘以单项式法则:单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加多项式乘以多项式法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加同底数幂的除法法则:a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n都是正整数且m>n)零指数幂的意义:a0=1(a≠0)单项式除以单项式法则:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2整式的除法因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式方法公式法平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2题型一整式的加减运算例1 已知与是同类项,则a b 的值为. 例2 计算:(7x 2+5x -3)-(5x 2-3x +2). 题型二整式的求值例3 已知(a +2)2+|b +5|=0,求3a 2b 一[2a 2b -(2ab -a 2b )-4a 2]-ab 的值.例例5例例7例8例9A.解析:第二个图案中正三角形的个数为: 第三个图案中正三角形的个数为:..,;第n 个图案中正三角形的个数为: 题型四:幂的运算法则及其逆运用 例1 计算2x 3·(-3x )2= .例2 计算[a 4(a 4-4a )-(-3a 5)2÷(a 2)3]÷(-2a 2)2.3313a x y --533b y x -85a +题型五: 整式的混合运算与因式分解例3 计算[(a -2b )(2a -b )-(2a +b )2+(a +b )(a -b )-(3a )2]÷(-2a ).例4 分解因式. (1)m 3-m ; (2)(x +2)(x +3)+x 2-4.例5 分解因式a 2-2ab +b 2-c 2.例6 (1)已知x +y =7,xy =12,求(x -y )2; (2)已知a +b =8,a -b =2,求ab 的值.15.(2011•临沂,2,3分)下列运算中正确的是( ) A 、(﹣ab )2=2a 2b 2B 、(a+b )2=a 2+1C 、a 6÷a 2=a 3D 、2a 3+a 3=3a 316.(2011泰安,2,3分)下列运算正确的是( ) A .3a 2+4a 2=7a 4B .3a 2-4a 2=-a 2C .3a ×4a 2=12a 2D .2222434)3(a a a -=÷17.(2011四川眉山,2,3分)下列运箅正确的是( ) A .2a 2﹣a=aB .(a+2)2=a 2+4C .(a 2)3=a 6D .3)3(2-=-19.(2011•南充,11,3分)计算(π﹣3)0=.20.(2011四川攀枝花,3,3分)下列运算中,正确的是( ) A 、2+3=5 B 、a 2•a=a 3C 、(a 3)3=a 6D 、327=-3中考真题精选21.(2011泰安,5,3分)下列等式不成立的是( ) A .m 2-16=(m -4)(m +4)B .m 2+4m =m (m +4)C .m 2-8m +16=(m -4)2D .m 2+3m +9=(m +3)22.(2011•丹东,4,3分)将多项式x 3﹣xy 2分解因式,结果正确的是( ) A 、x (x 2﹣y 2)B 、x (x ﹣y )2C 、x (x+y )2D 、x (x+y )(x ﹣y )4.(2011天水,4,4)多项式2a 2﹣4ab +2b 2分解因式的结果正确的是( ) A 、2(a 2﹣2ab +b 2)B 、2a (a ﹣2b )+2b 2C 、2(a ﹣b )2D 、(2a ﹣2b )25.(2011江苏无锡,3,3分)分解因式2x 2﹣4x+2的最终结果是( ) A .2x (x ﹣2)B .2(x 2﹣2x+1) C .2(x ﹣1)2D .(2x ﹣2)26.(2011•台湾5,4分)下列四个多项式,哪一个是2x 2+5x ﹣3的因式( ) A 、2x ﹣1B 、2x ﹣3C 、x ﹣1D 、x ﹣37.(2011台湾,24,4分)下列四个多项式,哪一个是33x +7的倍式( ) A .33x 2-49B .332x 2+49C .33x 2+7xD .33x 2+14x10.(2011梧州,6,3分)因式分解x 2y ﹣4y 的正确结果是( ) A 、y (x+2)(x ﹣2)B 、y (x+4)(x ﹣4)C 、y (x 2﹣4)D 、y (x ﹣2)211.(2011河北,3,2分)下列分解因式正确的是( ) A .-a +a 3=-a (1+a 2) B .2a -4b +2=2(a -2b )C .a 2-4=(a -2)2D .a 2-2a +1=(a -1)213.(2011,台湾省,25,5分)若多项式33x 2﹣17x ﹣26可因式分解成(ax+b )(cx+d ),其中a 、b 、c 、d 均为整数,则|a+b+c+d|之值为何?( ) A 、3B 、10C 、25D 、2914.(2011浙江金华,3,3分)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是() A .x 2 +1 B.x 2+2x -1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +415.(2011浙江丽水,3,3分)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( ) A 、x 2+1 B 、x 2+2x ﹣1 C 、x 2+x +1D 、x 2+4x +4综合验收评估测试题1一、选择题l. 在代数式-2x 2,3xy ,,,0,mx -ny 中,整式的个数为() A .2 B .3 C .4 D. 5 2. 二下列语句正确的是()A .x 的次数是0B .x 的系数是0 C. -1是一次单项式 D .-1是单项式 3.4.5. 6. 7. 8. C .m ≠-1,n 为大于3的整数 D .m ≠-1,n =5二、填空题9. -mx n y 是关于x ,y 的一个单项式,且系数是3,次数是4,则m =,n =. 10. 多项式ab 3-3a 2b 2-a 3b -3按字母a 的降幂排列是.按字母b 的升幂排列是. 11. 当b =时,式子2a +ab -5的值与a 无关. 12. 若-7xy n +1 3x m y 4是同类项,则m +n .13.多项式2ab -5a 2+7b 2加上等于a 2-5ab .b a 3xy -三、解答题14.先化简,再求值:,其中m =-l ,n =.综合验收评估测试题2一、选择题(每小题3分,共30分) 1.计算(a 3)2的结果是 ( ) A .a 5 B .a 6 C .a 8 D .a 9 2.下列运算正确的是 ( )A .a 2·a 3=a 4B .(-a )4=a 4C .a 2+a 3=a 5D .(a 2)3=a 5 3.已知x -3y =-3,则5-x +3y 的值是 ( ) A .0 B .2 C .5 D .8 4.若m +n =3,则2m 2+4mn +2n 2-6的值为 ( ) A .12 B .6 C .3 D .05.如图15-4所示,在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ),把余下的部分拼成一个矩形,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证 ( )A .(a +b )2=a 2+2ab +b 2B .(a -b )2=a 2-2ab +b 2C .a 2-b 2=(a +b )(a -b )D .(a +2b )(a -b )=a 2+ab -2b 2 6.下列各式中,与(a -b )2一定相等的是 ( )A .a 2+2ab +b 2B .a 2-b 2C .a 2+b 2D .a 2-2ab +b 0 7.已知x +y =-5,xy =6,则x 2+y 2的值为 ( ) A .1 B .13 C .17 D .25 8.下列从左到右的变形是因式分解的是 ( )A .ma +mb -c =m (a +b )-cB .(a -b )(a 2+ab +b 2)=a 3-b 3C .a 2-4ab +4b 2-1=a (a -4b )+(2b +1)(2b -1)D .4x 2-25y 2=(2x +5y )(2x -5y ) 9.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 ( ) A .-a 2+b 2 B .-a 2-b 2 C .a 2+b 2 D .a 3-b 3 10.如果(x -2)(x -3)=x 2+px +q ,那么p ,q 的值是 ( )A .p =-5,q =6B .p =1,q =-6C .p =1,q =6D .p =5,q =-622222212(52)3(2)2m n mn m n mn mn m n ⎛⎫+---- ⎪⎝⎭13二、填空题(每小题3分,共30分) 11.已知10m =2,10n =3,则103m+2n=.12.当x =3,y =1时,代数式(x +y )(x -y )+y 2的值是 . 13.若a -b =1,ab =-2,则(a +1)(b -1)= . 14.分解因式:2m 3-8m = . 15.已知y =31x -1,那么31x 2-2xy +3y 2-2的值为. 16.计算:5752×12-4252×12= .17 18192021 22(1)m 2n (m23.已知a ,b 是有理数,试说明a 2+b 2-2a -4b +8的值是正数.24.先化简,再求值:(a +b )(a -b )+(4ab 3-8a 2b 2)÷4ab ,其中a =2,b =1.25.(1)计算.①(a -1)(a +1);②(a -1)(a 2+a +1);③(a -1)(a 3+a 2+a +1);④(a -1)(a 4+a 3+a 2+a +1). (2)根据(1)中的计算,你发现了什么规律?用字母表示出来. (3)根据(2)中的结论,直接写出下题的结果. ①(a -1)(a 9+a 8+a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a +1)=; ②若(a -1)·M =a 15-1,则M =; ③(a -b④(226(1) (2) (3) (4)(5)答案:1.D 解析:不是整式,故选D . 2.D 解析:x 的次数是1,系数是1;-1是单项式.故选D .3.C 解析:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.故选C :4.D 解析:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.故选D .5.6.B . 7.2n +38.910 1112137b 2. 142×=1.15 50πa 2+100ab .答:美化这块空地共需资金(50πa 2+100ab )元.点拨:根据题意,可以先求出建造花台及种花所需费用,再求出种草的费用,两者相加即为美化这块空地共需的资金.ba1314π4a ⨯参考答案1.B2.B[提示:选项A :a 2·a 3=a 5;选项C :a 2和a 3不能合并;选项D :(a 2)3=a 6.] 3.D[提示:5-x +3y =5-(x -3y )=5-(-3)=8.]4.A [提示:2m 2+4mn +2n 2-6=2(m +n )2-6=2×32-6=12.]5.6.7.8.9.10111213141531(x -3y )2-216] 17181920] 21+1)(2x -1)-=20002-(200022(x +y -8)2.232)2≥0,∴(a -1)=a 2-b 2+b 2-25n -2+…+a 3+a 2+a +1)=a n +1-1. (3)①a 10-1 ②a 14+a 13+a 12+a 11+…+a 3+a 2+a +1 ③a 6-b 6④32x 5-126.解:(1)各层对应的点数依次为:4,8.12,16,20,24;所有层的总点数依次为:4,12,24,40,60.84. (2)4n . (3)2n (n +1). (4)第24层. (5)有,第25层.。
中考第一轮复习讲义 第二讲 代数式与整式
第二讲 代数式与整式一.考点分析考点一.列代数式(含规律探索)例题1.一次知识竞赛共有20道选择题,规定答对一题得5分,不答或答错扣1分,如果某学生答对题数为x ,用代数式表示该学生的得分为( )A.5x-(20-x)B.100-(20-x)C.5xD.5x-5(20-x)-(20-x)例题2.某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a 元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为 元.例题3.观察下列数据:3579,,,,, (357911)x x x x x 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n 个数据是 (用含n 的式子表示).例题4.如图,观察各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律摆放下去,则第10个图形中小圆点的个数为 .考点二.代数式求值例题1.已知4a+3b=1,则整式8a+6b-3的值为 . 例题2.已知3,6x y xy +==,则22x y xy +的值为 .例题3.如果x=1时,代数式3234ax bx ++的值是5,那么x=-1时,代数式3234ax bx ++的值是 .例题4.一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是 .考点三.非负数的性质例题1.120x y ++-=,那么xy= .例题2.若25(3)0a b -++=,则a-2b= .例题3.若21(2)3322102x y z -++-=,则式子2x yz 的值为 .考点四.整式的相关概念例题1.若单项式22m x y 与41-3n x y 可以合并成一项,则m n = . 例题2.在代数式21215,5,,,,,233x y z x y a x y xyz y π+---+-中有( ) A.5个整式 B.4个单项,3个多项式 C.6个整式,4个单项式 D.6个整式,单项式与多项式个数相同例题3.(1)单项式-22xy π的系数是 ,次数是 ; (2)多项式125323+--xy y x 的次数 . 考点五.整式的运算例题1.下列计算正确的是( )A.325(3)6a a a -=B.331a a a a÷= C.22(-21)441a a a -=++ D.235235a a a += 例题2.4张长为a ,宽为b (a >b )的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b )的正方形,图中空白部分的面积为S 1,阴影部分的面积为S 2,若S 1=2S 2,则a ,b 满足( )A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b例题3.先化简,再求值:2(2)(43)a b a a b +-+,其中1,2a b ==.例题4.先化简,再求值:23(21)(21)(1)(2)(8)m m m m m +---+÷-,其中m 是方程220x x +-=的根.考点六.因式分解例题1.分解因式:44ax ay -= .例题2.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )A.2221(1)x x x +-=-B.22()()a b a b a b +-=-C.2244(2)x x x ++=+D.22(1)ax a a x -=-例题3.分解因式:22(2)(2)y x x y +-+= .例题4.若21x x +=,则433331x x x +++的值为 .例题5.把下列各式分解因式(1))()()(y x c x y b y x a -+---; (2)2296y xy x +-;(3)y x y x 2222-+-; (4)22216)4(x x -+.二.同步练习 1.4y x 33-它的系数为 ,次数为 . 2.多项式4423x xy 2y y 5x +--是 次 项式,它的最高次项是 ,二次项系数为 ,把这个多项式按y 降幂排列得 .3.若m 10y x 41与4n 13y x 31+是同类项,则m n = . 4.若05a a 2=-+,则20082a 2a 2++的值为 .5.计算:_______43=⋅-a a , 2a a a +⋅= , (a+2)(a-1)= .3条2条1条图66.若3,5==nm aa,则___________32=+nma.7.在多项式142+x中,添加一个单项式使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是(只写出一个即可).8.把下列各式分解因式:(1)x2-xy=;(2)4x2-16=;(3)2x2+4x+2=;(4)x2-6x-7=;(5)a3-a2+a-1=.9.已知1)1(+-=nna,当1=n时,01=a;当2=n时,22=a;当3=n时,03=a…则654321aaaaaa+++++= .10.如图是小亮用8根,14根,20根火柴搭的1条,2条,3条“金鱼”,按此方法搭n条“金鱼”需要火柴根.(用含n的代数式表示)11.已知5,3a b ab-==,则代数式32232a b a b ab-+的值为 .12.观察下列各等式的数字特征:85358535⨯=-,1192911929⨯=-,17107101710710⨯=-……,将你所发现的规律用含字母a,b的等式表示出来: .13.下列运算正确的是()A.12-=÷xxx B. 33332244)2(yxxyx-=⋅-C.653)()(xxx-=-⋅-- D.22941)321)(321(yxyxyx-=+--14.下列从左到右的变形,属于因式分解的是()A.(x+2)(x+3)=x2+x+6B.ax-ay+1=a(x-y)+1C.8a2b3=2a2·4b3D.x2-4=(x+2)(x-2)15.计算:(1)22462(32)2m m m m⎡⎤--+-⎣⎦; (2)223()(3)(7)4a bc ab ac-÷-•-.16.先化简,再求值:(1),3)12(2)12(2++-+a a 其中2=a ; (2)2()()()x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦,其中11,2x y =-=.17.把下列各式因式分解:(1)x 3-4x ; (2)x 2-3xy -10y 2; (3) x 2-y 2-4x +4; (4)x 4-5x 2+4.18.对于实数a ,b ,c ,d 规定一种运算bc ad d c b a -=,如220)2(12201-=⨯--⨯=-, 那么当255)3(42=--x 时,求x 的值.三.拓展练习1.某商店压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:将原来每件m 元,加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%,经过两次降价后的价格为 元(结果用含m 的代数式表示).2.7张如图1的长为a ,宽为b (a >b )的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ,当BC 的长度变化时,按照同样的放置方式,S 始终保持不变,则a ,b 满足( )A. 52a b =B.a=3bC.72a b = D.a=4b3.如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作:①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉;②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为( )A. 20192B.201812C.201912D.2020124.代数式2221126,4,,,2,5x y xy z y xy x x a b +-+-+-+ 中,不是整式的有 个.5.化简222222123323a b ab a b ab a b +-+--并按字母a 的降幂排列为 .6.若823x y a b +-与234y x y a b -的和是单项式,则x y += . 7.12x n a b -与223m a b -是同类项,则()2xm n -= .8.单项式0.25b c x y 与单项式1210.125m n x y ---的和是0.625n m ax y ,则abc = .9.若249x mx ++是一个完全平方式,则m 的值为 .10.已知22412x x m -+是一个完全平方式,则m 的值为 .11.计算2200120002002-⨯的结果是 .12.计算:(1)2200920072008⨯-; (2)22007200720082006-⨯;(3)22003451()(2)542x π--⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-+---÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (4)24643(21)(21)(21)1++++;(5)22222111111)(1)(1)(1)(1)234910-----(;(6)12345678921234567890123456789112345678902⨯-.13.求24832(21)(21)(21)(21)(21)(21)1-++++++的个位数字.14. 已知5m a =,3n a =,求23m n a +的值.15. 已知5m a =,275m n a +=,求n a 的值.16. 已知33m a =,32n b =,求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值.17. △ABC 中,a b c 、、为其三边长,且222a b c ab bc ac ++=++,试判断△ABC 的形状.18. 若20002001a x =+,20002002b x =+,20002003c x =+,求222a b c ab bc ac ++---的值.19.已知15a a +=,则221a a += ;21()a a-= . 20.若244210x x x-+=,则的值为 . 21.化简:(1)221111())2525a b a b ---(; (2)231)(231)a b a b -++-(;(3)222(9)(3)(3)(9)a a a a +-+-+.22. 已知()()31222a b ab a b +==--,,化简的结果是 . 23. 已知2012x xy xy y x y -=-=-,,则的值为 .24.若22ab =,则代数式()253ab a b ab b ---的值为 .25.若22011x y xy x xy y +==--+,,则的值为 .26.已知2()4x y -=,2()64x y +=,求①22x y +;②xy 的值.27. 已知:212x xy +=,215xy y +=,求()2x y +-()()x y x y +-的值.28. 已知:2(1)()5a a a b ---=-求代数式222a b ab +-的值.29. 已知2226100a b a b +-++=,求20061a b-的值.30. 先化简,再求值:2(23)(23)(3)a b a b a b +-+-,其中15,3a b =-=.31. 已知2215,31,3A x x B x x =-+=-+ 当23x =时,求2A B -的值.32.若()()2210231a b b ab ab ab +++=---⎡⎤⎣⎦,则的值是 .33.已知()()()()312m x y x y x y x y -⋅-⋅-=-,求()()22421225m m m m ++---的值.34.若0a b c ++=,则()()()a b b c c a abc ++++= .35.若2,3,5a b b c c d -=-=--=,则 ()()()a c b d a d --÷-= .36.已知3a b a b-=+,则()()()243a b a b a b a b +--=-+ . 37.若210m m +-=,则3222010m m +-= .38.若3220x x x ---= ,则4322451x x x x +---= .39.若2310x x x +++= ,则2320111x x x x +++++= .40.已知多项式731ax bx cx +++,当2x =-时,多项式的值为2010,则当2x =时,这个多项式的值为 .41.已知等式()()()221111x x ax x b x c x ++=+++++是关于x 的恒等式,则a= ,b= ,c= .42.如果2231x x +-与()()211a x b x c -+-+是同一个多项式,则a b c += . 43.已知()6212111021211102101x x a x a x a x a x a x a -+=++++++则01212a a a a ++++= ,12312a a a a ++++= ,02412a a a a ++++= ,121110921a a a a a a -+-++-= . 44.若a ,b ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满,,a b c b c d c d a +=+=+=,则a b c d +++的最大值是 .45.已知0a b c d +++=,则()()()()()()333333a b a c b c b d a d c d +++++++++++= .46.已知等式()()222121k x k y k k z +-+--=与k 值无关,则x = ;y = ;z = .47.若()()2283a pa a a q ++-+中不含有32a a 和项,则p = ,q = .48.当x = ,y = 时,多项式22494121x y x y +-+-有最小值,此时这个最小值是 .49.若()()023236x x ----有意义,则x 的取值范围是 .50.若代数式2214250x y x y +-++的值为0,则x = ,y = .51.已知23a =,26b =,272c =,试问a b c 、、之间有什么关系?请说明理由.52.已知552a =,443b =,334c =,比较a b c 、、的大小.。
沪教版整式概念讲义
第九章 整式第1节 整式的概念【知识要点】1.字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。
从具体的数过渡到用字母表示数,渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。
2.列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。
3.代数式的值:列代数式解决问题时,往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值,因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。
4.整式: 最简单、最基本的代数式 (1)单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
(2)多项式:几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列,反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。
如:多项式343225327x y y xy x y --+-按y 的降幂排列为432233257y xy x y x y --++-,按y 的升幂排列为322347523x y x y xy y -++--。
【学习目标】1.正确理解单项式、单项式系数、单项式的次数、多项式、多项式系数、多项式的次数、整式等含义;2.会用抽象的数学语言描述实际问题;【典型例题】1. 用字母表示数【例1】 黑板的长为2.5米,宽为b 米,则他的面积和周长分别是多少?【分析】本题是根据长方形的性质求解的,要熟记长方形的面积公式,周长公式。
【解答】面积22.5 2.5()b b =⨯=米 周长()()2.522 2.5()b b =+⨯=+米【点评】数字与字母或数字与括号相乘时,通常省略乘号,但要把数字写在字母或括号前面。
【例2】 请用字母表示已学过的四则运算律,如加法结合律等。
【解答】加法交换律:a b b a +=+加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律:a b b a ⨯=⨯乘法结合律:)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律:bc ac c b a +=⨯+)(【点评】这里的“×”号,只是为了使表达清晰,实际做题时要注意书写规范。
苏科版七年级上册数学第3章《代数式》3.1-3.6讲义(无答案)
【巩固】若 m xm1 y2n 是系数为-1 的五次单项式,求 m ,n 的值 4
3
模块三 多项式
多项式及相关概念
(1)几个单项式的和叫做多项式.例如: a2 2ab b2 , mn 3 等.
(2)在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项。如:多项式 x2 3x 2 , 它的项分别是 x2 , 3x, 2 ,常数项是 2 .
【巩固】某市出租车收费标准为:起步价为 5 元,超过 3 千米后每 1 千米收费 1.2 元,某人乘坐出租车行了 x 千米(x>3 且为整数),则他应付费多少元?
模块七 去括号
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“-”号,
把括号和它前面的“-”号去掉,原括号里各项的符号都要改变.
2
2
2
(4)除法常写成分数的形式.
如: s x s x
模块二 单项式
单项式:像 4x, vt, 6a2, a3, n, 2r ,它们都是数或字母的积,这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一
2
个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数的和叫
做这个单项式的次数.
C. 7x2 6 的常数项是 6
D.两个多项式的和一定还是多项式
【巩固】已知多项式 1 x 2 y m1 xy 2 3x 2 6 是六次四项式,单项式 2.6x 2n y 5m 的次数与这个多项式 5
的次数相同,求 n 的值。
4
模块四 整式
整式:单项式与多项式都是整式
单项式的系数、次数
; 元。
如: 2 a 2a ,3 a b 3 ab , 2 x 2 2x 2
20届中考优选知识点题型复习讲义 第2讲 代数式及整式的运算(原卷版)
第2讲 代数式及整式的运算一、考点知识梳理【考点1 代数式定义及列代数式】1.代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 2.代数式的值:用数值代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所得的结果叫做代数式的值.【考点2 幂的运算】1.同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m •a n =a m +n (m ,n 是正整数)2.幂的乘方法则:底数不变,指数相乘. (a m )n =a mn (m ,n 是正整数)3.积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. (ab )n =a n b n (n 是正整数)4.同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减. a m ÷a n =a m ﹣n (a ≠0,m ,n 是正整数,m >n ) 【考点3 合并同类项】所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. 【考点4 整式的乘法】单项式乘以多项式m(a +b)=am +bm多项式乘以多项式(a +b)(m +n)=am +an +bm +bn 二、考点分析【考点1 代数式定义及列代数式】【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时,常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来,也就是列出代数式;(2)列代数式的关键是正确分析数量关系,掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义;(3)注意书写规则:a×b 通常写作a·b 或ab ;1÷a 通常写作1a;数字通常写在字母前面,如a×3通常写作3a ;带分数一般写成假分数,如115a 通常写作65a.【例1】(2019.海南中考)当m =﹣1时,代数式2m +3的值是( ) A .﹣1B .0C .1D .2【举一反三1-1】(2019.云南中考)按一定规律排列的单项式:x 3,﹣x 5,x 7,﹣x 9,x 11,……,第n 个单项式是( ) A .(﹣1)n ﹣1x 2n ﹣1 B .(﹣1)n x 2n ﹣1 C .(﹣1)n ﹣1x 2n +1D .(﹣1)n x 2n +1【举一反三1-2】(2019•台湾)图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a ,矩形面积为b .若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何?( )A .4a +2bB .4a +4bC .8a +6bD .8a +12b【举一反三1-3】(2019•台湾)小宜跟同学在某餐厅吃饭,如图为此餐厅的菜单.若他们所点的餐点总共为10份意大利面,x 杯饮料,y 份沙拉,则他们点了几份A 餐?( )A .10﹣xB .10﹣yC .10﹣x +yD .10﹣x ﹣y【考点2 幂的运算】【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:①底数必须相同,如23与25,(a 2b 2)3与(a 2b 2)4,(x ﹣y )2与(x ﹣y )3等;②a 可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.2.概括整合:同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂.3.注意:①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果.【例2】(2019•广东中考)下列计算正确的是()A.b6+b3=b2B.b3•b3=b9C.a2+a2=2a2D.(a3)3=a6【举一反三2-1】(2019•甘肃中考)计算(﹣2a)2•a4的结果是()A.﹣4a6B.4a6C.﹣2a6D.﹣4a8【举一反三2-2】(2019•海南中考)下列运算正确的是()A.a•a2=a3B.a6÷a2=a3C.2a2﹣a2=2D.(3a2)2=6a4【举一反三2-3】(2019•江苏南京中考)计算(a2b)3的结果是()A.a2b3B.a5b3C.a6b D.a6b3【举一反三2-4】(2019•山东济南中考模拟)在平面直角坐标系中,任意两点A(a,b),B(c,d),定义一种运算:A*B=[(3﹣c),],若A(9,﹣1),且A*B=(12,﹣2),则点B的坐标是_______.【考点3 合并同类项】【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点:(1)要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数;(2)明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;(3)“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变.(4)只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式).【例3】(2019•吉林长春中考)先化简,再求值:(2a+1)2﹣4a(a﹣1),其中a=.【举一反三3-1】(2019•山东威海中考)下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.3a2+a=3a3C.a5÷a2=a3(a≠0)D.a(a+1)=a2+1【举一反三3-2】(2019•辽宁沈阳中考)下列运算正确的是()A.2m3+3m2=5m5B.m3÷m2=mC.m•(m2)3=m6D.(m﹣n)(n﹣m)=n2﹣m2【举一反三3-3】(2019•河北石家庄中考模拟)先化简,再求值:(5a2+2a+1)﹣4(3﹣8a+2a2)+(3a2﹣a),其中.【举一反三3-4】(2019•山东青岛中考模拟)化简求值:已知整式2x 2+ax ﹣y +6与整式2bx 2﹣3x +5y ﹣1的差不含x 和x 2项,试求4(a 2+2b 3﹣a 2b )+3a 2﹣2(4b 3+2a 2b )的值. 【考点4 整式的乘法】【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘,还要注意运算符号,遵循去括号的法则。
第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义
一、知识点归纳 ★整式部分 (1)代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 (2)概念:①代数式: 用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________.注:单独一个_____或一个_____也是代数式.②代数式的值: 用_____代替代数式的字母计算后所得的_____,叫代数式的________. ③整式: 分母中不含有________的_______式叫整式. ④同类项:条件是 _______________,_____________________.⑤单项式:是数与字母的______.注:★不含_____运算,★★单独的一个_____或____也是单项式.⑥多项式:是几个单项式的______. (3)运算:整式的加减:(实质是去括号,合并同类项)①合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变; ②去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里面各项都不变;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都变号.③添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号. 整式的乘除:①单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.②单项式与多项式相乘:就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项,在把所得的积相加.mc mb ma c b a m ++=++)(.③多项式与多项式相乘:方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式(用于多项式乘法的简便运算) 平方差公式:__________))((=-+b a b a ;完全平方公式:___________)(2=+b a ;___________)(2=-b a .④单项式相除:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的因式.⑤多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. ⑥幂的运算性质(m 、n 为正整数)____=⋅n m a a ; ____=÷n m a a (0≠a ); _____)(=n m a ;____)(=n ab .10=a )0(≠a ,)0(1≠=-a aa n n . ★分解因式部分:(1)概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种式子变形叫做把这个多项式因式分解. (2)常用分解因式方法: ①提取公因式法:_____________=++mc mb ma .其分解步骤为:★确定多项式的公因式:公因式=各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积;★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式. ②运用公式法:__________22=-b a ;__________222=+±b ab a .注意:★如果多项式中各项含有公因式,应该先提取公因式,再考虑运用公式法;★★公式中的字母,即可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者一个多项式. ③分组分解法.多项式四项及以上的考虑用这种方法.(3)分解因式的一般步骤:一提二套三分组,二次三项想十字. 注:必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (4)整式乘法与分解因式的区别和联系:互为逆变形 .多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法:例:将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解:原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法:a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例:64x 6-y 12解:原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法:例:(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解:原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法:例:12x 2+10xy -12x +5y -9 解:原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例:将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。
第二章 代数式湘教版七年级上册第二章复习讲义
1.已知x=y-1,y=3,则代数式8y-3x的值是.
2.当a=8,b=9时,代数式 的值是.
3.若m-1=0,代数式m- 的值是.
4.已知 =2,则代数式 + =.
5.填表:
x
- 1
3
6
10
x- 3
2x2+ 1
6.某书价是x元,邮购的邮资是书价的10%,则用代数式表示邮购该书应付款
元;当x=8时,应付款.
7.已知长方形的长是宽的2倍,如果用a表示长,那么长方形的周长为
;当a=5cm时,这个长方形的周长为.
8.a表示一个二位数,b表示一个三位数,将b放在a 的左边组成的五位数是
.
9.下列说法正确的个数有( )
①一般情况下,一个代数式的值与代数式中字母的取值有关.
②代数式中字母可以取任何值.
3.去括号: =_________________________.
4.当 时, =_________________.
5.代数式 与 的差是__________________________.
6.若使多项式 与多项式 相加后不含二次项,则m=_____________.
7. =__________________________.
23..在代数式-2x2,ax, , ,1+a,-b,3+2a, 中单项式有________________________________,多项式有_____________________________________.
24. 的次数,系数是, 是次单项式。
25.多项式 的次数是,项数是,常数项为。
1. 判断下列各代数式是否是单项式.如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它的系数与次数:
新人教版-七年级(初一)数学上册-整式的加减章节-代数式和整式-找规律及定义新运算讲义教案
内容 基本要求略高要求较高要求找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型,能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A (n 为正整数)都在数轴上.点1A 在原点O 的左边,且11AO =;点2A 在点1A 的右边,且212A A =;点3A 在点2A 的左边,且323A A =;点4A 在点3A 的右边,且434A A =;……,依照上述规律,点2008A 、2009A 所表示的数分别为( ).A .2008、2009-B .2008-、2009C .1004、1005-D .1004、1004-⑵如图,点A 、B 对应的数是a 、b ,点A 在3-、2-对应的两点(包括这两点)之间移动,点B 在1-、0对应的两点(包括这两点)之间移动,则以下四式的值,可能比2008大的是( ). 0b-1-2a-3A .b a -B .1b a - C .11a b- D .2()a b -【巩固】 ⑴(2008北京中考)一组按规律排列的式子:2-b a ,52b a ,83-b a ,114b a,…(0≠ab ),其中第7个式子 是 ,第n 个式子是 (n 为正整数).⑵(2008年陕西中考)搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【例2】 ⑴(2010年北京中考)右图为手的示意图,在各个手指间标记字母A B C D ,,,。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1,2,3,4…,当数到12时,对应的字母是 ;当字母C 第201次出现时,恰好数到的数是 ;当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数),恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。
中考数学复习讲义课件 第1单元 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
整式的有关概念
4.(2021·绵阳)整式-3xy2 的系数是( A )
A.-3
B.3
C.-3x
D.3x
5.(2020·绵阳)若多项式 xy|m-n|+(n-2)x2y2+1 是关于 x,y 的三次多项式, 则 mn= 0或8 . 6.(2020·泸州)若 xa-1y3 与12x4y3 是同类项,则 a 的值是 5 .
18.(2021·凉山州)已知 x-y=2,1x-1y=1,求 x2y-xy2 的值. 解:∵1x-1y=1,∴y-x=xy. ∵x-y=2,∴xy=y-x=-2. ∴原式=xy(x-y)=-2×2=-4.
19.(2021·呼伦贝尔)下列等式从左到右变形,属于因式分解的是( B ) A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.x2-2x+1=(x-1)2 C.2a-1=a2-1a D.x2+6x+8=x(x+6)+8
A.a2+a3=a5
B.2a3b÷b=2a3
C.(2a2)4=8a8
D.(-a-b)2=a2-b2
10.(2021·广元)下列运算正确的是( B ) A.a-122=a2-14 B.(a+3)(a-3)=a2-9 C.-2(3a+1)=-6a-1 D.(a+b)(a-2b)=a2-2b2
11.(2021·重庆 A)计算:(x-y)2+x(x+2y). 解:原式=x2-2xy+y2+x2+2xy =2x2+y2.
因式分解及应用
14.(2021·乐山)因式分解:
4a2-9= (2a+3)(2a-3)
.
15.(2021·眉山)分解因式:
x3y-xy= xy(x+1)(x-1)
.
16.(2021·宜宾)分解因式: a3-2a2+a= a(a-1)2 .
河北省2020届中考数学一轮复习讲义第三节 代数式与整式
A. 3
B. -3
C. 5
D. -5
第2题图
4. (2012河北11题3分)如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分面积分
别为a,b(a>b),则(a-b)等于( A )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
第4题图
5. (2018河北18题3分)若a,b互为相反数,则a2-b2=___0_____.
19. 解:(1)原式=3x2+6x+8-6x-5x2-2(2分) =3x2-5x2+6x-6x+8-2(4分) =-2x2+6;(6分) (2)设x2的系数为a, 则原式=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6, ∵结果是常数, ∴x2的系数为0,(7分) ∴a=5.(8分)
20. (2019河北21题9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
解:验证:(1)∵(-1)2 +02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3, ∴结果是5的3倍;(3分) (2)(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2,(5分) 化简得5n2+10=5(n2+2), ∵n为整数, ∴这五个连续整数的平方和是5的倍数;(7分) 延伸:余数是2.(8分) 理由:设中间的整数为n,(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2 +2, ∴任意三个连续整数的平方和被3除余2.(9分)
于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因
式.如:(3x)2y÷x=__9_x_y__
整 因式Байду номын сангаас式 分解
定义:把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式
分解,也叫做将多项式分解因式,其中每个整式都叫做多项式的因式
浙教初一数学讲义:第十讲 代数式、整式
第十讲 代数式、整式一、知识结构·代数式、整式代数式的定义:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.列代数式:列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.列代数式的关键是正确地分析数量关系,要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时,应注意以下几点:(1) 在同一问题中,要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示; (2) 字母与字母相乘时可以省略乘号;(3) 在所列代数式中,若有相除关系要写成分数形式;(4) 列代数式时应注意单位,单位名称在代数式后面写出来,如果结果为加减关系,必须用括号将代数式括起来;(5) 代数式中不要使用带分数,带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.单项式: 像2-a ,2r π,213-x y ,-abc ,237x yz ,……这些代数式中,都是数字与字母的积,这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系,特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式,例:a 、3-.单项式的次数:是指单项式中所有字母的指数和.例如:单项式212-ab c ,它的指数为1214++=,是四次单项式.单独的一个数(零除外),它们的次数规定为零,叫做零次单项式.单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如:我们把47叫做单项式247x y 的系数.同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式: 几个单项式的和叫做多项式.例如:27319-+x x 是多项式.多项式的项: 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项数的次数:多项式里,次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式: 单项式和多项式统称为整式.二、例题1. 对单项式、多项式、整式进行判断例1 判断下列各代数式,哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式.(1)-3xy 2;(2)2x 3+1;(3)21(x +y +1); (4)-a 2;(5)0;(6)yx 2; (7)32xy; (8)x21; (9)x 2+x1-1; (10)11+x ;2、说出单项式、多项式的次数和项例2 指出下列各单项式的系数与次数:(1);832ab (2)-mn 3; (3)3432y x π (4)-3;例3、 填空:(1)多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式,最高次项的系数是 ,四次项的系数是 ,常数项是 ,补足缺项后按字母x 升幂排列得 ;(2)多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次 项式,它的各项的次数都是,按字母b 降幂排列得 .例4. 用语言叙述下列代数式的实际意义。
整式的概念-讲义(教师版)
整式的概念一、课堂目标1、了解代数式的概念,理解单项式的概念,能准确分析单项式的系数与次数.2、理解多项式的概念,会命名多项式,会升降幂排列.3、掌握整式的概念.【备注】【目标解读】a.关联知识:有理数章节学习了有理数相关计算,本章整式的加减进一步学习式的计算,有理数计算是后续学习中计算相关内容的基础.整式的的计算是初中阶段式相关运算的基础.除了本章的整式加减,后续还会学习整式的乘除,分式的加减与乘除、二次根式的加减与乘除等式相关的运算内容.b.本讲解读: 本讲重点内容是掌握单项式、多项式、整式相关概念,能准确辨认单项式、多项式、整式.本讲难点是准确判断单项式的系数与次数、多项式的项数与次数,根据相关定义解决简单的含参问题.c.能力素养:培养学生数感、符号意思和运算能力.二、知识引入今年小明从小学毕业顺利升入了初中,为了准备新学期的文具,小明来到了自己常去的文具店买铅笔。
店老板听说小明升入了初中,也替他开心,同时老板也决定考一考这个初中生。
小明:“老板我已经升入初中了,今天来买铅笔准备上学用,我想买4根铅笔,价钱还是和原来一样每根2元吗?”老板:“不是,今年文具涨价了,铅笔涨了0.5元.”小明:“哦,那就是说,我现在买4根铅笔需要10元是吧?”老板:“是10元没错。
既然你已经升入初中了,那我出道题给你,算是提前让你接触初中知识,怎么样?现在每根铅笔2.5元,所以你买4根是10元。
那如果每根铅笔元,那么你一共要给我多少钱呢?”小明:“额。
,__________.”老板:“如果之前是2元,我涨的价钱不是0.5元,而是元,那么总价又是多少呢?”小明:“老板,这些问题都是我小学没接触过的,完全没有做题的头绪。
我觉得可能是__________.”同学,如果你是小明,你能回答以上的两个问题吗?【备注】【教学建议】1、第一空:元;2、第二空:元.三、知识讲解1. 代数式代数式定义及书写规则我们知道按照商品单价、数量、总价的关系可以得出式子:总价=单价×数量.那么如果引入中的例子是单价元每根,买根铅笔,根据公式可以得出:总价=其中总价 就是这次购买商品的总价,在这里我们用含字母的式子表示了实际问题中的量。
苏科版七年级上册数学第3章《代数式》整式之规律探索 专项提高讲义(无答案)
中考要求内容基本要求略高要求较高要求代数式了解代数式的值概念会求代数式的值,能根据代数式的值或特征,推断这些代数式反映的规律能根据特定的问题所提供的资料,合理选用知识和方法,通过代数式的适当变形求代数式的值.整式有关概念了解整式及其有关概念整式的加减运算理解整式加减运算法则会进行简单的整式加减运算能用整式的加减运算对多项式进行变型,进一步解决有关问题.重难点1.能根据图,表,数,式中的排列特征,探究期中蕴藏的数式规律课前预习德国著名大科学家高斯(1777~1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算,在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时,还纠正父亲计算的错误.长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献,现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”.他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人,觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书,真是大材小用。
而他又有些偏见:穷人的孩子天生都是笨蛋,教这些蠢笨的孩子念书不必认真,如果有机会还应该处罚他们,使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔,心里畏缩起来,知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.整式之规律探索“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算:“1加2等于3,3加3等于6,6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果,再加下去,数越来越大,很不好.。
有些孩子的小脸孔涨红了,有些手心、额上渗出了汗来.还不到半个小时,小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师,答案是不是这样?”老师头也不抬,挥着那肥厚的手,说:“去,回去再算!错了。
”他想不可能这么快就会有答案了.可是高斯却站着不动,把石板伸向老师面前:“老师!我想这个答案是对的.”数学老师本来想怒吼起来,可是一看石板上整整齐齐写了这样的数:5050,他惊奇起来,因为他自己曾经算过,得到的数也是5050,这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?高斯解释他发现的一个方法,这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。
中考数学复习讲义课件 第1单元 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
命 题 点 4 因式分解(10年5考)
考情分析:2019年第7题,2016年第8题,2013年第7题, 2011年第10题,2010年第9题均考查因式分解,涉及提公因 式和平方差公式. 14.(2019·江西,3分)因式分解: x2-1= (x+1)(x-1). 15.(2016·江西,3分)分解因式: ax2-ay2=a(x+y)(x-y).
完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2 .
先用这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所 得的商相加.
把系数与同底数幂分别相除作为商的因式, 单项式
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 除以单项式
指数作为商的一个因式.
多项式 先用这个多项式的每一项除以这个单项式,
除以单项式 再把所得的商相加.
①系数相加减作为新的系数.
②字母和字母的指数不变.
(3)去括号规律 ①括号前是“+”号时,括号内各项不变号.如 a+(b+c)=a+b+c. ②括号前是“-”号时,括号内每一项都变号.如a-(b+c)=ab-c.
(ab)n=anbn(n是整数)
同底数幂相乘 am·an= am+n (m,n都是整数)
巩固训练
巩固训练
10.(2020·天津)计算x+7x-5x的结果等于3x. 11.计算6a9÷(-2a3)3的结果为-3/4. 12.计算:(6x4-8x3)÷(-2x2)=-3x2+4x.
考点4
因式分解
1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做
这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
8.(2012·江西,3分)下列运算正确的是(D) A.a3+a3=2a6B.a6÷a-3=a3 C.a3·a3=2a3D.(-2a2)3=-8a6 9.(2011·江西,3分)下列运算正确的是(B) A.a+b=abB.a2·a3=a5 C.a2+2ab+b2=(a-b)2D.3a-2a=1
初一数学第02章 整式辅导讲义 01(整式的概念)
初一数学第02章整 式 辅导讲义 01(整式的概念)导 航:整式的基本概念考点1.单项式的概念代数式:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
单项式:像2a -,2πr ,213x y -,abc -,237x yz ,…,这些代数式中,都是数字与字母的积,这样的代数式称为单项式。
(单独的一个数或字母也是单项式)。
单项式的次数:是指单项式中所有字母的指数和。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项数的系数。
例1、(1)3a 是3与字母a 的积,字母a 的指数是1,所以单项式3a 的系数是3,次数是1.(2)-mn 可以看作是-1·mn ,是-1与mn 的积,所以单项式-mn 的系数是-1,次数是2.(3)单项式-2abx 的系数是-2,次数等于三个字母指数的和,即1+1+1=3.(4)在单项式中只含有乘法(包括乘方)和数字作除数的除法运算.所以像73m 2n ,-2ab 5这样的代数式都是单项式.其中单项式-2ab 5可以看成是数-25与ab 的积,它的系数是-25,次数是2. (5)分母中含有字母的代数式,一般情况都不是单项式.如ab c ,3x,它们不能看成是数字因数与字母的积.理解单项式应注意:(1)系数要包括前面的符号;系数是1或-1时,通常省略不写.(2)关于单项式的次数:○①当字母的指数是1时,“1”通常省略不写;○②对于不含字母的非0数,如-2,0.5,等,这些单项式叫“零次单项式”,对于数0则说它是“任意次单项式”.例2、填空:(1)下列代数式中,是单项式的有 .①-15; ②2a 3 ; ③1p x 2y ; ④2bc 3a; ⑤3a+2b; ⑥ 0; ⑦ 7m (2)单项式22ab 2c 的系数是 ,次数是 .(3)πR 2是 次单项式,-23是 次单项式.例3、填空:(1)单项式-a2b2c3的系数是________,次数是___________.(2)单项式-245x yπ的系数是__________,次数是__________.例4、下列说法正确的是( )A、单项式23x-的系数是3-B、单项式3242π2ab-的指数是7C、1x是单项式D、单项式可能不含有字母考点2.多项式多项式:几个单项式的和叫做多项式。
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代数式与整式代数式夯实基础一.代数式及其分类1.代数式定义:用运算符号,如÷⨯-+等,将数或表示数的字母连接起来,所得的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也叫做代数式。
示例:c 23+,y x x x -++2,ab ,b a 32+,)2(3m n +,a 3,7,ts等。
知识点睛①代数式中除含有数、字母和运算符号外,还可以有括号,因为有时需要用括号指明运算顺序。
②代数式中不含有""="">""<""≠等。
③对于用字母表示的数,如果没有特别说明,就应理解为它可以表示任何一个数。
2.代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式有理式:只含有加、减、乘、除、乘法(包括数字开方运算)的代数式,叫做有理式。
无理式:含有关于字母开方运算的代数式,叫做无理式。
例1:下列各式中哪些是代数式?哪些不是?为什么?(1)0(2)3x (3)65<(4)x 1-(5)22m m =(6)ππ- 二.列代数式把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,这就是列代数式。
1.列代数式的一般步骤如下:(1)列代数式要认真审题,仔细分析问题中基本术语的含义。
如:和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等。
(2)要注意问题的语言叙述表示的运算顺序,一般来说,先读的先写。
如:设甲数为a ,乙数为b ,用代数式表示下列语句的含义: ①甲数的31与乙数的21的差:先读的是甲数的31,所以a 31应写在前面,即b a 2131-。
②甲乙两数的平方和:“平方和”是指先平方,后求和,即22b a +。
③甲乙两数和的平方:“和的平方”是指先求和,后平方,即()2b a +。
(3)要弄清题中的数量关系及运算顺序,注意正确使用表明运算顺序的括号。
在比较复杂的语句中,一般会有多个“的”字出现。
列代数式时,可抓住各个“的”字将句子分为几个层次,逐步列出代数式。
如:用代数式表示比m 、n 两数和的2倍大p 的数。
将此句划分为三层:第一层是“m 、n 两数的和”,因为第一层需要先算,所以需用括号将“n m +”括上;第二层是“m 、n 两数和的2倍”,简单地说,就是“和的2倍”,应表示为)(2n m +;第三层是“比m 、n 两数的和的2倍大p 的数”就是比)(2n m +大p 的数,应表示为p n m ++)(2。
(4)在同一问题中,不同的数量,必须用不同的字母来表示。
如:用代数式表示甲、乙两数的积减去甲、乙两数的和,在这个问题中,甲数和乙数必须用不用的字母来表示,即甲数用x 表示,乙数就不能用x 来表示了。
2.代数式的书写要求(1)字母与字母相乘,数字与字母相乘(数字应写在字母前面),乘号通常写作“∙”,或者省略不写。
但为避免误会,数与数相乘时仍用“×”,不宜用“∙”,更不能省略乘号。
(2)在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写。
(3)带分数与字母相乘,省略乘号时应把带分数化成假分数。
(4)实际问题中需用单位是,若代数式的最后结果含有加、减运算,则要将整个式子用括号括起来,再写单位;否则,可直接写单位。
例如:5x km ,)(y x +天。
温馨提示①列代数式时,注意书写规范。
②列代数式时,相同字母的积用乘方表示。
如a a a ⨯⨯,一般写成3a 。
③实际问题中的数量关系可以用代数式表示,另一方面,同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义。
注意说出代数式表示的实际意义时,数与字母的含义必须与实际相符。
例2:用适当的式子表示:(1)比m除以n的2倍的商大8的数;(2)a与b的平方和的相反数;(3)8a除以3b的平方的商;(4)m的平方与n的立方的倒数的差。
掌握方法一.列代数式的方法列代数式时,要善于将文字语言转化为数学语言,一般是先读的先写,并注意括号的使用。
对实际问题中的代数式,要明确各量之间的关系,如:路程=速度×时间,利润=售价-成本,工作量=工作效率×工作时间等,根据实际问题提供的数量关系列出代数式。
例1:某市出租车收费标准为:不超过3千米(含3千米)时,需付起步价5元,超过3千米后每千米价格为1.4元,则乘坐出租车走x(x>3,且x为正整数)千米应付元。
二.多位数的表示方法如果一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,不能把这个三位数直接写成abc,而是把各数位上的数字乘相应的倍数,相加后即为所求的三位数。
即100。
c+10a+b例2:一个三位数,十位数字为x,个位数字比十位数字小3,百位数字是十位数字的3倍,则这个三位数为。
三.求代数式的值的方法求代数式值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”,然后计算求得结果。
对于特殊的代数式,也可以采用如下方法来解:(1)给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算。
(2)给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值,该类型一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。
(3)在给定条件中,字母之间的关系不明显,字母的值隐含在题设条件中,该类型应先由题设条件求出字母的值,再求代数式的值。
例3:已知42a+1=64,求代数式a2﹣1的值。
例4:已知,用整体代入法求的值。
例5:整体代入(1)已知当x=7时,代数式ax5+bx﹣8=8,求x=7时,x5+x+8的值。
(2)已知x﹣y=3xy,求的值。
例6:阅读下列文字,并解决问题。
已知x2y=3,求2xy(x5y2﹣3x3y﹣4x)的值。
分析:考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入。
解:2xy(x5y2﹣3x3y﹣4x)=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2(x2y)3﹣6(x2y)2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24。
请你用上述方法解决问题:已知ab=3,求(2a3b2﹣3a2b+4a)•(﹣2b)的值。
四.列代数式在探索规律问题中的应用方法根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律,从中总结其反映的规律。
其中,以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系列式表达出来,再对所列式进行观察对比,仿照数式规律的方法猜想得到最终结论。
这类问题是近年来中考试题的热点,应予以关注。
例7:找规律:(1)等差型:3,8,13,18,23,,…用n表示为;(2)等比型:3,6,12,24,48,,…用n表示为;(3)指数型:1,4,9,16,25,36,,…用n表示为;0,3,8,15,24,35,,…用n表示为;(4)和差型:3,5,8,13,21,;﹣1,1,2,1,﹣1,﹣2,﹣1,。
例8:观察下列算式找规律填空。
12﹣02=1+0=1 22﹣12=2+1=3 32﹣22=3+2=5若字母n表示自然数,请你把你观察到的规律用含n的式子表示出来.例9:(2009秋•晋城校级期中)找规律:观察下面的星阵图和相应的等式,探究其中的规律.(1)在④、⑤和⑥后面的横线上分别写出相应的等式:①1=12②1+3=22③1+3+5=32④⑤⑥(2)通过猜想,写出第n个星阵图相对应的等式:.代数式与整式整式夯实基础一.整式(1)整式:单项式与多项式统称整式。
它们的关系如图所示:温馨提示①所有的整式的分母中不含字母。
②所有的整式都是代数式,但并不是所有的代数式都是整式。
二.单项式 1.定义:像r ab m x π2,,21,2--,都是数与字母的乘积,这样的式子叫做单项式。
特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式。
巧记方法:单项式中“只含乘除,不含加减”。
温馨提示①单项式中不能含有加减运算,例如32+x 不是单项式。
②单项式可以是数和数的积,如π6;可以是数和字母的积,如3a;可以是字母和字母的积,如ab ;可以是多个数与多个字母的积,如53253c b a 。
③由于π是常数,所以π1也是常数,是单项式。
2.单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
温馨提示①一个单项式只含有字母因数,它的系数就是1或1-。
②一个单项式是一个常数,它的系数就是它本身。
③负数作系数时,应包括前面的符号。
④当一个单项式的系数是1或1-时,“1”通常省略不写。
如:2a 、mn -;单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如y x 2211写成y x 223。
3.单项式的次数一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
温馨提示单项式的次数与系数没有关系,例如:3232b a 的次数是5,不要误认为是8。
例1:填表:例2:单项式x π2的系数是 。
例3:单项式xyz 23π的次数是 。
例4:写出三个系数是2,含有字母s ,t 的四次单项式。
三.多项式1.多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式。
如:222y xy x ++,22b a -等。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。
温馨提示①多项式的每一项都包括它前面的符号,如7632+-x x ,这个多项式的项是23x ,x 6-,7。
②多项式中的单项式的个数叫做多项式的项数。
如5232+-a a 的项数是3,叫做三项式。
在多项式中,不含字母的项叫做常数项。
例5:填表:2.多项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
知识延伸多项式通常以它的项的次数和项数来命名,称几次几项式。
最高次项的次数是几,是几次式,项数是几,是几项试。
例如:多项式4326224--+xy y x xy 是五次四项式。
例6:指出下列多项式是几次几项式,并指出常数项。
(1)95141213322++-xy y x y x ;(2)32254z z y x +(3)75232-+-x x例7:请你写出一个关于x ,y 的四次多项式。
掌握方法一.整式的识别方法识别整式要注意以下几点:(1)单项式中不能含有加减运算,多项式中一定含有加减运算。
如y x +2,122-b 等都是多项式。
(2)单项式与多项式中都可以有除法运算,但是要写成分数的形式且分母中不能含有字母。
如2st -是单项式;42b a -是多项式;a 2,xyx +既不是单项式,也不是多项式。
(3)一个整式不是单项式就是多项式。
判断一个式子是否为整式的关键是看分母是否含有字母。
例8:已知代数式:①y x +-;②32y x ;③2π;④22b a +;⑤x y ;⑥ab a +2;⑦2ba +;⑧1-。
其中单项式有 ;多项式有 ;整式有 。