浙教版初中数学中考复习：折叠问题(共46张PPT)

•
则DH＝EH＝9－x，CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
• 【解析】由题意设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，
1
3
•
∵BE∶EC＝2∶1，∴CE＝ BC＝3，
•
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，
•
即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4
6
考向一：折叠求线段的长
•
∵l∥EC，∴ED⊥l，∴EM＝2＝AE，∴点A、点M关于直线EF对称，
•
∵∠MDF＝∠MFD＝45°，∴DM＝MF＝DE－EM＝2 2－2，∴DF＝ 2DM＝4－
2 2；
•
当直线l在直线EC下方时，∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，∴DF1＝DE＝2 2，
•
综上所述DF的长为2 2或4－2 2.
• (4)对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.
• 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐
角三角函数等知识来解决有关折叠问题．
3
中考中常见题型：
• 中考中常见的题型：
• （1）求角度
（2）求线段长度
• （4）求面积
（5）确定点的位置（分类讨论）
（3）求周长
4
考向一：折叠求线段的长
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不
重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点
E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
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解析：
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不
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考向三：分类讨论求线段的长
• 【练】在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3.将矩形纸片
折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，求EF长．
16
解析：
17
考向四：折叠求角的度数
• 【例】如图，E是矩形ABCD中B百度文库边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD
折叠问题
考情分析：
•
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在
这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实
质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
•
折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填
空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直
解析：
• 【分析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG
后再求△BGE的面积，
•
最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
• 【解析】DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°.
•
又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．
•
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.
考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝
10 cm，求tan∠EAF.
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方法提炼：
• 求线段长度常用的方法：
• （1）等面积法
（2）勾股定理
（3）相似
（4）三角函数
• 转化思想
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考向二：求周长
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
•
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝x＋3，
•
在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴CG＝4，
•
∴tan∠EGC＝


3
4
= .
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• (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求tan∠EGC的值．
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方法提炼：
• 求角的常用方法：
•
（1）内角和
•
转化思想
（2）外角
（3）三角函数
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边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
．(用含t的代数
式表示)
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解析：
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
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考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延
长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
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考向四：折叠求角的度数
• 【例】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE
，延长EF交BC于点G，连结AG.
恰好落在直线l上，求DF的长．
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解析：
• 【解析】如图，当直线l在直线CE上方时，连结DE交直线l于M，
•
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
•
∵AB＝4，AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，
•
∴△ADE，△ECB是等腰直角三角形，
•
∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠DEC＝90°，
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
• 【解析】由折叠的性质可知，∠A′DE＝∠ADE，∠AED＝∠A′ED，
1
2
•
∵∠A′EC＝70°，∴∠AED= (180°－∠A′EC)＝55°，
•
∴∠A′DE＝∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝65°
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解析：
• 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
•
由折叠的性质可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，
•
∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠AFG＝∠B.
•
又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG(HL)
•
(2)∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
•
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
•
∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
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考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
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解析：
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
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解析：
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考向六：折叠综合问题
• 【例】将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B′作B′P∥BC，交
3
AE于点P，连结BP.已知BC＝3，CB′＝1，下列结论：①AB＝5；②sin∠ABP＝ ；③四边形
• 【例】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折
痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，求线段CH的长．
5
解析：
• 【例】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折
痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，求线段CH的长．
• 【分析】根据折叠的性质可得DH＝EH，在直角△CEH中，若设CH＝x，
角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识
来设题．
2
考情分析：
• 根据轴对称的性质可以得到：
• (1)折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；
• (2)互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；
• (3)对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；
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5
BEB′P为菱形；④S四边形BEB′P－S△ECB′＝1.其中正确的是
•
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，
•
在Rt△BEG中，由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2，
•
即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4.
•
72
＝ .
5
1
1

6
∵S△BEG＝ ·BE·BG＝ ·6·8＝24，∴S△BEF＝ ·S△BEG＝ ·24
2
2

10
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表示)
• 【点拨】等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为
2 3
3
．(用含t的代数式
2 3
t.
3
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考向三：分类讨论求线段的长
• 【练】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直
线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A
重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点
E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
8
考向一：折叠求线段的长
• 【练】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连结MC，将菱
形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，求线段EC的长．
9
解析：
• 【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中
点，得到2MD＝AD＝CD＝2，从而得到∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，进而利用锐角三角函
数关系求出EC的长即可．
内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°， 求∠DAF的度数．
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解析：
• 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝
90°，
•
求出∠BAE.
• 【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.
•
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，