浙教版初中数学中考复习：折叠问题(共46张PPT)
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中考浙江数学复习课件：类型三 折叠问题
出点M的纵坐标，利用点M横、纵坐标相等可求出r的值．
②解：⊙M在直线AC上运动，在运动过程中，能与y轴也相切． 如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径， 由①可知M(8－2r，r)，所以只需使8－2r＝r， 即当r为 8 时，⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切，
3
∴M点的坐标为( 8 ，8 )．
x＋
32 3
；
(2)⊙M的圆心M始终在直线AC上(点A除外)，且⊙M始终与x 轴相切，如图②. ①求证：⊙M与直线AD相切； 【思维教练】由折叠性质可知DE垂直平分AC，从而得到 CD＝AD，根据等边对等角及平行线性质证得AC平分 ∠OAD，从而可证明⊙M与直线AD相切．
(2)①证明：∵四边形OABC为矩形， ∴BC∥OA，∴∠DCA＝∠CAO， 又∵矩形OABC对折，使点A与点C重合(折痕为ED)， ∴DE为AC的垂直平分线，∴CD＝AD， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAO，
第二部分 题型研究
题型五 几何探究题
类型三 折叠问题
典例精讲 例 3 在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别 落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA＝8, OC＝4，连接 AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC
交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①.
例3题图
（1）求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式； 【思维教练】要求点D坐标，需求得CD，根据折叠性质易知
CE＝AE，且A、C两点关于ED对称，再由四边形OABC为矩
形，BC∥OA转化得∠CDE＝∠CED，从而CE＝CD，而在 Rt△OCE中，OC已知，OE可用含CE的式子表示，用勾股定 理即可求得CE，从而求得点D的坐标；而直线AD的解析式
②解：⊙M在直线AC上运动，在运动过程中，能与y轴也相切． 如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径， 由①可知M(8－2r，r)，所以只需使8－2r＝r， 即当r为 8 时，⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切，
3
∴M点的坐标为( 8 ，8 )．
x＋
32 3
；
(2)⊙M的圆心M始终在直线AC上(点A除外)，且⊙M始终与x 轴相切，如图②. ①求证：⊙M与直线AD相切； 【思维教练】由折叠性质可知DE垂直平分AC，从而得到 CD＝AD，根据等边对等角及平行线性质证得AC平分 ∠OAD，从而可证明⊙M与直线AD相切．
(2)①证明：∵四边形OABC为矩形， ∴BC∥OA，∴∠DCA＝∠CAO， 又∵矩形OABC对折，使点A与点C重合(折痕为ED)， ∴DE为AC的垂直平分线，∴CD＝AD， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAO，
第二部分 题型研究
题型五 几何探究题
类型三 折叠问题
典例精讲 例 3 在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别 落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA＝8, OC＝4，连接 AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC
交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①.
例3题图
（1）求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式； 【思维教练】要求点D坐标，需求得CD，根据折叠性质易知
CE＝AE，且A、C两点关于ED对称，再由四边形OABC为矩
形，BC∥OA转化得∠CDE＝∠CED，从而CE＝CD，而在 Rt△OCE中，OC已知，OE可用含CE的式子表示，用勾股定 理即可求得CE，从而求得点D的坐标；而直线AD的解析式
中考数学专题复习图形的折叠型题PPT课件
(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后
所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 **** n
所得扇形的总个数(S)
47
***
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将本来的圆形 纸板剪成33个扇形？为什么？
例26、如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个
例25、如图，⊙O表示一圆形纸板，根
O
据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若 干个扇形面，操作过程如下：第1次剪，
第25题图
将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得的
扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁
的作法进行下去.(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次
剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹不写作法).
角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎 样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图
形的面积为原正方形面积的 5 ，请说明理由(写
出证明及计算过程).
9
E
A M DA M
例22、电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制
成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫 “晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、 宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直 径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺 寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计 切割损耗）
典例精析
一．折叠后求度数 例1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折 叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ） A．600 B．750 C．900 D．950
例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C
分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则 ∠AED′等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65°
初三数学中考专题复习课折叠问题》ppt课件讲义
OE 4 5
k 1
H
O
探究型问题之“折叠问题”
例4：已知扇形 AOB 的半径为︵ 6，圆心角为 90°，E E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
解x得 3a,所2a 以 x5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax
a
x 2ax
探究型问题之“折叠问题”
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
O
OE 15
4
E A
G M
N
B
F
O'
探究型问题之“折叠问题”
变式3：已知扇形 AOB 的︵ 半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
x 2a y
k 1
H
O
探究型问题之“折叠问题”
例4：已知扇形 AOB 的半径为︵ 6，圆心角为 90°，E E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
解x得 3a,所2a 以 x5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax
a
x 2ax
探究型问题之“折叠问题”
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
O
OE 15
4
E A
G M
N
B
F
O'
探究型问题之“折叠问题”
变式3：已知扇形 AOB 的︵ 半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
x 2a y
浙教版初中数学中考复习-折叠问题 (共46张PPT)
7
解析：
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不 重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点 E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
（2）外角
（3）三角函数
26
考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延 长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
27
解析：
28
考向六：折叠综合问题
29
解析：
30
考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处 ，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• 【分析】(2)由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角 相
•
等，再由AP＝EB，利用AAS即可得证；
34
考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处 ，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• (3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
44
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不 重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点 E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
（2）外角
（3）三角函数
26
考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延 长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
27
解析：
28
考向六：折叠综合问题
29
解析：
30
考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处 ，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• 【分析】(2)由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角 相
•
等，再由AP＝EB，利用AAS即可得证；
34
考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处 ，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• (3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
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八年级数学《折叠问题》课件 浙教版
A
D
作
高
BE
F
C
O
补A
D
三
B
C
1、 若梯形ABCD是等腰梯形时，ΔOBC是什
角 么三角形？
2、梯形满足什么条件时， ΔOBC是直角三角 形？
形
A
D
平
O
移
对
B
C
1、当AC⊥BD时，ΔBED是什么三角形？
E
2、当AC =BD时，ΔBED又是什么三角形？
角 3、当AC⊥BD 且AC =BD时，ΔBED又是什么三角形？
(1)请你探究线段BP、DQ、PQ之间存在怎样的 (2) 数量关系？写出你的结论，并给出证明
(2)如图2，如果直角边AE、斜边AF分别交BC、
CD的延长线于点P、点Q,连接PQ.则(1)中的结
论是否还成立？如果成立，请给出证明。如果
不成立，请直接写出线段BP、DQ、PQ之间的
数量关系。
F
Q
A
D
A
D
Q
平分线组成四边形A'B'C'D'， 求证：四边形Aห้องสมุดไป่ตู้B'C'D'是正方形。
证明：在四边形ABCD中
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、 ∠ABC、∠BCD、∠CDA
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°
∴∠B'＝∠D'＝90°
AD＝BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'＝BD'＝CD'＝DB' 同理可证：∠D'A'B'＝∠D'C'B'＝90且AA'＝BA'＝CC'＝DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)
九年级数学图形的折叠问题课件
图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，
会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进 而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观 点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学 试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．
山东省中考 考试说明要求
图形的折叠问题
（复习课）
图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题
者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的 思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠， 因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的 性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多， 考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等， 甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．
掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不 变的图形性质． 培养学生运用运动变化的 观点分析和解决问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
中考中常见的题型：
（1）求角度 （2）求线段长度 （3）求周长
（4）求面积
（5）确定点的位置（分类讨论）
知识导引
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使 它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中 “折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实质是图形的轴 对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
考向4、平行四边形的折叠：
典例5、(2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形 纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在 点 处，折痕为 ．求证： （1）ECB FCG ； （2）EBC FGC ．
【自主作答】
考向5、圆折叠：
会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进 而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观 点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学 试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．
山东省中考 考试说明要求
图形的折叠问题
（复习课）
图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题
者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的 思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠， 因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的 性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多， 考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等， 甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．
掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不 变的图形性质． 培养学生运用运动变化的 观点分析和解决问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
中考中常见的题型：
（1）求角度 （2）求线段长度 （3）求周长
（4）求面积
（5）确定点的位置（分类讨论）
知识导引
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使 它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中 “折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实质是图形的轴 对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
考向4、平行四边形的折叠：
典例5、(2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形 纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在 点 处，折痕为 ．求证： （1）ECB FCG ； （2）EBC FGC ．
【自主作答】
考向5、圆折叠：
数学中考复习课件：图形的折叠问题
∴矩形的周长为36k，即36cm。
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在折痕线MN上，若AB=3，则
折痕AE的长为（C ）。
MG
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
A
D
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
证明：（1）∵∠B=C=D=90º，
又根据题意RtADE≌RtAFE,
∴AFE=90º, ∴AFB=FEC ,
D E
FC
∴AFB∽FEC.
解（2）由tanEFC=3/4，设EC=3k，则FC=4k， 在RtEFC中，得EF=DE=5k。
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
折迭问题专题讲座ppt课件
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角 形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
y CD
B
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
c 1, 则 a b c 0,
16a 4b c 3. y= 1 x2 3 x 1
22
a
1 2
,
∴
b
3 2
,
c 1.
EF O P 图2
一.题目来源
九年级下，P17页第6题
D
E
C
如图，在一张长方形纸片
ABCD中，AD=25cm，
G
AB=20cm，点E,F分别是CD
H
和AB的中点。现将这张纸片
按图示方式折叠，求∠DAH
的大小及EG的长（精确到 A
F
B
0.1cm）。
轴对称
变
A B'
A'
D
AF
D
式F
B
B
EC
EC
A'
A
D 变式三
变式四
AF
此时，将△ABM′沿BM′折叠，
点A是否落在EF上（E、F分别 为AB、CD中点）？为什么？
图3
(3) M BC 600 ,ABM 900 600 300
在RtABM A中，tan ABM AM , AM 2 • tan 300 AB
2 3 , M ( 2 3 ,2)。代入y kx中，得k 3.
60
图1
3030图2
p
请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？ 请证明你的结论．
（1）△BMP是等边三角形．
证明：连结AN, ∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN.由折叠知 :AB ＝ BN ∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形 ∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30° 又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝ ∠A ＝90° ∴∠BPN ＝60°,∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60° ∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°∴△BMP为等边三角形 ．
中考数学二轮复习 专题5 折叠问题课件
【解析(jiě xī)】每个图形，折叠后有哪些等量关系？
第四页，共四十五页。
【解析】根据折叠后图形的不变性得出等量关系，对每一选项逐一(zhúyī)进行判断．
第五页，共四十五页。
2．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE＝13AB， 将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连结 BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF 是等边 三角形．其中正确的是( D )
第三十二页，共四十五页。
第三十三页，共四十五页。
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
(2)设 DE＝x，则 FE＝DE＝x.∵CD＝8，∴EC＝8－x. 在 Rt△EFC 中，FC2＋EC2＝EF2，即 42＋(8－x)2＝x2， 解得 x＝5，∴CE＝8－x＝3，∴CDEE＝35
第三十七页，共四十五页。
16．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F，连结DE.
第二十五页，共四十五页。
11．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3.将矩形纸片折 叠，使点B与点P重合，折痕(shéhén)所在直线交矩形两边于点E，F，求EF的长．
第二十六页，共四十五页。
解：如图 1，当点 P 在 CD 上时，∵PD＝3，CD＝AB＝9，∴CP＝6， ∵EF 垂直平分 PB，∴四边形 PFBE 是正方形，EF 过点 C，∴EF＝6 2； 如图 2，当点 P 在 AD 上时，过 E 作 EQ⊥AB 于 Q，∵PD＝3，AD＝6， ∴AP＝3，∴PB＝ AP2＋AB2＝ 32＋92＝3 10，∵EF 垂直平分 PB， ∴∠1＝∠2，∵∠A＝∠EQF，∴△ABP∽△QEF， ∴EPBF＝EAQB，∴3EF10＝69，∴EF＝2 10， 综上所述：EF 的长为 6 2或 2 10
第四页，共四十五页。
【解析】根据折叠后图形的不变性得出等量关系，对每一选项逐一(zhúyī)进行判断．
第五页，共四十五页。
2．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE＝13AB， 将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连结 BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF 是等边 三角形．其中正确的是( D )
第三十二页，共四十五页。
第三十三页，共四十五页。
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
(2)设 DE＝x，则 FE＝DE＝x.∵CD＝8，∴EC＝8－x. 在 Rt△EFC 中，FC2＋EC2＝EF2，即 42＋(8－x)2＝x2， 解得 x＝5，∴CE＝8－x＝3，∴CDEE＝35
第三十七页，共四十五页。
16．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F，连结DE.
第二十五页，共四十五页。
11．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3.将矩形纸片折 叠，使点B与点P重合，折痕(shéhén)所在直线交矩形两边于点E，F，求EF的长．
第二十六页，共四十五页。
解：如图 1，当点 P 在 CD 上时，∵PD＝3，CD＝AB＝9，∴CP＝6， ∵EF 垂直平分 PB，∴四边形 PFBE 是正方形，EF 过点 C，∴EF＝6 2； 如图 2，当点 P 在 AD 上时，过 E 作 EQ⊥AB 于 Q，∵PD＝3，AD＝6， ∴AP＝3，∴PB＝ AP2＋AB2＝ 32＋92＝3 10，∵EF 垂直平分 PB， ∴∠1＝∠2，∵∠A＝∠EQF，∴△ABP∽△QEF， ∴EPBF＝EAQB，∴3EF10＝69，∴EF＝2 10， 综上所述：EF 的长为 6 2或 2 10
数学中的折叠问题PPT课件
在折叠过程中在折叠过程中一定要注意图形一定要注意图形癿哪些元素癿值没有収生改发癿哪些元素癿值没有収生改发折叠后折叠后重叠部分癿图形是全等形重叠部分癿图形是全等形注意运用数学知识解决生活注意运用数学知识解决生活中癿实际问题中癿实际问题11
折纸学几何
驶向胜利的彼岸
-
1
温故
判定两个直角三角形全等的方法:
点B落在点E处。AE交CD于点M，试判断
折叠后重合的部分（即△AMC ）的形状。
并证明你的结论
结论:
E
△AMC 是等
M
D
C
腰三角形
A
-
B
7
探索3
如图(1)矩形ABCD中,AD>AB,点O为对角线的交点, 过O点作一直线分别交BC、AD于M、N。
(1)猜想:梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积有什么关系？
(1)ASA:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (2)SAS: 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (3)SSS: 有三边对应相等的两个三角形全等. (4)AAS:有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个
三角形全等。 (5)HL: 斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等.
-
2
用所学知识进行推理和证明．
2)折叠后,重叠部分的图形是全等形.
(3)注意运用数学知识解决生活
中的实际问题.
-
10
；https:// 女人化妆品 ； 2019年01月21日18:34:51 ；
经营.简单の说,宁得城の经济是比较脆弱の,承受不了太沉叠の打击.抛售房产の人,又开始快速增加了.在宁得城拥有产业の人,心中の不安与日俱增.他们害怕,手中の房产砸在自身の手里.而聂铨等人,专门派出一些人到处散播消息,说宁得城快要完蛋了.面对呐
折纸学几何
驶向胜利的彼岸
-
1
温故
判定两个直角三角形全等的方法:
点B落在点E处。AE交CD于点M，试判断
折叠后重合的部分（即△AMC ）的形状。
并证明你的结论
结论:
E
△AMC 是等
M
D
C
腰三角形
A
-
B
7
探索3
如图(1)矩形ABCD中,AD>AB,点O为对角线的交点, 过O点作一直线分别交BC、AD于M、N。
(1)猜想:梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积有什么关系？
(1)ASA:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (2)SAS: 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (3)SSS: 有三边对应相等的两个三角形全等. (4)AAS:有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个
三角形全等。 (5)HL: 斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等.
-
2
用所学知识进行推理和证明．
2)折叠后,重叠部分的图形是全等形.
(3)注意运用数学知识解决生活
中的实际问题.
-
10
；https:// 女人化妆品 ； 2019年01月21日18:34:51 ；
经营.简单の说,宁得城の经济是比较脆弱の,承受不了太沉叠の打击.抛售房产の人,又开始快速增加了.在宁得城拥有产业の人,心中の不安与日俱增.他们害怕,手中の房产砸在自身の手里.而聂铨等人,专门派出一些人到处散播消息,说宁得城快要完蛋了.面对呐
初三数学中考专题复习课课件折叠问题
总结解题思路
在练习过程中，不断总结解题思路，分析解题方 法和技巧的适用范围，提高解题的灵活性和准确 性。
THANKS
感谢观看
数值。
03
函数图像的折叠
在函数学习中，函数图像的折叠可以用于理解函数的性质和变化规律。
例如，将平面直角坐标系中的函数图像沿某条直线折叠，可以观察到图
像的对称性、交点和极值点等特征的变化。
折叠问题与其他数学知识的联系
几何变换
折叠问题涉及到几何变换的知识，包括平移、旋转和对称 等。通过这些变换，可以理解图形在折叠过程中的变化规 律和特征。
饰品和工艺品。
建筑设计
在建筑设计中，折叠结 构可以创造出具有独特 美感和功能的建筑。例 如，通过折叠金属板或 塑料板，可以制作出轻 巧、美观的建筑外壳。
航天器设计
在航天器设计中，折叠 结构被广泛应用于火箭 和卫星等设备。通过折 叠或展开结构，可以减 少或增加设备的体积，
便于运输和存储。
折叠问题的拓展和深化
第二季度
第三季度
第四季度
纸盒制作
在包装和设计领域，折 叠纸盒是最常见的应用 之一。通过折叠纸板， 可以形成具有特定形状 和功能的纸盒，用于包 装、存储和运输物品。
折纸艺术
折纸是一种源于中国的 传统艺术，通过折叠纸 张来创造出各种形状和 动物等形象。折纸艺术 不仅具有观赏价值，还 可以用于制作玩具、装
将代数式或方程进行折叠，考查对代数式的理解和变形能力。
折叠与轴对称的结合
考查对轴对称和折叠概念的理解和应用。
折叠问题的解题策略
01
02
03
理解折叠过程
明确折叠前后的图形关系 ，理解边长、角度等的变 化。
建立数学模型
在练习过程中，不断总结解题思路，分析解题方 法和技巧的适用范围，提高解题的灵活性和准确 性。
THANKS
感谢观看
数值。
03
函数图像的折叠
在函数学习中，函数图像的折叠可以用于理解函数的性质和变化规律。
例如，将平面直角坐标系中的函数图像沿某条直线折叠，可以观察到图
像的对称性、交点和极值点等特征的变化。
折叠问题与其他数学知识的联系
几何变换
折叠问题涉及到几何变换的知识，包括平移、旋转和对称 等。通过这些变换，可以理解图形在折叠过程中的变化规 律和特征。
饰品和工艺品。
建筑设计
在建筑设计中，折叠结 构可以创造出具有独特 美感和功能的建筑。例 如，通过折叠金属板或 塑料板，可以制作出轻 巧、美观的建筑外壳。
航天器设计
在航天器设计中，折叠 结构被广泛应用于火箭 和卫星等设备。通过折 叠或展开结构，可以减 少或增加设备的体积，
便于运输和存储。
折叠问题的拓展和深化
第二季度
第三季度
第四季度
纸盒制作
在包装和设计领域，折 叠纸盒是最常见的应用 之一。通过折叠纸板， 可以形成具有特定形状 和功能的纸盒，用于包 装、存储和运输物品。
折纸艺术
折纸是一种源于中国的 传统艺术，通过折叠纸 张来创造出各种形状和 动物等形象。折纸艺术 不仅具有观赏价值，还 可以用于制作玩具、装
将代数式或方程进行折叠，考查对代数式的理解和变形能力。
折叠与轴对称的结合
考查对轴对称和折叠概念的理解和应用。
折叠问题的解题策略
01
02
03
理解折叠过程
明确折叠前后的图形关系 ，理解边长、角度等的变 化。
建立数学模型
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内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°， 求∠DAF的度数．
18
解析：
• 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝
90°，
•
求出∠BAE.
• 【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.
•
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，
• (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求tan∠EGC的值．
24
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5
BEB′P为菱形；④S四边形BEB′P－S△ECB′＝1.其中正确的是
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
• 【解析】由折叠的性质可知，∠A′DE＝∠ADE，∠AED＝∠A′ED，
1
2
•
∵∠A′EC＝70°，∴∠AED= (180°－∠A′EC)＝55°，
•
∴∠A′DE＝∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝65°
21
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角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识
来设题．
2
考情分析：
• 根据轴对称的性质可以得到：
• (1)折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；
• (2)互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；
• (3)对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；
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考向四：折叠求角的度数
• 【例】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE
，延长EF交BC于点G，连结AG.
考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝
10 cm，求tan∠EAF.
22
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重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点
E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
8
考向一：折叠求线段的长
• 【练】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连结MC，将菱
27
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边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
．(用含t的代数
式表示)
12
解析：
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
•
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝x＋3，
•
在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴CG＝4，
•
∴tan∠EGC＝
3
4
= .
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考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延
长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
恰好落在直线l上，求DF的长．
14
解析：
• 【解析】如图，当直线l在直线CE上方时，连结DE交直线l于M，
•
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
•
∵AB＝4，AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，
•
∴△ADE，△ECB是等腰直角三角形，
•
∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠DEC＝90°，
解析：
• 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
•
由折叠的性质可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，
•
∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠AFG＝∠B.
•
又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG(HL)
•
(2)∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
10
方法提炼：
• 求线段长度常用的方法：
• （1）等面积法
（2）勾股定理
（3）相似
（4）三角函数
• 转化思想
11
考向二：求周长
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
折叠问题
考情分析：
•
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在
这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实
质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
•
折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填
空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直
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方法提炼：
• 求角的常用方法：
•
（1）内角和
•
转化思想
（2）外角
（3）三角函数
26
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考向六：折叠综合问题
• 【例】将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B′作B′P∥BC，交
3
AE于点P，连结BP.已知BC＝3，CB′＝1，下列结论：①AB＝5；②sin∠ABP＝ ；③四边形
•
则DH＝EH＝9－x，CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
• 【解析】由题意设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，
1
3
•
∵BE∶EC＝2∶1，∴CE＝ BC＝3，
•
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，
•
即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4
6
考向一：折叠求线段的长
•
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
•
∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
19
考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
20
解析：
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，求线段EC的长．
9
解析：
• 【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中
点，得到2MD＝AD＝CD＝2，从而得到∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，进而利用锐角三角函
数关系求出EC的长即可．
解析：
• 【分析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG
后再求△BGE的面积，
•
最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
• 【解析】DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°.
•
又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．
•
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.
15
考向三：分类讨论求线段的长
• 【练】在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3.将矩形纸片
18
解析：
• 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝
90°，
•
求出∠BAE.
• 【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.
•
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，
• (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求tan∠EGC的值．
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5
BEB′P为菱形；④S四边形BEB′P－S△ECB′＝1.其中正确的是
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
• 【解析】由折叠的性质可知，∠A′DE＝∠ADE，∠AED＝∠A′ED，
1
2
•
∵∠A′EC＝70°，∴∠AED= (180°－∠A′EC)＝55°，
•
∴∠A′DE＝∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝65°
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角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识
来设题．
2
考情分析：
• 根据轴对称的性质可以得到：
• (1)折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；
• (2)互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；
• (3)对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；
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考向四：折叠求角的度数
• 【例】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE
，延长EF交BC于点G，连结AG.
考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝
10 cm，求tan∠EAF.
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重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点
E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
8
考向一：折叠求线段的长
• 【练】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连结MC，将菱
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边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
．(用含t的代数
式表示)
12
解析：
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
•
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝x＋3，
•
在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴CG＝4，
•
∴tan∠EGC＝
3
4
= .
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考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延
长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
恰好落在直线l上，求DF的长．
14
解析：
• 【解析】如图，当直线l在直线CE上方时，连结DE交直线l于M，
•
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，
•
∵AB＝4，AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，
•
∴△ADE，△ECB是等腰直角三角形，
•
∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠DEC＝90°，
解析：
• 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
•
由折叠的性质可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，
•
∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠AFG＝∠B.
•
又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG(HL)
•
(2)∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
10
方法提炼：
• 求线段长度常用的方法：
• （1）等面积法
（2）勾股定理
（3）相似
（4）三角函数
• 转化思想
11
考向二：求周长
• 【例】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻
折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与
折叠问题
考情分析：
•
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在
这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实
质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
•
折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填
空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直
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方法提炼：
• 求角的常用方法：
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（1）内角和
•
转化思想
（2）外角
（3）三角函数
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考向六：折叠综合问题
• 【例】将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B′作B′P∥BC，交
3
AE于点P，连结BP.已知BC＝3，CB′＝1，下列结论：①AB＝5；②sin∠ABP＝ ；③四边形
•
则DH＝EH＝9－x，CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
• 【解析】由题意设CH＝x，则DH＝EH＝9－x，
1
3
•
∵BE∶EC＝2∶1，∴CE＝ BC＝3，
•
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，
•
即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝4，即CH＝4
6
考向一：折叠求线段的长
•
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
•
∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
19
考向四：折叠求角的度数
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
果∠A′EC＝70°，求∠A′DE的度数．
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解析：
• 【练】如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如
形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，求线段EC的长．
9
解析：
• 【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中
点，得到2MD＝AD＝CD＝2，从而得到∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，进而利用锐角三角函
数关系求出EC的长即可．
解析：
• 【分析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG
后再求△BGE的面积，
•
最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
• 【解析】DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°.
•
又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．
•
∵正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.
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考向三：分类讨论求线段的长
• 【练】在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3.将矩形纸片