椭圆及其标准方程教案2
椭圆定义及其标准方程 精品教案
2．2椭圆【课题】：椭圆的定义及其标准方程2方案一：【设计与执教者】：广州市第89中学，田鹰，tianyingtian@。
【教学时间】：40分钟【学情分析】：（适用于特色班）学生已经学过了轨迹方程、椭圆的定义及其标准方程的概念。
本节课将主要通过例题、练习明确求轨迹方程的步骤，进一步加强学生对于知识的掌握。
【三维目标】：1、知识与技能：①使学生进一步掌握椭圆的定义；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；②进一步强化学生对求轨迹方程的方法、步骤的掌握。
2、过程与方法：通过例题、习题的评练结合，促使学生掌握求椭圆轨迹方程的方法。
3、情感态度与价值观：通过讲解求椭圆轨迹方程，使学生认识到辨证联系地看问题，学会在解题过程中抓住题目中条件与结论的联系。
【教学重点】：知识与技能①、②【教学难点】：知识与技能②【课前准备】：课件【教学过程设计】：【课题】：椭圆的定义及其标准方程2方案二：【设计与执教者】：广州市第89中学，田鹰，tianyingtian@。
【教学时间】：40分钟【学情分析】：（适用于平行班）学生已经学过了轨迹方程、椭圆的定义及其标准方程的概念。
本节课将主要通过例题、练习明确求轨迹方程的步骤，进一步加强学生对于知识的掌握。
【三维目标】：1、知识与技能：①使学生进一步掌握椭圆的定义；掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系；②进一步强化学生对求轨迹方程的方法、步骤的掌握。
2、过程与方法：通过例题、习题的评练结合，促使学生掌握求椭圆轨迹方程的方法。
3、情感态度与价值观：通过讲解求椭圆轨迹方程，使学生认识到辨证联系地看问题，学会在解题过程中抓住题目中条件与结论的联系。
【教学重点】：知识与技能①、②【教学难点】：知识与技能②【课前准备】：课件。
《椭圆及其标准方程》第二课时教学设计
教学篇•方法展示一、教学背景1.教材分析《椭圆及其标准方程》是继学习“圆及其标准方程”之后运用“曲线与方程”的思想解决二次曲线问题的又一实例。
从知识体系上讲，本节课是对用坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础。
从教材安排上讲，椭圆是三种圆锥曲线当中最重要的一种，教材中以椭圆为例，求椭圆方程，利用方程讨论几何性质，以及探究轨迹方程和符合椭圆标准方程的动点的轨迹的方法。
从方法上说为我们后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，起着承上启下的重要作用。
2.学情分析在学习本节课前，学生已经学习了“曲线和方程”和“椭圆及其标准方程”，对用坐标法研究几何问题已经有了一些了解，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线的方程，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免有些困难，比如：自我检测2学生想不到把1a2和1b2分别看作整体，例1动点A 的运动轨迹不是椭圆，而要叙述为动点A在椭圆上运动，还有会把轨迹和轨迹方程这两个概念混淆。
二、教学目标1.知识目标：求椭圆的标准方程；求符合条件的点的轨迹方程。
2.能力目标：使学生掌握确定椭圆标准方程中参数a，b的方法；掌握求动点轨迹方程的一些方法（如直接法、相关点法等）。
3.情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
通过主动探索、合作交流，感受探索的乐趣和成功的经验，体会数学的理性和严谨。
三、教学重点、难点重点：椭圆的标准方程，求动点的轨迹方程。
难点：求动点的轨迹方程。
四、教法和学法教法：设疑诱思、问题导学、合作探究。
学法：动手练习、主动探索、共同交流。
五、教学准备1.学生准备：复习椭圆及其标准方程，预习教材第41、42页例题。
2.教师准备：教学设计，多媒体课件制作。
3.教学手段：利用计算机多媒体教学。
椭圆及其方程教案(中档篇)
椭圆及其方程教案(中档篇)第一章：椭圆的概念1.1 椭圆的定义让学生了解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和实例让学生理解椭圆的基本性质，如焦点、半长轴、半短轴等。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。
解释椭圆标准方程的含义和应用，如通过方程可以确定椭圆的位置和大小。
第二章：椭圆的性质2.1 焦点和焦距让学生了解椭圆的焦点和焦距的概念，焦点是椭圆上到两个焦点距离之和为常数的点，焦距是两个焦点之间的距离。
通过图形和实例解释焦点和焦距与椭圆的大小和形状的关系。
2.2 半长轴和半短轴引导学生了解椭圆的半长轴和半短轴的概念，半长轴是椭圆上横坐标方向的半径，半短轴是椭圆上纵坐标方向的半径。
解释半长轴和半短轴与椭圆的大小和形状的关系。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程定义让学生了解椭圆的参数方程：\(x = a \cos t\)，\(y = b \sin t\)，其中\(t\)是参数，\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。
通过图形和实例解释椭圆参数方程的含义和应用，如可以通过参数方程描绘椭圆的形状和位置。
3.2 椭圆的参数方程的应用引导学生了解椭圆的参数方程的应用，如通过参数方程可以求椭圆的面积、弧长等。
给出实例，让学生学会使用参数方程解决实际问题。
第四章：椭圆的图像4.1 椭圆的标准图像让学生了解椭圆的标准图像，即椭圆的图形。
通过图形和实例解释椭圆的标准图像的特点和形状。
4.2 椭圆的图像变换引导学生了解椭圆的图像变换，如平移、缩放等。
给出实例，让学生学会使用图像变换改变椭圆的位置和大小。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在几何中的应用让学生了解椭圆在几何中的应用，如椭圆的面积、弧长等。
通过实例让学生学会使用椭圆的性质和方程解决几何问题。
高中数学选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程2 教案
教学内容
2.1.2椭圆及其标准方程(第2课时）
课时
2
教学过程
教学要点及教师活动
学生活动
教学引入
教学引入：
1、椭圆的定义：
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
2、椭圆的标准方程：
方程：
教学过程
教学要点及教师活动
学生活动
题型一：对椭圆定义的理解
例1：已知甲：动点P到定点A，B的距离之和ￜPAￜ+ￜPBￜ=2a,其中a为大于0的常数；乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的（ ）
方法一：设椭圆的标准方程为
方法一：设椭圆的标准方程为
教
学
反
馈
及
检
测
课堂小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程:焦点在x轴：
焦点在y轴:
3.求椭圆的标准方程（待定系数法、定义法）
作业布置
教学反思
【板书设计】
2.2 椭圆及其标准方程
题型一:对椭圆定义的理解例1
题型二:对椭圆标准方程的理解例2
题型三:求椭圆的标准方程例3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型二：对椭圆标准方程的理解
例2：（1）若方程 表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
题型三：求椭圆的标准方程
例3:求两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且经过点(-3/2,5/2)的椭圆的标准方程.
椭圆及其标准方程第二课时(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
3.1.2 椭圆及其标准方程第2课时教学设计（一）教学内容椭圆及其标准方程(二）教学目标1.通过知识的教学，使学生能熟练掌握椭圆的标准方程，焦点、焦距等概念以及a、b、c之间的关系，发展解析几何中代数运算素养.2.通过求点的轨迹方程,能使学生体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步体会坐标法和数形结合的思想.（三）教学重点及难点重点：求椭圆的标准方程.难点：轨迹方程的求法.（四）教学过程设计（主体内容）用问题分解教学目标1.课题导入问题1：上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的？追问1：椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？参数a、b、c的关系是怎样的？追问2：现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？师生活动：学生作答，老师适时补充，教师板书,明确求椭圆的标准方程不需要用坐标法，可用待定系数法确定a,b即可.设计意图：目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及a，b，c各量的关系，熟悉焦距.为下一步求椭圆的标准方程做好铺垫.2.例题教学例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，-10)，P到与它较近的一个焦点的距离为2.(3)椭圆经过点（1，32)，（2)师生活动：通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想,体会椭圆标准方程的常规方法待定系数法，便于掌握本节的重点.设计意图：巩固椭圆及其标准方程.问题2：动点的轨迹和轨迹方程有何区别？例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。
当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.师生活动：(1)轨迹是指图形，轨迹方程是指方程.明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标(x，y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. (3)明确椭圆与圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3 如图4，设点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4 -9，求点M 的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；(2)教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价；（4）此题反过来，就是椭圆的一条性质.课堂练习：教科书第109页练习第3，4题.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.师生活动：学生运用椭圆的概念与椭圆的标准方程解决第3题，运用求曲线的方程的方法解决第4题，教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.问题3：什么是椭圆的焦点三角形？焦点三角形又蕴含哪些知识呢？定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆的焦点三角形.例4 椭圆22143x y+=，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．师生活动：教师在黑板上画出示意图，引导学生可联想解三角形的知识，由学生说出解决方案.（时间允许的话）从此题可推出一般结论：（1）.（2）当P 点在椭圆与y 轴的交点时，焦点三角形面积最大为bc.设计意图：例题的难度不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用相关知识进行求解.3.课堂小结：问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论作个梳理吗？师生活动：先由学生对椭圆的标准方程和轨迹方程求法作梳理，教师进行补充.设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.(五）目标检测设计1.课堂检测（1）.求符合下列条件的椭圆的标准方程：①经过点P(-，(1，；②a=2b0).设计意图：考查学生对椭圆的标准方程及a ，b ，c 之间的关系的理解与掌握水平，（2）.已知△ABC 的周长为6，顶点A ，B 的坐标分别为(0，1)，(0，-1)，则点C 的轨过方程为( ) (A)221x 2)43x y +=≠±（ (B)2212)34x y +=≠±（y (C)221x 0)43x y +=≠（ (D)2210)34x y +=≠（y设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.（3）.已知点A(-1.0)，B 是圆F ：229(1)x y +=-（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 师生活动：学生先独立完成，后相互交流，教师视学生错误情况进行点评、校正.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程，考查学生求轨迹方程的掌握情况.2.课后作业教科书习题3.1第2，6，10题.（六）教学反思 点的纵坐标）是（P b S PF F 0021y .cy 2tan 2==∆θ。
椭圆及其标准方程(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求点的轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法（相关点法）；2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，激发学生学习兴趣，提高学生的创新意识.二、教学重难点1.重点：求动点轨迹方程的三种方法.2.难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.三、教学过程1.复习巩固，引入新课上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？【答案预设】（1）平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.1F 2F 21F F 1F 2F 21F F（2）椭圆标准方程有两种形式：焦点在x轴上， 焦点在y 轴上, 其中【设计意图】加深对椭圆定义及其标准方程的理解，为求动点的轨迹方程做准备.2.自主探究，得出新知活动1：如图所示，已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【活动预设】经过分析，发现点P 的轨迹符合椭圆的定义，再根据椭圆的定义求出点P 满足的标准方程.)(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 22c a b -=64)3(22=+-y x【设计意图】让学生掌握定义法求动点的轨迹方程.活动2：如图设A ，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0). 直线AM ，BM 相交于点M ，且他们的斜率之积是，求点M 的轨迹方程.【活动预设】设动点M 的坐标为(x ，y)，根据题目意思用含x ，y 的式子表示直线AM ，BM 的斜率，得到x ，y 的关系式,求出轨迹方程.写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.【设计意图】类比椭圆标准方程推导过程，利用直接法求动点的轨迹方程，并去除不符合条件的特殊点.活动3：如图，在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？【活动预设】由点M 是线段PD 的中点得到点M 的坐标与点P 坐标之间的关系式，并由点P 坐标满足圆的方程代入得到点M 的坐标所满足的方程.94-422=+y x【设计意图】让学生体会椭圆生成的另一种方式，利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程.思考：由活动3我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？3.应用巩固，强化方法已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.4.归纳小结，思维提升（1）回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的三种方法：①定义法②直接法③代入法(相关点法).（2）数学思想：数形结合、转化化归、类比归纳【设计意图】（1）梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；（2）培养学生敢于思考，不断总结的思维习惯，提升学生的数学核心素养，鼓励学生积极攀登知识高峰，为进一步的数学学习做好准备.四、课外作业1. 课本109页，练习第3、4题；2. 课本115页，习题3.1 第6、8、9、10题.课后探究：课下与同学一起探究完成思考题，体会由圆得到椭圆的两种方式，并思考由圆得到的椭圆有哪些性质.【设计意图】（1）通过练习巩固本节课所学的内容和方法，让学生学会用知识解决问题；（2）分层布置作业，让学有余力的同学多思考，多花时间研究问题.。
《椭圆及其标准方程》教学设计(精选3篇)
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
椭圆及其标准方程教案2
椭圆及其标准方程教案2引言欢迎大家来到本次椭圆及其标准方程的教学课程。
在上一堂课中，我们已经介绍了什么是椭圆，并学习了椭圆的标准方程。
本节课将进一步探讨椭圆的性质和一些实际应用。
椭圆的性质定义回顾椭圆是平面上到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。
半长轴和半短轴椭圆的长轴和短轴是椭圆的两个特殊的轴。
长轴是通过两个焦点的直线段，并且穿过椭圆的中心。
短轴是与长轴垂直，并且也穿过椭圆的中心。
离心率离心率是椭圆焦点到椭圆中心的距离与半长轴的比值。
在椭圆上任意一点P，其离心率表示为e，满足以下公式：e = PF / PA其中PF是焦点到点P的距离，PA是中心到点P的距离。
离心率和椭圆形状的关系椭圆的形状由离心率决定。
当离心率小于1时，椭圆是闭合的，形状较为圆形。
当离心率等于1时，椭圆退化成一个线段。
当离心率大于1时，椭圆是开放的，形状呈现椭圆形。
长轴和短轴的关系在椭圆上，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
根据椭圆的定义和离心率的公式可得：c = √(a^2 - b^2)其中c是焦半径。
椭圆的标准方程回顾我们已经学习了椭圆的标准方程为：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。
椭圆的标准方程推导推导过程我们将通过几何推导来得到椭圆的标准方程。
考虑椭圆上一点P(x, y)到焦点F1(h + c, k)的距离为r1，到焦点F2(h - c, k)的距离为r2。
根据椭圆的定义，有：r1 + r2 = 2a由焦半径定理可得：r1 + r2 = 2a = PF1 + PF2根据两点间的距离公式，有：PF1 = √((x - h - c)^2 + (y - k)^2) PF2 = √((x - h + c)^2 + (y - k)^2)将上述两个公式代入，得到：√((x - h - c)^2 + (y - k)^2) + √((x - h + c)^2 + (y - k)^2) = 2a平方两边，并进行变换，得到：(x - h)^2 + (y - k)^2 + c√((x - h - c)^2 + (y - k)^2) + c√((x - h + c)^2 + (y - k)^2) = 4a^2将a^2 - b^2 = c^2代入，得到：(x - h)^2 + (y - k)^2 + √((a^2 - b^2)(x - h - c)^2 + (a^2 - b^2)(y - k)^2) + √((a^2 - b^2)(x - h + c)^2 + (a^2 - b^2)(y - k)^2) = 4a^2整理上述公式，得到椭圆的标准方程：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1例题演示现在让我们通过一个例题来演示如何应用椭圆的标准方程。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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优秀教案9-椭圆及其标准方程(2)
2.1.1椭圆及其标准方程（2）教材分析本节内容是数学选修2-1 第二章圆锥曲线与方程的第二节，椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是在学习椭圆的定义及椭圆标准方程后的一节。
本节课的重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的应用，及用待定系数法和定义法求曲线轨迹方程.难点是求与椭圆有关的轨迹方程, 通过待定系数法和定义法的求导，通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识，在学习中进一步渗透数形结合等数学思想和方法.课时分配本节内容用2课时的时间完成，此教案为第2节主要讲解用待定系数法和定义法求曲线方程.教学目标重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程应用，用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：求与椭圆有关的轨迹方程．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路，数形结合数学思想的运用.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何推导椭圆的标准方程.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其他圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、情景引入[教师] 提出问题，布置学生做练习.求适合下列条件的椭圆的标准方程.和(4,0),且椭圆经过点(5,0).（1）两个焦点坐标分别为(4,0)（2）焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).[学生] 完成练习.[教师] 纠正、总结.求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定出适合题意的椭圆标准方程形式,最后由条件确定出a和b.21(0,)2P -111(,)33P 【设计意图】通过练习,巩固待定系数法求椭圆方程的方法.二、探究新知例1 已知圆22:(3)100A x y ++=，圆A 内一定点(3,0)B ，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程师生活动x [教师] 根据两圆内切，你能得出圆心距的关系吗？ [学生] 学生思考，回答.[教师] 而PB 恰为小圆半径,从而可得出PA 与PB 有何关系[学生] 10PA PB +=(大圆半径).[教师]由此我们可以得出此轨迹为椭圆.此题是先根据几何知识寻找出满足椭圆定义的条件,然后根据椭圆的标准方程求出其轨迹方程,这种方法称为定义法求轨迹方程.[学生] 完成题目.[教师] 巡视,指导,纠正.[设计意图] 通过分布设问,引导学生体会解题思路的形成过程, 培养学生独立分析问题、解决问题的能力． 例2 求经过两点 ， 的椭圆的标准方程.[学生] 由于椭圆焦点位置不确定，可分焦点在x 轴、y 轴两种情况求解 [教师] 大家思考一下，还有别的方法吗？ [学生] 学生思考,回答.[教师] 可设椭圆方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠,利用条件求出,m n . 这种方法称为待定系数法求轨迹方程.[学生] 完成题目.[教师] 巡视,指导,纠正.[设计意图] 由于椭圆221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠包含焦点在x 轴()m n <或焦点在y 轴()m n >，两类情况,这种解法避免了分类讨论、达到了强化学生化简变形的能力三、理解新知确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定22,a b 的具体的值，常用待定系数法.用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是焦点在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；（2）设方程：①依据上述判断设方程)0(12222>>=+b a b y a x 或)0(12222>>=+b a bx a y ；②在不能确定焦点位置的情况下页可设为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.（3）找关系：依据已知条件，建立关于a b c 、、或m n 、的方程组；（4）得方程：解方程组，代人所设方程即为所求．[设计意图]总结归纳例2的过程,让学生明白此类问题解决的全过程, 为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例3 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段垂足， 当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 师生活动[教师] 点M 的变化受到哪些影响？如何寻求M 的轨迹？[学生] 思考，分组讨论，回答.点P 在圆224x y +=上运动，点P 的运动引起点M 运动.我们可以由M 为线段PD 的中点得到点M 与点P 并由点P 的坐标满足圆的方程得到点M 的坐标所满足的方程[教师] 评价、完善，请一名同学板演. [学生] 完成题目.解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00,2y x x y ==因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以圆22004x y +=把00,2x x y y ==代入上式方程，得2244x y +=，即2214x y += 所以点M 的轨迹是一个椭圆.寻求点M 的坐标的坐标,x y 与中间变量00,x y 之间的关系，然后消去00,x y ，得到M 的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法——相关点法.[设计意图] 巩固利用相关点法求轨迹方程的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力. 例4 如图，设点,A B 的坐标分别为(5,0),(5,0)-.直线,AM BM 且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程. 师生活动[教师] 如果我们设点M (),x y ，那么直线,AM BM [学生] (5),(5).55AM BM y y k x k x x x =≠-=≠+- [教师] 根据条件，进一步完成题目.[学生] 完成题目.解：设点M 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标为()5,0-，所以直线AM 的斜率(5)5AM yk x x =≠-+； 同理，直线BM 的斜率(5).5BM yk x x =≠-由已知有4(5)559y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点M 的轨迹方程为221(5)100259x y x +=≠± [设计意图] 巩固直接法求轨迹方程.五、课堂小结1．知识：椭圆的标准方程的求法．2．思想：曲线与方程的轨迹思想，数形结合的思想、待定系数法，相关的法． [设计意图] 通过椭圆轨迹方程的求法，加强对数学知识与思想的认识及对学生方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业必做题：P42 练习4. 《自主学习丛书》P39 A 组12. B 组4,6.选做题：1. (2012年江西理13)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12F F ,．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的ca为_______． 2．(2012年全国新课标理4)设12F F ,是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆的ca为______． 3．(2012年四川理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________.4．已知椭圆中心在原点，两焦点12F F ,在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．答案：1．5 2． 343． 3 4．椭圆的标准方程为2214015x y += 七、教后反思本教案的亮点是在求椭圆轨迹方程的方法集锦让学生掌握各种方法、说明思路的由来过程，一题多解开阔思路．既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．建议学生在基本方法与思路探寻上下足功夫.八、板书设计。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案第一章：引言1.1 椭圆的定义讲解椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过实际例子演示椭圆的形成过程，让学生直观理解椭圆的定义。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质：椭圆有两个焦点，两个半轴，对称性等。
通过图形和数学公式展示椭圆的性质，让学生理解椭圆的特性。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程定义讲解椭圆标准方程的概念：椭圆的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\) 是半长轴，\(b\) 是半短轴。
通过实际例子解释椭圆标准方程的含义和作用。
2.2 椭圆标准方程的推导讲解椭圆标准方程的推导过程：利用椭圆的定义和性质，通过几何方法和代数方法推导椭圆的标准方程。
分步解释推导过程，让学生理解并掌握椭圆标准方程的来源。
第三章：椭圆的长轴和短轴3.1 椭圆的长轴讲解椭圆的长轴的概念：长轴是椭圆上距离两个焦点最远的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆长轴的性质和计算方法。
3.2 椭圆的短轴讲解椭圆的短轴的概念：短轴是椭圆上距离两个焦点最近的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆短轴的性质和计算方法。
第四章：椭圆的焦点和焦距4.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点的概念：焦点是椭圆上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和数学公式展示椭圆焦点的性质和计算方法。
4.2 椭圆的焦距讲解椭圆的焦距的概念：焦距是椭圆上两个焦点之间的距离。
通过图形和数学公式展示椭圆焦距的性质和计算方法。
第五章：椭圆的离心率5.1 椭圆的离心率定义讲解椭圆的离心率的概念：离心率是椭圆的焦距与长轴长度的比值，用\(e\) 表示。
通过图形和数学公式展示椭圆离心率的性质和计算方法。
5.2 椭圆的离心率的应用讲解椭圆的离心率的应用：离心率可以用来判断椭圆的形状和大小，以及与焦点和焦距的关系。
通过实际例子演示椭圆的离心率的应用，让学生理解并掌握椭圆离心率的重要性。
高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修
椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？ ［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。
掌握椭圆的焦点和准线性质——椭圆及其标准方程教案二
掌握椭圆的焦点和准线性质——椭圆及其标准方程教案二椭圆是一种比较特殊的圆锥曲线，它的焦点和准线性质在数学中占有非常重要的地位。
掌握椭圆的焦点和准线性质是深入了解椭圆及其标准方程的关键。
在本教案中，我们将分享一下关于椭圆焦点和准线的相关知识，帮助大家更好地理解椭圆的本质。
一、椭圆的定义及标准方程我们知道，椭圆是一个点到两个定点的距离之和等于常数的点集。
其中，这两个定点称为椭圆的焦点，它们之间的距离称为椭圆的焦距；椭圆两个焦点连成的线段称为椭圆的主轴，主轴的中点称为椭圆的中心；椭圆主轴长度的一半称为椭圆的半长轴，垂直于主轴的线段称为椭圆的次轴，次轴长度的一半称为椭圆的半短轴。
为了便于表示，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点上，这样利用平移性质，椭圆的标准方程就出现了：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其中$a$和$b$分别为椭圆的半长轴和半短轴。
二、椭圆焦点的性质对于椭圆的焦点，我们可以列举出如下性质：1. 椭圆两个焦点的距离等于椭圆的焦距$2c$。
这是椭圆最基本的定义，也是我们理解椭圆焦点的最重要定理。
2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度$2a$。
如果我们取椭圆上任意一点，那么该点到两个椭圆焦点的距离之和应该等于椭圆的长轴长度。
这一定理同样非常重要，它帮助我们理解了椭圆的轮廓形状。
3. 过椭圆焦点的直线与椭圆的切线垂直。
这一条定理非常有助于我们理解椭圆焦点到椭圆某点的距离到底是如何计算的。
三、椭圆准线的性质椭圆的准线是横跨在椭圆上的，与椭圆的长轴平行的一条线段。
椭圆准线的性质包括：1. 椭圆准线在椭圆上是对称的。
这一点不难理解，由于椭圆的对称性，准线上任意一点到椭圆焦点的距离应该是相等的。
2. 椭圆准线长度等于$2\sqrt{a^2-b^2}$。
这是椭圆准线长度的一个具体量，可以通过以上标准方程式来计算得出。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标 （一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程 （三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（ ）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对 【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究 如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0） 和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】 法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升 灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二。
一、椭圆的定义椭圆是指一个平面内到两个定点（称为焦点）距离之和等于定值（称为主轴长度）的所有点的集合。
更形式化的定义是：一个椭圆是由平面上所有满足下列条件的点P组成的集合，即点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这里的a是椭圆的半长轴长度。
另外，b是椭圆的半短轴长度。
二、椭圆的性质1.焦点、半长轴和半短轴对于一个椭圆，其两个焦点的距离为2c，而椭圆的半长轴长度为a，因此有a=c+e，其中e称为离心率，表示椭圆中心到焦点距离与半长轴长度的比值。
另外，半短轴长度b可以表示为b²=a²-c²。
2.对称性椭圆存在中心对称性。
也就是说，椭圆上第一象限内的任意一点关于椭圆的中心都有一对称点。
3.焦点的性质对于一个椭圆，其两个焦点都在椭圆的长轴上。
并且，每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即2a。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x/a)²+(y/b)²=1。
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
这个方程的中心在原点。
如果椭圆的中心不在原点上，我们需要对标准方程进行平移，变为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
其中，(h,k)是椭圆的中心坐标。
四、解题实例现在，我们来看一个具体的实例，帮助同学们更好地理解椭圆的知识点。
假设有一个椭圆，其长轴长度为10，短轴长度为6。
求其标准方程和焦点坐标。
我们可以求出椭圆的中心坐标。
由于长轴长度为10，短轴长度为6，因此有a=5，b=3。
同时，根据椭圆的定义，中心点到两个焦点的距离之和等于2a，因此c²=a²-b²=16，c=4。
由于这个椭圆的中心点是原点，因此我们可以将标准方程表示为(x/5)²+(y/3)²=1，焦点在长轴上，即x=2和x=-2。
2.1.1《椭圆定义及其标准方程》教案
《椭圆定义及其标准方程》教学案例一、背景介绍解读大纲，结合新一轮课程改革的精神，我们不难发现数学教学“不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索，动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程，要设立‘数学探索’教学建模等学习活动，让学生体验数学发现和创造的历程。
”二、教学过程1、创设情景，引出课题——椭圆定义及其标准方程。
教师：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。
学生1：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎么画圆的呢？（课前要求学生每人准备一块硬纸板，两颗图钉及一根定长绳子）谁上黑板来演示呢？学生2：（上黑板来演示）教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹”，行吗？学生：（齐声地）行。
教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？学生：（动手画椭圆）教师：（演示几位学生所画的椭圆）我们看到这个曲线的形状正是一个压扁了的圆，我们称为椭圆。
（黑板上写出课题：椭圆定义及其标准方程）大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线，能否举例呢？学生：地球运动轨迹，……等等。
2、通过实验，自主探究，椭圆的定义以及椭圆的扁圆与焦距定线段长之间的关系。
教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们能否给出它的定义呢？学生3：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）教师：很好。
（教师拿起两个学生所画的椭圆展示）同学们画椭圆时，线段是一样长的，为什么我们所画出的椭圆不一样，有扁有圆呢？学生4：这与两定点F1、F2的位置有关。
教师：很好。
我们改变一下F1、F2的位置，大家画一画椭圆，看一看到底有何关系？学生5：F1、F2位置越近椭圆愈圆，F1、F2位置越远椭圆愈扁。
椭圆及其标准方程(第2课时)教案
2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案一、教学目标： 知识与技能：①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10的椭圆。
其标准方程是1162522=+x y 回顾旧知：1．椭圆的定义：我们把叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的,两个焦点之间的距离叫做椭圆的，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为。
2．椭圆的标准方程焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为:. 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.有关系式 222c b a += 成立。
椭圆及其标准方程教学设计共3篇 椭圆的标准方程教学设计
椭圆及其标准方程教学设计共3篇椭圆的标准方程教学设计下面是分享的椭圆及其标准方程教学设计共3篇椭圆的标准方程教学设计，供大家品鉴。
椭圆及其标准方程教学设计共1《椭圆及其标准方程》教学设计山西省太原师范学院附属中学薛翠萍一、教学内容解析椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力二、教学目标设置：1．知识与技能目标(1)学生能掌握椭圆的定义明确焦点、焦距的概念．(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．2．过程与方法目标：(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．三、学生学情分析1．能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．2．认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．3．情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．四、教学策略分析教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．五、教学过程：（一）复习引入1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．意图：(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．（二）讲解新课由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．1 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离之和等于8，则P点的轨迹是练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离之和等于6，则P点的轨迹是通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．（1）、当2a|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a）2．根据定义推导椭圆标准方程：要求（1）学生在画板上建立适当的坐标系，（2）根据定义推导椭圆的标准方程．同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．正确推导过程如下：解：取过焦点设则，又设M与距离之和等于()（常数）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）．的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，，化简，得由定义义）令代入，得，,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意，两边同除得此即为椭圆的一个标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是程学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成，中心在坐标原点的椭圆方,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在个轴上即看与这两个标准方程中，都有分母的大小的要求，因而焦点在哪3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值① ；②；③；④意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为）A．5B．6 C．4D．10意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．（3）椭圆的焦点坐标是（）A．(±5，0)B．(0，±5) C．(0，±12)意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．（4）化简方程：意图：培养学生运用知识解决问题的能力．．(±12，0) （D椭圆及其标准方程教学设计共2椭圆及其标准方程教学反思椭圆及其标准方程这节分为两课时，第一课时主要讲解椭圆定义及标准方程的推导；第二课时主要介绍椭圆定义及其标准方程的应用。
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椭圆及其标准方程教案2
教学目标:
知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程
能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力
情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神
教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程
教学难点:椭圆标准方程的推导
教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳
教学过程:
设置情景,引出题
问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片
启发诱导,推陈出新
复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?
提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?
引出题:椭圆及其标准方程
小组合作,形成概念
动画演示椭圆形成过程
提问:点运动时,F1、F2移动了吗?点按照什么条运动形成的轨迹是椭圆?
下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:
在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条?其轨迹如何?
2改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?
3当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:
椭圆
线段
不存在
并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距
椭圆标准方程的推导:
回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简2提问:如何建系,使求出的方程最简?
由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果
各组分别选定一种方案:
①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系。
②设点:设是椭圆上任意一点,为了使的坐标简单及化简过程不那么繁杂,设,则
设与两定点的距离的和等于
③列式:∴
④化简:。