麦克斯韦气体分子速率分布定律

Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v)
vp
2kT m
m(H2 ) m(O2 )
o
vp (H2 ) vp (O2 )
2000 v / m s1
m(O2 ) 32 4 m(H2 ) 2
N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1

v2
区间的分子数
N

v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S

N (v1 N
v2 )

v2
v1
f
(v)dv
二 麦克斯韦气体速率分布定律
麦氏分布函数
f (v) 4π(
vrms 483m s1
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
速率在 v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）

vp
1 2
mv 2
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) 2000m/s vp (O2 ) 500m/s
o
vp
v
根据分布函数求得
M mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT M
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2）平均速率 v
Leabharlann Baidu
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N

vdN vNf (v)dv
v 0
0
f (v)
N
N

v vf (v)dv
8kT
0
πm
o
v
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
3）方均根速率 v2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT m
vp v v2
率最大.
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
根速率 vrms .
MH 0.002kg mol1 R 8.31J K1 mol 1
MO 0.032kg mol1
T 300K
氢气分子 氧气分子
vrms
3RT M
vrms 1.93103 m s1
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
2RT M
vp
2kT m
v 8kT πm
v2 3kT m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
f (v)
物理意义
dS
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
归一化条件
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
百分比 .
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
百分比 .
0N
dN N

0
f
(v)dv
1
f (v)
dN f (v)dv dS
m
) e v 3 2
mv 2 2kT
2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间
f (v) dN Ndv
f (v)
分子数占总分子数的百分
比的规律 .
o
v
三 三种统计速率
f (v)
v 1）最概然速率 p fmax
df (v) 0 dv vvp