初二数学-整式公式
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念:1.基本运算:⑴同底数幂的乘法:m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方:()nm mn aa = ⑶积的乘方:()nn n ab a b =2.整式的乘法:⑴单项式⨯单项式:系数⨯系数,同字母⨯同字母,不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式:用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式:⑴平方差公式:()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式:()2222a b a ab b +=++;()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法:⑴同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式:系数÷系数,同字母÷同字母,不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式:用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式:用竖式.5.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法:⑴提公因式法:找出最大公因式. ⑵公式法:①平方差公式:()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式:()2222a ab b a b ±+=±③立方和:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差:3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法:()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算:7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式:x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式:2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式:4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式:x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式:(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第(n)个图案,需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示,n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元,将进价提高100%后标价,再按标价打七折销售,则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简,再求值:(x-1)(x+1)-x(x-3),其中x=3.1.(2015·徐州)下列运算正确的是( )A.3a2-2a2=1 B.(a2)3=a5C.a2·a4=a6D.(3a)2=6a22.下列计算错误的是( )A.(5-2)0=1 B.28x4y2÷7x3=4xy2C.(4xy2-6x2y+2xy)÷2xy=2y-3x D.(a-5)(a+3)=a2-2a-153.(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9) B.x2-x+14=(x-12)2C.x2-2x+4=(x-2)2D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)4.将(2x)n-81分解因式后得(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n等于( ) A.2 B.4 C.6 D.85.若m=2100,n=375,则m,n的大小关系是( )A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定6.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为( )A.3 B.4 C.5 D.67.计算:(a-b+3)(a+b-3)=( )A.a2+b2-9 B.a2-b2-6b-9C.a2-b2+6b-9 D.a2+b2-2ab+6a+6b+98.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个长方形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )A .(a +b)2=a 2+2ab +b 2B .(a -b)2=a 2-2ab +b 2C .a 2-b 2=(a +b)(a -b)D .(a +2b)(a -b)=a 2+ab -2b 29.若x 2+mx -15=(x -3)(x +n),则m ,n 的值分别是( ) A .4,3 B .3,4 C .5,2 D .2,510.(2015·日照)观察下列各式及其展开式: (a +b)2=a 2+2ab +b 2(a +b)3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3(a +b)4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4(a +b)5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 …请你猜想(a +b)10的展开式第三项的系数是( ) A .36 B .45 C .55 D .6611.计算:(x -y)(x 2+xy +y 2)= .12.(2015·孝感)分解因式:(a -b)2-4b 2= .13.若(2x +1)0=(3x -6)0,则x 的取值范围是 .14.已知a m =3,a n =2,则a 2m -3n = .15.若一个正方形的面积为a 2+a +14,则此正方形的周长为 .16.已知实数a ,b 满足a 2-b 2=10,则(a +b)3·(a -b)3的值是 .17.已知△ABC 的三边长为整数a ,b ,c ,且满足a 2+b 2-6a -4b +13=0,则c为.18.观察下列各式,探索发现规律:22-1=1×3;32-1=2×4;42-1=3×5;52-1=4×6;….按此规律,第n个等式为.19.计算:(1)(2015·重庆)y(2x-y)+(x+y)2; (2)(-2a2b3)÷(-6ab2)·(-4a2b).20.用乘方公式计算:(1)982; (2)899×901+1.21.分解因式:(1)18a3-2a;(2)ab(ab-6)+9;(3)m2-n2+2m-2n.22.先化简,再求值:(1)(2015·随州)(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-1 2;(2)[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]÷4y,其中x=-5,y=2.23.如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间修建一座雕像,求绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.24.学习了分解因式的知识后,老师提出了这样一个问题:设n为整数,则(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除吗?若能,请说明理由;若不能,请举出一个反例.25.阅读材料并回答问题:课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的,例如:(2a +b)(a +b)=2a 2+3ab +b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示.(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式;(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示为(a +b)(a +3b)=a 2+4ab +3b 2;(3)请仿照上述方法另写一个含有a ,b 的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形.26. 定义2a b a b *=-,则(12)3**= .。
数学初二上册整式的乘法
数学初二上册整式的乘法数学初二上册整式的乘法是指在整式之间进行乘法运算,下面将详细介绍整式的乘法运算原理及应用。
整式(也称为代数式)是由多项式经过加、减、乘及其运算得来的,它是变量及其系数的有限和。
整式的一般形式可以表示为:f(x) = aₙₓⁿ + aₙ₋₁ₓⁿ⁻¹ + ... + a₁ₓ + a₀其中,aₙₓⁿ为整数系数,x为变量,n为非负整数。
整式的乘法运算即是将两个整式相乘得到新的整式。
首先,我们来看整式乘法的步骤:Step 1:将被乘数和乘数按照竖式排列,并对齐。
例如,计算(2x + 3) * (4x - 5):```(2x + 3)* (4x - 5)```Step 2:从被乘数的个位开始,依次与乘数的每一位相乘。
```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)```Step 3:上一步的结果需要与被乘数的下一位继续相乘,并最终相加。
```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)- 10x² + 15x <-- (3 * 4x) + (2x * -5)```Step 4:将所有相乘的结果相加得到最终结果。
```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)- 10x² + 15x <-- (3 * 4x) + (2x * -5)__________- 2x² + 5x - 15```因此,(2x + 3) * (4x - 5)的结果是-2x² + 5x - 15。
整式乘法的应用非常广泛,特别在代数中的各种问题解决中起着重要作用。
在解方程、推导公式、求极限、求导数等数学运算中,整式的乘法都扮演着至关重要的角色。
初中数学.整式的乘除与乘法公式
)
2 2 4
B. x 2 y 2 y x x 2 y
7
C. x 2 y 2 y x x 2 y x 2 y 【例 1】 1000 100 10 的结果是 【巩固】计算: 10 104 105 103 107
幂的运算
模块一
1.
同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
即 a m a n a m n ( m 、 n 都是正整数) 【巩固】如果把 x 2 y 看作一个整体,下列计算正确的是( A. x 2 y 2 y x x 2 y
3 6 ⑵ ( a8b 2 a 3b 4 1.8a 2 b3 ) 0.6ab 2 5 5
【巩固】计算:⑴ (4 x 2 y )2 8 y 2 ;
1 3 ⑶ ( a 3b 2 )3 ( ab 2 ) 2 ; 3 4
⑵ 9a m n b 2 m n c3n 2 m 3a 2 b3 . ⑷ (0.8 x 2 y n )3 (4 x 2 y n )2
2 3 2
计算下列各式:⑴ 2 x y
3 2 2 1 xy 4 z ;⑵ 3a 2 a 2 2a 2 5a 3 2
4
初中数学.整式的乘除.第 01 讲.学生版
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⑶ a a 3 a 4 a 2 2a 4 ;⑷ 2 x 2 x3 3x3 5 x x 7
计算 ( x3 2 x 2 5)(2 x 2 3x 1)
【巩固】计算: (3x 2 2)(5 x 4 2 x 2 3) (5 x 4 x 2 3)(3x 2 3)
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是( B )
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.(2020·海南中考)分式方程 的解是(
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
) C
解分式方程时,不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置,就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述:两个数的平方差,等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置,就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数 的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
分析:将b2看成一个整体a,则原式变形为(b2)2-b2-12,
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.(2020·乐山)已知y≠0,且x2-3xy-4y2=0,则 的值是
__4_或__-_1__.
分析:因为x2-3xy-4y2=0, 即(x-4y)(x+y)=0, 可得x=4y或x=-y, 所以 =4或 =−1.
八年级数学上册整式的乘法与因式分解(平方差公式, 完全平方公式)
平方差公式 相同为a
适当交换 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号
相反为b,-b
注:这里的两数可以是两个
也可以是两个
等.
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
3.另一项是两数积的2倍,且与两数中间的符 号相同. 4.公式中的字母a,b可以表示数,单项式和 多项式.
想一想:下面各式的计算是否正确?如果不正确, 应当怎样改正?
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
= 3x2-5x-10.
例3 先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y -x),其中x=1,y=2.
解:原式=4x2-y2-(4y2-x2) =4x2-y2-4y2+x2 =5x2-5y2.
当x=1,y=2时,
原式=5×12-5×22=-15.
例4 对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)- (3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?
x2 - 12 m2-22
③(2m+ 1)( 2m-1)=4m2 - 12 ④(5y + z)(5y-z)= 25y2 - z2
(2m)2 - 12 (5y)2 - z2
想一想:这些计算结果有什么特点?
初中数学公式大全
初中数学公式大全初中数学公式大全数学是一门基础科学,对于初中学生而言,掌握数学公式是非常重要的。
下面是初中数学公式的大全,帮助同学们更好地学习数学。
1. 整式的加减公式:(1) (a + b) + c = a + (b + c)(2) a + b = b + a(3) a + 0 = a(4) a + (-a) = 02. 整式的乘法公式:(1) (a · b) · c = a · (b · c)(2) a · b = b · a(3) a · (b + c) = a · b + a · c3. 去括号法则:(1) a · (b + c) = a · b + a · c(2) (a + b) · c = a · c + b · c4. 因式分解:(1) a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)(2) a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^25. 定理与方程:(1) 两角和公式:sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)(2) 二次方程求根公式:对于ax^2 + bx + c = 0,其根可以表示为:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a(3) 勾股定理:在直角三角形中,设边长为a、b、c,满足a^2 + b^2 = c^2(4) 对数运算公式:(5) 对数与指数关系:如果a^x = b,则x = loga(b)(6) 幂运算公式:a^m · a^n = a^(m + n)(a^m)^n = a^(m · n)(a · b)^n = a^n · b^n(7) 分数运算公式:加法:a/b + c/d = (ad + bc) / bd减法:a/b - c/d = (ad - bc) / bd乘法:(a/b) · (c/d) = (a · c) / (b · d)除法:(a/b) ÷ (c/d) = (a · d) / (b · c)(8) 百分数计算:百分数 = 数值× 100%以上只是部分初中数学公式的介绍,希望对同学们的学习有所帮助。
八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结
一、整式的乘法1.几个常用公式:(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则:(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算:(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法:(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质:交换律:a·b=b·a结合律:(a·b)·c=a·(b·c)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用:展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念:将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。
2.因式分解的方法:a.公因式提取法:找出整个整式和各项中的公因式,并提取出来。
b.公式法:利用已知的一些公式对整式进行因式分解。
c.分组法:将整式中各项按一定的规则分组,然后在每组内部进行因式分解。
d.辗转相除法:若整式中存在因式公共因式,可以多次使用辗转相除法进行因式分解。
3.一些常见的因式分解公式:a.二次差平方公式:a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式:a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式:a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式:a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式:a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用:简化计算、寻找整式的根、列立方程等。
初二数学公式大全
初二数学公式大全一.几何类( 1)直线,线段,角部分1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7平行公义经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8若是两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9同位角相等,两直线平行10内错角相等,两直线平行11同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13两直线平行,内错角相等14两直线平行,同旁内角互补(2)三角形部分15 16定理三角形两边的和大于第三边推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 19 20推论 1直角三角形的两个锐角互余推论 2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角121全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公义23角边角公义24推论 (AAS)(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公义(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公义(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理 1 在角的均分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的均分线上29角的均分线是到角的两边距离相等的所有点的会集30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边相同角)31推论 1 等腰三角形顶角的均分线均分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论 3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判判断理若是一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角相同边)35推论 1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论 2有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中,若是一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直均分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直均分线上41线段的垂直均分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的会集42定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形243 定理2若是两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直均分线44 定理3两个图形关于某直线对称,若是它们的对应线段或延长线订交,那么交点在对称轴上45 逆定理若是两个图形的对应点连线被同一条直线垂直均分,那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即a^2+b^2=c^247 勾股定理的逆定理若是三角形的三边长a、 b、 c 有关系 a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形(3)四边形部分48 定理四边形的内角和等于360°49 四边形的外角和等于360°50 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于(n-2)×180°51 推论任意多边的外角和等于360°52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相均分56 平行四边形判判断理 1 两组对角分别平行的四边形是平行四边形57 平行四边形判判断理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判判断理 3 对角线互相均分的四边形是平行四边形59 平行四边形判判断理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2矩形的对角线相等362 矩形判判断理1有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判判断理2对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线均分一组对角66菱形面积 =对角线乘积的一半,即 S=( a×b)÷267菱形判判断理 1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判判断理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直均分,每条对角线均分一组对角71定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心均分73逆定理若是两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点均分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判判断理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形4二.数类正数:正数大于0负数:负数小于00既不是正数,也不是负数;正数大于负数整数包括:正整数, 0,负整数分数包括:正分数,负分数有理数包括:整数,分数/有限小数,无量循环小数数轴:在直线上取一点表示 0(原点),采用单位长度,规定直线上向右的方向为正方向任何一个有理数(实数)都能够用数轴上的一个点表示,点和数是一一对应的两个数只有符号不一样样,其中一个数为另一个的相反数;两个互为相反数0 的相反数就是0在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点两侧,且与原点距离相等数轴上的两个点表示的数,右边的总比左边的大绝对值:数轴上,一个数所对应的点与原点的距离正数的绝对值是它自己;负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是0两个负数比较大小,绝对值大的反而小有理数加法法规:同号相加,不变符号,绝对值相加异号相加,绝对值相等得 0;不等,切合和绝对值大的相同,绝对值相减一个数加 0,仍是这个数加法交换律:A+B=B+A加法结合律:(A+B)+C=A + (B+C)5有理数减法法规:减去一个数,等于加上这个数的相反数有理数乘法法规:两数相乘,同号得正,异号的负,绝对值相乘;任何数与 0 相乘,积为 0 乘积为 1 的两个有理数互为倒数; 0 没有倒数乘法交换律:AB=BA乘法结合律:(AB)C=A (BC)乘法分配律: A (B+C) =AB+AC有理数除法法规:两个有理数相除,同号得正,异号的负,绝对值相除0 除以任何非0 的数都得0;0 不能够做除数乘方:求n 个相同因数 a 的积的运算;结果叫幂; a 是底数; n 是指数; an 读作 a 的 n 次幂有理数混和运算法规:先算乘方,再乘除,后加减;括号里的先算无理数:无量不循环小数,有正负之分。
初中数学公式大全(从初一到初三)
一、初一数学公式1.1 二次根式的性质① 非负性:若a≥0,则√a≥0② 开平方的乘法性:√a×√b=√(a×b)③ 开平方的除法性:√(a/b)=√a/√b (b>0)1.2 整式化简公式①(a+b)²=a²+2ab+b²②(a-b)²=a²-2ab+b²③(a+b)×(a-b)=a²-b²1.3 分式的运算① 加法:a/b+c/d=(ad+bc)/bd② 减法:a/b-c/d=(ad-bc)/bd③ 乘法:a/b×c/d=ac/bd④ 除法:a/b÷c/d=ad/bc2.1 二次函数① 一般式:y=ax²+bx+c (a≠0)② 顶点坐标:( -b/2a , c-b²/4a )③ 判别式:Δ=b²-4ac若Δ>0,则二次函数有两个不同的实根若Δ=0,则二次函数有两个相等的实根若Δ<0,则二次函数无实根2.2 三角函数① 正弦函数:y=Asin(Bx-C)+D② 余弦函数:y=Acos(Bx-C)+D③ 正切函数:y=Atan(Bx-C)+D2.3 同底数幂的运算aⁿ×aᵐ=aⁿᵐaⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ(a≠0)三、初三数学公式3.1 等差数列① 通项公式:aₙ=a₁+(n-1)d② 前n项和公式:Sₙ=n/2(a₁+aₙ)3.2 三角恒等变换公式① 和差化积公式:sinα±sinβ=2sin(±(α±β)/2)cos(∓(α±β)/2)② 二倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α3.3 平面几何图形① 三角形面积公式:S=(1/2)×底×高② 圆周长公式:C=2πr, 圆面积公式:S=πr²初中数学公式包括初一到初三阶段的各类公式,涵盖了整式化简、二次函数、三角函数、等差数列、三角恒等变换、平面几何图形等内容。
初中数学整式知识经典总结
初中数学整式知识经典总结2.1概念定义﹤1﹥单项式:数字或字母组成的积的式子(单独一个数字或字母也是单项式)1. 系数:单项式中的数字因数。
注意点:“π” 也是单项式系数。
2.单项式的次数:单项式中所有字母的指数之和。
﹤2﹥多项式:几个单项式之和。
其中,每个单项式叫做这个多项式的项,不含字母的项叫常数项;多项式中次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
﹤3﹥单项式和多项式统称为整式。
2.2整式的加减﹤1﹥同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。
﹤2﹥合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。
合并同类项时,是把各同类项系数相加,字母及字母的指数不变。
注意事项:合并同类项时要把同类项的符号一同合并。
﹤3﹥去括号:1. 如果括号外的因素是正数,去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;2. 如果括号外的因素是负数,去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
﹤4﹥整式的加减运算法则:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
2.3整式的乘除﹤1﹥同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即:am×a n =a m+n注意事项:1.该法则也适用于多个同底数幂相乘;2.法则中的a 可表示为一个数、一个单项式、一个字母或一个多项式。
3.注意该法则的逆运用: am+n= a m ×a n4.当指数是1时,不要误以为没有指数,例如:a ×a 2=a 3﹤2﹥幂的乘方:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
剖析:幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
如(a 3)2是三个a 3相乘,读作a 的3次幂的2次方。
因此,一般的,(a m)n=amn注意事项:1.法则的推广:〔(a m)n 〕p =amnp(m,n,p 都是正整数)2.法则的逆运算:a mnp=〔(a m)n〕p(m,n,p 都是正整数)﹤3﹥积的乘方:积的乘方,是把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
初中数学公式表
初中数学公式表初中数学公式表初中数学是一门基础性的学科,它为我们打下了数学基础,是我们日后学习高中数学和大学数学的重要组成部分。
以下是初中数学常用公式表,希望能对你的学习有所帮助。
1. 代数式整式加减运算法则:同类项相加减整式乘法运算法则:平方差公式、立方差公式、a²-b²=(a+b)(a-b)、a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)整式除法运算法则:被除式的次数不小于除式的次数,一般采取因式分解的方法。
2. 二次根式平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²差平方公式:a²-b²=(a+b)(a-b)完全平方公式:a²+2ab+b²=(a+b)²、a²-2ab+b²=(a-b)²3. 图形面积三角形面积公式:S=1/2bh平行四边形面积公式:S=bh梯形面积公式:S=(上底+下底)×高/2圆面积公式:S=πr²4. 三角函数sinx=a/c、cosx=b/c、tanx=a/b、cotx=b/a正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:a²=b²+c²-2bc*cosA正切定理:a/b=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)5. 向量向量的模:∥a∥=sqrt(a1²+a2²)向量的加减法:a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2)向量的数量积:a·b=∥a∥∥b∥cosα6. 几何变换平移:过点(x,y)作平移向量为(a,b)的平移后坐标为(x+a,y+b)旋转:以原点为旋转中心,逆时针旋转θ度后的坐标为(xcosθ-ysinθ, xsinθ+ycosθ)对称:按已知对称轴对称以上为初中数学常用公式表,掌握这些公式对你的数学学习和应用起到了重要的作用。
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解:(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2); (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.(2019·淄博)分解因式:x3+5x2+6x=___________.
分析:x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时,应先提取公因式;当
多项式的各项没有公因式时(或提取公因式后),若
符合平方差公式或完全平方公式,就利用公式法分解
因式;
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时,可
根据多项式的特点,把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式,再分解因式;
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时,因式分解
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公
因式提取出来,将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤:
(1)确定公因式:先确定系数,再确定字母和字母的指
数;
(2)提公因式并确定另外一个因式:用多项式除以公因
式,所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式;
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.(2019·威海)分解因式:2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
整式的乘法法则公式
整式的乘法法则公式在代数学中,整式的乘法法则公式是指用来计算两个整式相乘的规则和公式。
整式是由数、变量和运算符号(加减乘除)组成的代数表达式。
整式的乘法法则公式是代数学中非常重要的一部分,它能够帮助我们简化复杂的代数表达式,解决各种数学问题。
本文将介绍整式的乘法法则公式,并通过一些例子来说明如何应用这些公式进行计算。
首先,让我们来看一下整式的基本形式。
一个整式通常由若干个单项式相加或相减而成。
例如,3x^2 + 2xy - 5y^2就是一个整式,其中3x^2、2xy和-5y^2分别是三个单项式。
整式的乘法法则公式适用于任意两个整式的相乘,无论它们是单项式还是多项式。
整式的乘法法则公式可以总结为以下几条规则:1. 单项式乘单项式:两个单项式相乘时,只需要将它们的系数相乘,并将它们的字母部分相乘。
例如,3x乘以4y等于12xy。
2. 单项式乘多项式:一个单项式与一个多项式相乘时,只需要将单项式的系数依次与多项式的每一项相乘,并将它们的字母部分相乘。
然后将得到的各项再相加。
例如,2x乘以(3x^2 + 4y)等于6x^3 + 8xy。
3. 多项式乘多项式:两个多项式相乘时,需要将一个多项式的每一项依次与另一个多项式的每一项相乘,并将它们的结果相加。
这其实就是分配律的运用。
例如,(3x + 2y)乘以(4x - 5y)等于12x^2 - 15xy + 8xy - 10y^2,再将相同项合并得到12x^2 - 7xy- 10y^2。
整式的乘法法则公式可以帮助我们快速准确地计算整式的乘法。
通过这些规则,我们可以将复杂的整式相乘的问题简化为一系列简单的乘法运算。
下面我们通过一些例子来演示如何应用整式的乘法法则公式进行计算。
例1:计算(3x + 2)(4x - 5)。
根据整式的乘法法则公式,我们将第一个多项式的每一项依次与第二个多项式的每一项相乘,并将结果相加。
即(3x乘以4x) + (3x乘以-5) + (2乘以4x) + (2乘以-5)。
八年级数学整式乘法公式
课题:整式的乘法公式复习课课时:2课时教学目标:1.能说出整式的乘法公式;2.会运用整式的乘法公式进行计算;4.通过具体例子体会本节学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法,渗透转化、归纳等思想方法,发展合情推理能力和演绎推理能力。
教学重点:相关运算公式教学难点:熟练地进行有关运算教学方法:讲练结合教学过程:第一课时:(一) 引导学生归纳整理这节的知识结构(学生阅读教材,勾出重点,完成各节练习题P24-28页练习)(二)、解题指导1、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式()()22a b a b a b +-=-进行计算,需经简单变形后方可应用,常用的变形有: ①位置变化:如:12212332a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=21213232b a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ②符号变化:如:()()()()32323232x y x y x y x y ---=-+- ③系数变化:如:()()()()1144422a b a b a b a b +-=⨯+- ④相同项结合,相反项结合:如()()()()23232323x y z x y z x y z x y z +--+=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑤根据题目特点,创造条件,灵活变形,巧妙应用公式:如:()()()()()()35235835353535a b c a b c a c c b c b a b ----+=-+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、对()2222a b a ab b +=++ 或 ()2222a b a ab b -=-+常见的恒等变形、:①()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+ ②()()224a b a b ab +=-+ 整式的乘法公式 平方差公式 完全平方公式③()()224a b a b ab -=+- ④()()224a b a b ab +--=3、乘法公式也可以逆用,逆用后的计算可能更为简便。
初中数学全部公式
初中数学全部公式初中数学涉及的公式非常多,一些重要的公式如下:1.数的分类与均值:-奇数公式:n=2k+1-偶数公式:n=2k-平方数公式:n=k^22.四则运算:-加法公式:a+b=b+a-减法公式:a-b≠b-a-乘法公式:a×b=b×a-除法公式:a÷b≠b÷a3.整式的加减运算:-和差化积公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2- 去括号公式:a(b + c) = ab + ac4.整式的乘法运算:- 平方公式:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2-两数之积:a×b=-,a,×,b,(当a和b异号时)-互倒互消法则:a×(1/a)=1(a≠0)5.整式的约分与倍数:-能被2整除的数是偶数-能被3整除的数,其各个位数的和能被3整除-能被9整除的数,其各个位数的和能被9整除- 最大公因数:gcd(a, b)- 最小公倍数:lcm(a, b)6.分式的加减乘除:- 分式相加:a/b + c/d = (ad + bc)/bd- 分式相减:a/b - c/d = (ad - bc)/bd-分式相乘:a/b×c/d=(a×c)/(b×d)-分式相除:a/b÷c/d=(a/b)×(d/c)7.百分数与比例:-百分数的关系:百分数%=数值/总数×100%-比例的关系:a:b=a/(a+b)8.整数的除法:-带余除法:被除数=除数×商+余数-相除法:a÷b=c...r(a=b×c+r)9.一次函数:- 一次函数的标准方程:y = kx + b-一次函数的斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)10.平面图形的面积和周长:-正方形的面积:S=a^2-正方形的周长:C=4a-长方形的面积:S=a×b-长方形的周长:C=2(a+b)-三角形的面积:S=1/2×底×高-三角形的周长:C=边1+边2+边3-圆的面积:S=π×r^2-圆的周长:C=2π×r这些公式只是初中数学中的一部分,还有其他公式和规律需要学习和掌握。
整式知识点总结归纳初二
整式知识点总结归纳初二整式是代数中一种重要的表达形式,对于初二的学生来说,掌握整式的知识点是非常关键的。
本文将对初二整式的相关知识进行总结归纳,帮助同学们系统地学习整式。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积相加减得到的代数式。
整式包括单项式和多项式两种形式。
单项式是只有一个项的整式,多项式是有两个或两个以上项相加减得到的整式。
二、整式的运算1. 整式的加法:将同类项相加,即将相同的字母部分(指数可以不同)相加,系数保持不变。
例如:2x + 3x = 5x2xy + 3xy = 5xy2. 整式的减法:将同类项相减,同加法一样,字母部分相同,系数相减。
例如:2x - 3x = -x2xy - 3xy = -xy3. 整式的乘法:将每个项的系数相乘,字母部分相乘,指数相加。
例如:2x * 3x = 6x^22xy * 3xy = 6x^2y^24. 整式的除法:将被除式与除式分别化简,然后进行除法运算。
例如:(6x^2y^2) / (2xy) = 3xy三、整式的因式分解因式分解是将一个整式表示成若干个因式相乘的形式。
常用的因式分解方法有:1. 提取公因式:将整式中的公因式提取出来。
例如:2x^2 + 6x = 2x(x + 3)2. 公式法:利用一些常见的公式进行因式分解。
例如:x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 分组法:将整式中的项进行合理的分组,然后进行因式分解。
例如:ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)四、整式的乘法公式在整式的乘法中,常常用到以下的乘法公式:1. 二次平方差公式:(a + b)(a - b) = a^2 - b^2例如:(3x + 2)(3x - 2) = 9x^2 - 42. 完全平方公式:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如:(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 93. 两个一次整式乘积的和:(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd例如:(2x + 3)(4x + 5) = 8x^2 + 22x + 15五、整式的应用整式在数学中的应用非常广泛,特别是在代数运算、方程求解和函数图像绘制等方面。
初二所有数学公式归纳总结
初二所有数学公式归纳总结大家都知道,学习数学,什么都不多,公式最多。
一起来看看初二的公式都有哪些吧。
下面是店铺分享给大家的初二所有数学公式归纳,希望大家喜欢!初二所有数学公式归纳(一)运用公式法:我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有:a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子: a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时,各项如果有公因式应先提公因式,再进一步分解。
2.因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数:三项②有两项是两个数的的平方和,这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn,这四项中没有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式,因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:1.必须先将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试,一般步骤:① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分别分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方,可按分式符号法则,变成整个分式的符号,然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然,简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号,再算乘方,然后乘除,最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言,但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言,而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简,而通分是把分式化繁,从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形,其共同点是保持分式的值不变.3.一般地,通分结果中,分母不展开而写成连乘积的形式,分子则乘出来写成多项式,为进一步运算作准备.4.通分的依据:分式的基本性质.5.通分的关键:确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
八年级上册数学- 整式的乘除
第十四章 整式的乘法与因式分解第19讲 整式的乘除知识导航1.幂的运算:同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方;2.整式的乘法:单项式乘单项式,单项式乘多项式,多项式乘多项式;3.整式的除法:单项式除以单项式,多项式除以单项式,多项式除以多项式【板块一】幂的运算运算法则:(1)同底数幂相乘:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,用式子表示为:m n m n a a a +⋅=(m ,n 都是正整数).(2)幂的乘方:幂的乘方,底数不变,指数相乘,用式子表示为:()n m mn a a =(m ,n 都是正整数).(3)积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,用式子表示为:()n n n ab a b =(n 都是正整数).(4)同底数幂相除:同底数的幂相除,底数不变,指数相减,用式子表示为:m n m n a a a -÷=(m >n )(5)规定:01a =(a ≠0),零的零次幂无意义.(6)负整数幂的运算法则:1n na a -=(n 是正整数,a ≠0).方法技巧:1.从已知出发,构造出结果所需要的式子;2.从结果出发,构造符合已知条件的式子.题型一 基本计算【例1】计算:(1)()()32x x -⋅-;(2)()()2332a a -⋅-;(3)()22248x yy ÷; (4)323221334a b ab ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【例2】计算:()()()2014201420150.12524-⨯-⨯-.题型二 逆向运用幂运算 【例3】(1)已知2228162x x ⋅⋅=,求x 的值;(2)已知4a y =,16b y =,求22a b y +的值.题型三 灵活进行公式变形【例4】已知:5210a b ==,求11a b+的值.题型四 比较大小【例5】已知552a =,334b =,225c =,试比较a ,b ,c 的大小.针对练习11.计算:(1)3224a a a a a ⋅⋅+⋅;(2)()57x x -⋅;(3)()()57x y x y +⋅--;(4)()()2332y y ⋅.2.计算:(1)6660.12524⨯⨯;(2)599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭;(3)()()2018201720172 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭;(4)4322023452%3%4%5%103456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.(1)若()3915n m a b ba b =,求m ,n 的值;(2)已知27a =,86b =,求()322a b +的值;(3)若a +3b -2=0,求327a b ⋅的值;(4)已知:21233324m m ++=,求m 的值;(5)已知124x y +=,1273x -=,求x -y 的值;(6)已知129372n n +-=,求n 的值.4.已知252000x =,802000y =,求11x y+的值.5.已知k >x >y >z ,且16522228k x y z +++=,k ,x ,y ,z 是整数,求k 的值.6.是否存在整数a ,b ,c 使9101628915a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭?若存在,求出a ,b ,c 的值;若不存在,说明理由.7.比较653,524,396,2615四个数的大小.8.你能比较两个数20122011和20112012的大小吗?为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较1n n +与(1)n +n 的大小(n 是自然数),然后,我们分析1n =,2n =,3n =,⋯中发现规律,经过归纳,猜想得出结论.(1)通过计算,比较下列各组中两个数的大小(在空格内填写“>”、“ =”、“<”号)①21 12;②32 23;③43 34;④54 45;⑤65 56….(2)从第(1)题的结果经过归纳,可猜想出1n n +与(1)n n +的大小关系是 .(3)根据上面的归纳猜想得到的一般结论,试比较下面两个数的大小20122011,20112012.9.(1)已知()432a =,()342b =,()423c =,()234d =,()324e =,比较a ,b ,c ,d ,e 的大小关系;(2)已知:220002001200220012002200120022001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯,20022002b =,试比较a 与b 的大小.【板块二】整式的乘法方法技巧:(1)单项式与单项式相乘:系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里还有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘:单项式分别与多项式中的每一项相乘,然后把所得的积相加,公式为:()m a b c ma mb mc ++=++,其中m 为单项式,a +b +c 为单项式.(3)多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘,然后把积相加,公式为:()()m n a b ma mb na nb ++=+++.题型一 基本计算【例6】计算:(1)()()23234x y x y -⋅= ;(2)()()223234x y x y -⋅= ; (3)()254342x x y xy -⋅-= ;(4)()()22323253a b ab a b ⋅-+= ;(5)()()322a b x y +-= ;(6)()()332a b a b +-= .题型二 混合运算 【例7】计算:()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++.题型三 展开后不含某项【例8】若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含x 2项和x 3项,则a = ,b = .题型四 比较对应项的系数求值【例9】已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-,求()m n mn +的值.【板块二】整式的乘法方法技巧(1)单项式与单项式相乘:系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里还有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘:单项式分别与多项式中的每一项相乘,然后把所得的积相加,公式为: m (a+b+c) =ma+mb+mc,其中m为单项式,a+b+c为多项式.(3)多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘,然后把积相加,公式为:(m+n)( a+b) =ma+mb+na+nb.题型一基本计算【例6】计算:(1)(-3x2y)·(4x3y2)=__________;(2)(-3x2y) 2·(4x3y2)=__________;(3)-3x2·(4x5y-2xy4)=__________;(4)(2a2b3)·(-5ab2+3a3b)=__________;(5)(3a+2b)·(2x-y)=__________;(6)(3a+b)·(3a-2b)=__________;题型二混合运算【例7】计算:(3x2+2)( 5x4+2x2+3)-(5x4+x2+3)( 3x2+3)题型三展开后不含某项【例8】若(x2+ax+8)( x2-3x+b)的乘积中不含x2和x3项,则a=__________,b=__________.题型四比较对应项的系数求值【例9】已知(x+my)( x-ny)=x2+2xy-6y2,求(m+n) mn的值题型五巧设特殊值【例10】设()5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a 1x+a0(1)a1+a2+a3+a4+a5+a0的值;(2)a0-a1+a2-a3+a4-a5的值;(3)a0+a2+a4的值;针对练习21.计算:(1)(x+2y)(4a+3b)=__________;(2)(3x-y)( x+2y)=__________;(3)(x+3)( x-4)=__________;(4)(43a2b-83a3b2+1)×(-0.25ab)=__________;(5)3a b2 [(-ab) 2-2b2 (a2-23a3b)]=__________;(6)(5x3+2x-x2-3)(2-x+4x2)=__________;2.计算:(1)(x2-2x+3)(x-1)( x+1);(2)[(12x-y)2+(12x+y)2] (12x2-2y2);(3)(-x3+2x2-5)(2x2-3x+1);(4)(x+y)( x2-xy+y2);(5)(x-y)( x2+xy+y2);(6)(-2x-y)(4x2-2xy+y2).3.(1)多项式x2+ax+2和x2+2x-b的积中没有x2和x3两项,求a,b的值;(2)若(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为-2,求a的值;(3)已知多项式3x2+ax+1与bx2+x+2的积中不含x2和x项,求系数a,b的值.4.(1)已知多项式x4+x3+x2+2=(x 2+m x+1)( x 2+n x+2),求m与n的值;(2)若不论x取何值,多项式x3-2x3-4x-1与(x+1)(x2+m x+n)都相等,求m和n的值;(3)已知(x+a y)(2 x-b y)=2x2-3xy-5y 2,则2a2b-ab2的值.5.已知ab2=6,求ab (a 2b5-ab3-b)的值.6.已知x-y=-1,xy=2,求(x-1)( y+1)的值.7.已知2 a 2+3 a-6,求3a (2a+1)-(2a+1)( 2a-1)的值.8.已知x2-8x-3=0,求(x-1)( x-3)( x-5)( x-7)的值.9.已知2 x+3x (x+1)( x+2)( x+3)的值.【板块三】整式的除法方法技巧(1)单项式除以单项式:系数、同底数的幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:多项式中的每一项分别除以单项式,然后把所得的商相加,公式为:(3)多项式除以多项式:大除法.题型一基本计算【例11】计算:(1)(23a4b2-19a2b8)÷(-12ab3)2(2)(35a3b7-65a3b4-1.8a2b3)÷0.6ab2题型二大除法【例12】计算:(1)(x3-1)÷(x-1);(2)(3 x4-5x3+x2+2)÷(x2+3);。
初二数学 代数式乘法公式整式的运算
暑假数学思维训练初二数学 第二讲 代数式 乘法公式 整式的运算【主要知识点及考试要求】1. 代数式:①理解用字母表示数的意义-b;②会用代数式表示简单问题的数量关系-c;③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义-b ; ④会求代数式的值-c ;⑤会根据具体问题选择或确定数学公式并带入数值进行计算-b2. 整式:①了解整数指数幂的意义和基本性质-a ;②会用科学记数法表示数-b ;③了解整式的概念-a3. 整式的运算:①会进行简单的整式加减运算-c ;②会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)-c4. 乘法公式:①了解平方差公式的几何背景-a ;②会推导平方差公式-c ;③能用平方差公式进行计算-c ;④了解完全平方公式的几何背景-a ;⑤会推导完全平方公式-c ;⑥能用完全平方公式进行计算-c【易混淆的知识点】1.要弄清一些概念的区别,如一次式与单项式,一次式与多项式的区别与联系.2.要注意200=,而20-无意义;()12200=-=,()010≠=a a . 3.平方差公式与差的完全平方公式不能混淆.4.科学记数法的表示方法:n a 10⨯(1≤a <10,n 为整数)【例】1.987232-+y x y x 是___________次___________项式。
2.用代数式表示长为a 米,宽为b 米的长方形的周长是( )A .(a +b )米B .(2a +b )米C .(a +2b )米D .(2a +2b )米3.计算:()n n n x x x 24÷=___________ 4.甲乙两地相距S 千米,汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶,可按时到达;若每小时多行驶a 千米,则汽车可提前到达( )小时A .a SB .a v S +C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-+v S a v SD .⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a v S v S 5.已知矩形绿地的长为⎪⎭⎫⎝⎛-b a 2132,宽为⎪⎭⎫ ⎝⎛++22413194b ab a ,这块绿地的面积是___________6.先化简,再求值:()()()3222a a b b b ab a b a -++++-,其中a =41- ,b =2 7.要使多项式()()q x px x -++22不含关于x 的二次项,则p 与q 的关系是( ) A .相等 B .互为相反数 C .互为倒数 D .乘积为-18.已知代数式533++x x 的值等于7,则代数式2933-+x x 的值等于( )A .0B .2C .4D .69.若32+m n y x 与213+--n m y x 是同类项,则他们都是( )A .4次单项式B .5次单项式C .6次单项式D .7次单项10.若A=2532+-m m ,B=2432+-m m ,则A 与B 之间的大小关系是( )A . A >B B . A <BC . A=BD .不能唯一确定11.甲种茶叶每千克m 元,乙种茶叶每千克n 元,现取甲种茶叶a 千克,乙种茶叶b 千克,混合后的茶叶每千克___________元12.不论x ,y 取什么实数值,代数式74222+-++y x y x 的值( )A .总不小于2B .总不小于7C .可为任何实数D .可能为负数13.计算:(1)2997 (2)(2+4+6+...+160)-(1+3+5+ (159)14.已知a =10000,b =9999,求766222++--+b a ab b a 的值15.已知a -b =32+, b -c =32-,求ac bc ab c b a ---++222的值 16.已知b ax x x ++-236(a ,b 都是常数)能被342+-x x 整除,求a ,b 的值。
初二数学公式大全
初二数学公式大全一、整式的乘法与因式分解。
1. 同底数幂的乘法。
- 公式:a^m· a^n=a^m + n(m、n都是正整数)。
- 例如:2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方。
- 公式:(a^m)^n=a^mn(m、n都是正整数)。
- 例如:(3^2)^3=3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 公式:(ab)^n=a^nb^n(n是正整数)。
- 例如:(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。
4. 整式的乘法。
- 单项式与单项式相乘:把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如:2x^2·3x^3=(2×3)(x^2· x^3) = 6x^5。
- 单项式与多项式相乘:m(a + b+c)=ma+mb + mc。
- 例如:2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式与多项式相乘:(a + b)(m + n)=am+an+bm+bn。
- 例如:(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x+6。
5. 平方差公式。
- 公式:(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
- 例如:(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。
6. 完全平方公式。
- (a± b)^2=a^2±2ab + b^2。
- 例如:(x+1)^2=x^2+2x + 1,(x - 1)^2=x^2-2x + 1。
7. 因式分解。
- 提公因式法:ma+mb+mc=m(a + b + c)。
- 例如:3x^2+6x=3x(x + 2)。
- 公式法:- 平方差公式:a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 例如:x^2-4=(x + 2)(x - 2)。
- 完全平方公式:a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。
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初二数学整式公式15.2.1平方差公式教学目标①经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征,能运用公式进行简单的计算.③了解平方差公式的几何背景,体会数形结合的思想方法.教学重点与难点重点:平方差公式的推导及应用.难点:用公式的结构特征判断题目能否使用公式.教学准备卡片及多媒体课件教学设计引入同学们,前面我们刚刚学习了整式的乘法,知道了一般情形下两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.下面请同学们应用你所学的知识,自己来探究下面的问题:探究:计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?(1) (x+1)(x-1)=(2) (m+2)(m-2)=(3) (2x+1)(2x-1)= 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括.注:平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则,利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程,对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义,同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力,因此在教学中,首先应让学生思考:你能发现什么?让学生经历观察( 每个算式和结果的特点) 、比较( 不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规律进行证明.举例再举几个这样的运算例子.注:让学生独立思考,每人在组内举一个例子( 可口述或书写) ,然后由其中一个小组的代表来汇报.验证我们再来计算(a+b)(a-b)=公式的推导既是对上述特例的概括,更是从特殊到一般的归纳证明,在此应注意向学生渗透数学的思想方法:特例一归纳一猜想一验证一用数学符号表示.注:这里是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的结构特征,为下一步运用公式进行简单计算打下基础.概括平方差公式及其形式特征.教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点:如公式左、右边的结构, 并尝试说明这些特点的原因.应用教科书第152页例1运用平方差公式计算:(1) (3x+2)(3x-2)(2) (b+2a)(2a-b)(3) (-x+2y)(-x-2y)填表:对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成,然后抢答的形式完成;第三小题可采用小组讨论的形式,要求学生在给出表格所提示的解法之后,思考别的解法:提取后一个因式里的负号,将2y看作“a”,将x看作“b”,然后运用平方差公式计算.注:(1)正确理解公式中字母的广泛含义,是正确运用这一公式的关键•设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照,进一步体会字母a、b的含义,加深对字母含义广泛性的理解:即它们既可以是数,也可以是含字母的整式.(2) 在具体计算时,当有一个二项式两项都负时,往往不易判明a、b,如第三小题,此时可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,有助于学生思维互补、有条理地思考和表达,更有助于学生合作精神的培养.(3) 例1第⑶ 小题引导学生多角度思考问题,可以加深对公式的理解.教科书第152页例2计算:(1) 102 X 98(2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)此处仍先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,允许他们算法的多样化,然后通过比较,优化算法,达到简便计算的目的.注:(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征,把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式,教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征.(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系,强调:只有符合公式要求的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按整式乘法法则进行.巩固教科书第153页练习1、2练习1 口答完成;练习2采用大组竞赛的形式进行,其中(1)⑷由两个大组完成,⑵(3) 由另两个大组完成.注:让学生通过巩固练习,达成本节课的基本学习目标,并通过丰富的活动形式,激发学习兴趣,培养竞争意识和集体荣誉感.解释你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?多媒体动画演示图形的变换过程,体会过程中不变的量,并能用代数恒等式表示. 注:(1)重视公式的几何背景,可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.(2) 此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形,是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练;利用两个图形可以清楚变化的过程,便于联想代数的形式.小结谈一谈:你这一节课有什么收获?注:这儿采取的是先由每个学生自己小结,然后由小组代表作答,把教师做小结变成了课堂上人人做小结,有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高•同时,由于人人都要做小结,促使学生注意力集中,学习主动性加强.作业1. 必做题:教科书第156页习题15.2第1题2. 选做题:计算:(1) x2+(y-x)(y+x)⑵200 82- 2009X 2007(3) (-0.25x-2y)(-0.25x+2y)1 1(4) (a+ — b)(a- — b)-(3a-2b)(3a+2b)2 2教学后记1 5. 2. 2完全平方公式教学目标①经历探索完全平方公式的过程,使学生感受从一般到特殊的研究方法,进一步发展符号感和推理能力.②会推导完全平方公式,能说出公式的结构特征,并能运用公式进行简单计算.③了解公式的几何背景,进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力. 教学重点与难点重点:(a ±b)2 3=a2±2ab+b2的推导及应用.难点:公式的结构特征及教科书P184例5. 教学准备投影仪;多媒体课件;小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张;长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张.教学设计引入同学们,前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法,学会了平方差公式的一些简单应用.今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法. 下面请同学们像上一节课一样,自己来探究下面的问题:(1) 完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式,由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法,所以在此引导他们再次自主推导即可. 在推导公式的过程中,要重视学生对运算依据的理解与叙述,强调推理,培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力.探究计算下列各式,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?⑴(p+1)2=(p+1)(p+1)=(2) (m+2)2=⑶(p-1) 2=(p-1)(p-1)=⑷(m-2) 2=注:引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括.2 这里是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算.举例:再举几个这样的运算例子.让学生独立思考,每人在组内举一个例子(可口述或书写),然后由其中一个小组的代表来汇报.验证我们再来计算(a+6)2,(a-b )2.公式的推导既是对上述特例的概括,更是从特殊到一般的归纳证明,在此应注意向学生渗透数学的思想方法:特例一一归纳一一猜想一一验证一一用数学符号表示.概括完全平方公式及其形式特征.注:教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点:如公式左、右边的结构,并尝试说明产生这些特点的原因.还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释:(a-b )2={a+(-b) ]2=a2+2a(-b)+(-b) 2=a2-2ab+b23 对公式(a-b) 2=a2-2ab+b2的多角度解释,是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解,并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算:(1)(4m+n) 2⑵(y- 丄)22引导学生用如下的填空形式完成例3:解:⑴:(4m+n)2是—与—和的平方,)(+2()・()十(>3= ______________ ;t i i i t :(a -\-h)z= ar + 2*a • b+ M⑵••• (y-1)2是一与—和的平方,2 ——「•($—*尸=()K ) * ( )+( )3= ______ ・I I I :: I(<2 -~b)2~ a?—2 * a * b+ 护注:可由学生口答完成,教师多媒体展示结果,提高课堂效率.(1) 正确理解公式中字母的广泛含义,是正确运用这一公式的关键•设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a b进行对照,进一步体会字母a b的含义,加深对字母含义广泛性的理解.(2) 在具体计算时,当二项式的项不再是单独的数或字母时,或者项是小数时,往往容易出现运算错误,如例1第(1)小题,易错解得(4m)2=4n2,通过这样的填空,可引起学生的思考、讨论,有助于学生辨析公式,熟悉公式的结构特征,继而正确进行运用.教科教科书第154页例4运用完全平方公式计算:(1)102 2(2)99 2此处可先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求,允许他们算法的多样化,但要求明白每种算法的局限和优越性.注:运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式,体会符号运算对解决问题的作用,教学时可让学生自己独立解决此问题.巩固教科书第155页练习1、2练习1采用大组竞赛的形式进行,其中(1)(3)由两个大组完成,(2)(4)由另两个大组完成;练习2由学生独立完成,投影仪显示两位学生的完成情况.注:让学生通过巩固练习,达成本节课的基本学习目标•利用投影仪可以提高课堂效率。
思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?组织学生进行讨论,通过自主推导,互相合作交流,共同解决难题.注:前两对算式可通过引导学生复习“互为相反数的两个数的同次偶次幕相等”得出结论,后面一对算式由于前面学习的(ab)2=a2b2等公式的负迁移作用,学生常出现(a-b )2=a2- b2、(a+b)2=a2+b2等错误,教学时有必要辨析.拓展教科书第155页例5运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1.然后给出例5的题目,让学生思考该选择哪个公式.第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号,分别找出符号相同及相反的项,学会运用整体思想,将其与公式中的字母a、b对照,其中-2y+3=-(2y-3),故应运用平方差公式.第⑵小题可将任意两项之和看作一个整体,然后运用完全平方公式.注:在解此例的过程中,应注意边辨析各项的符号特征,边对照两个公式的结构特征,教师应完整详细地书写解题过程,帮助学生理解这一公式的拓展应用,突破难点.(1) “添括号法则”采用自学的方法得出,可培养学生一定的自学能力.(2) 有些整式相乘需要先作适当变形,然后再用公式,在此可通过解题思路的分析,注意公式中字母的广泛意义,并渗透换元的思想.其中第二小题的结果特征明显,可要求部分学有余力的学生与完全平方公式联系起来记忆,作为一个新的乘法公式.小结谈一谈:你对完全平方公式有了哪一些认识?它与平方差公式有什么区别和联系? 梳理知识,形成体系.作业1.必做题:教科书第156页习题15.2 第二大题的(1) 、(3) 、(4) 、(5) .2.选做题:教科书第156页习题15.2 第二大题的(2) 、(6) .教学后记。