SAS9.0在通径分析中的应用

SAS9.0在通径分析中的应用贵州大学农学院冯跃华搜集变量资料是农业科学研究经常采用的方法，如：搜集作物的产量与其构成因素穗数、粒数、粒重等资料，研究这些变量的目的想知道这些变量之间的关系，许多人往往采用简单回归和相关或多元回归分析。

但是，多元回归分析虽然在一定程度上能反映各个变量的真实关系，然而多元回归在分析偏回归系数时带有单位，使自变量对依变量的效应不能直接进行比较，从而不能比较各自变量的相对重要性。

要解决这个问题，进行通径分析(即为通径系数的分析)是一个比较好的选择。

然而令人感到棘手的是，面对繁杂的计算公式往往感到无从下手，下面从通径系数的概念入手，引出通径系数的求算方法，并利用SAS完成通径分析全过程。

1. 通径和通径系数的概念1.1 通径设依变量y和两个自变量x1、x2之间有如下关系：x1yx2图1 通径图在图1 中“→”中表示变量间存在因果关系，箭头方向是原因到结果，称为通径。

“”表示变量间存在相关关系，称为相关线，x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径，记作x2→x1→y。

这种情况可以推广到i个自变量，并记直接通径为i→y（i=1,2,3····m）,间接通径为i→j→y(i=1,2,3····m，i≠j ) ，但也可统一记作i→j→y，当i=j时为直接通径，i≠j时为间接通径。

1.2 通径系数表示各条通径，对于改变因变量的相对重要性的统计数就叫通径系数（path coefficient）, 记作P i→j→Y 或简写为P ijY。

通径系数的定义可以由偏回归系数导出。

例如水稻单株产量y（kg）与x1（穗数）,x2（单穗粒数）,x3（粒重）间存在着线性回归关系。

其回归关系为：y=b0+b1x1+b2x2+b3x3，此式中b0为常数，b1、b2、b3分别表示y对x1,y对x2, y对x3的偏回归系数，偏回归系数是带有单位的，如b1，b2的单位分别为：kg/穗，kg/粒。

所以不便于偏回归系数进行直接比较。

所以常常将其标准化之后以便于消去单位，进行直接比较。

下面进行回归方程的标准化：y=b0+b1x1+b1x2+b1x3 (1)由（1）对y求平均数得：y’=b0+b1x’1+b1x’2+b1x’3 (2)用（1）式减（2）得：y- y’= b1(x1- x’1)+ b2(x2- x2’)+ b3(x3- x3’) (3)由（3）式除σy得：(y- y’)/ σy = b1(x1- x1’)/σy + b2(x2- x2’) /σy+ b3(x3- x3’)/σy (4)将(4)式做相应得恒等变换:(y-y’)/σy= b1(σx1/σy)[(x1- x1’)/σx1]+ b2(σx2/σy)[(x2- x2’)/σx2]+ b3(σx3/σy)[(x3- x3’)/σx3] (5)其中σy，σx1，σx2，σx3分别为y，x1，x2，x3的标准差，并令：∆y=(y-y’)/σy，∆x1= (x1- x1’)/σx1，∆x 2 = (x 2- x 2’)/σx2，∆x 3 = (x 3- x 3’)/σx3 ，∆y 、∆x 1、∆x 2、∆x 3即为变量y 、x 1、x 2、x 3的标准化，将(5)式 改写成下式：∆y ＝b 1(σx1/σy )∙ ∆x 1+ b 2(σx2/σy ) ∙ ∆x 2 + b3(σx3/σy ) ∙ ∆x 3则b 1∙(σx1/σy )，b 2∙(σx2/σy )，b 3∙(σx3/σy )为变量标准化后的偏回归系数，它是不带单位的相对数，这样就可以用以估计∆x 1，∆x 2，∆x 3对∆y 直接影响效应的大小，并比较其重要性。

因此通径系数的定义:若相关变量y 与x 1、x 2 ······x k 间存在着直线回归关系,其回归方程为: y=b 0+b 1x 1+b 1x 2+ ······+b k x k ，则变量标准化后的各偏回归系数b 1∙(σx1/σy )，b 2∙(σx2/σy )，···，b k ∙(σxk /σy )分别为自变量x 1 x 2 ··· x k 对依变量的直接通径系数，即：P 1y = b 1∙(σx1/σy )，P 2y = b 2∙(σx2/σy ), ···, P ky = b k ∙(σxk /σy )，简言之，通径系数是变量标准化的各偏回归系数，用以表示相关变量因果关系的一个统计量。

2. 通径系数的类型通径系数包括直接通径系数和间接通径系数两种类型。

2.1 直接通径系数对于回归方程y= b 0+b 1x 1+b 2x 2+b 3x 3+…+b k x k ，则有x 1对y 的直接通径系数为P 1y =b1*δx 1/δy, x 2对y 的直接通径系数为P 2y =b1*δx 2/δy,x k 对y 的接通径系数为P ky =b1*δx k /δy,其中δx1、δx2、δy 分别为x 1 、x 2、 x k 的方差。

2.2 间接通径系数由许多自变量影响着依变量，但是它们的重要性是不同的，其中一个自变量可能通过其它自变量对依变量起作用，这时可用间接通径系数来表示它。

如x i 通过x j 对y 起作用，间接通径系数为：r ij P jy ，r ij 表示x i 和x j 之间的相关系数，P jy 表示x j 对y 的直接通径系数。

2.3 直接、间接通径系数和相关系数的关系依据回归系数和通径系数的定义以及最小二乘法原理可得到：r ij = P iy + ∑r ij P jy (i ≠j ，i 、j=1,2,3….K ) 即：一个自变量对因变量的直接通径系数和间接通径系数的总和等于这个自变量与因变量之间的相关系数。

例如：对多元回归方程y=bo+b 1x 1+b 2x 2+b 3x 3, 有r 1y =P 1y +r 12P 2y +r 13P 3y, r 2y =P 2y +r 21P 1y +r 23P 3y , r 3y =P 3y +r 3P 1y +r 32P 2y 。

并可以得到表1：表1 直接通径系数和间接通径系数表注：斜体部分为直接通径系数，其它为间接通径系数。

3. 通径系数的性质通径系数有以下几个性质：1）一个具有k 个自变量的反应系统，共有m 个直接通径系数和m(m-1)个间接通径系数。

2）进行通径分析的基础是Y 和X i 都具有线性关系，而且Y 可以被线性分解。

3）通径系数是具有向量的。

如：X i 和Y 不可以互换，即：Piy ≠Pyi 。

它的取值在实数范围内可以大于1或小于-1。

4）通径系数是变量标准化的偏回归系数，它能够表示变量间的因果关系，故具有回归系数性质。

5）通径系数不带具体单位，因而又具有相关系数的性质，表示原因与结果的相关关系。

所以通径系数是介于回归系数和相关系数之间的一种统计量。

6）通径系数可以表示某个自变量的相对重要性。

4. 应用SAS 进行通径分析的具体过程SAS 是美国使用的最为广泛的三大著名统计分析软件（SAS, SPSS 和SYSTAT ）之一，是目前国际上最为流行的一种大型的统计分析系统，被誉为统计分析的标准软件。

对于通径系数，如采用其它常规的统计方法，往往颇费周折。

如采用SAS 软件，往往比较简单，较快的完成分析过程。

下面通过一个X1 X2 X3 Y X1 X2 X3r11P1y r21P1y r31P1yr12P2y r22P2y r32P2yr13P3y r23P3y r33P3yr1y r2y r3y实例，介绍应用SAS进行通径分析的基本作法。

例：测定＂丰产3号＂小麦的每株穗数（Ｘ1）,每穗结实小穗数（Ｘ2，主茎），百粒重（Ｘ3，克），和每株籽粒产量（Y，克）的关系，得结果于表1，试求Y依Xi的最优线性回归方程，并作通径分析．表1 ＂丰产3号＂小麦的每株穗数（Ｘ1）、每穗结实小穗数（Ｘ2）、百粒重（Ｘ3）、株高（Ｘ4）和每株籽粒产量（Y）的关系X1 X2 X3 y10 9 10 13 10 10 8 10 10 10 10 8 6 8 9 2320222122232324202123212321223.63.63.73.73.63.53.33.43.43.43.93.53.23.73.615.714.517.522.515.516.98.617.013.713.420.310.27.411.612.34.1 直接通径系数的求法在sas的程序窗口中输入以下程序：DM"log;clear;output;clear;";ods rtf file='D:\sas2003\tongjing.rtf';PROC IMPORT OUT= MYSAS.tongjingDATAFILE= "D:\sas2003\tongjing.xls"DBMS=EXCEL2000 REPLACE;SHEET="Sheet1$";GETNAMES=YES;RUN;proc reg corr;model y=x1-x3/selection=stepwise sls=.05sle=.05STB;run;quit;ods rtf close;此段程序中，new表示临时数据集；proc reg corr 语句表示调用reg和corr程序，进行回归分析和相关分析；model语句表示选用逐步回归法进行分析，sls= 和sle=定义选入和剔除自变量的限制水平（0.05），STB给出直接通径系数。

运行可以得到以下部分结果：SAS 系统11:02 Tuesday, June 4, 2002 1The REG ProcedureCorrelationVariable Label X1 X2 X3 yX1 X1 1.0000 -0.1357 0.5007 0.8973X2 X2 -0.1357 1.0000 -0.1489 0.0462X3 X3 0.5007 -0.1489 1.0000 0.6890y y 0.8973 0.0462 0.6890 1.0000SAS 系统11:02 Tuesday, June 4, 2002 2The REG ProcedureModel: MODEL1Dependent Variable: y yStepwise Selection: Step 1Variable X1 Entered: R-Square = 0.8052 and C(p) = 15.9479Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 1 193.15219 193.15219 53.73 <.0001Error 13 46.73714 3.59516Corrected Total 14 239.88933Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept -8.06429 3.11354 24.11809 6.71 0.0224X1 2.39762 0.32711 193.15219 53.73 <.0001Bounds on condition number: 1, 1---------------------------------------------------------------------------------------------------Stepwise Selection: Step 2Variable X3 Entered: R-Square = 0.8818 and C(p) = 7.3443Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 2 211.54256 105.77128 44.78 <.0001Error 12 28.34677 2.36223Corrected Total 14 239.88933Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept -30.01290 8.26129 31.17756 13.20 0.0034X1 1.96965 0.30632 97.66880 41.35 <.0001X3 7.33659 2.62942 18.39037 7.79 0.0163Bounds on condition number: 1.3346, 5.3385---------------------------------------------------------------------------------------------------Stepwise Selection: Step 3Variable X2 Entered: R-Square = 0.9205 and C(p) = 4.0000Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 220.81143 73.60381 42.44 <.0001 Error 11 19.07790 1.73435 Corrected Total 14 239.88933Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept -46.96636 10.19262 36.82480 21.23 0.0008 X1 2.01314 0.26314 101.50782 58.53 <.0001 X2 0.67464 0.29183 9.26887 5.34 0.0412X3 7.83023 2.26313 20.76193 11.97 0.0053以上结果给出了四个变量(x1,x2,x3,y)间的相关系数，并经逐步回归，三个变量全部保留在回归方程中，可以建立如下回归方程：y=-46.966359 + 2.013139X 1+ 0.674644X 2 + 7.830227X 3 ,三个自变量全部达到0.05显著水平，还可以达到许多信息，如：回归平方和及均方，剩余平方和及均方，总平方和，决定系数(R2),自变量和回归截距标准误(standard error),重要的是给出了直接通径系数(standardized Estimate).P1y = 0.7534 P2y = 0.1993 P3y = 0.3414 4.2 间接通径系数的求法由通径系数的定义可得：P12y = r12*P2y = -0.1357*0.1993 = -0.02705 P13y = r13*P3y = 0.5007*0.03414= 0.01709，同理，可以算出P21y,P23y,P31y,P32y, 最后得到表3：表3 直接通径系数和间接通径系数表 注：斜体部分为直接通径系数，其它为间接通径系数。