第三节整数的性质及其应用

第三节　整数的性质及其应用（2）

基础知识

最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。

当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。

同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。

由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；

（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；

事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。

（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；（4）若，则；

（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；

（6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。

（7）设，若，则；

（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。

定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。

最小公倍数主要有以下几条性质：

（1）与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；

（2）两个整数的最大公约数与最小公倍满足：（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；（3）若两两互素，则［］＝｜｜；

（4）若，且两两互素，则｜。

典例分析

例1．设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求。

解：设，则，其中且，于是。

所以即

由及（2）可得：

。

由（1）可知只能取

从而或29，故或。

例2．设，，则。

证明：设，则，，其中。于是，已知条件转化为，故更有，从而转化为，但是，故，结合，知必有，同时，因此。

例3．设正整数的最大公约数是1，并且，证明是一个完全平方数。

证明：设，则，，其中，由于，故，现在问题中的等式可以转化

为 ①

由此可见整除。因为，故，同样可得，再由便可以推出。设，其中是一个正整数。一方面，显然整除；另一方面，结合①式，得，故，从而，但，故。

因此，，故，这样就证明了是一个完全平方数。

例4．都是正整数，是否存在整数使得对任意的正整数，与互质？

解：令，，则，于是存在整数使得，

令，则对任意的正整数，设，有

即，而，，所以，即对任意的正整数，（，）＝1。

例5．已知，证明：对于任意的正整数，都有

两两互素。（2002年克罗地亚竞赛试题）

证明：设（其中出现次）。由，故对于有，则是含有0次项的多项式。因此，除以的余数为1。设整数可整除和，又＝，则当除以时余数为1，即＝＋1。所以，矛盾！

从而可知两两互素。

例6．求出所有的正整数对，使得是一个整数。

（2006年山东省第二届夏令营试题）解：由于且

，所以是对称的。不妨设。

当时，则，从而＝2；

当时，若时，则有，所以或3；

若时，由于是一个整数，从而使得　即，所以＜。

又由于，，所以。

所以，从而得或3，所以；

综上知所有的为（2,2）,(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).

例7．已知，且，试问的充要条件是吗？

（2006年山东省第二届夏令营试题）分析：因为，所以；

，所以；

，则有

又因为，所以

从而上式且为奇数，即的充要条件是且为奇数。

．我们知道有1个质因子，且；

有2个质因子，且

………………

如此下去，我们可以猜想：至少有个质因子，且。试证明

之。 （2006年山

东省第二届夏令营试题）证明：令＝，则＝，即要证是整数且有个质因子。下用数学归纳法证明是整数。

时，结论显然；

时，成立；

＋1时，因为(－1)3+1=3－32＋3；

，所以，即是整数。

至少有个质因子。

－32＋3＝()3－3()2＋3().

＝()，令，则＝

由于(,3)=1，所以(,)=1，从而必有异于质因子的质因子，

至少有个质因子。 证毕！

练习

1．若是奇数，则。

分析：要证明与互质，我们只需要证明它们的公因子为1即可，但是这对于不好处理，由为奇数这一条件，我们可以想到从而找到思路。

证明：由于为奇数，故，又，从而（，）（），而（）＝（2）＝1，故。

2．若17|(2a+3b),试证：17|(9a+5b).

证明：注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)－17b,于是17|2(9a+5b).但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).

3．设是正整数，若不是整数，则必为无理数。

证明：设是非整数的有理数，则可设，于是。因为

故可知。但，因而。这与是整数矛盾！证毕。

4．设a,b是不全为0的整数，一切形如ax+by的数中，最小的正数是d，试证：d=(a,b).

5.记F n＝＋1，试证：(F n,F m)=1,这里.