第三节整数的性质及其应用
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第三节 整数的性质及其应用(2)
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。定义1.(最大公约数)设不全为零,同时整除的整数(如)称为它们的公约数。因为不全为零,故只有有限多个,我们将其中最大一个称为的最大公约数,用符号()表示。显然,最大公约数是一个正整数。
当()=1(即的公约数只有)时,我们称与互素(互质)。这是数论中的非常重要的一个概念。
同样,如果对于多个(不全为零)的整数,可类似地定义它们的最大公约数()。若()=1,则称互素。请注意,此时不能推出两两互素;但反过来,若()两两互素,则显然有()=1。
由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质:例如任意改变的符号,不改变()的值,即;()可以交换,()=();()作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有()=()等等。为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质:(1)设是不全为0的整数,则存在整数,使得;
(2)(裴蜀定理)两个整数互素的充要条件是存在整数,使得;
事实上,条件的必要性是性质(1)的一个特例。反过来,若有使等式成立,不妨设,则,故及,于是,即,从而。
(3)若,则,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数;(4)若,则;
(5)若,则,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数;
(6)若,则,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出:若,对于有,进而有对有。
(7)设,若,则;
(8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的次方幂。
定义2.设是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其中最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数,可类似地定义它们的最小公倍数[]。
最小公倍数主要有以下几条性质:
(1)与的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立;
(2)两个整数的最大公约数与最小公倍满足:(但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立);(3)若两两互素,则[]=||;
(4)若,且两两互素,则|。
典例分析
例1.设是正整数,且,它们的最小公倍数是最大公约数的120倍,求。
解:设,则,其中且,于是。
所以即
由及(2)可得:
。
由(1)可知只能取
从而或29,故或。
例2.设,,则。
证明:设,则,,其中。于是,已知条件转化为,故更有,从而转化为,但是,故,结合,知必有,同时,因此。
例3.设正整数的最大公约数是1,并且,证明是一个完全平方数。
证明:设,则,,其中,由于,故,现在问题中的等式可以转化
为 ①
由此可见整除。因为,故,同样可得,再由便可以推出。设,其中是一个正整数。一方面,显然整除;另一方面,结合①式,得,故,从而,但,故。
因此,,故,这样就证明了是一个完全平方数。
例4.都是正整数,是否存在整数使得对任意的正整数,与互质?
解:令,,则,于是存在整数使得,
令,则对任意的正整数,设,有
即,而,,所以,即对任意的正整数,(,)=1。
例5.已知,证明:对于任意的正整数,都有
两两互素。(2002年克罗地亚竞赛试题)
证明:设(其中出现次)。由,故对于有,则是含有0次项的多项式。因此,除以的余数为1。设整数可整除和,又=,则当除以时余数为1,即=+1。所以,矛盾!
从而可知两两互素。
例6.求出所有的正整数对,使得是一个整数。
(2006年山东省第二届夏令营试题)解:由于且
,所以是对称的。不妨设。
当时,则,从而=2;
当时,若时,则有,所以或3;
若时,由于是一个整数,从而使得 即,所以<。
又由于,,所以。
所以,从而得或3,所以;
综上知所有的为(2,2),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).
例7.已知,且,试问的充要条件是吗?
(2006年山东省第二届夏令营试题)分析:因为,所以;
,所以;
,则有
又因为,所以
从而上式且为奇数,即的充要条件是且为奇数。
.我们知道有1个质因子,且;
有2个质因子,且
………………
如此下去,我们可以猜想:至少有个质因子,且。试证明
之。 (2006年山
东省第二届夏令营试题)证明:令=,则=,即要证是整数且有个质因子。下用数学归纳法证明是整数。
时,结论显然;
时,成立;
+1时,因为(-1)3+1=3-32+3;
,所以,即是整数。
至少有个质因子。
-32+3=()3-3()2+3().
=(),令,则=
由于(,3)=1,所以(,)=1,从而必有异于质因子的质因子,
至少有个质因子。 证毕!
练习
1.若是奇数,则。
分析:要证明与互质,我们只需要证明它们的公因子为1即可,但是这对于不好处理,由为奇数这一条件,我们可以想到从而找到思路。
证明:由于为奇数,故,又,从而(,)(),而()=(2)=1,故。
2.若17|(2a+3b),试证:17|(9a+5b).
证明:注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)-17b,于是17|2(9a+5b).但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).
3.设是正整数,若不是整数,则必为无理数。
证明:设是非整数的有理数,则可设,于是。因为
故可知。但,因而。这与是整数矛盾!证毕。
4.设a,b是不全为0的整数,一切形如ax+by的数中,最小的正数是d,试证:d=(a,b).
5.记F n=+1,试证:(F n,F m)=1,这里.