力学_舒幼生_第二章牛顿定律、动量定理概要
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vC
vA cos[ ( )] vC sin vA cos( ) vC sin
A vA
a
B
O
x
0, if / 2 cos( ) vC v A 0, if / 2 sin 0, if /2 / 2
C点先远离O点、静止、再靠近O点
s 2 a 2 b 2 (a b)
3
例 三根细杆在一平面内相
连，并可绕连接处转动。A、 D是两个转轴。当AB杆以角 速度转到竖直位置时，求此 时C点加速度的大小和方向。
C l B 450
l A
450
D
解法一
已知B点的速度和加速度 C点作圆周运动，有法向和切向加速度。
2 2 法向加速度 aCn l 8 3 2 2 l 切向加速度 aCt 4
与CD夹角 arctan 6
5
第二章 牛顿定律 动量定理
Isaac Newton (1642-1727)
在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。 ——伽利略 凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动 亚里士多德《物理学》
23
2.4.1 平移惯性力
惯性系S 非惯性系S' 位置矢量
y' y
S系
P
r
O
速度 v v v0 加速度 a a a0
惯性系S中
r r r0
r
S'系
x'
x
非惯性系S'中
ma F (ma0 )
ma F
24
引入惯性力
Fi ma0
非惯性系S'中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用。
F F Fi
ma F
非惯性系S'中，形式上牛顿方程仍然成立
引入惯性力后，第一、第二定律成立，但第三定律仍然不成立 失重与超重
25
例 两个小球在落地前相遇的条件
惯性定律提出了惯性和力两个概念 惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性； 力是改变物体运动状态的外加因素。 惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。 存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。
非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系
8
牛顿第二定律 运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向
T dT
dN
d d (T dT ) cos T cos df dN 2 2
沿滑轮的法向分量
R d
T ( )
d d (T dT ) sin T sin dN 2 2
化简为
dT dN, Td dN
dT d 得微分关系式 T
积分 0, T T2 T ( ) T2e , T1 T2e 单位长度法向支持力 n
过山车
⊙
S'系
30
一般情况下的惯性离心力
2 Fc m ( r ) m r
地面上物体的表观重力
北极
mg
r
Fc
2 /(24 3600s)
Fc m 2 R cos
r
w
Fc 2 R 2R cos mg g g 0.35% 45,max 6 偏向角最大
建立随B平动的参考系，考虑A相对B的运动
mAmB mA mB
μ称为二体问题的约化质量，二体问题化为单体问题
27
2.4.2 惯性离心力
转动参考系S' S'系相对S系匀速转动， 转动角速度沿z轴
y' y
P
⊙
x' x
S系
S'系 O' O
r r
r r
d ( xi ) d ( yj ) v r r v r dt dt
小球落地的时间
A
t0 2h / g
B
v0
h
选随小球A运动的非惯性系
l 小球A始终静止 小球B受重力和惯性力的作用，二者抵消，作匀速直线运动。
t0
小球A静止，小球B相对小球A的速度仍然为v0
两球相遇的时间 t 落地前相遇要求
l h / v0
2 2
l 2 h2 t t0 v0 g 2h
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
v v u a a
x
x'
伽利略变换
速度是相对的 即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。 加速度是绝对的，即同一质点对于不同参考系有相同的加速度。
20
伽利略相对性原理
伽利略在1632年出版的著作 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》
y
A b C a B O
C点速度的x分量
C点速度的y分量
vCx 0 vCy 0
a vB v A b
x
2 vA C点的加速度 = C相对A的加速度 + A的加速度 aCx b a 2 C点的加速度 = C相对B的加速度 + B的加速度 aCy 2 v A b
2
O、A、B、C四点共圆，OC的方向不变。 y A、C两点的速度沿CA边的分量相等 b C
F ma
牛顿第二定律只在惯性系中成立
牛顿第二定律既是动力学的基本规律； 同时又可作为质量和力的定义，据此可 对质量和力进行测量。
9
物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不同的参考系中 质量m的度量值相同 ——质量的标量性。 两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
“ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只 苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然 后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船 停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向 各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你 的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力， 你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察 这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互 左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法 从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。”
dN Td T dl Rd R
17
弹簧的串并联
串联 并联
k
18
2.3 力学相对性原理
两个相互作匀速平动的参考系
z
S系
z'
r
O
P
r
O'Fra Baidu biblioteky
S'系
y'
x
伽利略变换
x'
t t r (t ) r (t ) ut
19
两个参考系相互作匀速运动
t t r (t ) r (t ) ut
ma F Fc FCor
匀速转动参考系的牛顿方程
29
匀速转动参考系中惯性力的方向
匀速转动参考系的牛顿方程
y'
v
ma F Fc FCor
惯性离心力 科里奥利力
r
O'
Fc FCor
x'
2 Fc m r
FCor 2m v
短程力
正负电荷 长程力
质量
14
例1 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。
水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面 建立坐标系 z
dN
水面上取一小质量元 dm
曲线斜率与重力的关系 dz 向心力 x 2 dm tan dx 重力 gdm
gdm
dz
2
g
xdx
积分
z
2
2g
2
x2 C
O
x
代入液面最低点的值（0，h），得到旋转液面方程
z
2g
x2 h
15
例2 滑轮不转动且不光滑，问物体滑动的条件与法向支持力情况？
可能的运动必是m1下降
T1
a
m1
T2
a
m2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m1 m2
16
建立坐标系，分析一段线元 沿滑轮的切向分量
S'系
南极
31
离心机
r
0
dV
• 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A
y
b C a A b C a
y
C
b a B O A
B O
x
B O
x
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
角速度不变 这一项略去
28
2 a a 2 v r ma F 2 ma F 2m v m r
引入惯性离心力 引入科里奥利力
2 Fc m r FCor 2m v
伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
伽利略的斜面实验 和落体实验。
7
2.1 牛顿定律
牛顿第一定律(惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非有作用于它上的力改变这种状态。
21
从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？
狭义
牛顿力学的相对性原理 牛顿定律在所有惯性系中成立
关于相互作用力的结构性定律， 如胡克定律、万有引力定律等如何变化
广义
在所有惯性系中，物理定律不变
所有惯性系是等价的
惯性系与非惯性系
22
2.4 惯性力
在非惯性系中牛顿定律不再成立
第一定律不再成立 第二定律不再成立 第三定律不再成立
加速度可类似推导
i i j j
2 a a v r v ( r ) a 2 v r
11
单位和量纲
力学量分为基本量和导出量
时间、长度和质量是基本量，分别用 T，L，M 代表
其它量都是导出量，如速度、密度、力等
所有力学量Q的单位都可以用基本量的单位表示
[Q] L M T
这就是力学量的量纲，α，β，γ称为力学量的量纲指数。
例如
v LT 1, a LT 2 , L3M , F LMT 2
26
二体问题：两个物体只有相互作用，不受其它外力
任取惯性系 S B相对S的加速度
FB aB mB
FA
A
B
FB
mA
mB
mA Fi mA aB FA A受惯性力 mB F a 牛顿方程 FA Fi mAa A A, A
由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。
C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。
4
解法二 l 建立直角坐标系 l A B
y
C 450
450
D x
用三个角度和杆长表示C点坐标
C点坐标对时间的二阶导数即C点的加速度 三个角度满足约束关系，由此可得它们的一阶、二阶导数的关系 答案：
F ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量 例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
F1 F2 a m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律 物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二 定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。 若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。 第三定律对于接触力总是成立的 对于两个物体有一定距离时的相互作用力，第三定律有时成立， 有时不成立。
量纲分析
12
2.2 相互作用力
2.2.1 常见力
重力
m gh GM地m GM 地m 2h 1 2 R R
R h2
弹性力
F kx
f N
摩擦力
阻力
f v
13
基本相互作用
强相互作用 弱相互作用 电磁相互作用 引力相互作用 30 0.006 1 10-36
vA cos[ ( )] vC sin vA cos( ) vC sin
A vA
a
B
O
x
0, if / 2 cos( ) vC v A 0, if / 2 sin 0, if /2 / 2
C点先远离O点、静止、再靠近O点
s 2 a 2 b 2 (a b)
3
例 三根细杆在一平面内相
连，并可绕连接处转动。A、 D是两个转轴。当AB杆以角 速度转到竖直位置时，求此 时C点加速度的大小和方向。
C l B 450
l A
450
D
解法一
已知B点的速度和加速度 C点作圆周运动，有法向和切向加速度。
2 2 法向加速度 aCn l 8 3 2 2 l 切向加速度 aCt 4
与CD夹角 arctan 6
5
第二章 牛顿定律 动量定理
Isaac Newton (1642-1727)
在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。 ——伽利略 凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动 亚里士多德《物理学》
23
2.4.1 平移惯性力
惯性系S 非惯性系S' 位置矢量
y' y
S系
P
r
O
速度 v v v0 加速度 a a a0
惯性系S中
r r r0
r
S'系
x'
x
非惯性系S'中
ma F (ma0 )
ma F
24
引入惯性力
Fi ma0
非惯性系S'中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用。
F F Fi
ma F
非惯性系S'中，形式上牛顿方程仍然成立
引入惯性力后，第一、第二定律成立，但第三定律仍然不成立 失重与超重
25
例 两个小球在落地前相遇的条件
惯性定律提出了惯性和力两个概念 惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性； 力是改变物体运动状态的外加因素。 惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。 存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。
非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系
8
牛顿第二定律 运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向
T dT
dN
d d (T dT ) cos T cos df dN 2 2
沿滑轮的法向分量
R d
T ( )
d d (T dT ) sin T sin dN 2 2
化简为
dT dN, Td dN
dT d 得微分关系式 T
积分 0, T T2 T ( ) T2e , T1 T2e 单位长度法向支持力 n
过山车
⊙
S'系
30
一般情况下的惯性离心力
2 Fc m ( r ) m r
地面上物体的表观重力
北极
mg
r
Fc
2 /(24 3600s)
Fc m 2 R cos
r
w
Fc 2 R 2R cos mg g g 0.35% 45,max 6 偏向角最大
建立随B平动的参考系，考虑A相对B的运动
mAmB mA mB
μ称为二体问题的约化质量，二体问题化为单体问题
27
2.4.2 惯性离心力
转动参考系S' S'系相对S系匀速转动， 转动角速度沿z轴
y' y
P
⊙
x' x
S系
S'系 O' O
r r
r r
d ( xi ) d ( yj ) v r r v r dt dt
小球落地的时间
A
t0 2h / g
B
v0
h
选随小球A运动的非惯性系
l 小球A始终静止 小球B受重力和惯性力的作用，二者抵消，作匀速直线运动。
t0
小球A静止，小球B相对小球A的速度仍然为v0
两球相遇的时间 t 落地前相遇要求
l h / v0
2 2
l 2 h2 t t0 v0 g 2h
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
v v u a a
x
x'
伽利略变换
速度是相对的 即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。 加速度是绝对的，即同一质点对于不同参考系有相同的加速度。
20
伽利略相对性原理
伽利略在1632年出版的著作 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》
y
A b C a B O
C点速度的x分量
C点速度的y分量
vCx 0 vCy 0
a vB v A b
x
2 vA C点的加速度 = C相对A的加速度 + A的加速度 aCx b a 2 C点的加速度 = C相对B的加速度 + B的加速度 aCy 2 v A b
2
O、A、B、C四点共圆，OC的方向不变。 y A、C两点的速度沿CA边的分量相等 b C
F ma
牛顿第二定律只在惯性系中成立
牛顿第二定律既是动力学的基本规律； 同时又可作为质量和力的定义，据此可 对质量和力进行测量。
9
物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不同的参考系中 质量m的度量值相同 ——质量的标量性。 两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
“ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只 苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然 后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船 停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向 各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你 的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力， 你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察 这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互 左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法 从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。”
dN Td T dl Rd R
17
弹簧的串并联
串联 并联
k
18
2.3 力学相对性原理
两个相互作匀速平动的参考系
z
S系
z'
r
O
P
r
O'Fra Baidu biblioteky
S'系
y'
x
伽利略变换
x'
t t r (t ) r (t ) ut
19
两个参考系相互作匀速运动
t t r (t ) r (t ) ut
ma F Fc FCor
匀速转动参考系的牛顿方程
29
匀速转动参考系中惯性力的方向
匀速转动参考系的牛顿方程
y'
v
ma F Fc FCor
惯性离心力 科里奥利力
r
O'
Fc FCor
x'
2 Fc m r
FCor 2m v
短程力
正负电荷 长程力
质量
14
例1 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。
水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面 建立坐标系 z
dN
水面上取一小质量元 dm
曲线斜率与重力的关系 dz 向心力 x 2 dm tan dx 重力 gdm
gdm
dz
2
g
xdx
积分
z
2
2g
2
x2 C
O
x
代入液面最低点的值（0，h），得到旋转液面方程
z
2g
x2 h
15
例2 滑轮不转动且不光滑，问物体滑动的条件与法向支持力情况？
可能的运动必是m1下降
T1
a
m1
T2
a
m2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m1 m2
16
建立坐标系，分析一段线元 沿滑轮的切向分量
S'系
南极
31
离心机
r
0
dV
• 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A
y
b C a A b C a
y
C
b a B O A
B O
x
B O
x
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
角速度不变 这一项略去
28
2 a a 2 v r ma F 2 ma F 2m v m r
引入惯性离心力 引入科里奥利力
2 Fc m r FCor 2m v
伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
伽利略的斜面实验 和落体实验。
7
2.1 牛顿定律
牛顿第一定律(惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非有作用于它上的力改变这种状态。
21
从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？
狭义
牛顿力学的相对性原理 牛顿定律在所有惯性系中成立
关于相互作用力的结构性定律， 如胡克定律、万有引力定律等如何变化
广义
在所有惯性系中，物理定律不变
所有惯性系是等价的
惯性系与非惯性系
22
2.4 惯性力
在非惯性系中牛顿定律不再成立
第一定律不再成立 第二定律不再成立 第三定律不再成立
加速度可类似推导
i i j j
2 a a v r v ( r ) a 2 v r
11
单位和量纲
力学量分为基本量和导出量
时间、长度和质量是基本量，分别用 T，L，M 代表
其它量都是导出量，如速度、密度、力等
所有力学量Q的单位都可以用基本量的单位表示
[Q] L M T
这就是力学量的量纲，α，β，γ称为力学量的量纲指数。
例如
v LT 1, a LT 2 , L3M , F LMT 2
26
二体问题：两个物体只有相互作用，不受其它外力
任取惯性系 S B相对S的加速度
FB aB mB
FA
A
B
FB
mA
mB
mA Fi mA aB FA A受惯性力 mB F a 牛顿方程 FA Fi mAa A A, A
由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。
C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。
4
解法二 l 建立直角坐标系 l A B
y
C 450
450
D x
用三个角度和杆长表示C点坐标
C点坐标对时间的二阶导数即C点的加速度 三个角度满足约束关系，由此可得它们的一阶、二阶导数的关系 答案：
F ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量 例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
F1 F2 a m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律 物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二 定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。 若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。 第三定律对于接触力总是成立的 对于两个物体有一定距离时的相互作用力，第三定律有时成立， 有时不成立。
量纲分析
12
2.2 相互作用力
2.2.1 常见力
重力
m gh GM地m GM 地m 2h 1 2 R R
R h2
弹性力
F kx
f N
摩擦力
阻力
f v
13
基本相互作用
强相互作用 弱相互作用 电磁相互作用 引力相互作用 30 0.006 1 10-36