《轴对称》之“将军饮马”问题(二)

《轴对称》之“将军饮马”问题（二）

【变式3】

若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军走的路程最短？

【图示】

【分析】

我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．

首先明确各点，线的属性．

点A是定点，OM，ON是定线，点B，点C是OM，ON上要找的点，是动点．

第一步，显然用“化折为直”，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C．但是点C的位置并不确定，如何保证A’C最短呢？此时问题转化为射线ON外一点A’到ON上一点C之间距离的最小值．

根据“垂线段最短”，则A’C⊥ON时最短！

【解答】

【变式4】

若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？【图示】

蓝色部分即为散步所走的200米．

【分析】

我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．

本题若作点A关于l的对称点A’，连接A’C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A’C共线？

完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．

或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．【解答】

如图，作点A关于l的对称点A’，将点B向左平移CD的长度到点B’(实际为200米)，连接A’B’，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．

【变式5】

将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

【图示】

灰紫色部分即为长30米的浮桥．

【分析】

我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．

由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．

我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿CD方向行30米至点A’，再考虑“两点之间，线段最短”．

【解答】

如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．

此时AC＝ A’D，而A’D＋DB＝A’B，最短．

【总结&反思】

这次的3道题，有涉及到沿河边散步的问题，有造桥选址问题，但无外乎涉及到一个“平移”的思想方法，结合“两点之间，线段最短”解决，另外，有时还需考虑“垂线段最短”．

如用口诀来总结，那就是：

造桥散步怎么办，

想到平移就不难。

若问万般适用法，

两点线段垂最短。

【练习】

1) 如图，在直线l上求作点M，使MB－MA的差最大

2) 如图，在直线l上求作点M，使MB－MA的差最大