高数下册各类积分方法总结

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综述:高数下册,共有如下几类积分:二重积分,三重积分,第一类线积分,第二类线积分,第一类面积分,第二类面积分。其中,除线积分外,个人认为,拿到题后,首先应用对称性把运算简化,线积分的对称性,不太常用,可以参照面积分的对称性,将积分曲面换成积分曲线即可,恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性,线积分以逆时针为正方向,面积分以坐标轴正向为正方向。

二重积分

对称性:

积分区间D关于X轴对称:被积函数是关于Y的奇函数,则结果为0:

被积函数是关于Y的偶函数,则结果为在一半区间上积分的2倍

方法:分别对x、y积分,将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元

三重积分

对称性:

积分区间Ω关于xy面对称:被积函数是关于z的奇函数,则结果为0;

被积函数是关于z的偶函数,则结果为在一半区间上积分的2倍

方法:先重后单||先单后重(极坐标)||柱坐标||球坐标

第一类线积分

x,y,z型:具有关于参数t的表达试,用基本公式,转化成关于t的积分

x,y型:排除上一种条件的话,通常将y表示为关于x的函数,转化成关于x的积分

第二类线积分

方法:

1、用曲线的切线的方向角余弦,转化成第一类线积分

2、有参数t,可以转化成关于t的积分

3、将y表示为关于x的函数,转化成关于x的积分

4、封闭曲线,通常自己构造,可采用格林公式转化为二重积分

另:注意与路径无关的积分

第一类面积分

对称性:

积分曲面关于XY面对称:被积函数是关于z的奇函数,则结果为0:

被积函数是关于z的偶函数,则结果为在一半曲面上积分的2倍

计算方法:常规的话,只有一种,转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。

第二类面积分

对称性:

积分曲面关于XY面对称:被积函数是关于z的偶函数,则结果为0:

被积函数是关于z的奇函数,则结果为在一半曲面上积分的2倍

(注意区别于第一类)

计算方法:

1、用曲面的切线的方向角余弦,转化成第一类面积分

2、转化为二重积分,直接在前面添正负号即可

3、封闭曲面,可以用高斯公式,转化为三重积分,一般封闭曲面都是人为构造的,所以注意减掉构造面,并注意方向

4、斯托克斯公式,转化为第二类线积分,不常用

PS:用函数表达式,可以化简线面积分的被积函数,另有积分相关考点,旋度,散度,质量,质心,转动惯量,求曲面侧面面积,顶面面积,曲顶柱体体积~~~多多复习,牢记公式,一定可以渡过积分这个难关~

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