第六章 6.2等差数列-学生版

第1课时

进门测

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()

(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．()

(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()

(4)已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为－2.()

2、在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()

A．－1 B．0 C．1 D．6

3、已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于()

A．100 B．99 C．98 D．97

4、已知数列{a n}中，a3＝3，a n＋1＝a n＋2，则a2＋a4＝________，a n＝________.

5、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．

作业检查

无

第2课时

题型一 等差数列基本量的运算

例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )

A ．2

B ．10 C.52 D.5

4

(2)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.

【同步练习】

(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49

D ．63

(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9

的值是________． 题型二 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1

a n －1(n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

阶段训练

引申探究

例2中，若条件变为a 1＝3

5，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．

【同步练习】

(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )

A ．a n ＝1

n

B ．a n ＝2

n ＋1

C ．a n ＝2

n ＋2

D ．a n ＝3

n

(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．

第3课时

阶段重难点梳理

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.

(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．

(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列．

5．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)

2d .

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．

【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．

题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质

例3 (1)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝______，cos(a 3＋a 7)的值为________．

重点题型训练