产品的质量控制与成本核算问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：湖南工学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 彭亮

2. 周湘海

3. 蒋善良

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2011 年 8 月 17-19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

B 题 产品的质量控制与成本核算问题

【摘要】本文是关于产品的质量控制与成本核算问题的论文，是在正品率、次

品率以及加工精度的约束条件下以单位产品的平均利润最大为目标函数的数学规划模型。第一问我们根据零件参数服从二维均匀分布，得出产品参数Z 的概率密度函数，运用概率理论知识(D 为xOy 平面上的任一区域，随机点（X,Y ）落在D 内的概率为：{}(,)(,)G

P X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰)求得正品、次品所占的比例大小，

运用数学期望建立相应的目标函数，并运用LINGO 进行求解，求得单位产品的最大平均利润为1591.86，正品率为77.4951%，次品率为22.2417%，加工精度为0.00951298；第二问在第一问的基础上，改变目标函数，得到C 和平均利润的关系式，求出当平均利润最大值为零时的C 值为9.50554。最后对模型进行分析、讨论。

关键词：概率密度函数 平均利润 数学期望 LINGO 软件

1、问题的重述

某厂计划大规模生产的一种产品由零件A 及零件B 组成，设零件A 的参数0X >与零件B 的参数0Y >是独立的均匀分布的随机变量，产品的参数

(,)Z f X Y XY ==目标值是1,当产品参数值Z 与目标值1的偏差1Z -在1r ±，

(1r =1/100)之内时是正品;偏差在1r ±到2r ±之间时是次品，2r =2/100; 偏差在2r ±之外是废品. 正品的市场价单价是1P =4000(元), 次品的市场价单价是

2P =3000(元), 不算加工费时各种成本折算后每件的成本为3P =2000(元). 为了成本核算, 考虑付了加工费后是否值得生产. 若用相对精度为k(0，最大偏差0kX ±, Y 的标定值是

00Y >，最大偏差0kY ±。已知每个零件的加工费用与k 成反比, 比例系数都是常数C ，每月的原材料量是固定的，请完成以下任务：

(1) 当C=0.833292时, 求Z 的标定值000Z X Y =以及使得单位产品的平均利润达到最大的加工精度k ；并求出单位产品的平均利润达到最大时的平均利润、正品率及次品率。

(2) 当C 的值多大时最大的平均利润等于零。（各数值最终结果舍入精确到6位有效数字）

2、模型的基本假设

（1）假设零件A 的参数X 和零件B 的参数Y 是独立的均匀分布的随机变量； （2）假设若有人工加工，不对产品质量造成影响；

（3）每月的原材料量固定且充足，能够保证完成当月生产计划； （4）生产的产品能够全部售出； （5）产品的市场价单价稳定不变；

（6）假设若有人工加工，不考虑人工的加班费用； （7）假设产生的废品没有经济利润； （8）假设不考虑机器的保养及维修费用；

3、符号说明

X 零件A 的参数

0X X 的标定值 Y 零件B 的参数

0Y Y 的标定值 Z 产品的参数

0Z Z 的标定值 N 产品的总数量 W N 个产品的总利润

1r 正品的|Z-1|的最大偏差 2r 次品的|Z-1|的最大偏差 1P 正品的市场价单价

2P 次品的市场价单价

3P 不算加工费时各种成本折算后每件的成本 k 机器的相对精度

C 每个零件的加工费用与k 成反比的比例系数 m 每个零件的加工费用 Q 单位产品的平均利润

1i P 第i 种情况的正品的概率（i=1…5） 2i P 第i 种情况的次品的概率（i=1…5） L1、L2、L3、L4分别代表四条曲线

4、模型的建立及求解

4.1 问题一

4.1．1 问题分析：

单位产品的平均利润由总利润除以产品总数确定。每件产品的成本分为两部分：不算加工费时各种成本折算后每件的成本为3P 和每个零件的加工费用m 。已知3P 为定值，m 与k 成反比,且比例系数为常数C 。因此，产品成本与k 负相关，需要降低成本，应使k 尽可能大；W=1P ×1i P ×N+2P ×2i P ×N,其中，正品率、次品率服从偏差Z-1的二维分布，偏差Z-1与0X 、0Y 及k 有关，在N 一定的情况下，要使平均利润最大，需要总利润最大。

4.1.2 模型的建立