10第八章-01-图的概念

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《机械制图》(张雪梅)教学课件第八章零件图

图8-23（a）所示进行标注（图中Fe表示基本材料为钢，Ep表示加工工艺为电镀）。如图8-23（b）所示，三个连续的加工工序的表面结构、尺寸和表面处理的标注如下。
第一道工序：单向上限值，Rz为1.6 μm，表面纹理没有要求，去除材料的工艺。
第二道工序：镀铬，无其他表面结构要求。
第三道工序：一个单向上限值，仅对长为50 mm的圆柱表面有效，Rz为6.3 μm，表面纹
➢ 4.表面结构要求在图纸中的注法
4.1 表面结构表示法
（1）表面结构要求对每一表面一般只注一次，并尽可能注在相应的尺寸及其公差的同一视图上。除非另有说明，所标注的表面结构要求是对完工零件表面的要求。
（2）表面结构的注写和读取方向与尺寸的注写和读取方向一致。表面结构要求可标注在轮廓线上，其符号应从材料外指向并接触表面，如图8-15所示。必要时，表面结构也可用带箭头或黑点的指引线引出标注，如图8-16所示。
在零件图上标注尺寸时，不仅要考虑设计要求，还应使标注出的尺寸便于测量和校验。如图8-11（a）所示，尺寸A不便于测量，应按图8-11（b）标注尺寸。
3.3 标注尺寸应注意的问题
图8-9 封闭尺寸链
图8-10 开口尺寸链
3.3 标注尺寸应注意的问题
（a）不正确
（b）正确
图8-11 标注尺寸应便于测量
图8-1 左端盖及其零件工作图
零件图的内容
（1）一组图形。用一组恰当的图形（如局部视图、剖视图、断
1
面图及其他规定画法等）将零件各组成部分的内外形状和位置关系正确、完整、清晰地表达出来。如图8-1所示，用一个基本视
图表达泵盖的外形，用A―A全剖视图表达泵盖的内部形状。
2
（2）全部尺寸。在零件图上应正确、完整、清晰、合理地标注零件在制造和检验时所需要的全部尺寸，以确定其结构大小。

第八章轴测图讲解

教案首页教案首页第八章轴测图本章重点1）掌握轴测图的形成和基本作图原理。

2）掌握正等测的作图原理和作图方法3）掌握斜二测的作图原理和作图方法4）用CAD绘制轴测图本章难点1）掌握正等测和斜二测的作图方法2）掌握CAD绘制轴测图的方法本章要求1）已知物体的三视图，作其正等测立体图。

2）已知物体的三视图，作其斜二测立体图。

3）CAD绘制轴测图四、本章内容：§ 8-1轴测图的基本知识一、轴测图的形成及投影特性用平行投影法将物体连同确定物体空间位置的直角坐标系一起投射到单一投影面，所得的投影图称为轴测图。

由于轴测图是用平行投影法得到的，因此具有以下投影特性：1、空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。

2、立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必与轴测轴互相平行。

3、立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。

二、轴向伸缩系数和轴间角投影面称为轴测投影面。

确定空间物体的坐标轴OXOYOZ在P面上的投影01X101Y1 01Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴。

轴测轴之间的夹角/ X101Y1 / Y101Z1 / Z101X1称为轴间角。

由于形体上三个坐标轴对轴测投影面的倾斜角度不同，所以在轴测图上各条轴线长度数。

三、轴测图的分类轴测图分为正轴测图和斜轴测图两大类。

当投影方向垂直于轴测投影面时，称为正轴测图；当投影方向倾于轴测投影面时，称为斜轴测图。

由些可见：正轴测图是由正投影法得来的，而斜轴测图则是用斜投影法得来的。

正轴测图按三个轴向伸缩系数是否相等而分为三种：1、正等测图简称正等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、正二测图简称正二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、正三测图简称正三测：三个轴向伸缩系数各不相等。

同样，斜轴测图也相应地分为三种：1、斜等测图简称斜等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、斜二测图简称斜二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、斜三测图简称斜三测：三个轴向伸缩系数各不相等。

第1章图的基本概念解析

记作 V(G)＝{v1, v2 , … , vn }, (V(G)≠ Ф)
（2）图G的边 e1, e2 ,, em 组成的边集(edge set)
记作 E(G) {e1, e2,, em} ，且 ei 为 vjvt 或 ( vj ,vt )。若 ei＝ vj vt 为无序对，则称 ei 为以 vj 和 vt 为端点 (end vertices) 的无向边 (undirected edge)；
有向边若边的一起始顶点为vj，另一终止顶点为vk，则称该边为有向边。有向边用有序对 (vj, vk) 表示。
无向图 (undirected graph) 每一条边都是无向边的图G称无向图。
有向图 (digraph) 每一条边都是有向边的图D称有向图。
混合图一些边是有向边，另一些边是无向边的图，称为混合图。
若ei＝( vj ,vt ) 为有序对，则称 ei 为以 vj 为起点 (origin)，vt 为终点 (terminus) 的有向边(directed edge)。
（3）Ψ(G)：E→V×V 称为关联函数 (incidence function）。
返回结束
1.1 图与图的图形表示
4
例1 五位代表是朋友。
定向图 (oriented graph) 将无向图G的每条边都指定方向从而得到一个有向图H，称为G的定向图。
对称有向图 (symmetric digraph) 对于无向图G，将G中的每条边用两条与e有相同端点的对称边e和e‘ 来代替后得到的一个有向图D，称为G的对称有向图。
返回结束
1.1 图与图的图形表示
x5
e1
x4
e5e4xe1 3ex23
x2
注：这里 e5 与 e3

图的基本概念和基本操作ppt课件

1
a ij
0
假设(i, j)∈E或〈i, j〉∈E
否那么
第8章图
由于矩阵A中的元素aij表示了顶点i和顶点j之间边的关系，或者说， A中的元素aij表示了顶点i和其他顶点j 〔0≤j≤n-1〕的邻接关系，所以矩阵A称作邻接矩阵。
在图的邻接矩阵存储构造中，顶点信息运用一维数组存储，边信息的邻接矩阵运用二维数组存储。图 8―4〔a〕是一个无向图，图8―4〔b〕是对应的邻接矩阵存储构造。其中， V表示了图的顶点集合， A表示了图的邻接矩阵。无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵。从无向图的定义和无向图的邻接矩阵定义可知，邻接矩阵中第i行〔或第i列〕中非零元素的个数等于第i个顶点的度数。又由于邻接矩阵中非零元的数值为1，所以有
j0
第8章图
B
A
D
C
E
(a)
A B
V＝ C
D E
0 1 11 1 0 0 00 0
A＝ 0 0 0 0 1
0 1 00 0 0 0 00 0
(b)
图8―5 有向图及其邻接矩阵〔a〕有向图；〔b〕邻接矩阵
第8章图
对于网〔或称带权图〕，邻接矩阵A的定义为：
ij
a ij
0
i≠j且(i,j)∈E或〈i,j〉∈E 否那么但i≠j 否那么但
(10) 强连通图和强连通分量：在有向图中，假设对于每一对顶点vi和vj都存在一条从vi到vj和从vj到vi的途径，那么称该图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图称作强连通分量。图8―2的有向图G4是强连通图。图8―2的有向图G3不是强连通图，但G3有一个强连通分量包括顶点0和顶点1，边〈0, 1〉和边〈1, 0〉。

图论--图的基本概念

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

1-2图的概念和术语

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14
可图化
定理3:非负整数列d=(d1,d2,…,dn)是可图化的, 当且仅当d1+d2+…+dn=0(mod 2). 证明: (⇒) 握手定理 (⇐) 奇数度点两两之间连一边, 剩余度用环来实现. # 例3: (1)d=(5,4,4,3,3,2); (2)d=(5,3,3,2,1).
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Havel定理(证明示意)
G
v1
v2 d2,
v3 d3, ……
d = (d1,
vn vd1+1 vd1+2 dd1+1, dd1+2, …… dn)
G’
v2
v3 ……
vd1+1 vd1+2
vn
d’ = (d2-1, d3-1,
dd1+1-1, dd1+2, …… dn)
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v
顶点的度数(degree/valence)
度dG(v): 与v关联的边的次数之和出度dD+(v): 与v关联的出边的次数之和入度dD-(v): 与v关联的入边的次数之和度dD(v) = dD+(v) + dD-(v)
3 0 2,1 0,0
4
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6
标定图,非标定图,基图
标定图(labeled graph): 顶点或边带标记非标定图(unlabeled graph): 顶点或边不带标记基图(底图underlying undirected graph): 有向图去掉边的方向后得到的无向图

工程制图-第八章零件图

非45°倒角
一般按 “槽宽×槽深”或 “槽宽×直径”注出。
结构名称光孔
各类孔的尺寸注法
P108
尺寸标注方法
说明
深度(符号“ ”) 为10 的4 个圆销孔
沉孔
符号“ ”为埋头孔，埋头孔的尺寸为φ10×90°。
符号“ ”表示沉孔或锪平(不标深度) , 此处有沉孔 φ12深4.5。
P108
各类孔的尺寸注法（续）
结构名称
尺寸标注方法
说明
螺孔
“EQS”为均布孔的缩写词
光孔深度为12，螺纹孔深度为10 的4 个公称直径为 6的螺纹孔
七. 零件尺寸标注的步骤：
1.分析零件结构，了解零件功能，弄清零件在机器或部件中与其它零件的装配关系； 2.选择主要尺寸基准，标注主要尺寸；
3.考虑工艺要求，结合形体分析法标注其它尺寸； 4. 检查：有无遗பைடு நூலகம்、错误尺寸，完成零件工作图的尺寸标注。
其它基本视图：根据实际情况适当采取剖视、剖面、局部视图和斜视图等多种形式，以清楚表达零件内外形状。
8.4 零件图的尺寸标注
一.尺寸标注的基本要求正确完整清晰合理
要尺尺标寸寸要注布要符全置符合部要合国尺整设家寸齐计标，、要准不清求的遗晰及有漏，工关，便艺规不于要定重阅求复读
所谓合理就是标注尺寸时，既要满足设计要求，又要符合加工测量等工艺要求。
轴承座功用图
形体：轴承孔、底版、支撑板、肋板等。
结构：分析四部分主要形体的相对位置关系。
支撑板外侧及肋板左右两面与轴承孔外表面
相交等。
⑵ 选择主视图
● 零件的安放位置
轴承座的工作位置。
● 投影方向
主视图表达了零件的主要部分：轴承孔的形状特征，各组成部分的相对位置，三个螺钉孔，凸台也得到了表达。

(图论)图的基本概念(课堂PPT)

15
图的度数的相关概念
在无向图G中，最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中，最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元素重复出现的次数称为该元素的重复度。例如在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。

图的基本概念及其矩阵表

04 图的矩阵应用
最短路径问题
Dijkstra算法
基于贪心策略，从源节点开始逐步向外扩展，每次找到距离源节点最近的节点，直到扩展到目标节点，得到最短路径。
Bellman-Ford算法
通过动态规划的思想，从源节点开始逐步更新节点间的距离，直到所有节点都被访问过，最终得到最短路径。
最小生成树问题
图的匹配算法
匈牙利算法
用于解决二分图最大匹配问题，即在二分图中找到最大的匹配数。
Hopcroft算法
用于一般图的匹配问题，通过不断在图上增加或删除边来寻找最大匹配。
06 图论的应用领域
计算机科学
算法设计与分析
图论是计算机科学中算法设计与分析的重要工具，用于解决诸如最短路径、最小生成树、网络流等问题。
Prim算法
从任意一个节点开始，逐步添加边，每次选择权值最小的边，直到所有节点都在生成树中，得到最小生成树。
Kruskal算法
按照边的权值从小到大排序，依次添加边，如果添加的边不会形成环，则添加到生成树中，最终得到最小生成树。
网络流问题
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并增加其容量，直到没有增广路径为止，得到最大网络流。
对于一些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵等，它们的转置具有特殊的性质。例如，对称矩阵的转置等于它本身，而反对称矩阵的转置是它的负数。
矩阵求逆
要点一
矩阵求逆定义
对于一个非奇异矩阵（即行列式不为零的矩阵），它的逆矩阵是一个与原矩阵乘积为单位矩阵（即对角线元素为1，其余元素为0的矩阵）的矩阵。
矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它按照一定的规则将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。

第八章堰流及闸孔出流

2、薄壁圆形小孔口的恒定自由出流流量公式
• • • • • • •
依据：恒定流的能量方程式 Q 公式： = µ A 2 gH o （8-1）式中： µ = εϕ , µ 称为流量系数，其中 ϕ = 1 称为流量系数， 1+ ζ 称为流速系数。称为流速系数。称为包含行近流速水头在内的全水 HO = H + α v 2g 头。实测资料表明：充分收缩的圆形锐缘小孔口出流时 ε = 0.64 , ζ = 0.06 , ϕ = 0.97 故流量系数 µ = εϕ = 0.62 。
取孔口流量系数
Q = µA
µ = 0.62 H o ≈ H = 2m
2 gH
o
= 0 . 62 ×
π
4
× (0 . 02
)2
×
2 × 9 . 8 × 2 = 1 . 2 2(L/s)
（2）求管嘴出流的流量取圆柱形外管嘴的流量系数即流量
µ n = 0 . 82
π
4 × (0.02) 2 2 × 9.8 × 2 = 1.61( L / s )
第八章堰流及闸孔出流
第一节
概述
一、出流分类
• 1、孔口出流
在容器上开孔，液体在容器上开孔，经孔口泄流的水力现称为孔口出流。象，称为孔口出流。如图8 如图8-1（a） 2、管嘴出流液体经过管嘴的泄流，液体经过管嘴的泄流，称为管嘴出流。称为管嘴出流。如图8-1（b）
•
1.闸孔出流闸孔出流闸孔出流——水流受闸门或胸墙的闸孔出流控制，闸前水位抬高，水由闸门底缘和底板的闸孔流出。特点: 水流经过闸孔流出时，其自由水面不连续。其实质：是大的孔口出流。
• 解：由于： •

图的基本概念

a4 (u4 , u5 ) ， a5 (u4 , u3 ) ， a6 (u3 , u4 ) ， a7 (u1, u3 ) . （见右图 3 有向图）
有向图实例─ 道路图
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联（Incident）. 2)与同一条边关联的两个顶点称为相邻（adjacent）的顶点，与同一个顶点点关联的两条边称为相邻的边.
例设 G (V (G ), E (G )) ，其中：V (G) {v1, v2 , v3 , v4}，
E (G ) {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3，
e4 v1v4 ， 5 v3v4 ， 6 v3v4 . e e
e1 e2 M 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 e3 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 1 0 v4 0 1 v5
2) 对有向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中：
2) 赋权图
定义若图 G (V (G ), E (G )) 的每一条边e 都赋以
一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权称为赋权图. 相应的图为赋权无向图或赋权有向图。
2) 子图定义设 G (V , E )和 G (V , E) 是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G 是 G 的一个子图,记 G G. 2) 若 V V， E ，则称 G 是 G 的生成子图. E
0 1 A 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 0 0 v4 0 0 v5

《应用数学基础》(陈冲)教学课件第八章图论

应用数学基础
第八章图论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理）设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联；由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．

《数据结构》第8章：图

[算法8.1] 建立一个有向图的邻接矩阵存储的算法 void CreateMGraph(Mgraph *G) { // 建立有向图G的邻接矩阵存储 int i, j,k,w; char ch; scanf("%d,%d",&G->n,&G->e)； // 输入顶点数和边数 for (i=0;i<G->n;i++) scanf("%c",&G->vexs[i]); // 输入顶点信息，建立顶点表 for (i=0;i<G->n;i++) for(j=0;j<G->n;j++) G->edges[i][j]=0; // 初始化邻接矩阵 for (k=0;k<G->e;k++) // 输入e条边，建立邻接矩阵 { scanf("%d,%d",&i,&j); G->edges[i][j]=1; // 若加入G->edges[j][i]=1则为无向图邻接矩阵存储建立 } }
邻接矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)属于图的顺序存储结构，所谓邻接矩阵表示法，就是采用一个一维数组存储图的顶点信息，用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。假设图 A = (V, E)是一个有n个顶点的图，图的邻接矩阵是一个二维数组A[n][n]，用来存放顶点的信息和边或弧的信息。邻接矩阵中元素定义为： 1 若(vi, vj)或<vi, vj>是E(G)的边或弧 A[i][j]= 0若(vi, vj)或<vi, vj>不是E(G)的边或弧若G是网图，则邻接矩阵可定义为： wij 若(vi, vj)或<vi, vj>是E(G)的边或弧 A[i][j]= ∞ 若(vi, vj)或<vi, vj>不是E(G)的边或弧