江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
一次方程组的解法
浅谈一次方程组的解法这些一次方程的解法是我在教学中总结出来的一些方法，一、代入消元法变形代入例1 解方程组 x=y+2 ○12x+3y=9 ○2分析：○1中的x的系数的值较为简单，可直接将○1代入○2，也可以将○1变形后代入○2解：将○1代入○2，得2（y+2）+3y=9解得 y=1将y=1代入○1中得，x=3所以原方程组的解为 x=3y=1整体代入当方程组中有一个整体是相同时，可整体代入解方程组 2(x-3)=16-3(y+2) ○14(x-3)=7（y-1）+1 ○2分析：○1、○2式中都含有整式2（x-3）,所以可以把其当作一个整体代入○2式，可很方便的求解解：把○1式代入○2式，得：2×｛16-3(y+2)｝=7（y-1）+1解得： y=2把y=2代入○1式中，解得：x=5所以原方程组的解是： x=5y=2二、加减消元法1.相同的未知数的系数相同或相反时，直接用两式相减或相加可方便解题。
例3 解方程组 2x+2y=10 ○12x-3y=5 ○2分析：未知数x的系数相同，直接用两式相减，可很快求解解：○1- ○2，得：5y=5y=1把y=1代入○1式，得：2x+2=10x=4所以原方程组的解是： x=4y=12.相同的未知数的系数不同的时候，把两式各乘以一个常数，使其相同或相反，一般找其系数绝对值的最小公倍数，然后再进行相加或相减。
例4 解方程组 2x+3y=10 ○13x+2y=15 ○2解：○1×3- ○2×2，得：5y=0y=0把y=0代入○1中，得：2x+0=10x=5所以原方程组的解是： x=5y=03.当常数项相同或相反时的相减或相加例5 解方程组 x+y=20 ○12x+5y=-20 ○2解：○1+○2，得：3x+6y=0x=-2y ○3把x=-2y代入○1式，得：y=-20把y=-20代入○3式，得：x=40所以原方程组的解是： x=40y=-204.再次组合相加法在方程组中，两个未知数的系数的和或差的绝对值相等时，可直接相加、相减，得到一个新的方程（组）后，在与原方程组中简单的一个方程联立方程组，这样就得到一个较简单的方程组，从而可以方便求解。
江苏省金湖县实验中学中考数学复习教案：一次函数的图
一次函数的图象与性质教学过程：一、复习准备1．下列函数，哪些是一次函数？正比例函数？(1)y=0.5x (2)y=-0.5x (3)y=2x+1 (4)y=2x-12．由前面学过的作函数图象知道，一次函数与正比例函数图象有一个共同的特征，这个特征是什么？（答：都是一条直线）二、引入课题既然一次函数与正比例函数图象都是一条直线，我们能否打出一种画一次函数与正比例函数图象的简便方法？一次函数与正比例函数的图象又有哪些性质？这便是本节课要探讨的问题。
（板书课题：13.5一次函数的图象与性质）三、一次函数与正比例函数图象的画法1．在坐标系1（如图1）中画出函数y=0.5x、y=-0.5x的图象；在坐标系2（如图2）中画出函数y=2x+1、y=2x-1的图象。
（教师示范y=0.5x、y=2x+1的图象画法，其余由学生完成）2．画图需要注意的问题(1)画函数y=kx(k≠0)的图象时，通常选取(0，0)和(1，k)两点；画函数y=kx+b(k≠0)的图象时，通常选取(0，b)和(- ，0)两点；(2)选取两点时应以简单为原则。
有时为了使所取的点的纵、横坐标都是整数，也可作适当的变通。
如画函数y=0.5x的图象时，可取(0，0)和(2，1)两点。
3．【练习一】（出示投影片1）(1)正比例函数的图象一定经过点（，）。
(2) 一次函数y=4x-3的图象经过点（0，）和点（，0）(3)一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点坐标是（，）、与y轴的交点坐标是（，）。
(4)课本P109 练习第1题。
四．一次函数与正比例函数图象的性质1．运用电脑软件lyd.gsp和正比例函数的解析式，通过观察、引导学生总结出正比例函数y=kx的性质。
(1)当k > 0时，y随x的增大而增大；(2)当k < 0时，y随x的增大而减小。
2．运用电脑软件lyd.gsp和一次函数的解析式，通过观察、引导学生总结出正比例函数y=kx+b的性质。
高中数学解题技巧之一元一次方程
高中数学解题技巧之一元一次方程一元一次方程是高中数学中最基础的内容之一，也是解题的基本方法之一。
在高中数学的学习过程中，我们会遇到很多与一元一次方程相关的问题，因此掌握一元一次方程的解题技巧对于我们的数学学习非常重要。
本文将介绍一些解一元一次方程的常用技巧，并通过具体的例子进行说明。
一、基本概念和性质首先，我们来回顾一下一元一次方程的基本概念和性质。
一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程就是求出使方程成立的未知数的值。
在解一元一次方程的过程中，我们需要注意以下几个性质：1. 两边加减相同的数，方程仍然成立。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将方程两边都减去3，得到2x = 4。
2. 两边乘除相同的非零数，方程仍然成立。
例如，对于方程2x = 4，我们可以将方程两边都除以2，得到x = 2。
3. 如果方程两边都乘以一个含有未知数的表达式，方程仍然成立，但需要注意可能会引入新的解。
例如，对于方程2x = 4，我们将方程两边都乘以x，得到2x^2 = 4x。
这个方程除了原来的解x = 2外，还有一个新的解x = 0。
二、解题技巧接下来，我们将介绍一些解一元一次方程的常用技巧。
1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
当方程中含有未知数的项和常数项时，我们可以通过移项来求解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将常数项3移到方程的右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
然后，我们再将方程两边都除以2，得到x = 2。
2. 消元法消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。
当方程中含有未知数的项和未知数的系数相同的项时，我们可以通过消元来求解。
例如，对于方程2x + 3 = 3x + 1，我们可以将未知数的系数相同的项移动到方程的同一侧，得到2x - 3x = 1 - 3，即-x = -2。
江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导线性递归数列
4、常见类型： 类型Ⅰ： an 1 p(n)a n q(n) ( p( n) 0) （一阶递归） a1 a ( a为常数） 其特例为：（ 1） a n 1 pan q ( p 0) （ 2） a n 1 pan q( n) ( p 0)
（ 3） a n 1 p(n)an q ( p 0)
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
{ a n}
满足
2
an
a n a n 1 ，证明 a n
1 （ n 2 ， 3 ， 4 ，…）
n2
【练习】
1、已知数列 { an } 满足以下递归关系，求 a n 。（ 1） a1 1 ， a n 1 5an 12 （ n N ）
（ 2） a1 1 ， an 1 2an n 1 （ n N ） （ 3） a1 2 ， an 1
an 2 pa n 1 qa n ( p 0, q 0)
类型Ⅱ：
（二阶递归）
a1 a , a 2 b( a , b为常数）
解题方法：利用特征方程
x 2 px q ，求其根
、
，构造 an
n
A
B n ，代入初始值求得
A, B 。
类型Ⅲ： an 1 f (an ) 其中函数 f ( x) 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】 例 1、已知数列 { a n} 满足以下递归关系
an 1 3a n 4 ，求通项 a n 。
a1 1
an 1 2an (2n 1)
例 2、已知数列 { a n} 满足
，求通项 a n 。
a1 2
a n 1 na n 2 ( n 2)
一次方程组的解法
一次方程组的解法
引言：
求解一元二次方程组是很多初学者在学习数学中遇到的普遍问题。
一元二次方程组是一个
也可以说是两个一元二次方程所组成的系统所构成的方程组。
求解一元二次方程组可以采
用两种不同的方法。
主体：
首先，解一元二次方程组可以采用两个方法：
第一种方法是用乘法分配系数法。
令所有变量中的一个变量等于一个定值，然后利用给定
的数值将所有的变量从左到右替换，从而可以得到方程组中另一个变量的值，最终可以求
得方程组的解。
第二种方法是用消元法。
这种方法是首先把一元二次方程组写成矩阵形式进行处理，然后
根据矩阵的推导规则将同一行中的各项都化为同一个非零的系数，最后根据对应位置的数值将各行的系数相减，就可以得到方程组的解。
结论：
总而言之，上述是求解一元二次方程组的两种常用方法，它们都是用系数来简化求解问题，可以帮助初学者更快更准确地求解方程组。
一次方程组的妙解技法
一次方程组的解法技巧解一次方程组的基本思想是消元，化三元为二元、化二元为一元，最终求出各未知数的值，常用的基本方法是代入法和加减法。
因为方程的形式是多种多样的，所以在解方程中要认真观察、分析方程组中每个方程的结构特征，即方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系，灵活运用消元的思想，找到最简便的解题方法，从不同角度巧妙求解.下面介绍几种常见的解题策略，仅供参考.一、基本法：例1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2.② 1.代入消元法（简称代入法）：思路方法：由选方程组中的未知数系数简单一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程达到消元，进而求解．解：由①得：x ＝2y+3 ③将③代入②，得3⨯（2y+3）＋y ＝2.解得y ＝-1.将y ＝-1代入①，得x ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.2.加减消元法（简称加减法）：思路方法：把方程组中两个方程的同一个未知数的系数化为相等（或相反数），通过两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，化为一元一次方程而求解．解：由①＋②×2，得7x ＝7.解得x ＝1.将x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 练习：解方程组（1）⎩⎨⎧==7-92-3y x y x 答案：⎩⎨⎧==12-5-y x （2）⎩⎨⎧==+65-41432y x y x 答案：⎩⎨⎧==24y x 二、整体法1.整体代入法例1.解方程组⎩⎨⎧=-=-12524-3y x y x x ）（ 思路分析：把x-2y 看成一个整体，将②代入①即可达到消元的目的．解：把②代入①，得：3x-4⨯1=5，解得：x=3．把x=3代入②，得：3-2y=1，解得：y=1．∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . ① ②练习：解方程组⎩⎨⎧=-+=-y x y x 22019333201932）（ 答案：⎩⎨⎧==3675y x 2.整体加减法（轮换对称式的方程组）例2.解方程组 2018x+2019y=2020 ①2019x+2018y ＝2017 ②思路分析：观察方程①、②中x 、y 的系数互调及常数和，发现规律由①+②可求出x+y 的值，然后再整体代入方程中可求解.也可以通过两次加减将原方程组化为简单方程组求解。
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造：例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造：例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=yx 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。
高中数学竞赛培优讲解教案
高中数学竞赛培优讲解教案
主题: 多元一次方程组
目标: 学生能够有效地解决多元一次方程组问题
教学内容:
1. 多元一次方程组的概念及解法
2. 利用消元法和代入法解决多元一次方程组问题
教学过程:
1. 引入多元一次方程组的概念，让学生了解多元方程组是由多个未知数和多个方程组成的数学问题。
2. 着重介绍消元法的应用，通过例题演示如何通过消元法将方程组简化为只含有一个未知数的方程。
3. 继续介绍代入法的应用，通过例题演示如何通过代入法将多元一次方程组化简为只含有一个未知数的方程。
4. 给学生机会练习解决实际问题中的多元一次方程组，鼓励他们尝试不同的解题方法。
5. 总结本节课的内容，强调消元法和代入法在解决多元一次方程组问题中的重要性。
教学资源: 教科书、练习册、白板、彩色粉笔
评估方式: 在课堂上布置练习题，考察学生对多元一次方程组的理解和解题能力。
延伸拓展: 学生可通过参加数学竞赛题目的练习来加深对多元一次方程组的理解，并提高解题能力。
教学反思: 在授课过程中应注重引导学生灵活运用消元法和代入法，培养他们的解决问题的能力。
同时，鼓励学生多练习多元一次方程组的题目，提高解题效率和准确性。
一次方程组的巧妙解法
一次方程组的巧妙解法二元一次方程组的解法历来是中考命题的热点之一，加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的基本方法，掌握好这两种方法，便能解一般的二元一次方程组．但对于某些特殊的方程组，用常规方法，解题过程繁琐、冗长，且容易出错，这时若采用一定的技巧，化繁为简，可收到意想不到的效果．归纳起来，主要有以下几种方法．一、整体代入法例1解方程组2(32)4, 322x x yx y++=⎧⎨+=⎩①②分析：观察方程组得知，两方程都含有“32x y+”，故可把“32x y+”看作一个整体，将②代入①即可消去y，于是容易得解．解：二．换元法所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的．例2 解方程组23237,4323238.32x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①②分析：从该方程组的特点可以看出，把23,23x y x y+-各视为一个整体，利用换元法较为简捷．解：练习：33(1)022(3)2(1)10xyx y-⎧--=⎪⎨⎪---=⎩三．反复加减法当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于,ax by mbx ay n+=⎧⎨+=⎩的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法．例3 解方程组333298,323397.x yx y+=⎧⎨+=⎩①②解：练习：9779212,7997140.x yx y+=⎧⎨+=⎩①②四．整体叠加法例4 解方程组35()36,34()36.x x yy x y++=⎧⎨++=⎩①②分析：两个方程的第一项未知数x、y的系数相同，并且都含有x y+的倍数，故可将x y+视为一个整体，把两方程相加，先求出x y+的值，尔后将x y+的值分别代入两方程即可得解．解：练习：873x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩五、消常数法例5解方程组73890,2367180.x yx y-=⎧⎨-=⎩①②分析：本题若按常规方法消元将十分困难，不过，由于方程组中的常数项有明显的倍数关系，我们可设法消去常数项．解：。
一次方程组的解法技巧
一次方程组的解法技巧在学习解一次方程组的过程中，许多学生〔特别是一些基础较差的学生〕往往习惯于用“代入法”求解，认为这样做牢靠，不易错、殊不知，对有些问题，特别是一些综合题用此种方法求解，既难又繁，往往把简单问题复杂化，究其原因，就是没有认真分析具体方程组的特点，缺乏基本的解题方法、本文介绍解一次方程组的几种常用方法，希望对同学们有所启发、整体代入法解方程组例1：解方程组⎩⎨⎧-=-=+1238y x y x[分析]把〔1〕式中的x +y 看为一个整体，把〔2〕式的左边变形成含有x +y 的式子，再把〔1〕整体代入，即可求得此方程组的解、解：由〔2〕得：5x －2〔x +y 〕=－1〔3〕 把〔1〕代入〔3〕得：5x －2⨯8=－1 ∴x ＝3可得y ＝5∴原方程组的解为⎩⎨⎧==53y x例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++1232721323z y x z y x z y x 解：由5)3()1(+得：x +y =5〔4〕 把〔4〕代入〔2〕得z =1 把z ＝1代入〔1〕〔3〕并变形得⎩⎨⎧=++=++12)(213)(2y x y y x x 把〔4〕代入〔5〕〔6〕解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===123z y x轮换对称式的方程组解法例3：解方程组⎩⎨⎧=+=+1668349984983y x y x [分析]方程组中各方程的x 、y 系数互调后原方程组不变，可通过两次加减将原方程组化为简单方程组、解：由132)2()1(+得：x ＋y ＝2〔3〕由34)2()1(-得：x －y ＝－2〔4〕(1) (2)(1) (2)(1) (2) (3)解由〔3〕〔4〕组成的方程组⎩⎨⎧-=-=+22y x y x 得原方程组的解为⎩⎨⎧==2y x例4：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=--10310323y x z z x y z y x解：由〔1〕+〔2〕+〔3〕得x ＋y ＋z ＝2〔4〕 〔1〕＋〔4〕、〔2〕＋〔4〕、〔3〕＋〔4〕得原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧=-==321z y x利用比例解有关方程组例5：解方程组⎩⎨⎧=-=107543y x yx[分析]：方程〔1〕没有常数项，可把它变形为比例式并设参数k ，代入方程〔2〕即可求得原方程组的解、 解：由〔1〕得：y x =34 设x ＝4k ，y ＝3k 代入〔2〕得 5⨯4k －7⨯3k ＝10 ∴k ＝－10∴原方程组的解为⎩⎨⎧-=-=3040y x例6：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-90725432y x y x[分析]方程〔1〕是一个比例式，可把它作为整体，设参数k 、 解：设k y x =+=-5432 那么x ＝3k ＋2，y ＝5k －4，代入〔2〕得 2〔3k ＋2〕－7〔5k －4〕＝90 ∴k ＝2∴原方程组的解为⎩⎨⎧-=-=144y x(1) (2) (3)(1)(2)(1) (2)用换元法解方程组例7：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++61322326172232n m n m n m n m[分析]：方程组中含有末知数的对应项分别相同，可用换元法解之、 解：设A n m =+32,B nm =-22那么原方程组变形为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+613617B A B A 解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧==2531B A 于是得⎩⎨⎧=-=+5212n m n m解这个方程组得原方程组的解为⎩⎨⎧-==13n m利用一次函数的性质解方程组例8：解方程组⎩⎨⎧=+-=-15351023y x y x[分析]把方程〔1〕〔2〕变形为一次函数y ＝kx ＋b 的形式可知它们的b ＝5，从而可得它们的交点坐标为〔0，5〕即为方程组的解、解：将原方程组变形为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=535523x y x y由一次函数的性质可得，它们的交点坐标为〔0，5〕∴原方程组的解为⎩⎨⎧==50y x字母系数方程组的解法例9：方程组⎩⎨⎧=+=+54ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==12y x ，求a ＋b 的值、 [分析]方程组的〔1〕〔2〕的左边是轮换对称式，〔1〕＋〔2〕可得a ＋b 分别是x 、y 的系数，可把它作为一个整体来处理、解：由〔1〕＋〔2〕得(1)(2)(1)(2)(3) (4) (1) (2)〔a ＋b 〕x ＋〔a ＋b 〕y ＝9〔3〕把⎩⎨⎧==12y x 代入〔3〕得 a ＋b ＝3例10：方程组⎩⎨⎧+=+=-35362453m y x my x 的解互为相反数，求m 的值、 [分析]由题意可知x ＋y ＝0，所以可把原方程组化为含有3〔x ＋y 〕和2〔x ＋y 〕的式子，从而消去一个未知数x ，使方程组的左边只含有y 的代数式、解：将原方程组变形为⎩⎨⎧+=++=-+3534)(248)(3m y y x m y y x∵x ＋y ＝0，∴原方程组可化为⎩⎨⎧+=-=353424m y m y解得m ＝－7、(1) (2)。
全国高中数学联赛一试常用解题方法之构造法
全国高中数学联赛一试常用解题方法十一、构造法方法介绍解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论，但对某些问题（例如存在性问题、条件与结论相距较远的问题题等），直接推理有时不能顺利进行，因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中，需要我们去发现、去解释、去构造，这种通过构造题目本身所没有的解题中介工具——存在实例、对应关系或数学模型，去实现解题的方法，就是构造法.用构造法解题，特点就是“构造”，但怎么样“构造”，却没有通用的构造法则.下面仅通过实例说明.命题精讲1、构造方程模型数学竞赛中的许多问题，本身结构就具备方程形式，或通过变形、概括，可以纳入到某类方程中去，这时，若能构造相近的方程模型，通过解方程或利用方程的性质及广义韦达定理等，常常可将复杂问题简单化.例1已知03,0311242=-+=-+n n m m ，且21n m ≠，求224m n mn +的值. 注：由原条件可知2,1n m 是方程032=-+x x 的两根，即有31,1122-=⋅-=+n mn m ，所以3)1(222224=+=+m n mn m n mn . 2．构造递推数列模型问题中隐含着阶差递推关系的，我们常常可将其一般化，从而提示出相邻阶之间的关系，建立起递推数列模型.常见的如数列中的问题、方程中与自然数有关的问题、数论问题等.例2设实数y x b a ,,,满足方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+.42,16,7,3443322by ax by ax by ax by ax 求55by ax +的值. 注：设n n n by ax a +=，则42,16,7,34321====a a a a ，又为)())((11222n n n n n n n by ax xy by ax y x by axa +-++=+=+++++n n xya a y x -+=+1)(， 将初始值代入，得n n n a a a 381411+-=++，所以203814345=+-=a a a .3．构造不等式模型许多重要不等式都具有固定的结构模式，如平均不等式、柯西不等式、外森比克不等式等.若问题的结构能套上不等式公式的模型，则可利用不等式的性质（如利用不等式极值、取等号的条件等）或通过不等式而加以解决.例3解方程43)3(cos cos )3(sin sin 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x ππ. 注：左边具有柯西不等式的形式，因此可以柯西不等式为相似模型，因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)3(cos cos )3(sin sin 2222x x x x ππ ≥43)3(sin cos )3sin()3cos(sin 22=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x x x x x x πππ当且仅当x x x x cos )3sin()3cos(sin -=-ππ时取等号，故Z k k x ∈+=,62ππ. 4．构造辅助元素模型根据问题的特点构造一些辅助元素，为的是使问题的条件和结论，通过这些辅助元素而发生联系.例4求证：003.0100000099999914131211109<⋅⋅⋅⋅=ΛN . 注：构造辅助量999999999998151413121110⋅⋅⋅⋅=ΛM ，易知10000009=MN ，且M N <，因此100000092=<NM N ，于是003.010003=<N . 5．构造图形模型根据题目提供的信息，构造出符合题设或结论的图形，如三角形、正方形、曲多边形，借助于图表，化代数条件为长度、面积等几何结论.模型构造中常用到诸如勾股定理、正余弦定理、边角关系等.例5对于正整数n ，定义n S 为和式∑=+-n k k a k 122)12(的最小值，其中n a a a ,,21Λ是正实数，它们的和是17，存在惟一的一个正整数n ，使n S 也是一个正整数，求这个n . 注：6．构造圆锥曲线模型问题的形式、结论符合圆锥曲线的定义、性质时，可构造圆锥曲线模型，使问题得以简化.例6求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值.注：函数变形为222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f ，其几何意义为),(2x x P 与)1,0(),2,3(B A 的距离之差的最大值，而P 为抛物线2x y =上任意一点，所以可构造抛物线模型（利用两边之差小于第三边，即||||||||AB PB PA ≤-），当A B P ,,三点共线时取等号，即得10||)(max ==AB x f .解7．构造抽屉原理模型构造的理论依据是抽屉原理.根据问题条件，构造出一个一个的抽屉，使题中元素、对象无一遗漏地落于这些抽屉中.构造过程中，常常将所有对象看成一个全集，构造成若干个抽屉（若干个子集）时，一般采用“其并为全集、其交为空集”的构造方法.例7给定不大于91的10个正整数.求证：其中某两个数的比在区间]23,32[之中. 注：构造抽屉模型，将1，2，3，…，90，91分成9个抽屉921,,,A A A Λ，其中 }25,,17{},16,,11{},10,9,8,7{},6,5,4{},3,2{},1{654321ΛΛ======A A A A A A ， }91,90,,62,61{},60,59,,41,40{},39,38,,27,26{987ΛΛΛ===A A A ，由此可见，91个数没有遗漏地被分成9个抽屉（集合）中，并且同一个)9,,2,1(Λ=i A i 中任意两个数的比值一定在区间]23,32[之中，任取10个数中一定有两个数在这9个抽屉中的同一个抽屉中，这两个数的比值在区间]23,32[之中.8．构造多色图模型构造的方法是将图形染色，常见的有二色图、三色图、同色三角形等.例8将88⨯的国际象棋棋盘剪去左上角与右下角的两个方格，求证：剩下的图形不能用31个12⨯的长方形覆盖.注：国际象棋棋盘上的方格有黑白两种颜色，按此涂色作一模型构造，知同一种颜色的方格绝不相邻，因此每一个12⨯的长方形一定盖住一个黑格一个白格，31个这样的长方形将盖住31个黑格与31个白格，但图中剪去的两个方格都是白的，因此黑格有32个，31个长方形不能将这张剪残了的棋盘完全覆盖.9．构造对应关系模型这种方法的重点是建立对应关系，利用对应关系的性质去解题.例9设b a ,是两个实数，有以下三个集合： },,|),{(Z n b na y n x y x A ∈+===，},153,|),{(2Z m m y m x y x B ∈+===，}144|),{(22≤+=y x y x C .讨论是否存在b a ,，使(1)φ≠B A I ；(2)C b a ∈),(同时成立.注：若着眼于建立数学模型，由条件（1）消去y n m ,,可得0)153(2=+-+x b xa （1）由条件（2）得14422≤+b a （2）在平面b O a --上赋给（1）、（2）以形的意义，不难将问题归结为直线（1）与圆（含内部）是否有公共点的问题，下面沿另一思路，即从建立对应关系入手，借助于对应关系的性质解题.由（2）可令)20,120(sin ,cos π<≤≤<==t r t r b t r a ，从而可得1153)sin(22++=+x r x t θ，从而1|1153||)sin(|22≤++=+x r x t θ，不难证明Z x r ∈≤<,120时，上式不成立，由此得出矛盾.10．构造反例模型为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题目条件，但命题结论不成立的特例，这个过程叫构造反例.例10命题：“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形吗”对吗？如果对，请证明；如果不对，请作一四边形满足已知条件，但它不是平行四边形，并证明你的结论.注：以BD 为弦，作视角)90(0<αα的两弓形弧，再分别以D B ,为圆心，以等半径画弧与两弓形弧相交，选取适当的半径可使其有四个交点11,;,C C A A ，由图形知四边形ABCD 不是平行四边形.11．构造函数模型例11设V U ,是使810)(10)(11102982=++++=++++VV V V U U U U ΛΛ成立的实数，试比较V U ,的大小.注：按题目本身的条件比较V U ,的大小有困难，由题设提供的信息，构造函数 xx x x x x x x x x F n nn n --+=+++++=-1)109(10)()(122Λ， 显然)1)(109(109)()(911109119x x x x x x x F x F +-=--=-，不难验证)(x F n 具有以下性质：(1)当9.00<<x 时，0)()(119>-x F x F ；(2) 9)9.0()9.0(,0)0()0(119119====F F F F ；(3)当0≥x 时，)),(119x F x F 是连续增函数，且非负；(4)当0<x 时，)),(119x F x F 都小于0.由（2）、（3）、（4）及题设8)()(119==V F U F 得)9.0,0(,∈V U ，由性质（1）得)()()(11911U F U F V F >=，再由性质（3）得，V U <.上面介绍了构造法及其应用，还常常与反证法、数学归纳法、极端性原理等配合使用，这些方法更具活力.但也要指出，构造法不是万能的，有许多问题不宜用构造法解，有些虽能用，但如有更简单的方法就不一定要用构造法.同步操练1．求证：存在两个正无理数b a ,，使b a 为有理数.注：假设命题不成立，即找不到两个正无理数b a ,，使b a 为有理数，那么2)2(是无理数（否则只要取2,2==b a ，就与假设矛盾）. 既然2)2(是无理数，我们令2,)2(2==b α，则2=b a 为有理数，这与假设矛盾，下略. 2．求证：方程1222=-y x 有无穷多组正整数解.注：容易发现2,3==y x 是方程的一组解，注意到若1222=-y x 成立，则有1)2(222=-y x ，于是1)2(2)2(2222=-+xy y x ，这样我们构造数列}{},{n n y x 满足2,3,2,2111221===+=++y x y x y y x x n n n n n n ，容易验证对每一个正整数n },{n n y x 是原方程的一组解，因}{},{n n y x 均递增，故当n 取遍正整数时，}{},{n n y x 不重复，所以方程1222=-y x 有无穷多组正整数解.3．任给7个实数，求证：其中必存在两个实数y x ,，满足3310<+-≤xy y x . 注：构造7个实数)22,7,,2,1(tan 721πθθθπθ<≤≤≤<-=ΛΛi i ，把区间)2,2(ππ-分成6个子区间)2,3(],3,6(,],6,3(],3,2(πππππππ-----Λ，根据抽屉原理，7个i θ中必存在两个落在同一个子区间上，不妨设为j θ与)61(1≤≤+j j θ，因而)601πθθ<-≤+j j ，令1tan ,tan +==j j x y θθ，则3310<+-≤xy y x ，下略. 4．已知正数C B A c b a ,,,,,满足k C c B b A a =+=+=+.求证：2k cA bC aB <++. 注：构造如图所示的正三角形，利用PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++即得结论.5．求函数222)92()(),(n m n m n m f --+-=的最小值.注：),(n m f 可解释为两动点)9,(),2,(2n n B m m A -距离的平方，由此构造几何模型，显然直线x y =与半圆)0(222≥=+y y x 和双曲线9=xy 的交点B A ,之间距离的平方即为所求，),(n m f 的最小值为8.6．已知c b a ,,是ABC ∆的三边，求证：abc c b a c b c a b a c b a 3)()()(222≤-++-++-+. 注：将求证式变形为abc c b a c b c a b a c b a 3)()()(222222222≤-++-++-+（*） 联想余到弦定理，交将（*）式转化为三角问题，借助于已三角不等式∑≤23cos A ，便能证得结论成立.7．求证：一个奇数c 为合数的充要条件是存在正整数13-≤c a ，使c a 8)12(2+-为完全平方数.注：（充分性）略；（必要性：必要性是存在性问题，用构造法）设c 为奇合数，则c 可分解为两个大于1的奇数之积，将较小的记为12-k ，较大的记为m ，即12,2,)12(-≥≥-=k m k m k c ，令1+-=k m a ，则13112112-≤--≤+--=c k c k k c a ， 所以有22)]12(2[8)12(-+=+-k m c a .8．对正整数)(,k g k 表示k 的最大奇因子（如5)20(,3)3(==g g ）.求*),2()3()2()1(N n g g g g n ∈++++Λ注：令)2()3()2()1(n g g g g ++++Λ，易知2)2()1(11=+=g g S ，由)(k g 的定义知：k 为奇数时，k k g =)(；k 为偶数时，)()2()(m g m g k g ==，于是)]2()4()2([)]12()3()1([n n n g g g g g g S ++++-+++=ΛΛ +-+++=)1231(n Λ1211)2()]2()3()1([---+=+++n n n S g g g Λ，即114--=-n n n S S ，进而324+=n n S . 9．求证：对任意正整数n ，都有2321<++++n Λ.注：构造数列3]2)1[(,2)1(,1,2:}{2220322022010---=--=-==a a a a a a a a n ，…，n a a n n -=-21.现在用数学归纳法证明n a n >.显然346,27,13,023210>=>=>=>=a a a a .假设)3(≥=k k n 时，有k a k >，则当1+=k n 时，有112)1(3)1()1(221+>-=+-≥+->+-=+k k k k k k k a a k k .于是对任意正整数n ，n a n >，所以,1)1(,121n n a n a n n a a n n n n +->+-=>+=---…，n n a +-++++>13210Λ，即有2321<++++n Λ.10．把一个圆分成)2(≥n n 个扇形，依次记为n S S S ,,,21Λ，每个扇形都可用红、白、蓝三种颜色之任一种涂色，要求相邻扇形颜色互不相同，问有多少种不同的涂色方法？ 注：令涂色法有n a 种，添一扇形1+n S ，我们先涂1S ，有3种；再涂2S ，有2种；…；涂n S ，有2种；涂1+n S ，暂只要求1+n S 与n S 颜色不同.其有n23⨯种涂法.其中1+n S 与1S 颜色不同，有1+n a 种；1+n S 与1S 颜色同，将1+n S 与1S 合为1个扇形，这时涂色法相当把圆分成n 个扇形，有n a 种，于是n n n a a 231⨯=++. 易求得)2)(1(211,2321,6112n n n n n n n a b b b b b a =--=-+-==++， 进而可得n n n n n a b )1(22,)21(2112-+=-+=-. 11．设4321x x x x ≥≥≥，且1432x x x x ≥++. 求证：4321243214)(x x x x x x x x ≤+++.注：由式子结构，令c x x x b x x x ==++432432,，则求证式可化为一个二次不等式： 0)2(22121≤+-+b x c b x （1）.由43111324243≤++=x x x x x x c b 及)(162bc c -=∆知0>∆，故不等式的解集为βα≤≤1x （2） 又b x b ≤≤13，故要证（2）式，只要证βα≤≤b b ,3，这是不难的.于是（2）成立，从而（1）成立，命题得证.12．设k 是给定正整数，41212+++=k k a ，求证：][n a 都能被k 整除（*N n ∈）. 注：以41212+++=k k a 及其共轭形式41212+-+=k k b 为根构造一个一元二次方程0)12(2=++-k x k x ，易证10,10<<<<n b b .令n n n b a U +=，则n n n U a U <<-1，所以*,1][N n U a n n ∈-=.由0)12(11=++-++n n n ka a k a 及0)12(11=++-++n n n kb b k b 得 112)2(++++-=n n n n U U U k U ，利用此式不难用数学归纳法证明：n U 是整数，且)(m od 1k U n ≡.13．圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是同色，就在其间放一枚黑子；若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这一个程序就算是一次操作.求证：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次，圆周上就全是黑子.注：因不知开始的4枚棋子的颜色及其排列顺序，按题意操作，情形比较复杂，下面构造一个反映题设条件的赋值模型，可使问题简化.设开始的4枚棋子为)4,3,2,1(=i x i ，并给棋子赋值，令⎩⎨⎧-=)(1)(1为白子若为黑子若i i i x x x ，规定⎩⎨⎧-=+++),(1),(1111异色若同色若i i i i i i x x x x x x 及12=i x .第一次操作后得到的4枚棋子可表为)(),(),(),(14433221x x x x x x x x ；第二次后得到的4枚棋子可表为))((),)((),)((),)((2114144343323221x x x x x x x x x x x x x x x x ，分别化简为)(),(),(),(24134231x x x x x x x x ；第三次后得到的4枚棋子可表为))((),)((),)((),)((3124241313424231x x x x x x x x x x x x x x x x ，化简后均为)(4321x x x x .第四次操作后得到的棋子都是24321)(x x x x ，故这四枚棋子赋值都为1，这表明：只段操作4次，圆周上全是黑子.14．用)(n f 表示由0和1组成的长度为n （例如10100,00101都是长度为5）的排列中没有两个1相邻的排列的个数，约定1)0(=f .求证：*),24(|3N m m f ∈-.注：长度为1的排列只有0，1，即2)1(=f ；长度为2的排列有00；01，10，11，即3)2(=f .长度为n 的排列可分为两类：以0结尾和以01结尾的.(1)以0结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为)1(-n f ；(2)以01结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为)2(-n f .于是)2)(2()1()(≥-+-=n n f n f n f ，下面用数学归纳法证明：当1=m 时，)2(|3,3)2()24(f f m f ==-；假设当k m =时，)24(|3-k f ，令)30(3)14(,3)24(10<≤+=-=-r r p k f p k f ，由递推式得r p p k f ++=)(3)4(10，,2)2(3)14(10r p p k f ++=+ )32(33)3(3)24(]2)1(4[1010r p p r p p k f k f ++=++=+=-+，即当1+=k m 时，也有]2)1(4[|3-+k f .综上所述，当*N m ∈时，都有)24(|3-m f .15．设n 为正整数，我们称集合}2,,3,2,1{n Λ的一个排列},,,{221n x x x Λ具有性质:P 如果在}12,,3,2,1{-n Λ中至少有一个i ，使得n x x i i =-+||1.求证：具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.注：设，P ，B P A }{}{的排列不具有性质的排列具有性质==我们着眼于建立从B 到A 的一个映射“f ”，使它是单射并非满射，就能证明||||B A >.令B x x x x x b n i i ∈=-},,,,,{2121ΛΛ，则n x x ≠-||21，因而总能找一个排列},,,,,,,{21132n i i x x x x x x a ΛΛ-=使n x x i =-||1，这样的i 有且只有一个，与b 对立，显然A a ∈，按这样的对应法则建立映射)()(:A a B b f ∈→∈.易证f 是单射，下证f 不是满射.因对任何},,,,,{2121n i i x x x x x b ΛΛ-=，有n x x ≠-||21，n x x ≠-||32，故b 的象 },,,,,,,{21132n i i x x x x x x a ΛΛ-=的前二数之差的绝对值不等于n ，显然排列A n n n n ∈++}2,,2,,,1,1{ΛΛ，但不是B 中任何元素的象，所以f 不是满射，因此||||B A >，证毕.。
解方程的十五种技巧
解方程（组）的十五种技巧王永会在数学竞赛中，常遇到一些特殊形式的方程，它们结构巧妙而富有规律性，解题时应仔细的观察题目的特点，联想一些解题方法和技巧，寻找简捷的解法。
一、利用裂项例1. 解方程()()()x x x x x x 22222234276342+-+-+=-+分析：若把每项展开求解，将会带来繁杂的运算，但是我们仔细观察发现，左边两底数之和正好等于右边底数，因此可用拆项的方法求解。
解：原方程可化为 由于()a b a b ab 2220+=+⇒= 故有()()234276022x x x x +--+= 解得：x x x x 123441322=-===，，， 二、利用方差公式例2. 解方程2352123-++-++=-x x y y y分析：方程含有四个无理数，平方是不可能的，因此我们可以用方差()[]S nx x x nx 222221=+++-…的性质：当S ＝0时，x x x n 12===…。
解：因为()2352313123-++-++÷=-x x y y y 所以()()()S xx y y y 222221323523131230=-++-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪= 所以2352-=+-=+x x y y 解得x y =-=77，，经检验x y =-=77，是方程的解。
三、利用放缩性 例3. 解方程()()11111124222224++++=++++x x x x x x解：显然x =0是方程的一个解。
当x ≠0时，()()11111124222224++>++>++x x x x x x，左边＞右边，这时方程无实根，因此方程的根为x ＝0。
四、利用对称性例4. 解方程2316320432x x x x +-++=分析：观察特点，发现方程中各项系数关于中间项对称。
解：由方程可知x ≠0，则原方程变化为：即21312002x x x x +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪-= 所以215140x x x x +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=由2150x x +⎛⎝⎫⎭⎪-=得：25202x x -+=解得：x x 12122==，由x x +⎛⎝⎫⎭⎪+=140得：x x 2410++= 解得：x x 342323=--=-+，所以原方程的解为：x x 12122==，，x x 342323=--=-+， 五、三角函数法例5. 解方程34343411922x x x x -++--= 解：设34349341192222x x x x -+=--=sin cos αα，则3434813411812424x x x x -+=--=sin cos αα，两式相减，得： 所以()8121452sin α-=，解得：sin 279α=所以343481794922x x -+=⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪= 即341502x x --=解这个方程，得：x x 12353==-， 经检验x x 12353==-，都是方程的解。
解一次方程组
解一次方程组一次方程组是由一次方程组成的多个方程的集合。
一次方程的形式可表示为Ax + By = C，其中A、B、C为已知常数，x、y为未知数。
解一次方程组的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法：代入法和消元法。
代入法是通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而确定未知数的值。
具体步骤如下：步骤一：选取一个方程，将未知数表示为其他未知数的函数。
例如，设有方程组：{ 2x + 3y = 7{ 3x - 2y = 1将第一个方程中的x表示为y的函数，得到2x = 7 - 3y，进一步化简为x = (7 - 3y) / 2。
步骤二：将x的表达式代入到另一个方程中，得到一个只含有y的方程。
继续以上面的例子，将x = (7 - 3y) / 2代入到第二个方程中，得到：3(7 - 3y) / 2 - 2y = 1步骤三：解这个只含有y的方程，求得y的值。
进一步计算可得y= 2。
步骤四：将求得的y的值代入到步骤一中确定的x的表达式中，计算得到x的值。
继续以上面的例子，将y = 2代入到x = (7 - 3y) / 2，得到x = 1。
解得一次方程组的解为x = 1，y = 2。
另一种常见的方法是消元法，该方法通过对方程组的方程进行加减运算，将方程组转化为一个只含有一个未知数的方程。
具体步骤如下：步骤一：对方程组的两个方程进行加减运算，以消去某个未知数的系数。
例如，设有方程组：{ 2x + 3y = 7{ 3x - 2y = 1将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：{ 6x + 9y = 21{ 6x - 4y = 2步骤二：对两个方程进行相减运算，消去x的项。
计算可得：(6x + 9y) - (6x - 4y) = 21 - 213y = 19y = 19 / 13步骤三：将求得的y的值代入到原方程组的其中一个方程中，计算得到x的值。
选择第一个方程，将y = 19 / 13代入，得到：2x + 3(19 / 13) = 72x + 57 / 13 = 72x = 7 - 57 / 132x = (91 - 57) / 13x = 34 / 13解得一次方程组的解为x = 34 / 13，y = 19 / 13。
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧.pdf
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
利用同类项的定义构造：
例1：已知和是同类项，则
利用二元一次方程的定义构造：
例2：若是二元一次方程，则的值等于________.
利用方程组的解的定义构造：
例3：若是方程组的解，求的值.
利用相反数的性质构造：
例4：已知的相反数是，的相反数是，则
利用非负数性质构造：
例5：如果实数满足，那么
利用多项式恒等性质构造：
例6：已知多项式可以分解为的形式，那么
利用一次方程的解的特征构造：
例7：已知关于的方程有无穷多个解，那么
取特殊值构造：
例8：设除以所得的余式为，那么
弱化某些未知数构造：
例9：若则
利用新运算的定义构造：
例10：对于实数定义一种新运算：其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算. 已知：那么。
解一次方程组的常见方法与技巧
解一次方程组的常见方法与技巧
胡元明
【期刊名称】《数学教学通讯：中学生版初一卷》
【年(卷),期】2004(000)01X
【摘要】一次方程组是进一步学习方程组的基础，在中考和一些数学竞赛试题中，经常以其解法独特、构思巧妙的形式出现．对于一些复杂的方程组(如未知数系数
较大、方程个数较多等)，除了掌握代入消元法和加减消元法外，还应根据方程组
的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，巧妙消元，简化解题过程，达到
【总页数】2页(P88-89)
【作者】胡元明
【作者单位】江苏省徐州师范学校，江苏221116
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.慧眼观察方程组巧施妙计去消元——谈解二元一次方程组的若干技巧 [J], 王锋
2.解二元一次方程组的方法与技巧 [J], 苏三林
3.浅谈解二元一次方程组的技巧 [J], 李金刚
4.解二元一次方程组的消元技巧 [J], 姜伟方;梅志红
5.解二元一次方程组的方法与技巧 [J], 于志洪
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- 1 - 一、利用同类项的定义构造：
例1：已知m n m n b a --31999
1和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n
m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：
例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5
213by ax y ax 的解，求b a 、的值.
四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a
五、利用非负数性质构造：
例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y
x 六、利用多项式恒等性质构造：
例6：已知多项式682322
2-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1
123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：
例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a
八、取特殊值构造：
例8：设b ax x x ++-2
32除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a
九、弱化某些未知数构造：
例9：若,073,
0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：
例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.
已知：,2874,
1553=*=*那么.________11=*。