二次根式的概念及其应用

二次根式

知识点一：二次根式的定义

二次根式：一般地，式子√a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

1） 二次根式的定义必须包含二次根号“√”，尽管√9的结果为3，但由于√9满足二

次根式的特征，所以√9是二次根式；

2） 二次根式的被开方数可以使数字，亦可以是一代数式，但必须满足被开方数≥0，

如√-x 2-1，由于被开方数＜0，所以它不是二次根式；

3）

根指数是2，此处的2可以省略不写； 4） 形如b √a （a ≥0）的式子也是二次根式；

知识点二：二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）

知识点三：二次根式的性质

性质1：双重非负性

性质2：2＝a （a ≥0）

性质3：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()

知识点四：同类二次根式与最简二次根式

例1．下列式子，哪些是二次根式，、1

x （x>0）、

、、1

x y +x ≥0，y•≥0）．

例2. 求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

例3.已知x,y 为实数，且

5y =，求22x xy y -+的值。

例4. 已知，求x y

的值

例5. 当a 1+取值最小，并求出这个最小值

例6. 已知2310x x -+=

例7. 已知：,x y

为实数，且3y p

，化简：3y --例8. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：

|1|a -

例9.已知a 、b 、

c

满足2(0a c -= （1）a 、b 、c 的值；

（2）试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由

巩固练习：

一、选择题

1、函数3

y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A. 1x ≥- B. 3x ≠ C. 13x x ≥-≠且 D. 1x <-

2、()a a -=-112

成立的条件是： A ．a ≠1 B ．a ≥1 C ．a <1 D ．a ≤1

3、下列根式中，最简二次根式为： A ．4x B ．x 24- C ．x 4 D ．()x +42

4、已知t <1，化简1212---+t t t 得：

A ．22-t

B ．2t

C ．2

D ．0

5、下列各式中，正确的是： A ．()-=-772

B ．()-=07072..

C ．()-=7722

D ．()-=07072

.. 6、下列命题中假命题是：

A ．设()x x x <-=-02，则

B ．设x x x <=-012，则

C ．设x x x <=02，则

D ．设()x x

x <=0222，则 7、与23是同类根式的是： A ．50 B ．32 C ．18 D ．75

二、解决问题

1、已知：x y =+=-123123

， 求：x xy y 225-+ 2、若5的整数部分为a ，小数部分是b 求：a b -1的值。

3、已知a,b 为一等腰三角形的两边之长，且满足等式4b =-，求此等腰三角形的周长和面积。

4、若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│

5、先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式（1-a ）=1；

乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________

6、化简求值：2a (a+b )-(a+b )2,其中a

，b 7.计算：

（1）

（2）222)(2+-

8.

1x x =- 9.计算

10. 已知：2b =，求11a b +的平方根.

课后作业：

一、填空题

1

a 的取值范围是 ；

2、如果0)6(42=++-y x ，则=+y x ________；

3、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a

= ，2(= ，= ，= ；

= ；

6.已知a+b =-3,ab =2,= ；

7.

有意义，则(2)a -= ；

8.

成立的条件是 ； 9.

a = ，的值为 ；

10.在一个半径为2m 的圆形纸片上截出一个面积最大的正方形，则这个正方形的边长是 .

二.选择题

11.

）

D.不存在 12.

）

B.312的算数平方根

13.

a 的值是（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

14.1x -，则x 的取值范围是（ ）

A.x ≤1

B.x ≥1

C.x ＜1

D.x ＞1

15.下列各数中，与

2的积为有理数的是（ ）

2 C.2 D.2-+

16.若a≤0,化简a-的结果是（）

A.0

B.2a

C.-2a

D.2a或-2a

17.化简，正确的结论是（）

18.3

==，

5

=

完全正确的个数是（）

A.2

B.1

C.4

D.3

a,小数部分是b，求2ab-b2的值.

19、若