天津大学线代2016-2017第一学期期末试题

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天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．224．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．196．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．12．若tanα=2，则= ．13．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1），其关于y=x 对称的函数为g （x ）．若f （2）=9，则g （）+f （3）的值是．14．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点F ，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于点D ，则∠ADF 的度数为．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．16．函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y 取最大值1，当x=时，y 取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f （x ）（Ⅱ）函数y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到y=f （x ）的图象？（Ⅲ）求函数f （x ）的单调递减区间．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F （1）求证：A1C⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ）若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．20．已知函数f （x ）=（a+1）lnx+ax 2+1．（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x ）≥x 2+x+1，求a 的取值范围．天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母都进行复数的乘法运算，得到最简结果．【解答】解： =故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是正确进行复数的乘除运算，注意运算法则，本题是一个基础题．2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5} 【分析】根据Venn图表达集合的交集运算，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分所示的集合为M∩N，∵集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}，∴M∩N={﹣1，1，3}，故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合交集的运算，属于基础题．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．22【分析】由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31所以a 8=20【解答】解：由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8 又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31 因为a 5=11所以a 8=20 故选B ．【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k 则a m +a n =a l +a k ．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k 值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．19【分析】先求出两个向量的坐标，根据向量垂直的充要条件及数量积公式列出方程解得．【解答】解：，∵k+与﹣3垂直∴=0∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0解得k=19故选项为D【点评】本题考查两向量垂直的充要条件是：数量积为0．6．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，∴棱锥底面正方形的边长为．∴V==．故选C．【点评】本题考查了棱锥的三视图即体积计算，是基础题．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．【分析】确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点【分析】A．a＞b与a2＞b2相互推不出，即可判断出正误；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，反之不一定成立，即可判断出正误；C．p与q相互推不出，即可判断出正误；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△＞0，解出m即可判断出结论．【解答】解：A．a＞b与a2＞b2相互推不出，因此不满足条件；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，⇒q：ab＜0，反之不一定成立，不满足条件；C．p与q相互推不出，因此不满足条件；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△=m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2．∴p是q的充要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质、圆锥曲线的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10 ．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18 ．【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．【解答】解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB===﹣，得到B为钝角即B∈（，π），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．12．若tanα=2，则= ．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，∴==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f （3）的值是25 ．【分析】根据题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．x，则函数f（x）=a x反函数为：y=loga∴g（x）=logx，a又f（2）=9，∴a2=9，∴a=3，x，∴g（x）=log3+33=25，∴g（）+f（3）=）=log3故答案为：25．【点评】本小题主要考查反函数的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．14．已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠AC B的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为45°．【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．【解答】解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．根据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．故答案为：45°．【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．【分析】（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，概率为P（A）=（1﹣）2=．由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）P（ξ=1）=，P（ξ=2）=（1﹣）=，P（ξ=3）=（1﹣）2=，P（ξ=4）=（1﹣）3+（1﹣）4=，（11分）∴ξ的分布列为ξ 1 2 3 4PE（ξ）=1×+2×+3×+4×=．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．16．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．【分析】（Ⅰ）通过当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．∴T==，∴ω=3．﹣﹣﹣﹣（4分）∵sin（π+φ）=1，∴π+φ=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得φ=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴函数 f（x）=sin（3x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x﹣）的图象再由y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到y=sin （3x ﹣）的图象，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）令2k≤3x﹣≤2k，（k ∈Z ），求得函数f （x ）的单调递减区间为：[，]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．【分析】（Ⅰ）由S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），相减可得a n+1=3a n ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用等比数列的前n 项和公式可得S n ，变形即可得出．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，利用等差数列的前n 项和公式，二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），∴a n+1=3a n ．故{a n }是公比为3，首项为9的等比数列，，（Ⅱ）∵，∴，∴，．故数列是为首项，公比为3的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，∴{b n }是公差为﹣2．首项为16的等差数列．∴，∵b 8＞0，b 9=0，b 10＜0， ∴T 8或T 9最大，最大值为72．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F ．（1）求证：A 1C⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后求出与，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，又BD∩BE=B 满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，根据等体积法可知，求出高即可；（3）连接DF ，根据BE⊥平面A 1B 1C ，可知DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，从而∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，最后在Rt△FDE 中，求出此角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A （0，0，0）、B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，1，0）、A 1（0，0，2）、B 1（1，0，2）、C 1（1，1，2）、D 1（0，1，2），，，…（2分）设E （1，1，z ），则：，，∵BE⊥B 1C∴，，∴，，∵，，∴A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，…（4分）又BD∩BE=B∴A 1C⊥平面EBD ．…（5分）（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，设为h ，…（6分），，由得：，，…（8分）∴点A 到平面A 1B 1C 的距离是．…（9分）（3）连接DF ，∵A 1C⊥BE，B 1C⊥BE，A 1C∩B 1C=C ，∴BE⊥平面A 1B 1C ，∴DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，…（11分）设F （1，y ，z ），那么，∵∴y﹣2z=0①∵，∴z=2﹣2y②由①、②得，，…（12分）在Rt△FDE 中，．∴，因此，DE 与平面A 1B 1C 所成的角的正弦值是．…（14分）【点评】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ）若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．【分析】（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l 的方程；（Ⅱ）设出M 及Q 的坐标，根据题意表示出N 的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x 与y 分别表示出x 0及y 0，将表示出的x 0及y 0代入圆C 的方程，得到x 与y 的关系式，再根据由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，即可得出Q 的轨迹方程；（Ⅲ）由Q 及R 的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出||2，由圆C 的方程表示出y 2，将y 2代入表示出的||2中，得到关于x 的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出||2的最小值，开方即可得出||的最小值，以及此时x 的值．【解答】解：（Ⅰ）显然直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k+2=0…（2分）设圆心到此直线的距离为d ，则d==2，得k=0或k=﹣ …（4分）故所求直线方程为y=2或4x+3y ﹣10=0．…（5分）（Ⅱ）设点M 的坐标为（x 0，y 0），Q 点坐标为（x ，y ），则N 点坐标是（x 0，0），∵=+，∴（x ，y ）=（2x 0，y 0），即x 0=，y 0=y ，又∵x 02+y 02=4，∴+y 2=4，（8分）由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，∴Q 点的轨迹方程是+y 2=4（x≠0）；（9分）（Ⅲ）设Q 坐标为（x ，y ），R （1，0），∴=（x ﹣1，y ），∴||2=（x ﹣1）2+y 2，（10分）又+y 2=4（x≠0），∴||2=（x ﹣1）2+y 2=（x ﹣1）2+4﹣=≥，（12分）∵x∈[﹣4，0）∪（0，4]，∴x=时，||取到最小值．（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分离参数得到a≥，令g（x）=，求出其最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=，f′（1）==﹣，解得：a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；单调增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，单调减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）xf′（x）≥x2+x+1，得：a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）令g（x）=，则g′（x）=，当0＜x＜时，g（x）单调递增，当x＞时，g（x）单调递减，=g=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以，g（x）max故a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

天津大学高数2015-2016学年第一学期期末考试A卷

dt 2 a t 4. 已知 lim 4 ( a 0), 求常数 a, b 的值． x 0 b x sin x
0

x
t2
3. 设函数 f ( x ) 连续且满足 f ( x ) cos x +2
0
x
f ( s )sin s d s x 1. 求函数 f ( x ) 的解析式.
(D) y 只有一条水平渐近线. ). (D) L1 ∥ L2 .
x t 1, x y3 z 4. 直线 L1 : 与直线 L2 : y t 2, 之间的关系是 ( 2 3 4 z 2t 2
(A) L1 与 L2 相交但不垂直; (B) L1 与 L2 为异面直线; 5. 已知 f (cos x ) sin x, 则 f (cos x ) ( (A) cos x C ; (B) ( x sin x cos x ) C ; ). (C) cos x C ; (D) (C) L1 L2 ;
天津大学试卷专用纸学院________________ 专业________________班______年级_________学号__________________姓名_______________
得分五、解答题（每小题 8 分，共 16 分）．
共 3 页第 3 页 A 卷
1. 求二阶微分方程 y 3 y 1 12 x 满足条件 y (0) 2, y(0) 4 的特解．
(C)
2

1 dx ; x ln x
(D)

1
1 dx . x
).
f (e x 1) _________. 3. 设函数 f ( x ) 满足 f (0) 0, f (0) 2, 则 lim x 0 tan x 2 π 4. 已知向量 a，， b c 满足 a 2, b c 1, 向量 a 与 b 的夹角为 , 6 且 c a, c b ，则 ( a b ) c _________.

天津市河北区2016-2017学年高三上学期期末质量调查理数试卷Word版含解析

天津市河北区2016-2017学年高三上学期期末质量调查理数试卷一、选择题：共8题1．设集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得,所以=.选C.2．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A.4B.11C.12D.14【答案】B【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图所示;,,.当过点时,目标函数取得最大值.选B.3．如图，在中，若，，，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得:,代入数据得,解得.选C.4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为A.57B.120C.183D.247【答案】B【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次：；循环2次：；循环3次；循环4次：；循环5次：,满足条件,结束循环,输出的值为120.选B.5．已知,，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查指数、对数函数,充要条件.“”等价于“”;而“”可得“”,即充分性成立;反之不成立,即必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.选A.6．已知双曲线，)的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质.抛物线的准线为;双曲线的两条渐近线为,联立与,可得,,而的面积,即=;而双曲线中,所以,即,即双曲线的离心率.选B.【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.7．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为,所以,;所以======;当时,取得最大值5;当时,取得最小值2;即的取值范围是.选C.8．已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查函数与方程,导数的几何意义.画出函数的图像,如图所示;若恰有三个不相等的实数解,则的图像与有3个交点;当时,它们恰有2个交点;向上平移,当函数与相切时,它们恰有2个交点,此时,即,,即切点为,;而过切点,,代入可得;由图可得.即的取值范围是.选D.二、填空题：共6题9．已知，，若为纯虚数，则实数的值为．【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.==,其为纯虚数,所以,解得.10．的展开式中的常数项为．(用数学作答)【答案】【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式=,令,即,可得.11．几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为．【答案】【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.该空间几何体为四棱锥;,所以该几何体的体积V.12．直线()与圆相交于、两点，若，则的值是．【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆的圆心为,半径;而,所以圆心到直线的距离,解得.【备注】点到线的距离公式.13．设，则的最小值是．【答案】【解析】本题考查基本不等式.==4(当且仅当时等号成立).即的最小值是4.14．定义在上的奇函数是周期为2的周期函数，当时，，则的值为．【答案】【解析】本题考查指数、对数函数,函数的性质.由题意得======.三、解答题：共6题15．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间．【答案】(1)∵====；∴的最小正周期．(2)由(1)可知，令，函数的单调递增区间是，可得，则，，所以，当时，的单调递增区间为．【解析】本题考查三角函数的性质,三角恒等变换.(1)经三角恒等变换得=,∴;(2)由(1)可知，求得在上单调递增．16．甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．(1)求甲至多击中目标2次的概率；(2)记乙击中目标的次数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)∵甲次均击中目标的概率为，∴甲至多击中目标目标2次的概率为．(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3．，，，．∴随机变量的分布列为∴随机变量的数学期望．【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望.(1)∵甲次均击中目标的概率为,∴甲至多击中目标目标2次的概率为;(2)求得，，，．列出的分布列,求得．17．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求锐角三角形的余弦值．【答案】(1)证明：依题意，平面；如图,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得，，，，，，．∵，，∴，∴.(2)证明：取的中点，连接．∵，，，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．(3)解:∵，，，∴平面；故为平面的一个法向量．设平面的法向量为；∵，，∴，即；令，得，，故，∴；∴锐二面角的余弦值为．【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)平面,建立恰当的空间直角坐标系;求得,∴.(2)证得,∴,∴平面.(3)为平面的法向量;求得平面的法向量,求得,∴锐二面角的余弦值为．18．设数列满足条件，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)∵，，∴)，∵当时，式子也成立，∴数列的通项公式．(2)解：∵，即：，，，…∴．设，①则，②①②，得，∴，∴．【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)累加得．(2)，∴．设,错位相减得，∴．19．已知椭圆:经过点，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为，为椭圆上的一点，当的面积最大时，求点的坐标．【答案】(1)由椭圆经过点，离心率，可得，解得；∴椭圆的方程为．(2)由(1)可知，，则直线的方程为，即，直线的方程为，由点在椭圆上的位置易知直线的斜率为正数．设为直线上任意一点，则，解得或(舍去)，∴直线的方程为．设过点且平行于的直线为，由整理得，由，解得，因为为直线在轴上的截距，依题意，故.∴点的坐标为．【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得,解得,∴椭圆为．(2)先求得直线为．联立方程,套用根与系数的关系得.∴点的坐标为．20．已知函数且)．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间和极值；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)∵当时，，，∴，，∴；即所求切线方程为．(2)∵．当时，由，得；由，得或．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和，∵，，∴当时，函数的极大值为0，极小值为．(3)，∵在区间上单调递减，∴当时，，当时，．∵不等式恒成立，∴，解得；故的取值范围是．【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用.(1)求导得切线方程为．(2)求导,分类讨论得在上单增,在和上单减,∴的极大值,极小值．(3)求得，,∵恒成立,∴,解得．。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前天津市部分区2016~2017学年度第一学期期末考试高三数学(理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分)注意事项:1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件,A B互斥，那么()()()=+．P A B P A P B如果事件,A B相互独立，那么()()()=．P A B P A P B锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高。

柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1）已知集合2{1,4},{|log,}A B y y x x A ===∈,则A B =（A ）{}1,4 (B ）{}0,1,4 （C ）{}0,2 (D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ,y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165- (B)3- （C ）0 （D ）1(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出v 的值为（A ）4 （B)5 （C)6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形,若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB(A 3 （B 7(C ）22 (D ）3（5）设｛na ｝是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“｛na ｝为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件(6)已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为(A ）221164x y -=(B ）22194x y -=（C ）22149x y -=（D ）22184x y -=（7）在ABC ∆中,D 在AB 上，:1:2AD DB =，E为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ,连结AP ．设AP xAB yAC =+,x y ∈R （），则x ,y 的值分别为 (A)11,23(B ）12,33(C)12,55(D ）11,36（8)已知2()(3)e x f x x=-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0- (C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ (D ）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题,共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题,每小题5分,共30分。

天津大学线性代数答案

解方程组为
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习题一
1/4
——————————————————————————————————————————
3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

2016-2017学年天津市新人教版高一上期末数学试卷(含答案解析)

2016-2017学年天津高一（上）期末数学试卷■选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的 cos 「等于（ 3B.- 1C. 12 2（5分）为了得到周期y=sin （2x+ ）的图象，只需把函数y=sin 6的图象（）A .向左平移"个单位长度B .向右平移个单位长度 44 C •向左平移——个单位长度D .向右平移——个单位长度 2 25. （5分）设平面向量◎二（5, 3）, b = （1，- 2）,则目-2匚等于（A . (3, 7) B. (7, 7) C. (7, 1) D. (3, 1)6. (5分)若平面向量；与匸的夹角为120° a =(罠-%, |可=2, 5 57. （5分）如图，在平行四边形ABCD 中，疋=（3, 2）, BD = （- 1, 2）,则疋?AD A . 1 B. 6 C. - 7 D . 798. (5 分)已知 sin a +cos a=，贝U sin2 o 的值为( )(5 分)A . 2. A. 3. 已知' '=2,则tan a 的值为（）3sin 口 +5cos CtB.-匚C. 2 D .-5 5 12 12 （5分）函数f （x ） = :sin （十+ ）（x € R ）的最小正周期是（ (5 分) A . B n C 2n D ・ 4n （2x -…）等于（) A .二 B. 2 二 C. 4D . 12 4. 等于（C )A.巴B.±§C.—巴D. 0 99 99. （5分）计算cos ?cos 的结果等于（）o 8A.丄B. -C.—丄D.—-2 4 2 4 10. （5 分）已知a, p€（0,弓_）,且满足sin , cos 5，贝U o+B的值为（）A.二B.二C. —D.三或二4 2 4 4 4二■填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. （4分）函数f （x）=2sin 0）在［0,飞-］上单调递增，且在这个区间上的最大值是匚，贝U 3的值为______ .12. （4分）已知向量目=（-1，2），b = （2，—3），若向量话+ 匸与向量心=（—4, 7）共线，贝U入的值为_____ .JT13. （4分）已知函数y=3cos（x+妨—1的图象关于直线x= 对称，其中长［0, n，贝u ©的值为 ______ .14. （4 分）若tan a =, tan B=,则tan （a— B 等于 ______ .15. （4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=2若点E为BC的中点，点F在CD上，? -1=6，贝U二？I的值为三■解答题（本大题5小题，共40分）16. （6分）已知向量；与匚共线，E = （1 , —2）, a?匸=-10（I）求向量才的坐标；（U）若c= （6,—7）,求| 口+匚|17. （8分）已知函数f （x）=cos2x+2sinx(I)求f (-三)的值；6(n)求f(x)的值域.18. (8 分)已知sin a=, a€(f n)5 2(I)求sin ( a-—)的值；(n) 求tan2 a的值.19. (8 分)已知—(1, 2), ■= (-2, 6)(I)求1与「的夹角9;(n)若与•共线，且1 - ■与I垂直，求■ ■.20. (10 分)已知函数f (x) =sinx (2；『:cosx— sinx) +1(I)求f (x)的最小正周期；(n)讨论f(x)在区间［-二，二］上的单调性.4 42016-20仃学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一 ■选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的 1. （5分）cos 虽二等于（） A .-二 B .- 1 C. 1 D .二 2 2 2 2 【解答】解：cos =cos （2 n-——）=cos =. 3 3 3 2 故选：C.故选：B.3. （5分）函数f （x ）=匚sin + ）（x € R ）的最小正周期是（） JI A . — B. n C. 2 n D . 4 n【解答】解：函数f （x ） =>sin （初+ ）（x € R ）的最小正周期是：T= =i =4 n 3 1_~2故选：D .兀兀4. （5分）为了得到周期y=sin （2x+ ）的图象，只需把函数y=sin （2x -） 2. （5分）已知 3sina+5cosa A .「 B.-「 C. D . 5 5 12 【解答】解：••二丁…n- =2,则 tan a 勺值为（ 3sin +5cos 3tan +5 =2,则 tan 12a =的图象（）71 兀A.向左平移——个单位长度B.向右平移个单位长度C•向左平移二个单位长度D•向右平移二个单位长度2 2【解答】解：I y=sin(2x+ ) =sin[2 (x+ )-一],6 4 3•••只需把函数y=sin (2x-宀)的图象向左平移个单位长度即可得到y=sin3 4(2x+ )的图象.6故选：A.5. (5 分)设平面向量1= (5, 3), '■= (1,- 2),则1- 2「等于( )A. (3, 7)B. (7, 7)C. (7, 1)D. (3, 1)【解答】解：•••平面向量a= (5, 3), b = (1 , - 2),••• - 2 = (5, 3)-( 2,- 4) = (3, 7).故选：A.6. (5分)若平面向量；与匸的夹角为120°二(辛，-半)，|可=2，则|2；-b |5 5等于( )A.二B. 2 二C. 4D. 12【解答】解：•••平面向量；与匸的夹角为120°, a =(二-学)，币=2,5 5•」1=1,-1=| J ?| J ?cos120° =12X 「=- 1,2| 2 1 - | 2=4| J 2+| -| 2- 4• =4+4 - 4X(—1) =12,••• |2 1- | =2 乙故选：B7. (5分)如图，在平行四边形ABCD中，•「=(3, 2), ' ''= ( - 1,2),贝厂；？汕等于( )A . 1 B. 6C. - 7 D . 7. , , . 【解答】解：T AC =AD +AB = (3, 2), BD =AD -隠=(-1, 2),•-2小=(2, 4),••• ；?：1= (3, 2) ? (1, 2) =3+4=7,故选：D 故选：C.f 缶77 W 缶77 兀 C R 兀 C / TT TT 、 ■兀 C 兀 1 ・【解答】解：cos ?cos =cos ? I : = - sin ?cos =- = si S 8 8 2 8 o o 2故选：D .8. (5 分) 已知sin A-i B. 土： C 【解答】解: T sin +cos a=, 3—D. 0g +COS a=, 3 则sin2 a 勺值为（）平方可得 1+2sin a cos a +s1n2 a=, 9 则 sin2 5 a -—, 9'9. （5分）计算的结果等于（ A< B-:cos ?cos — 8 8C. -D.-" 2 410. （5分）已知a,B€( 0, £"),且满足sin 0==。

线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案

解：
有无穷多解
同其中
3、求非齐次线性方程组的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
4、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
（2）写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：
（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
正定从而正定
4、设求正交矩阵，使为对角形。
解：
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
七、1、设为阶方阵且满足，证明可逆。（证明略）
2、设阶方阵若，证明不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组基础解系为
通解为其中
2、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
A、 B、 C、或 D、
三、解矩阵方程
1、设，求矩阵，使得。
解：由，可逆
2、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
3、设，求矩阵，使得
解：由，
可逆
4、设，求矩阵，使得。

天津市五区县高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

（ 19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，上顶点为 B ，若
BF1F2 的周长为 6 ，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 A1, A2 是椭圆 C 长轴的两个端点，点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点，
解：（ I）函数 f ( x) 2cos 2 x 2 3 sin xcos x a cos 2x 1 3 sin 2x a
2sin(2 x ) a 1 ， 6
故函数 f (x) 的最小正周期为 T .
…………………… 4 分 ……………………… 6 分
（ II）由题意得 x 0, , 2 x
7 ,
，
4x x2 , x 1,
若方程 f ( x) kx 有且仅有一个实数解，则实数 k 的
ex ,
x 1.
取值范围为 __________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （15）（本小题满分 13 分）
已知函数 f x 2cos x(cos x 3sin x) a （ a R ） .
（ A） 1, 4
（ B） 0, 1, 4
（C） 0, 2 （ D） 0, 1, 2, 4
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
x 2y 4≤0, 3x y 3≥0, 则目标函数 z x y 1≤0.
x 2 y的最小值为
（ A） 16 5
（ B） 3
（ C） 0
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

16-17-1线代试题答案

4
1
3
2

0
9
5
14

1 2 2 3 1 0 0 1

0
1
9
10

0
1
0
1
（ 8分)
0 0 92 92 0 0 1 1

0
0
76
76

0
0
0
0

R(1,2,3,4 ) 3 （1 分）
x1 x2 x3

c

5 4 1 Nhomakorabea0
1

0
（5
分）
六、（12 分）
1 2 2 3 1 2 2 3
（1,2 ,3,4 )

2 3
3
5
4

0
1
9
10

4 8 1 0 10 2 8
1
，

2
，

3
）

1
1
0

0 2 1
2 0 3
2 0 3
1
1
0
8
0
，

1
1
0

可逆，
0 2 1
0 2 1
R（2 21, ，2 +23，31 3 ）=R（1 ，2 ，3 ）=3，
向量组2 21, ，2 +23，31 3 线性无关。九（6 分） A（化工、文管大类专业选做本题）

【期末试卷】天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2（D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆则=AB（A（B（C）（D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于正视图侧视图俯视图点P，连结AP．设AP xAB yAC=+u u u r u u u r u u u r,x y∈R（），则x，y的值分别为（A）11,23（B）12,33（C）12,55（D）11,36（8）已知2()(3)e xf x x=-（其中x∈R，e是自然对数的底数），当1t>时，关于x的方程12[()][()]0f x t f x t--=恰好有5个实数根，则实数2t的取值范围是（A）(2e,0)-（B）(]2e,0-（C）32e,6e-⎡⎤-⎣⎦（D）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________. （10）在261(4xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos )f x x x x a =++（a ∈R ）. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2nn n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）.PA BECD（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故355GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n n n C ，23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故35GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n n n C ，23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。

高三数学上学期期末考试试题理4

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上..第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆，则=AB（A B（C ）D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ，连结AP ．设AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x y ∈R （），则x ，y 的值分别为（A ）11,23（B ）12,33（C ）12,55（D ）11,36（8）已知2()(3)e xf x x =-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0-（C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ （D ）(32e,6e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________. （10）在261(4)xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数()2cos(cos)f x x x x a=++（a∈R）.（I）求()f x的最小正周期；（II）当[0,]2xπ∈时，()f x的最小值为2，求a的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，AB AD⊥，//AD BC，122AD BC==，E在BC上，且PAB E CD112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD . （I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（III ）证明：222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB5-8DACD 二、填空题:9.810.24-11.32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC===，且AC = 故35GC AC ==. 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,5PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x yy z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--，………10分∴cos <n ，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分）18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n nn C ， 23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥ 所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB5-8DACD 二、填空题:9.810.24-11.32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故35GC AC ==.同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A = ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥ ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--，………10分 ∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ nnn C ， 23411352122222+-=++++ n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++- n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =-所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。

天大《数值计算方法》2016年6月考试期末大作业

数值计算方法要求：1. 独立完成，作答时要写明题型、题号；2. 作答方式：手写作答或电脑录入，使用A4格式白纸；3. 提交方式：以下两种方式任选其一，1) 手写作答的同学可以将作业以图片形式打包压缩上传； 2) 提交电子文档的同学可以将作业以word 文档格式上传；4. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.rar ” 或“中心-学号-姓名-科目.doc ”；5. 文件容量大小：不得超过10MB 。

请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。

第一组：一、简述题（共50分）1、（28分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f列出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。

2、（22分）用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。

二、计算题（29分）用反幂法求矩阵2100121001210012A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦的对应于特征值0.4λ=的特征向量三、分析题（21分）设()()23f x x a=-（1）写出解()0f x =的牛顿迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的第二组：一、计算题（共76分）1、计算题（24分）分别用梯形公式与Simpson 公式计算1x I e dx =⎰的近似值，并估计误差2、计算题（25分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

3、计算题（27分）用雅可比法求210121012A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值二、简述题（24分）设122,111221Ax b A -⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦讨论雅可比和塞德尔法的收敛性第三组：一、计算题（共70分）1、计算题（26分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案

天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（122分）和第Ⅱ卷提高题（28分）两部分，共150分。

第I 卷基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）1. 设i 是虚数单位，复数5(2)2i i z i+=-,其共轭复数z 的虚部是（）A ．35B ．35iC ．－35D ．35i -2. 若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤112y y x x y ，则2x y +的最小值是（）A ．25-B.0C. 35D. 253. 若732)2(aa -的展开式中3a 项的系数为（）A ． 14B ．-14C ．280D ．-280 4. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 ( )A ．242π-B ．243π-C ．24π-D ．3242π- 5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．4a =B ．5a =C ．6a =D ．7a =6.已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线交于一点 ),1(m M ，点M 到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( )PA. 3B. 4C. 31D. 417.设b a log 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a >>给出下列四个结论 ①21a b b>>；②0log log =+a b b a ；③10<<<b a ；④01=-ab . 其中正确结论的个数是A ．1B.2C.3D.48.在平面上，1AB uuu r ⊥2AB uuu r ，|1OB uuu r |＝|2OB uuu r |＝1，AP uu u r ＝1AB uuu r ＋2AB uuu r .若|OP uu u r |＜12，则|OA uu r |的取值范围是( )A．⎛ ⎝⎦ B．⎝⎦ C．⎝ D．⎝ 二、填空题：（每题5分，共30分）9. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取__________名10.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“∅≠⋂B A ”的充分条件，则b的取值范围是 . 11.若实数0,0,2>>=+b a b a ，则baa +1的最小值为__________. 12.已知直线l 的参数方程()为参数t t y t x ⎩⎨⎧-==12和圆C 的极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛π+θ=ρ4cos 22，则直线l 与圆C 相交所得的弦长为________.13. 如图已知PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B 、C 两点．2=PD ,3=PB ，23=DB ,则=PC ．14.已知函数2|54|,0()3|2|,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_________. 三、解答题：15.（13分）已知函数21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（1）（4分）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合；（2）（4分）若]2,6[,2011)(00ππ∈=x x f ，求02cos x 的值；（3）（5分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a ,,，若3,21)(=+=c b A f ，求a 的最小值.16.（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）（3分）根据频率分布直方图，求重量不超过500克的产品数量；（2）（7分）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量不超过500克的产品数量，求Y 的分布列及期望；（3）（3分）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量不超过500克的概率．17. （13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，ABCD DE 平面⊥，DE A F//，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(1) （4分）求证：BDE AC 平面⊥； (2) （5分）求二面角D BE F --的余弦值；（3）（4分）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得BEF AM 平面//，并证明你的结论.18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（3分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点. ①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②（6分）当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与X 轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.第Ⅱ卷提高题（共28分）19. （14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=*()n N ∈.（1）（4分）求数列{}n a 的通项公式；（2）（4分）设1n nc a =，数列{}n b 满足11122(21)22n n n b c b c b c n ++++=-+L ，求数列{}n b 的通项公式；（3）（6分）设11n n d a =-，求证：12231123n n d d d n d d d ++++>-L .20.（14分）设函数bx ax x x f --=221ln )((1) （4分）当21==b a 时，求函数)(x f 的最大值； (2) （4分）令)30(,21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F ，其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) （6分）当1,0-==b a ，方程2)(2x x mf =有唯一实数解，求正数m 的值.天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9. ___ 10. 11.12. 13. 14.三、解答题（本大题共4题，共52分）15.（13分）16.（13分）17（13分）18.（13分）第Ⅱ卷提高题（共28分）19.（14分）20.（14分）天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷答案9、40 10 、(-2,2) 11、5302 13、4 14、(1,3) 15解：(Ⅰ).∴函数的最大值为.当取最大值时,解得.故的取值集合为.(2)略(3)由题意,化简得,, ∴, ∴在中,根据余弦定理,得.由,知,即. ∴当时,取最小值.16.解：（1）重量不超过500克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，Y的分布列为78；EY=130（3）0.308717. 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.9、(Ⅰ)证明：因为平面，所以. ……………………2分因为是正方形，所以，从而平面. ……………………4分(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，……5分所以.由可知，. ………6分则，，，，，所以，，………7分设平面的法向量为，则，即，令，则. …………………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以. …………………9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………10分(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以，…………………11分即，解得. …………………12分此时，点坐标为，，符合题意. …………………13分18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（4分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点. ①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②（6分）当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与X 轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. （1）设C 方程为（a ＞b ＞0），则。

线性代数期末考试试卷习题包括答案合集大一期末线性代数试卷习题

大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。

每题 2 分，共 10 分〕1311. 假设05x 0 ，那么__________ 。

122x1x2x302．假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。

x1x 2x303．矩阵A，B，C( c ij ) s n，满足AC CB ，那么 A 与 B 分别是阶矩阵。

a a11124．矩阵A a a的行向量组线性。

2122a a31325．n阶方阵A满足A 23A E0，那么A1。

二、判断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。

每题 2 分，共10 分〕1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0 。

〔〕2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

〔〕3.向量组 a1， a2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，那么向量组a1， a2，，a s线性相关。

〔〕01001000A 。

〔〕4.A，那么 A1000100105. 假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为。

( )三、单项选择题 ( 每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每题2 分，共 10 分 )1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么AAT〔〕。

① 2n② 2n 1③ 2n 1④ 42. n 维向量组 1 ， 2，，s 〔 3 s n 〕线性无关的充要条件是〔〕。

①1， 2，， s 中任意两个向量都线性无关②1， 2，， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1， 2，， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示共 3 页第 1 页大学生校园网—线性代数综合测试题④中不含零向量1， 2 ，， s3. 以下命题中正确的选项是 () 。

① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④任意 n 1 个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。

线性代数16-17-1线性代数期末试卷答案

合肥工业大学试卷( A ) 参考答案共1 页第1 页2016～2017 学年第一学期课程代码140071B课程名称线性代数学分2.5课程性质：必修☑、选修☐、限修☐考试形式:开卷☐、闭卷☑ 专业班级（教学班）考试日期命题教师集体系（所或教研室）主任审批签名合肥工业大学试卷 ( A ) 参考答案共 1 页第 1 页2016～2017 学年第一学期课程代码 140 071B 课程名称线性代数学分 2.5 课程性质：必修☑、选修☐、限修☐ 考试形式:开卷☐、闭卷☑专业班级（教学班）考试日期命题教师集体系（所或教研室）主任审批签名2 5 1 6 6 2 5 1 30 1 6 5 30 1 52 30 2 6 ⎝ ⎭ -1 5 - ⎪ ⎩2 3 n1 ⎪ 1 0 ⎪ ⎪ ⎛ ⎫x = k α + k α + k α , (k ∈ R , i = 2, 3, , n ) ．⎛ 1 0 2 ⎫ ⎪ ⎛ 2 ⎫ ⎪ ⎪⎪ 2 23 3n ni当λ = 1 时， A - E 0 1 0 ⎪ ，得基础解系为ξ1 = 0 ⎪ ，单位化得η1 = 0 ⎪ ，0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ - ⎪ ⎝ ⎭⎛1 0 - 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ 30 ⎪ ⎪ ⎛ 1 ⎫ ⎪ 当λ = 6 时， A - 6 E 0 1 - 5 ⎪ ，得基础解系为ξ = 5 ⎪ ，单位化得η = 5 ⎪ ， 2 ⎪ 2 ⎪ 2 30 ⎪ ⎪2 ⎪ ⎪ 0 0 0 ⎪ ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭ 30 ⎪⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ ⎫ 2 ⎪⎪ ⎛ 1 ⎫ ⎪ 当 λ = -6 时， A + 6E 0 1 1 ⎪ ，得基础解系为 ξ 2 ⎪ 3 = -1⎪ ，单位化得η 3 = - 1 ⎪ 6 ，从而令2 ⎪ ⎪ 0 0 0 ⎪⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎪⎪ Q = 0 -1 ⎪，通过 x = Qy ，化二次型为 f = y 2 + 6 y 2 - 6 y 2 ． 6 ⎪ 1 2 3⎪- ⎪ ⎪⎝ ⎭八、（本题满分 4分）解： A 11 ≠ 0 ，所以 A 存在一个n -1阶子式不等于 0，又 A = 0 ，故 r ( A ) = n - 1，⎧n ⇔ r (A ) = n ,又因为r ( A * ) = ⎪ ⇔ r ( A ) = n - 1, 故 r ( A * ) = 1， A * A = AA * = A E = O ，即 A * (α ,α , α ) = O ，⎨1⎪0 ⇔ r ( A ) < n -1, 1 2 n从而 A *α = 0 (i = 1, 2, , n ) ． A 的列向量均为 A * x = 0 的解向量．又 A ≠ 0 故α ,α , , α 线性无i112 3n关，从而α ,α , , α 为 A * x = 0 的一个基础解系．从而 A * x = 0 的通解为。

(完整word版)大一线性代数期末试题及答案

,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共40分）。

．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有【】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组12312312321 213 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是【】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是【】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。