运筹学教材编写组《运筹学》章节题库(第10章 动态规划应用举例——第12章 网络计划)【圣才出品】
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第10章 动态规划应用举例——第12章 网络计划)【圣才出品】
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10.3 某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个， 从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如表 10-11 所示。试求各区应分配几 个增设的销售店，才能使总利润最大?其值是多少?
25
28
0
2
47
53
45
53
1
3
67
72
73
57
73
2
4
89
92
92
85
65
92
1,2
5
108 114 112 104
93
70
114
1
6
126 133 134 124 112
98
73
134
2
当 k =1 时
分别取 x1为0,1,…, 6 时。其数值计算如表 10-10 所示：
表 10-10
所以，总的最大增产量为 134，最优分配方案有如下四种：
当 k =2 时， 由题意，可取 x2 1,2,3, 4, s2 2,3, 4,5 ，其数值计算如表 10-13 所示：
表 10-13
当 k =l 时， 由题意，可取 x1 1,2,3, 4 ， s1 6 ，其数值计算如表 10-14 所示：
表 10-14 所以，总利润最大值为 710 万元，最优增设方案有三种：
表 10-11
解：按营业区数将此问题划分三个阶段；状态变量 sk 表示第 k 个区至第 3 个区增设的 店数； xk 表示第 k 个区增设的店数， xk 1；状态转移方程为： sk1 sk xk ；阶段指标
pk xk 表示为第 k 区内增设店数为 xk 时所取得的利润；最优值函数 fk sk 表示第 k 个区
运筹学智慧树知到答案章节测试2023年华东交通大学
第一章测试1.用运筹学解决问题时，要对问题进行（）。
A:分析与考察B:分析和定义C:分析和实验D:分析和判断答案:B2.运筹学是一门（）。
A:定性分析的学科B:定量分析的学科C:定量与定性相结合的学科D:定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析答案:C3.规划论内容不包括（）。
A:非线性规划B:动态规划C:网络分析D:线性规划答案:C4.运筹学主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及生产经营活动。
（）A:对B:错答案:A5.研究大量随机现象，从中揭示出事物基本规律的科学方法是指线性规划法。
（）A:对B:错答案:B6.统筹学是用教学方法研究各种系统最优化问题的学科。
（）A:对B:错答案:B7.若用图解法求解线性规划问题，则该问题所含决策变量的数目一般为（）。
A:无限制B:五个以下C:二个D:三个以上答案:C8.图解法求解极小化线性规划问题，一般目标函数直线放在可行域内，并（）移动。
A:垂直梯度方向移动。
B:沿着梯度反方向移动。
C:沿着梯度方向移动。
D:任意方向移动答案:B9.在二元线性规划问题中，如果问题有可行解，则一定有最优解。
（）A:错B:对答案:A10.任何线性规划问题一定有最优解。
（）A:对B:错答案:B11.下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（）？A:所有的变量必须是非负的B:添加新变量时，可以不考虑变量的正负性C:所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式D:求目标函数的最小值答案:B12.线性规划标准型中，决策变量（）是非负的。
A:不一定B:一定不C:一定D:无法判断答案:C13.下列哪种解法必须化标准型（）？A:MATLAB软件B:单纯形表格法C:WinQSB软件D:图解法答案:B14.线性规划的标准型主要特征为：(1)目标函数为极大化类型；(2)所有的约束条件都是等式；(3)所数学规划有约束方程右端的常数都是非负的；(4)所有决策变量都是非负的。
管理运筹学：第10章 动态规划
5－
r3(s3, x3)
1
2
3
4
5 f3(s3) x*3
－－ －－－ 0 0
4 － －－－ 4 1
－ 6－ －－ 6 2
－ － 11 － － 11 3
－ － － 12 － 12 4
－ － － － 12 12 5
管理运筹学
15
§3 动态规划的应用(1)
其中
x
* 3
表示取3子过程上最优指标值f3(s3)时的 x3
区别，也可知这时 x2的最优决策为1或2。
管理运筹学
18
§3 动态规划的应用(1)
第一阶段：
把 s1(s1 5) 台设备分配给第1，第2，第3厂时，最大
盈数利值为计算f1(见5) 表m1xa10x－[r1(85, x1) f1(5 x1)],其中 x1可取值0,1,2,3,4,5.
s1 x1 0
管理运筹学
5
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
表10-3
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
为最大，即
max x3
r3
(s3
,
x3
)
r3
(s3
,
s3
)
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f3
(s3
)
max x3
r3
(s3
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案一、线性规划试题一某工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润为20元，B 产品每件利润为30元。
已知生产一个A产品需10小时，生产一个B产品需15小时。
某次生产过程中，工厂共有50个小时可用于生产，且设定A产品的最少需求量为20件，B产品的最少需求量为15件。
问应该生产多少件A产品和多少件B产品，才能使得工厂的利润最大化？答案一为了使工厂的利润最大化，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
设工厂生产的A产品数量为x，B产品数量为x。
根据题目中的要求，可得以下条件：1.$10x+15y\\leq50$ （生产时间的限制）2.$x\\geq20$ （A产品的最少需求量）3.$y\\geq15$ （B产品的最少需求量）另外，我们还需要定义目标函数，即使工厂利润最大化：$max\\ Z = 20x+30y$根据以上条件和目标函数，可以得到如下线性规划模型：$max\\ Z = 20x+30y$$\\begin{cases} 10x+15y\\leq50\\\\ x\\geq20\\\\y\\geq15\\\\ x,y\\geq0 \\end{cases}$以上模型可以通过线性规划求解软件进行求解，得到最优解。
试题二某公司有甲、乙、丙三个工厂，每个工厂都可以制造产品A和产品B。
甲工厂每天制造产品A的数量最多为80件，产品B的数量最多为100件；乙工厂每天制造产品A的数量最多为60件，产品B的数量最多为40件；丙工厂每天制造产品A的数量最多为50件，产品B的数量最多为70件。
公司有订单，要求每天至少制造产品A的30件，产品B的50件。
甲工厂生产产品A的成本为5元，产品B的成本为4元；乙工厂生产产品A的成本为4元，产品B的成本为3元；丙工厂生产产品A的成本为3元，产品B的成本为2元。
问如何安排存货以使公司在利润最大化的前提下能够满足订单需求？答案二为了使公司在利润最大化的前提下满足订单需求，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
运筹学第10章动态规划
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
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连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
第10章 动态规划
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
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第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
运筹学教材习题答案
教材习题答案部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。
第1章线性规划第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化．（2）在例1.2中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：【解】设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。
《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)
《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 运筹学的核心思想是（）A. 最优化B. 系统分析C. 预测D. 决策答案：A2. 在线性规划中，约束条件可以用（）表示。
A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵答案：B3. 以下哪个不是运筹学的基本模型？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 随机规划答案：D4. 在目标规划中，以下哪个术语描述的是决策变量的偏离程度？（）A. 目标函数B. 约束条件C. 偏差变量D. 权重系数答案：C5. 在动态规划中，以下哪个概念描述的是在决策过程中，某一阶段的最优决策对后续阶段的影响？（）A. 最优子结构B. 无后效性C. 最优性原理D. 阶段性答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 运筹学是一门研究在复杂系统中的______、______和______的科学。
答案：决策、优化、实施2. 在线性规划中，若目标函数为最大化，则其标准形式为______。
答案：max z = c^T x3. 在非线性规划中，若目标函数和约束条件均为凸函数，则该规划问题为______。
答案：凸规划4. 在目标规划中，若决策变量x_i的权重系数为w_i，则目标函数可以表示为______。
答案：min Σ(w_i d_i^+ + w_i d_i^-)5. 在动态规划中，若状态变量为s_n，决策变量为u_n，则状态转移方程可以表示为______。
答案：s_{n+1} = f(s_n, u_n)三、判断题（每题5分，共25分）1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。
（）答案：正确2. 在整数规划中，若决策变量为整数，则目标函数和约束条件也必须为整数。
（）答案：错误3. 目标规划中的偏差变量可以是负数。
（）答案：正确4. 在动态规划中，最优策略具有最优子结构。
（）答案：正确5. 在非线性规划中，若目标函数为凸函数，则约束条件也必须为凸函数。
运筹学(B)智慧树知到期末考试章节课后题库2024年山东科技大学
运筹学（B）智慧树知到期末考试答案章节题库2024年山东科技大学1.只含目标约束的目标规划模型一定存在满意解。
（）答案:对2.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
（）答案:错3.已经在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi*=0，说明在最优生产计划中，第i种资源一定还有剩余。
（）答案:错4.动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策过程划分成先后顺序的阶段。
（）答案:对5.“标准型”是线性规划规范型的特殊形式。
（）答案:错6.答案:错7.用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值（）答案:对8.70线性规划的可行解集是凸集。
（）答案:错9.线性规划的可行域R在特定情况下可以是凹集。
（）答案:错10.正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。
（）答案:错11.一项非关键路线上的作业在其最早开始与最迟结束的时间段内均可任意安排（）答案:错12.答案:对13.用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝（）答案:错14.整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解得目标函数值。
（）答案:错15.已经在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi*＞0，说明在最优生产计划中，第i种资源已经完全用尽。
（）答案:对16.一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流的问题一定可以转化为求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
（）答案:对17.若一项作业的自由时差为零，则其总时差必为零。
（）答案:错18.求解0-1规划的隐枚举法是分枝定界法的特例（）答案:对19.图解法和单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（）答案:错20.答案:对21.不含环和多重边的图称为简单图。
（）答案:对22.下列运筹学问题可以用动态规划方法求解的有（）。
运筹学答案_第_10_章__动态规划
用，第五年继续使用，总成本＝4500 元。
9．最优解为第一年购买的设备到第二、三、四年初各更新一组，用到第 5 年末， 其总收入为 17 万元。
10．最优解为第一批投产 3 台，如果无合格品，第二批再投产 3 台，如果仍全部 不合格，第三批投产 4 台。总研制费用最小为 796 元。
11．
月份
采购量
最优解：X1=4、X2＝0、X3＝4、X4＝3 即第一个月生产 4 台，第一个月生产 0 台，第一个月生产 4 台，第一个月生
产 3 台。
最优值：Z=252000 元 4、最优解：运送第一种产品 5 件
最优值：Z=500 元 5．最大利润 2790 万元。最优安排如下表：
年度
年初完好设备 高负荷工作设备 低负荷工作设备
数
数1Βιβλιοθήκη 1250125
2
100
0
100
3
80
0
80
4
64
64
0
5
32
32
0
6．最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100， 300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为 134 万。
7．在区 1 建 3 个分店，在区 2 建 2 个分店，不在区 3 建立分店。最大总利润 22。 8．最优解为：第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使
第 10 章 动态规划
1、最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E 最优值：13
2、最优解：项目 A：300 万元、项目 B：0 万元、项目 C：100 万元、
最优值：Z=71+49+70=190 万元 3、设每个月的产量是 Xi 百台（i=1、2、3、4）
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学动态规划习题
一、某工厂购进100台机器，准备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。
二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
பைடு நூலகம்
• 答案： • 设每个月为一个阶段，共4个阶段。每个阶 段可投入生产的机床数为状态变量SK，加 工第一种零件的机床数为决策变量UK，加 工第二种零件的机床数为SK-UK，阶段指标 函数为DK=7SK+3UK，SK+1=9/10SK-7/30UK。 用逆序的递推方法求解：前两月全部加工 第二种零件，后两月全部加工第一种零件。 其最大收益为2680
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（万元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学课后答案大全
第2章 线性规划的图解法1．解：x`A 1 (1) 可行域为OABC(2) 等值线为图中虚线部分(3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x =712，7152=x 。
最优目标函数值：7692．解： x 2 10 1(1) 由图解法可得有唯一解 6.02.021==x x ，函数值为3.6。
(2) 无可行解 (3) 无界解 (4) 无可行解 (5)无穷多解(6) 有唯一解 3832021==x x ，函数值为392。
3．解：(1). 标准形式：3212100023m ax s s s x x f ++++=,,,,9221323302932121321221121≥=++=++=++s s s x x s x x s x x s x x(2). 标准形式：21210064m in s s x x f +++=,,,46710263212121221121≥=-=++=--s s x x x x s x x s x x(3). 标准形式：21''2'2'10022m in s s x x x f +++-=,,,,30223505527055321''2'2'12''2'2'1''2'2'11''2'21≥=--+=+-=+-+-s s x x x s x x x x x x s x x x4．解：标准形式：212100510m ax s s x x z +++=,,,8259432121221121≥=++=++s s x x s x x s x x松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2.标准形式：32121000811m in s s s x x f ++++=,,,,369418332021032121321221121≥=-+=-+=-+s s s x x s x x s x x s x x剩余变量（0.0.13） 最优解为 x 1=1，x 2=5.6．解：(1) 最优解为 x 1=3，x 2=7. (2) 311<<c (3) 622<<c (4)4621==x x(5) 最优解为 x 1=8，x 2=0. (6) 不变化。
运筹学各章习题
运筹学各章习题思考题、主要概念及内容1、了解运筹学的分⽀，运筹学产⽣的背景、研究的内容和意义。
2、了解运筹学在⼯商管理中的应⽤。
3、体会管理运筹学使⽤相应的计算机软件，注重学以致⽤的原则。
第⼆章思考题、主要概念及内容图解法、图解法的灵敏度分析复习题1. 考虑下⾯的线性规划问题：max z=2x1+3x2；约束条件：x1+2x2≤6，5x1+3x2≤15，x1，x2≥0．(1) 画出其可⾏域．(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．(3) ⽤图解法求出其最优解以及最优⽬标函数值．2. ⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解或⽆可⾏解．(1) min f=6x1+4x2；约束条件：2x1+x2≥1，3x1+4x2≥3，x1，x2≥0．(2) max z=4x1+8x2；约束条件：2x1+2x2≤10，-x1+x2≥8，x1,x2≥0．(3) max z=3x1-2x2；约束条件：2x1+2x2≥4，x1，x2≥0．(4) max z=3x1+9x2；约束条件：x1+3x2≤22，-x1+x2≤4，x2≤6，2x1-5x2≤0，x1，x2≥03. 将下述线性规划问题化成标准形式：(1) max f=3x1+2x2；约束条件：9x1+2x2≤30，3x1+2x2≤13，2x1+2x2≤9，x1，x2≥0．(2) min f=4x1+6x2；约束条件：3x1-x2≥6，x1+2x2≤10，7x1-6x2=4，x1，x2≥0．(3) min f=-x1-2x2；约束条件：3x1+5x2≤70,-2x1-5x2=50，-3x1+2x2≥30，x1≤0，-∞≤x2≤∞．(提⽰：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这⾥决策变量x′1，x′2，x″2≥0．)4. 考虑下⾯的线性规划问题：min f=11x1+8x2；约束条件：10x1+2x2≥20，3x1+3x2≥18，4x1+9x2≥36，x1，x2≥0．(1) ⽤图解法求解．(2) 写出此线性规划问题的标准形式．(3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．5. 考虑下⾯的线性规划问题：max f=2x1+3x2；约束条件：x1+x2≤10，2x1+x2≥4，x1+3x2≤24，2x1+x2≤16，x1，x2≥0．(1) ⽤图解法求解．(2) 假定c2值不变，求出使其最优解不变的c1值的变化范围．(3) 假定c1值不变，求出使其最优解不变的c2值的变化范围．(4) 当c1值从2变为4，c2值不变时，求出新的最优解．(5) 当c1值不变，c2值从3变为1时，求出新的最优解．(6) 当c1值从2变为2 5，c2值从3变为2 5时，其最优解是否变化?为什么?6. 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个．公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量⽽提⾼公司的利润．公司各个车间的加⼯能⼒和制造单位产品所需的加⼯⼯时如表2-4（25页）所⽰．表2-4(1) 假设⽣产的全部产品都能销售出去，⽤图解法确定最优产品组合，即确定使得总利润最⼤的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量．(2) 在(1)所求得的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能⼒还有剩余?剩余多少?这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量?(3) 四个车间加⼯能⼒的对偶价格各为多少?即四个车间的加⼯能⼒分别增加⼀个加⼯时数时能给公司带来多少额外的利润?(4) 当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?(5) 当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，⽽产品Ⅱ的利润从400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组合?如有变化，新的最优产品组合是什么?第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作⽅法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1. 见第⼆章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建⽴下⾯的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使⽤“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图3-5)所⽰根据图3-5回答下⾯的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最⼤⽬标函数值即最⼤利润为多少?(2) 哪些车间的加⼯⼯时数已使⽤完?哪些车间的加⼯⼯时数还没⽤完?其松弛变量即没⽤完的加⼯⼯时数为多少?(3) 四个车间的加⼯⼯时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择⼀个车间进⾏加班⽣产，你会选择哪个车间?为什么?(5) ⽬标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) ⽬标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提⾼为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加⼯⼯时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加⼯⼯时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降⾄475元，⽽每单位产品Ⅱ的利润从400元升⾄450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发⽣变化?请⽤百分之⼀百法则进⾏判断．(11) 当第1车间的加⼯⼯时数从300增加到350，⽽第3车间的加⼯⼯时数从440降到380时，⽤百分之⼀百法则能否判断原来的对偶价格是否发⽣变化?如不发⽣变化，请求出其最⼤利润．2. 见第⼆章第8题(2)，仍设xA为购买基⾦A的数量，xB为购买基⾦B的数量，建⽴的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使⽤“管理运筹学”软件，求得计算机解如图3-7所⽰．根据图3-7，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基⾦A和基⾦B的数量各为多少?这时获得的最⼤利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的⽬标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使⽤这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使⽤这些信息．(6) 当投资总⾦额从1 200 000元下降到600 000元，⽽在基⾦B上⾄少投资的⾦额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发⽣变化?为什么?3. 考虑下⾯的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；x1+x3≤30，0 5x1-x2+6x3≥15，3x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3-9所⽰．根据图3-9，回答下列问题：(1) 第⼆个约束⽅程的对偶价格是⼀个负数(为-3 622)，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0 703，它的含义是什么?(3) 当⽬标函数中x1的系数从16降为15，⽽x2的系数从16升为18时，最优解是否发⽣变化?(4) 当第⼀个约束条件的常数项从30减少到15，⽽第⼆个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发⽣变化吗?为什么?第四章思考题、主要概念及内容⼈⼒资源的分配问题；⽣产计划的问题；套裁下料问题；投资问题。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
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清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
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清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
运筹学-6、动态规划
最优决策C2 D2
10
f3(C1)=8
B1
2 10 6
12 14
C1
f3(C2)=7
9 6
3
f4(D1)=5
D1
5
f5(E)=0
A
5
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1
B3
12 11
C3
f3(C3)=12
10
d (C3 , D1 ) f 4 ( D1 ) f3 (C3 ) min d ( C , D ) f ( D ) 3 2 4 2 85 13 min min 12 10 2 12
(6)指标函数和最优值函数 指标函数分为阶段指标函数和过程指标函数。 阶段指标函数是对某一阶段的状态和决策产生的效 益值的度量,用vk(sk,uk)表示。
20
过程指标函数是指从第k阶段至第n阶段所包含 的各阶段的状态和决策所产生的总的效益值，记为:
Vk,n＝Vk,n(sk,uk,sk+1,uk+1,……,sn,un) 定义在全过程上的过程指标函数相当于目标函数, 一般记为: V1,n＝V1,n(s1,u1, … sk,uk ,…,sn,un)，或简记 为V1,n 动态规划所要求的过程指标函数应具有可分离 性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的函数 形式。常见的两种过程指标函数形式是：
21
①各阶段指标函数的和: Vk ,n v j (s j , u j ) ②各阶段指标函数的积: Vk ,n v j (s j , u j )
j k
n
j k n
把过程指标函数Vk,n对k子过程策略pk,n求最优， 得到一个关于状态sk的函数，称为最优值函数或贝 尔曼函数，记为fk(sk)。即
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求为零。求最优生产计划。[北京交通大学 2009 研]
表 10-1
时期（月） 需求量（dk）
12Leabharlann 2332
4
4
解：采用动态规划方法求解。设第 k 个月生产 xk 件产品， xk 6 ； sk 为每个月开始的
存货量，则 s1=0,s5 =0 ，
fk (sk )
min( xk
gk
(
xk
)
ck
(
xk
)
f k 1 (sk 1 ))
4
s4
k =3 时，
f3 (s3 )
min
2s3 x3 6
s3
(
g3
(
x3
)
c3
(
x3
)
f4 (s4 ))
min
2s3 x3 6
s3[（3 3
x3） 0.5(x3
s3
3)
f4 (s4 )]
3
(6
s3
)
0.5(s3 2)
0.5*4 11 3 (6 s3)
s3, s3 [0, 2），x3* 6 s3 8 0.5s3, s3 [2, 6)时，x3*
分配给第二种生产的机器数量。
状态转移方程为 sk1 auk b(sk uk ) 0.7uk 0.9(sk uk ) ； 设 vk 为第 k 阶段的收益，则 vk 9uk 6(sk uk ) ； 令最优值函数 fk (sk ) 表示由机器数量 sk 出发，从第 k 阶段开始到第 4 阶段结束时所获
（3
-
s2）+11
0.5(s2 3) 11
17 s2, (s2 3)
s2 [0,3), x2* 3 12.5 0.5s2, s2
s2 [3,
4],
x2*
0
2
10,,xx22
0 0
k =1 时，
f1 ( s1 )
min (
2 x1 6
g1
(
x1
)
c1
(
x1
)
f2 (s2 ))
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (s2 )]
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (x1
2)]
min
2 x1 6
2 2
1.5x1 1.5x1
17 12.5
(x1 2) 21 0.5(x1 2)
0.5x1, x1 [2,5) 15.5 x1, x1 [5,
ck
(
xk
)
0, sk 0.（5 sk
xk
xk
dk 0时 dk），否则
k =4 时，
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f4 (s4 )
min (
4s4 x4 4
g4
(
x4
)
c4 (x4 ))
3 x4, 0, s4
s4 [0, 4)时，x4* 4时，x4* 0
因 f4 是 u4 的线性单调增函数，故得最优解 u4 s4 ，相应的 f4 (s4 ) 9s4 。 （2） k=3 时，
f3(s3) max9u3 6(s3 u3) f4 [0.7u3 0.9(s3 u3)] max3u3 6s3 9(0.9s3 0.2u3) max14.1
f1(s1) max9u1 6(s1 u1) f2 [0.7u1 0.9(s1 u1)] max3u1 6s1 19.77(0.9s1 0.2u1) max23.793s` 0
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当 u1 0 ，相应的有 f1(s1) 23.793s1 。 因 s1=1000 ，所以 f1(s1)=23793 （千元）。
，
f5 (s5 )
0
表示在 k
月初存货量是 sk 时从第 k 个月开始至第 4 个月的最优指标函数。 gk (xk ) 表示第 k 个月生产
xk 个产品时所需要的生产费用，
g
k
(
xk
)
30， xxkk
0 , xk =1,2,3,4,5,6
ck (xk ) 表示第 k 个月生产 xk 个产品时，剩余产品所需要的存储费用，
,x4* =0 0
0.5* 4 2, s3 6时，x3* 0,x4* 0
3
1, x3 0 0, x3 0
k =2 时，
f2 (s2 )
min (
3s2 x2 6
g
2
(
x2
)
c2
(
x2
)
f3 (s3 ))
3ms2ixn26[（2 3
x2） 0.5(x2
s2
3)
f3 (s3 )]
3
6]
20.5, x1* 5
所以 x1* 5, x2* 0, x3* 6, x4* 0 为最优生产计划。
2．某工厂有 1000 台机器，拟分四个阶段使用。已知在每个阶段有两种生产任务，进 行第一种生产时每台机器可收益 9 千元，其机器报废率为 0.3，而进行第二种生产时每台机 器可收益 6 千元，其机器报废率为 0.1。问怎样分配机器，使收益最大？（要求写出动态规
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划模型的基本要素并求解）[北京交通大学 2008 研]
解：将此题看成一个 4 个阶段决策问题。令 sk 为状态变量，它表示第 k 阶段初拥有的 完好机器数量，决策变量 uk 为第 k 阶段分配给第一种生产的机器数量，于是 sk -uk 为该阶段
得的收益最大值，故有递推关系式：
fk (sk ) max9uk 6(sk uk ) fk1[0.7uk 0.9(sk uk )]
f5 (s5 ) 0 （1） k=4 时，
s4 0.9s3 0.2u3
f4 (s4 ) max 9u4 6(s4 u4) max3u4 6s4
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第 10 章 动态规划应用举例
一、计算题
1．某公司生产并销售某产品。根据市场预测，今后四个月的市场需求量如表 10-1 所
示。已知生产一件产品的成本是 1 千元，每批产品的生产准备成本是 3 千元，每月仅能生
产一批，每批 6 件。每件存储成本为 0.5 千元，且第一个月初无存货，第四个月末的存货要
故得最优解 u3 s3 ，相应的有 f3(s3) 15.3s3 。 （3） k=2 时，
f2(s2) max9u2 6(s2 u2) f3 [0.7u2 0.9(s2 u2)] max3u2 6s2 15.3(0.9s2 0.2u2) max19.77s2
当 u2 0 ，相应的有 f2 (s2 ) 19.77s2 。 （4） k =1时，