运筹学教材编写组《运筹学》章节题库(第10章 动态规划应用举例——第12章 网络计划)【圣才出品】
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f1(s1) max9u1 6(s1 u1) f2 [0.7u1 0.9(s1 u1)] max3u1 6s1 19.77(0.9s1 0.2u1) max23.793s` 0
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当 u1 0 ，相应的有 f1(s1) 23.793s1 。 因 s1=1000 ，所以 f1(s1)=23793 （千元）。
（3
-
s2）+11
0.5(s2 3) 11
17 s2, (s2 3)
s2 [0,3), x2* 3 12.5 0.5s2, s2
s2 [3,
4],
x2*
0
2
10,,xx22
0 0
k =1 时，
f1 ( s1 )
min (
2 x1 6
g1
(
x1
)
c1
(
x1
)
f2 (s2 ))
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (s2 )]
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (x1
2)]
min
2 x1 6
2 2
1.5x1 1.5x1
17 12.5
(x1 2) 21 0.5(x1 2)
0.5x1, x1 [2,5) 15.5 x1, x1 [5,
6]
20.5, x1* 5
所以 x1* 5, x2* 0, x3* 6, x4* 0 为最优生产计划。
2．某工厂有 1000 台机器，拟分四个阶段使用。已知在每个阶段有两种生产任务，进 行第一种生产时每台机器可收益 9 千元，其机器报废率为 0.3，而进行第二种生产时每台机 器可收益 6 千元，其机器报废率为 0.1。问怎样分配机器，使收益最大？（要求写出动态规
ck
(
xk
)
0, sk 0.（5 sk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxk
xk
dk 0时 dk），否则
k =4 时，
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f4 (s4 )
min (
4s4 x4 4
g4
(
x4
)
c4 (x4 ))
3 x4, 0, s4
s4 [0, 4)时，x4* 4时，x4* 0
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第 10 章 动态规划应用举例
一、计算题
1．某公司生产并销售某产品。根据市场预测，今后四个月的市场需求量如表 10-1 所
示。已知生产一件产品的成本是 1 千元，每批产品的生产准备成本是 3 千元，每月仅能生
产一批，每批 6 件。每件存储成本为 0.5 千元，且第一个月初无存货，第四个月末的存货要
4
s4
k =3 时，
f3 (s3 )
min
2s3 x3 6
s3
(
g3
(
x3
)
c3
(
x3
)
f4 (s4 ))
min
2s3 x3 6
s3[（3 3
x3） 0.5(x3
s3
3)
f4 (s4 )]
3
(6
s3
)
0.5(s3 2)
0.5*4 11 3 (6 s3)
s3, s3 [0, 2），x3* 6 s3 8 0.5s3, s3 [2, 6)时，x3*
故得最优解 u3 s3 ，相应的有 f3(s3) 15.3s3 。 （3） k=2 时，
f2(s2) max9u2 6(s2 u2) f3 [0.7u2 0.9(s2 u2)] max3u2 6s2 15.3(0.9s2 0.2u2) max19.77s2
当 u2 0 ，相应的有 f2 (s2 ) 19.77s2 。 （4） k =1时，
分配给第二种生产的机器数量。
状态转移方程为 sk1 auk b(sk uk ) 0.7uk 0.9(sk uk ) ； 设 vk 为第 k 阶段的收益，则 vk 9uk 6(sk uk ) ； 令最优值函数 fk (sk ) 表示由机器数量 sk 出发，从第 k 阶段开始到第 4 阶段结束时所获
,x4* =0 0
0.5* 4 2, s3 6时，x3* 0,x4* 0
3
1, x3 0 0, x3 0
k =2 时，
f2 (s2 )
min (
3s2 x2 6
g
2
(
x2
)
c2
(
x2
)
f3 (s3 ))
3ms2ixn26[（2 3
x2） 0.5(x2
s2
3)
f3 (s3 )]
3
因 f4 是 u4 的线性单调增函数，故得最优解 u4 s4 ，相应的 f4 (s4 ) 9s4 。 （2） k=3 时，
f3(s3) max9u3 6(s3 u3) f4 [0.7u3 0.9(s3 u3)] max3u3 6s3 9(0.9s3 0.2u3) max14.1
求为零。求最优生产计划。[北京交通大学 2009 研]
表 10-1
时期（月） 需求量（dk）
1
2
2
3
3
2
4
4
解：采用动态规划方法求解。设第 k 个月生产 xk 件产品， xk 6 ； sk 为每个月开始的
存货量，则 s1=0,s5 =0 ，
fk (sk )
min( xk
gk
(
xk
)
ck
(
xk
)
f k 1 (sk 1 ))
，
f5 (s5 )
0
表示在 k
月初存货量是 sk 时从第 k 个月开始至第 4 个月的最优指标函数。 gk (xk ) 表示第 k 个月生产
xk 个产品时所需要的生产费用，
g
k
(
xk
)
30， xxkk
0 , xk =1,2,3,4,5,6
ck (xk ) 表示第 k 个月生产 xk 个产品时，剩余产品所需要的存储费用，
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划模型的基本要素并求解）[北京交通大学 2008 研]
解：将此题看成一个 4 个阶段决策问题。令 sk 为状态变量，它表示第 k 阶段初拥有的 完好机器数量，决策变量 uk 为第 k 阶段分配给第一种生产的机器数量，于是 sk -uk 为该阶段
得的收益最大值，故有递推关系式：
fk (sk ) max9uk 6(sk uk ) fk1[0.7uk 0.9(sk uk )]
f5 (s5 ) 0 （1） k=4 时，
s4 0.9s3 0.2u3
f4 (s4 ) max 9u4 6(s4 u4) max3u4 6s4
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当 u1 0 ，相应的有 f1(s1) 23.793s1 。 因 s1=1000 ，所以 f1(s1)=23793 （千元）。
（3
-
s2）+11
0.5(s2 3) 11
17 s2, (s2 3)
s2 [0,3), x2* 3 12.5 0.5s2, s2
s2 [3,
4],
x2*
0
2
10,,xx22
0 0
k =1 时，
f1 ( s1 )
min (
2 x1 6
g1
(
x1
)
c1
(
x1
)
f2 (s2 ))
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (s2 )]
min[3
2 x1 6
x1
0.5(x1
2)
f2 (x1
2)]
min
2 x1 6
2 2
1.5x1 1.5x1
17 12.5
(x1 2) 21 0.5(x1 2)
0.5x1, x1 [2,5) 15.5 x1, x1 [5,
6]
20.5, x1* 5
所以 x1* 5, x2* 0, x3* 6, x4* 0 为最优生产计划。
2．某工厂有 1000 台机器，拟分四个阶段使用。已知在每个阶段有两种生产任务，进 行第一种生产时每台机器可收益 9 千元，其机器报废率为 0.3，而进行第二种生产时每台机 器可收益 6 千元，其机器报废率为 0.1。问怎样分配机器，使收益最大？（要求写出动态规
ck
(
xk
)
0, sk 0.（5 sk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxk
xk
dk 0时 dk），否则
k =4 时，
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f4 (s4 )
min (
4s4 x4 4
g4
(
x4
)
c4 (x4 ))
3 x4, 0, s4
s4 [0, 4)时，x4* 4时，x4* 0
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第 10 章 动态规划应用举例
一、计算题
1．某公司生产并销售某产品。根据市场预测，今后四个月的市场需求量如表 10-1 所
示。已知生产一件产品的成本是 1 千元，每批产品的生产准备成本是 3 千元，每月仅能生
产一批，每批 6 件。每件存储成本为 0.5 千元，且第一个月初无存货，第四个月末的存货要
4
s4
k =3 时，
f3 (s3 )
min
2s3 x3 6
s3
(
g3
(
x3
)
c3
(
x3
)
f4 (s4 ))
min
2s3 x3 6
s3[（3 3
x3） 0.5(x3
s3
3)
f4 (s4 )]
3
(6
s3
)
0.5(s3 2)
0.5*4 11 3 (6 s3)
s3, s3 [0, 2），x3* 6 s3 8 0.5s3, s3 [2, 6)时，x3*
故得最优解 u3 s3 ，相应的有 f3(s3) 15.3s3 。 （3） k=2 时，
f2(s2) max9u2 6(s2 u2) f3 [0.7u2 0.9(s2 u2)] max3u2 6s2 15.3(0.9s2 0.2u2) max19.77s2
当 u2 0 ，相应的有 f2 (s2 ) 19.77s2 。 （4） k =1时，
分配给第二种生产的机器数量。
状态转移方程为 sk1 auk b(sk uk ) 0.7uk 0.9(sk uk ) ； 设 vk 为第 k 阶段的收益，则 vk 9uk 6(sk uk ) ； 令最优值函数 fk (sk ) 表示由机器数量 sk 出发，从第 k 阶段开始到第 4 阶段结束时所获
,x4* =0 0
0.5* 4 2, s3 6时，x3* 0,x4* 0
3
1, x3 0 0, x3 0
k =2 时，
f2 (s2 )
min (
3s2 x2 6
g
2
(
x2
)
c2
(
x2
)
f3 (s3 ))
3ms2ixn26[（2 3
x2） 0.5(x2
s2
3)
f3 (s3 )]
3
因 f4 是 u4 的线性单调增函数，故得最优解 u4 s4 ，相应的 f4 (s4 ) 9s4 。 （2） k=3 时，
f3(s3) max9u3 6(s3 u3) f4 [0.7u3 0.9(s3 u3)] max3u3 6s3 9(0.9s3 0.2u3) max14.1
求为零。求最优生产计划。[北京交通大学 2009 研]
表 10-1
时期（月） 需求量（dk）
1
2
2
3
3
2
4
4
解：采用动态规划方法求解。设第 k 个月生产 xk 件产品， xk 6 ； sk 为每个月开始的
存货量，则 s1=0,s5 =0 ，
fk (sk )
min( xk
gk
(
xk
)
ck
(
xk
)
f k 1 (sk 1 ))
，
f5 (s5 )
0
表示在 k
月初存货量是 sk 时从第 k 个月开始至第 4 个月的最优指标函数。 gk (xk ) 表示第 k 个月生产
xk 个产品时所需要的生产费用，
g
k
(
xk
)
30， xxkk
0 , xk =1,2,3,4,5,6
ck (xk ) 表示第 k 个月生产 xk 个产品时，剩余产品所需要的存储费用，
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划模型的基本要素并求解）[北京交通大学 2008 研]
解：将此题看成一个 4 个阶段决策问题。令 sk 为状态变量，它表示第 k 阶段初拥有的 完好机器数量，决策变量 uk 为第 k 阶段分配给第一种生产的机器数量，于是 sk -uk 为该阶段
得的收益最大值，故有递推关系式：
fk (sk ) max9uk 6(sk uk ) fk1[0.7uk 0.9(sk uk )]
f5 (s5 ) 0 （1） k=4 时，
s4 0.9s3 0.2u3
f4 (s4 ) max 9u4 6(s4 u4) max3u4 6s4