乘法公式培优辅导讲义
著名机构讲义暑假07-七年级培优版-乘法公式-学生版
知识模块Ⅰ：平方差公式1、平方差：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即()()22a b a b a b +-=-.公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数. （2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差. 3、公式的应用：（1）公式中的字母a b 、可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，乘法公式（3）解方程：【例9】解不等式：【例10】计算下列各题：（1） （2） （3）【例11】（1）如果，则的值（2）已知：求的值（3） 若，求的值【例12】运用平方差公式计算:（1）()()()()()()132121232215+->+---+x x x x x x 22)3(x x -+22)(y x y +-9,3x y x y +=-=2222x y -,9,4522=+=-y x y x y x ,2,1222=-=-b a b a b a +222222100999897...21-+-++-（2）（3）（4） (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)知识模块Ⅱ：完全平方公式1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.即()222a+2b a ab b =++，或()2222a b a ab b -=-+，公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）.2、平方差公式的结构特征：（1）左边是一个两项式的完全平方，右边都是一个二次三项式；（2）其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边两项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定；1111111...14925100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()32168422-121212123++++2212312412912101【例14】（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）【例15】（1） （2）【例16】（1） （2） （3）【例17】（1）若 ，则k =_______________（2）若是完全平方式，则k = _______________（3）若 是完全平方式，则m = _______________（4）若是完全平方式，则k = _______________（5）若 是完全平方式，则k = _______________（6）若是一个完全平方式，则 = _______________()22b a +-()223b a --2)3110(29.19))((x y y x --))((b a a b +--22100+100×102×2-102222010+2009×4020-200922)3()3(b a b a +--()()2222a b a b --+()()2222b a b a +-22)2(4+=++x k x x k x x ++2222+6+m x x 962++x kx 92++kx x 223649x mxy y -+m（4）若，求；；的值（5）若，求的值。
整式乘法乘法公式培优
第二课 整式乘法——乘法公式培优一、平方差②(2)(2)x y x y -+-- ②11()()22a b a b --- ③(2)(2)a b c a b c +---=④(23)(23)a b c a b c ---+- ⑤22(34)(34)a b a b --+=2、已知：12345671234569A =⨯，21234568B =，比较A 、B 的大小，则A B ．3、(1)计算：2481631111111(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++= ．(2)2481632(51)(51)(51)(51)(51)(51)++++++=(3)222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234201620172018---⋯⋯---=二、利用完全平方公式计算：1、（1）()223x - （2）()243x y + （3）()2mn a -（4）()225xy x + （5）()221n n +- （6）（a －b ＋c ）22、（1）22411_________24x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ （2）()22_______p pq -+=三、混合运算（1）1(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （2）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）（3）(x+2y)(x 2-2xy+4y 2) （4）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2（5）(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2（6）22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++（7）(2x+3y)2(2x-3y)2（8）(3x+2)2-(3x-5)2(9)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (10)(9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（11）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c) （12）x 2–(x+y)(x –y)（13） （14））（15） （16）(a -2b +3c )2-(a +2b -3c )2．（17）(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5) （18） 22)231()231(y x y x --+-（19）()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222四、配方1．（1）若292(3)16x k x +-+是完全平方式，则k 的值为 （2）如果26x x k -+是完全平方式，则k 的值为 （3）若22(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（4）若29(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（5）若多项式224(2)9x k xy y --+是完全平方式，则k 的值是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4428y x y x ()()22875875c b a c b a +---+2．已知：a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++的值.3、实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值。
著名机构初中数学培优讲义乘法公式.第05讲(B级).教师版
考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求） 平方差公式、完全平方公式 理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景 能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算能根据需要，运用公式进行相应的代数式的变形模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
（1） 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2） 右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）；22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
（2）不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
（2）一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++知识点睛中考要求乘法公式222222a b c ab ac bc =+++++【例1】 已知正方形的面积是25x 2+20xy+ny 2（x ＞0，y ＞0），则正方形的边长是 _________ （用含x 、y的代数式表示）【解析】 设正方形的边长为a ．则a 2=25x 2+20xy+ny 2；然后根据完全平方和公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2来求n值，再来开平方求得a 值．【答案】设正方形的边长为a ．则a 2=25x 2+20xy+ny 2∴25x 2+20xy+ny 2是a 的完全平方形式，∴25x 2+20xy+ny 2=（5x ）2+2×5×xy+，∴2×5×=20，即n=4，∴正方形的面积是：a 2=25x 2+20xy+4y 2=（5x+2y ）2， ∴a=5x+2y ； 故答案为：5x+2y ．【例2】 计算：⑴2(3)(3)(9)x x x +-+； ⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--；【解析】 ⑴2224(3)(3)(9)(9)(9)81x x x x x x +-+=-+=-； ⑵原式2222(49)(2516)a b b a =--22442242241006422514464244225a b a b a b a a b b =--+=-+-；【答案】见解析【例3】 ⑴求积A 的个位数字：()()()()()()()24816326421212121212121A =+++++++⑴ 2222222212345699100-+-+-++-L 的值是( )A.5050.B.5050-.C.10100.D.10100-.【解析】 ⑴()()()()26421212121A =-+++L ()()6464128212121=-+=-2n 各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432÷=， 所以1282个位为6，故12821-个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)⑵原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)=+-++-++-+++-L 1(3711199)=-⋅++++L 31991502+⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭5050=-，故选B.【答案】见解析【巩固】 已知200520072006a ⨯=，200620082007b ⨯=，200720092008c ⨯=，比较三者大小．例题精讲【解析】 20052007(20061)(20061)12006200620062006a ⨯-+===-， 200620081200720072007b ⨯==-，200720091200820082008c ⨯==-，易得a b c <<． 【答案】见解析【巩固】 计算：()()()()2432212121211+++++L【解析】 原式()()()()()243264212121212112=-+++++=L【答案】见解析【巩固】 2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L【解析】 原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．【答案】见解析【巩固】 计算2244()()()()a b a b a b a b -+++【解析】 原式222244444488()()()()()a b a b a b a b a b a b =-++=-+=- 【答案】见解析【巩固】 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【解析】 设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S =++++++，两边乘以(31)-，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S -=-++++++22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)=-+++++=L 6431=-∴641(31)2S =-，即6423231(31)(31)(31)2-+++=L ．【答案】见解析【巩固】 求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值.【解析】 观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)n n n -+=的形式，而1=2-1，故原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n--=⨯⨯⨯⨯+=-⨯+⨯+⨯⨯+=-.【答案】见解析【例4】 ⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.【解析】 ⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y ⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =，1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦ ⑵ 原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【答案】见解析【例5】 设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．【解析】 222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 【答案】见解析【例6】 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值．【解析】222243(2)25(2)3(2)5(25)x a x x a x x --+=--+=± 即2243(2)2542025x a x x x --+=-+或2243(2)2542025x a x x x --+=++故3(2)20a --=或3(2)20a --=-，解得：143a =-或263a =【答案】见解析【例7】 甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用1万元购粮，则两次平均价格较低的是 公司．【解析】 设两次购粮的价格分别为x 元／千克和y 元／千克(x y =/)，则甲公司两次购粮的平均价格为1000010000200002x y x y++=(元／千克) 乙公司两次购粮的平均价格为2000022100001000011xyx yx y x y==+++(元／千克) 因为222()4()02()22()x y xy x y xy x y x y x y x y ++---=>+++所以两次平均价格较低的是乙公司．【答案】见解析【例8】 推导2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，比较2()a b +、2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，并探索规律.【解析】222()2a b a b ab +=++ 2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ 222()()2()()()a b c d a b a b c d c d +++=++++++2222222222a b c d ab ac ad bc bd cd =+++++++++观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)12..2n n n ++++=； 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2； 三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【答案】见解析【巩固】 利用例题得出的规律推导2()a b c d ++-、2()a b c d +--、2()a b c d e ++++的展开式. 【解析】 令22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++中d d =-，也就是以d -替换d 可得，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd ++-=+++++-+--同理可知，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +--=++++----+根据例题中归纳出来的规律，2()a b c d e ++++的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知222222()2222222222a b c d e a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de ++++=++++++++++++++【答案】见解析【巩固】2()________________________________________a b c d e +-+-=. 【解析】 222222222222222a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++-+--+--+-. 【答案】见解析【例9】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值. 【解析】 由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b -=，2b c -=-，1c a -=故22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣⎦ 【答案】见解析【巩固】 如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．【解析】 已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=，所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ．【答案】见解析【例10】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值. 【解析】 由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b -=，2b c -=-，1c a -=故22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣⎦ 【答案】见解析【巩固】 如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．【解析】 已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=，所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ．【答案】见解析【例11】 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值.【解析】 由35a b b c -=-=可知，65a c -=， 故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-. 【答案】见解析【巩固】 已知三个数a b c ，，满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a b c ++.【解析】 三式相加，得22222264a b c ab bc ca +++++=，所以()264a b c ++=，8a b c ++=±. 【答案】见解析【巩固】 已知a ，b ，c 为有理数，且2221a b c ++=，111111()()()3a b c b c c a a b+++++=-，求a b c ++值.【解析】 由原式可得：111111[()1][()1][()1]0a b c b c c a a b++++++++=111111111()()()0a b c a b c a b c a b c ++++++++=，111()()0a b c a b c++++= 从而0a b c ++=或1110a b c++=若1110a b c ++=，则111()0abc ab bc ac a b c++=++=，从而2222()2()1a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，因此1a b c ++=± 综上所述，a b c ++的值为0，1，1-.【答案】见解析【巩固】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)y z z x x y y z x -+-+-=+-22(2)(2)x z y x y z ++-++-， 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值． 【解析】 先将已知等式222()()()y z x y z x -+-+-222(2)(2)(2)y z x x z y x y z =+-++-++-的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz =++---； 右边222666666x y z xy yz xz =++---对等号两边合并同类项，得2222222220x y z xy yz xz ++---= 即222()()()0.x y x z y z -+-+-= 因为x ，y ，z 均为实数所以x y z ==，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z x y z +++==+++.【答案】见解析【巩固】 已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=___________.【解析】 解法一：由已知条件可知，2221222(1)0x y xy y x x y +++--=+-=，故1x y +=，999()1x y +=. 解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y x y +-++=+-=，故1x y +=，999()1x y +=. 【答案】见解析【例12】 若x 2+kxy+49y 2是一个完全平方式，则k= _________ ．【解析】 这里首末两项是x 和7y 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和7y 积的2倍． 【答案】∵x 2+kxy+49y 2是一个完全平方式，∴±2×x×7y=kxy ， ∴k=±14．【例13】 已知m 2+2km+16是完全平方式，则k= _________ ．【解析】 这里首末两项是m 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去m 和4积的2倍． 【答案】∵m 2+2km+16是完全平方式，∴2km=±8m ， 解得k=±4．【例14】 用简便方法计算：20012﹣4002×2000+20002= _________ ．【解析】 观察可得原式可整理得：20012﹣2×2001×2000+20002，2001和2000两数的平方和减去他们它们乘积的2倍，符合完全平方公式结构特征，因此可应用完全平方公式进行计算．【答案】20012﹣2×2001×2000+20002，=（2001﹣2000）2，=12=1．【例15】a2x2﹣4x+b2是一个完全平方式，则ab=_________．【解析】这里首末两项是ax和b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，故2ab=±4，ab=±2．【答案】中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，故2ab=±4，ab=±2故填±2．【例16】用乘法公式计算：（1）59.8×60.2=_________；（2）1982=_________．【解析】（1）59.8与60.2都与60差0.2，所以可变形为（60﹣0.2）（60+0.2）后利用平方差公式解题；（2）中可变形为（200﹣2）2后利用完全平方公式计算．【答案】（1）原式=（60﹣0.2）（60+0.2）=602﹣0.22=3599.96（2）原式=（200﹣2）2=2002﹣2×200×2+22=39204．【例17】1232﹣122×124=_________．【解析】观察可得122=123﹣1，124=123+1，代入原式后，配成平方差公式，应用该公式解题可得答案．【答案】原式=1232﹣（123﹣1）×（123+1）=1232﹣（1232﹣1）=1．【例18】222253476139--=（）A、311B、511C、711D、911【解析】先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．【答案】，=，=，=．故选A．【例19】利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=_________．【解析】在原式前面加（2﹣1），利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．【答案】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=216．【例20】如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A、a+1B、a2+1C、a2+2a+1D、a+2+1【解析】当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．【答案】∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．故选D．【例21】设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（）A、xB、C、D、【解析】先设y 2=x+1，则y=，根据题意求（y﹣1）2即可．【答案】设y 2=x+1，则y=，那么它前面的一个完全平方数是：（y﹣1）2，=y2﹣2y+1，=x+1﹣2+1，=x﹣2+2．故选D．【例22】已知a2﹣k•ab+36b2是一个完全平方式，则k等于（）A、6B、±6C、±12D、12【解析】本题考查的是完全平方公式的应用，首尾是a和6b的平方，所以中间项应为a和6b的乘积的2倍，所以kab=±12ab，即k=±12．【答案】∵（a±6b）2=a2±12ab+36b2，∴在a2﹣k•ab+36b2中k=±12．故选C．【例23】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A、1或5B、5C、7D、7或﹣1【解析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m ﹣3）=±8，m=7或﹣1．【答案】∵（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m﹣3）x+16，∴2（m﹣3）=±8，∴m=7或﹣1．故选D．【例24】（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2=_________．【解析】分别把（3x+2y）和（3x﹣2y）看作整体，然后利用平方差公式的逆运用计算即可．【答案】（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2，=（3x+2y+3x﹣2y）（3x+2y﹣3x+2y），=6x•4y，=24xy；故填24xy．【例25】记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=_________．【解析】先在前面添加因式（2﹣1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n 值．【答案】（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），=（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），=（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），=（2n﹣1）（1+2n），=22n﹣1，∴x+1=22n﹣1+1=22n，2n=128，∴n=64．故填64．【例26】（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8）=_________．【解析】根据平方差公式，依次计算即可求得答案．【答案】（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8），=（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）（x8+y8），=（x 4﹣y 4）（x 4+y 4）（x 8+y 8），=（x 8﹣y 8）（x 8+y 8），=x 16﹣y 16．故答案为：x 16﹣y 16．【例27】 （x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（x 4+y 4）…（x 2n +y 2n ）= _________ ． 【解析】 利用平方差公式，先对前两项计算，再把计算结果与第三项继续利用平方差公式计算，依次类推，即可解答． 【答案】（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（x 4+y 4）…（x 2n +y 2n ），=（x 2﹣y 2）（x 2+y 2）（x 4+y 4）…（x 2n +y 2n ），…=x 4n ﹣y 4n ．【习题1】计算：⑴242(21)(21)(21)(21)n ++++L⑵23221111(1)(1)(1)(1)23410----L ⑶22222221009998979621-+-++-L【解析】 ⑴原式242(21)(21)(21)(21)(21)n =-++++L224244282224(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(2)121n n n n n =-+++=-++=-+=-=-L L L⑵原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=-+-+-+-+L 13243491111111223345101021020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=L ⑶原式(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)=-++-+-+L110099989721(1001)10050502=++++=+⨯⨯=L 【答案】见解析【习题2】224682008123420061234200512342007=-⨯ ． 【解析】 原式2246820082468200812342006(123420061)(123420061)==--⨯+． 【答案】见解析课后作业【习题3】若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M ．【解析】 若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2x M x M ++=++，此时M 可以为12x ±；若把29x 视为2ab 这一项，2229942224x M M x ++=++⨯⨯，此时M 可以为48116x ； 若把4视为2ab 这一项，22294(3)233x M x M x x ++=++⨯⨯，此时M 可以为249x， M 还可以是29x -、4-．【答案】见解析【习题4】计算：⑴2(35)x y z -+； ⑵2(59)x y --； 填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+【解析】 ⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-.⑶ 13a ，14b ，12c ；⑷2m ，n . 【答案】见解析【习题5】计算：⑴22111111()()()()333939a a a a a a -+-+++ ⑵22(3)(93)b a a ab b +-+⑶222(2)4(2)a b a a b b ⎡⎤+--⎣⎦ ⑷4224(2)(2)(816)a b a b a a b b +--+【解析】 ⑴22336111111111()()()()()()3339392727729a a a a a a a a a -+-+++=-+=-； ⑵22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a ab b b a b ab a b a b a +-+=+-+=+=+；⑶2222222(2)4(2)(2)(42)a b a a b b a b a ab b ⎡⎤+--=+-+⎣⎦3326336(8)6416a b a a b b =+=++； ⑷4224223642246(2)(2)(816)(4)124864a b a b a a b b a b a a b a b b +--+=-=-+-.【答案】见解析【习题6】已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．【解析】 由333()3()x y x y xy x y +=+-+，得1000310100xy -⨯=，即30xy =．所以222()240x y x y xy +=+-=．【答案】见解析【习题7】a 2+3ab+b 2加上（ ）可得（a ﹣b ）2．A 、﹣abB 、﹣3abC 、﹣5abD 、﹣7ab【解析】本题考查完全平方公式的灵活运用及公式间的相互转化．【答案】∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=a2﹣5ab+3ab+b2，∴应加上﹣5ab．故选C．【习题8】如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．【解析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，依此求出m的值．【答案】∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴这两个数是x和4，∴mx=±2×4•x，解得m=±8．。
乘法公式的复习讲义doc
龙文教育学科教师辅导讲义课 题整式的乘法提升教学目标1、 掌握完全平方公式、平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；2、明确整式化简的顺序，灵活应用乘法公式。
重点、难点教学重点：完全平方公式，平方差公式； 教学难点：正确的应用完全平方公式、进行计算考点及考试要求教学内容一、整体感知二、三个重要的公式平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2完全平方公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2立方和、差公式（补充）：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
当n 为正整数时a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除,a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。
乘方运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法）单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(xy )2-(z +m )2 =(x -y )2-z 2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =(x -y )(x -y )-z 2=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=x 4-y 4 =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab+-=+-+=+++-=++--=三、例题分析：例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
最新乘法公式培优辅导讲义-高中课件精选(1)
乘法公式培优训练题型一：a±型1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．3．已知a+=7，则a3+的值是．4．已知=3，则= ．5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．题型二：换元，整体思想1．已知a+b=4，则= ．2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．5．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）= ．题型三、添与凑1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．3．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= ；（a﹣1）（a2+a+1）= ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．题型四、化简求值1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．3．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．4．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．题型五、综合运用1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．4．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．5．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）9．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= ；图②中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．12．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：7323．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，故答案为：0．4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．【解答】解：∵a2+=14，∴a2+2+=14+2，即=16，∴a+=±4，∴a+﹣5=﹣1或﹣9，故答案为：﹣1或﹣9．5．已知a+b=4，则= 8 ．【解答】解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．6．已知=3，则= 119 ．【解答】解：，=119，故答案为：119．7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，∴x2y2=2016，∴xy=±12，∴x﹣y=2∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=4±24∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4+24∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24故答案为：4+248．已知a+=7，则a3+的值是322 ．【解答】解：∵a+=7，∴（a+）2=49，∴a2++2=49，∴a2+=47，∴a3+=（a+）（a2﹣1+）=7×46=322．故答案为：322．9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，∴B﹣2=3，1+C=2，∴B=5，C=6，故B+C=11．故答案为：11．10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）=（1﹣﹣）×+×（+）=（1﹣﹣++）×=．故答案为：．11．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）=a 1an．【解答】解：设x=a1+a2+…+an，y=a2+a3+…+an﹣1，则原式=（x﹣an ）（y+an）﹣yx=xy+xan ﹣any﹣an2﹣xy=an （x﹣y）﹣an2=an [（a1+a2+…+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）]﹣an2=an （a1+an）﹣an2=a1an ，故答案为：a1an ．二．选择题（共16小题）12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，∴x﹣y=1②．联立①②成方程组，解得：，∴长方形面积S=xy=×=cm2．答：长方形的面积为cm2．13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3；（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，∵a≠b，∴a+b﹣2=0，∴a+b=2，∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，∴5﹣2×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=．14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，∴x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×∴S阴影20=50﹣30=20．17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）∵m+n=10，mn=20，∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．19．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【解答】解：（1）1﹣=；（2））（1﹣）（1﹣）=；（3）原式=；故答案为；；；（4）原式=•••…•=．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）∵x2﹣9y2=12，∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，∵x+3y=4，∴x﹣3y=3；（3）原式====．21．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，4（a+b）2﹣9=55，（a+b）2=16，a+b==±4．23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S2= m2+6m+8比较：S1＞S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：∵S1﹣S2=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，∴2m﹣1≥1＞0，∴S1＞S2；（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S﹣S1=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1﹣S2=2m﹣1，∴当10＜2m﹣1≤11时，∴＜m≤6，∵m为正整数，∴2m﹣1=11，m=6．故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．24．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；故答案为：a2018﹣1；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．25．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．【解答】解：∵x、y互为相反数，∴y=﹣x，∴（x+3）2﹣（y+3）2，=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，=6，即12x=6，解得x=，∴y=﹣x=﹣．故答案为：x、y的值分别是，﹣．27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．三．解答题（共4小题）28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．【解答】解：原式=x2﹣4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=﹣12+3×9=﹣12+27=15（2）当4x=3y时，原式=﹣y（4x﹣3y）=029．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）=9a2﹣4﹣8a2+2a=a2+2a﹣4，当a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2时，原式=2﹣4=﹣2．30．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a （a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把a﹣b=1两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=1，把a2+b2=3代入得：3﹣2ab=1，即ab=1，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2=5，∴a+b=±，则原式=4﹣（a+b）+ab=5±；（2）原式=4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．31．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．【解答】解：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）=﹣2a5bc•（﹣a5b2）=a10b3c（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=32÷23=（3）（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2 =x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2﹣5y2=5y2﹣6xy=y（5y﹣6x）∵6x=5y，∴原式=y×0=0．。
乘法公式的复习讲义
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。
例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。
例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。
例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
乘法公式优质讲义
乘法公式①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2②完全平方公式：(a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2【基础演练】 一.填空：1. (a +2b ） (a －2b ） = （) 2－(） 2=2。
=---)1x 31)(1x 31(( ） 2－(） 2=3。
（2x +y ) 2=(3a －4）2=4。
（－5x +2y ) 2=(－a －3b ) 2=5。
(3a －1） （ ） =9a 2－1 6. X 2－6xy + () = () 27。
(mn －） （－21） =22n m 41- 8. （3x +） 2=+12xy +9.102×98= ( ） ( ) = ( ) 2－（ ） 2=10.已知：(x －3y ）2=x 2－6xy +(ky ）2, 则k =二。
选择：1。
在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A 、(x +3）（3+x ）B 、(a +b 21)(a b 21-）C 、(－x +y ）(x －y )D 、 (a 2－b )（a +b 2）2。
下列计算正确的是（ ）A 、(a +3b ）(a －3b )=a 2－3b 2B 、（－a +3b )(a －3b )=－a 2－9b 2C 、（a －3b )（a －3b )=a 2－9b 2D 、(－a －3b )(－a +3b ）=a 2－9b 2三.计算： （1）（2x +7y )2（2)(－3x +1）2（3）(1.0a 21-）2（4）)b 51a 5(- 2（5）（31x 2+-)（31x 2--) （6）(ab －c 41）（ab +c 41)(7) (2a 2－3b )（－2a 2－3b ）(8)（22y x 51+)（22y x 51-）(9)（－ 3+2a 2)（－3－2a 2）（10）（－3x +4y )(3x －4y ）(11)（2m －5n ）（4m +10n ) （12）（a +b )（a －b )（a 2+b 2）（13)204×196（14) 7597210⨯-（15)1032(16)9982四。
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
初二数学辅导讲义 乘法公式
辅导讲义1.引入的目的：调节气氛、激发兴趣.兴趣是最好的老师，要像保护眼睛一样保护学生的学习兴趣.2.引入的方法：制造认知冲突、设置悬念、情境体验等3.引入的素材：一道题/一个故事/一句话/一张图4.引入注意事项：控住场，防止带偏学习主题，时间绝对不能超过3min ；按照心理学的研究结果，课程开始前的20分钟内需要让学生接触到本节课的核心知识.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；； ；.类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ．1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）．【变式1】计算：2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()()2332a b b a --()()2323a b a b -++()()2323a b a b ---+()()2323a b a b +-()()2323a b a b ---()()2323a b a b +--221+421+821+1621+3221+332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---(1)(2)(＋)( －)( )( )【变式2】（（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．2、先化简，再求值．已知|m ﹣1|+（n +）2=0，求（﹣m 2n +1）（﹣1﹣m 2n ）的值．举一反三：【变式】解不等式组：类型二、完全平方公式的应用2(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩3、计算：(1)； (2)； (3)； (4)．3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．4、图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)；(3)； (4)()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---5、已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy 的值；（2）求x 2+y 2+4xy 的值．4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC 的形状．【变式】多项式的最小值是____________.【巩固练习】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．①()()2552ab x x ab -++ ②()()ax y ax y ---③()()ab c ab c --- ④()()m n m n +--A.4个B.3个C.2个D.1个 2.若x 2+mx +k 是一个完全平方式，则k 等于（ ）A ．m 2B ．m 2C ．m 2D ．m 23.下面计算()()77a b a b -++---正确的是( )．A.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝－27－()2a b + B.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝27＋()2a b + C.原式＝[－(7－a －b )][－(7＋a ＋b )]＝27－()2a b + D.原式＝[－(7＋a )＋b ][－(7＋a )－b ]＝()227a b +- a b c 2220a b c ab bc ac ++---=222225x xy y y -+++。
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或多个数的乘积。
在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌握的知识点。
掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高计算能力。
在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。
乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。
乘法交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。
乘法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。
这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。
比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。
此外，在解决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。
例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各个边长相乘。
在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进行计算。
比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。
此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。
这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。
总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。
因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。
第3讲乘法公式专题培优辅导
第三讲 整式的乘法及乘法公式专题培优辅导一、知识要点： 乘法公式⑴22()()a b a b a b +-=- ⑵222()2a b a ab b ±=±+ ⑶2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ ⑷2233()()a b a ab b a b -++=-⑸2233()()a b a ab b a b +-+=+ ⑹2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑺33223()33a b a a b ab b +=+++ ⑻33223()33a b a a b ab b -=-+-乘法公式常用的变形有：(1） 222()2a b a ab b ±=±+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++; (3） ab b a b a 4)()(22=--+；（4） 4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 二．经典例题讲解 例1【例1计算：1。
______________)3)(32(=-+y x y x ； 2．_______________)52(2=+y x ； 3．______________)23)(32(=--y x y x 4。
______________)32)(64(=-+y x y x ;5. ________________)221(2=-y x 6．____________)9)(3)(3(2=++-x x x ；7．___________1)12)(12(=+-+x x ； 84))(________2(2-=+x x ； 9．_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；10．____________)2()12(22=+--x x ；11．224)__________)(__2(y x y x -=-+; 12、()()()()111124-+++a a a a =xx*k 。
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要的一个概念，它在解决很多数学问题中起着关键的作用。
本次讲座将详细介绍乘法公式的概念、应用以及相关的解题技巧。
一、乘法公式的概念在初中数学中，我们通常将两个数的乘积称为乘法。
而乘法公式则是指对特定形式的乘法运算提出的一种常用的计算方法。
常见的乘法公式有两个，即分配率和乘方公式。
1.1分配率分配率是指对于两个数a、b和一个数c来说，a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。
数学表达式为：a×(b+c)=a×b+a×c。
分配率的应用非常广泛，常见的运用场景有列式展开、计算面积和周长等。
在列式展开中，我们可以根据分配率将一个较为复杂的数学表达式，通过拆分成多个简单的乘法运算来计算。
例如，(2x+3)×4x=2x×4x+3×4x=8x²+12x。
1.2乘方公式乘方公式也是乘法公式的一种，它是指一个数a的n次方等于a连乘n次的乘积。
数学表达式为：a^n=a×a×…×a(共n个a)。
乘方公式的应用也非常广泛，尤其在解决求幂问题时经常使用。
通过运用乘方公式，我们可以将复杂的指数运算转化成简单的乘法运算。
例如，2的3次方等于2×2×2=8二、乘法公式的应用乘法公式在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的乘法公式应用场景。
2.1代数式展开在代数式展开中，我们经常需要将一个括号内含有多个项的式子，根据分配率拆分成多个简单的乘法运算。
通过这种方式，我们可以更方便地计算其值。
例如，(2x+3)×(4x+5)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5=8x²+10x+12x+15=8x²+22x+152.2计算面积和周长在计算面积和周长时，我们通常需要根据给定的条件，运用分配率进行计算。
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^乘法公式培优训练题型一：a±型1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．3．已知a+=7，则a3+的值是．4．已知=3，则= ．5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；…（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．题型二：换元，整体思想1．已知a+b=4，则= ．2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．5．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）、= ．题型三、添与凑1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．~3．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算：*（a﹣1）（a+1）= ；（a﹣1）（a2+a+1）= ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．￥题型四、化简求值1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．3．|2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．4．已知a3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．'4．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．《题型五、综合运用1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．|3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．5．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．(6．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论请写出来．;（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．】（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）9．有一系列等式：、1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．）10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．]（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．~11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= ；图②中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则/①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．12．先阅读下面的内容，再解决问题，（例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．￥26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．￥2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．[【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1,=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：732》3．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，故答案为：0．~4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．【解答】解：∵a2+=14，∴a2+2+=14+2，即=16，∴a+=±4，∴a+﹣5=﹣1或﹣9，故答案为：﹣1或﹣9．<5．已知a+b=4，则= 8 ．【解答】解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．—6．已知=3，则= 119 ．【解答】解：，=119，故答案为：119．7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，∴x2y2=2016，…∴xy=±12，∴x﹣y=2∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=4±24∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4+24∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24故答案为：4+24'8．已知a+=7，则a3+的值是322 ．【解答】解：∵a+=7，∴（a+）2=49，∴a2++2=49，∴a2+=47，∴a3+=（a+）（a2﹣1+）=7×46#=322．故答案为：322．9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，∴B﹣2=3，1+C=2，∴B=5，C=6，故B+C=11．?故答案为：11．10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）=（1﹣﹣）×+×（+）=（1﹣﹣++）×=．<故答案为：．11．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）=a 1an．【解答】解：设x=a1+a2+…+an，y=a2+a3+…+an﹣1，则原式=（x﹣an ）（y+an）﹣yx=xy+xan ﹣any﹣an2﹣xy=an （x﹣y）﹣an2=an [（a1+a2+…+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）]﹣an2：=an （a1+an）﹣an2=a1an ，故答案为：a1an ．二．选择题（共16小题）12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8①；*∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，∴x﹣y=1②．联立①②成方程组，解得：，∴长方形面积S=xy=×=cm2．答：长方形的面积为cm2．13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．《（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3；（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，>∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，∵a≠b，∴a+b﹣2=0，∴a+b=2，∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，"∴5﹣2×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=．14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，】∴x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，~整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac'（2）∵a+b=10，ab=20，=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×∴S阴影20=50﹣30=20．17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．;【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）∵m+n=10，mn=20，∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．、18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1@=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．19．计算下列各式：，（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【解答】解：（1）1﹣=；（2））（1﹣）（1﹣）=；@（3）原式=；故答案为；；；（4）原式=•••…•=．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）：A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，：故答案为：B；（2）∵x2﹣9y2=12，∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，∵x+3y=4，∴x﹣3y=3；（3）原式=\===．21．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2…4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，~理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；%（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，4（a+b）2﹣9=55，（a+b）2=16，a+b==±4．23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数））（1）图①中长方形的面积S1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S2= m2+6m+8比较：S1＞S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，}比较：∵S1﹣S2=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，∴2m﹣1≥1＞0，∴S1＞S2；（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S﹣S1=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1﹣S2=2m﹣1，∴当10＜2m﹣1≤11时，∴＜m≤6，》∵m为正整数，∴2m﹣1=11，m=6．故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．24．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；!（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；、（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；故答案为：a2018﹣1；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．/25．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3`问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，'∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，;∴5≤c＜9．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．【解答】解：∵x、y互为相反数，∴y=﹣x，∴（x+3）2﹣（y+3）2，=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，!=6，即12x=6，解得x=，∴y=﹣x=﹣．故答案为：x、y的值分别是，﹣．27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．三．解答题（共4小题）28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．【解答】解：原式=x2﹣4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=﹣12+3×9=﹣12+27=15（2）当4x=3y时，原式=﹣y（4x﹣3y）=029．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）=9a2﹣4﹣8a2+2a=a2+2a﹣4，当a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2时，原式=2﹣4=﹣2．30．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a （a+b）能化简为12a2若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把a﹣b=1两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=1，把a2+b2=3代入得：3﹣2ab=1，即ab=1，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2=5，∴a+b=±，则原式=4﹣（a+b）+ab=5±；（2）原式=4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．31．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．【解答】解：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）=﹣2a5bc•（﹣a5b2）=a10b3c（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=32÷23=（3）（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2=x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2﹣5y2=5y2﹣6xy=y（5y﹣6x）∵6x=5y，∴原式=y×0=0．。