高一抽象函数模型常见考法总结
高一抽象函数五大模型总结教师版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y =kx已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y ,当x >0时，f x <01证明：f 0=0; 2证明：函数f x 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为减函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0⇒f 0=0 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x ,由于f 0=0⇒f -x =-f x ⇒函数f x 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1<0,从而f x 1>f x 2即函数f x 在R 上为减函数。
证毕！模型二：一次函数模型y =kx -c已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y +c ,且当x >0时，f x >-c1证明：f 0=-c ; 2证明：函数g x =f x +c 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为增函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0+c ⇒f 0=-c 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x +c⇒f -x +c =- f x +c ⇒g -x =-g x ⇒函数g x =f x +c 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1+c 由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1>-c ,从而f x 2>f x 1即函数f x 在R 上为增函数.证毕！模型三：指数函数模型y =a x已知定义域为R 的函数f x 对任意的实数x ,y ∈R 均有 f x +y =f x f y ,且当x <0时，f x >11证明：f 0=1; 2证明：当x >0时，有0<f x <1; 3证明：函数f x 在R 上单调递减证明： 1令x =0,y =-1⇒f -1=f 0f -1,又f -1>1则f 0=12令y =-x ⇒f 0=f x f -x ⇒f -x = 1fx 当x >0时，f -x >1,f x =f - -x = 1f-x ∈ 0,1 3任取x 1<x 2,f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1f x 2-x 1易知f x 1>0,f x 2-x 1∈ 0,1,所以f x 2<f x 1即函数f x 在R 上单调递减.证毕！模型四：对数函数模型y =log a x已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意的x ,y ∈ 0,+∞均有f xy =f x +f y ,且当x >1时，f x >01证明：f 1=0; 2证明：当0<x <1时，f x <0; 3证明：函数f x 在 0,+∞上为增函数.证明： 1令x =y =1⇒f 1=f 1+f 1⇒f 1=02令y = 1x ⇒f 1=f x +f 1x ⇒f 1x=-f x ⇒当0<x <1时，f 1x >0⇒f x =f1 1x =-f 1x <0 3任取0<x 1<x 2, x 2x 1>1⇒f x 2x 1>0则f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1+fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上为增函数.证毕！模型五：幂函数模型y =x α已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意x ,y ∈R ∈均有f xy =f x f y ,且当x >1时，f x >11证明：f 0=0; 2证明：函数f x 在 0,+∞上单调递增.证明： 1令x =0,y =1⇒f 0=f 0f 1,又f 1>1故f 0=02令x =1,y =2⇒f 2=f 1f 2，又f 2>1⇒f 1=1令y = 1x ⇒f 1=f x f 1x ⇒f 1x = 1fx ⇒当x ∈ 0,1时，f 1x>1则f x =f1 1x = 1f 1x ∈ 0,1任取0<x 1<x 2,则f x 1>0,f x 2x 1>1f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上单调递增.证毕！。
抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)
抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。
常见抽象函数题的解法
常见抽象函数题的解法作者：张春林来源：《高中生·高考指导》2013年第09期一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数： f（x+y）= f（x）+ f（y），f（x-y）= f（x）- f（y）.对应函数模型： f（x）=kx（k≠0）.2.二次函数型抽象函数： f（a+x）= f（a-x）.对应函数模型： f（x）=k（x-a）2+m（k≠0）.3.指数函数型抽象函数： f（x+y）= f（x） f（y），f（x-y）=.对应函数模型： f（x）=ax（a>0且a≠1）.4.对数函数型抽象函数：f（xy）= f（x）+ f（y），f（）=f（x）- f（y）.对应函数模型：f（x）=loga x（a>0且a≠1）.5.余弦函数型抽象函数： f（x1）+ f（x2）=2 f（）· f（）.对应函数模型： f（x）=cos x.6.正切函数型抽象函数： f（x+y）=.对应函数模型： f（x）=tan x（x≠+kπ，k∈Z）.7.幂函数型抽象函数： f（xy）= f（x） f（y）， f（）=.对应函数模型： f（x）=xa（a为常数）.二、常见抽象函数的题型及解法1.利用函数的概念，整体换元，求解函数的定义域、值域问题.例1 ①若函数f（1+x）的定义域是[0，1]，则函数f（x-1）的定义域是 .②已知函数 f（x）的值域是[-1，1]，则函数 f（x+2）的值域是 .分析第①题中的两个函数有相同的法则，括号中的1+x和x-1的地位相同，范围相同，可用换元法求解.第②题中的两个函数有相同的法则，括号中的x与x+2的地位相同，范围相同，则两个函数的值域相同.解①令函数f（1+x）中的1+x=t.由函数f（1+x）的定义域为[0，1]，可得l+x=t∈[1，2].令函数f（x-1）中的x-1=m，则m与t的范围相同.因为x-1=m∈[1，2]，所以x∈[2，3].故函数f（x-1）的定义域是[2，3].②函数 f（x）与函数f（x+2）的值域相同，所以函数f（x+2）的值域为[-1，1].2.利用抽象关系式，巧妙赋值，求解有关函数值问题.例2 设函数 f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：①存在x1≠x2，使得 f（x1）≠ f （x2）；②对任何x和y，f（x+y）= f（x）f（y）成立.（1）求 f（0）；（2）对任意实数x，判断f（x）值的正负.分析只要将f（x+y）= f（x） f（y）中的y赋值为0，就可以得到f（0）和 f（x）的关系式.解（1）将y=0代入f（x+y）= f（x） f（y），得 f（x）=f（x）f（0），即 f（x）=0或f （0）=1.若 f（x）=0，则对任意x1≠x2，都有 f（x1）= f（x2），这与题设矛盾.所以f（0）=1.（2）将y=x代入f（x+y）= f（x） f（y）.因为 f（x）≠0，所以f（2x）= f 2（x）>0，即f（x）>0.所以对任意实数x，f（x）>0.注：如果知道f（x+y）= f（x） f（y）为指数函数型抽象函数，就可以根据对应函数模型f（x）=ax（a>0且a≠1）直接得到相应结论.3.利用抽象关系式，灵活构造，判断函数的单调性、奇偶性等性质.例3 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有 f（xy）= f（x） f（y），且 f（-1）=1.当0≤x（1）判断 f（x）的奇偶性.（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明.分析根据函数的奇偶性的判定式和单调性的定义构造关系式.解（1）令y =-1，将其代入 f（xy）= f（x） f（y）中，得f（-x）= f（x） f（-1）= f （x）.所以， f（x）为偶函数.（2）设x1，x2是[0，+∞）上的任意两个实数，且0≤x1所以，函数 f（x）在[0，+∞）上为增函数.例4 已知函数 f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）= f（x）+ f（y），且当x>0时，f （x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域.分析由题意可知，要求f（x）在[-2，1]上的值域，先要判断函数f（x）的单调性和奇偶性.解设对任意的实数x1，x2，有x10.因为当x>0时，f（x）>0，所以f（x2-x1）>0.因为f（x2）= f [（x2-x1）+x1]= f（x2-x1）+ f（x1），所以f（x2）- f（x1）= f（x2-x1）>0，即 f（x1）< f（x2）.可知f（x）为增函数.令y=-x，将其代入f（x+y）= f（x）+ f （y），得f（0）= f（x）+ f（-x），再令x=y=0，则f（0）= 2f（0），即f（0）= 0.所以，f （x）为奇函数，f（1）=- f（-1）=2.又f（-2）=2 f（-1）= -4，所以f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2].例5 若对任意实数x和不为0的常数a都有f（x+a）=成立，请问： f（x）是不是周期函数？为什么？分析根据周期函数的定义来判断.解由已知得f（x+2a）=== -，则f（x+4a）=-= f（x）.所以， f（x）为周期函数，周期为4a.4.利用模型函数，类比联想，解决函数的相关问题.例6 如果 f（x+y）= f（x） f（y），且 f（1）=2，那么+++…+的值为 .分析由 f（x+y）= f（x） f（y），类比联想到指数函数 f（x）=ax（a>0且a≠1）的性质.解根据题设条件，令 f（x）=2x，则+++…+=2×1 005=2 010.例7 已知函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）为增函数， f（4）=1， f （xy）= f（x） + f（y）.（1）求 f（1）和 f（16）.（2）若 f（x） + f（x-3）≤1，求x的范围.分析由 f（xy）= f（x） + f（y）联想到对数函数f（x）= loga x（a>0且a≠1）.解（1）根据题设条件，令f（x）= log4 x，则f（1）= log41=0， f（16）= log416=2.（2）由已知得f（x） + f（x-3）= f [x（x-3）]≤1= f（4）.因为f（x）是增函数，所以x（x-3）≤4，x-3>0，x>0，即3。
7抽象函数总结
抽象函数知识精要：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx )y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
抽象函数模型化总结大全(珍藏版)
∴ 函数 f(x) 在 (0, + ∞) 上单调递减，
又因为 f(x) 是奇函数，
∴ f(x) 在 ( -∞, + ∞) 上单调递减．
不等式
1 2
< f(x) < 2 可转化为，f( -
3 2
) < f(x) <
f( -6)，
由上可知函数 f(x) 在 (0, + ∞) 上单调递减，
∴-6
<
x
<-
3 2
[m，n] 上有
()
·1·
A. 最小值 f(m) B. 最大值 f(n)
C. 最小值 f(n)
D.
最大值
f
(பைடு நூலகம்
m
+ 2
n
)
【分析】利用赋值法证明 f(x) 的单调性，即可判断函数 f(x) 在 [m，n] 的最值情况．
【解答】函数 f(x) 满足 f(x + y) = f(x) + f(y)，定义为 R．
得：f(x) = f(x - y + y) = f(x - y) + f(y)
即 f(x) - f(y) > 0．
∴ f(x) 是 R 上的减函数．
则函数 f(x) 在 [m，n] 上有最大值为 f(m)，最小值为 f(n)．
故选 ：C ．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法
2. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：①对于任意的 x，y ∈ R 都有 f (x) + f (y) = f (x + y) 成
f
(xy)
=
f
(x)
+
抽象函数常见题型解法
高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f()()>-=-012，，求f x()在[]-21，上的值域。
解：设x x12<且x x R12，∈，则x x210->，由条件当x>0时，f x()>0∴->f x x()21又f x f x x x()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x()()()2111∴f x()为增函数，令y x=-，则f f x f x()()()0=+-又令x y==0得f()00=∴-=-f x f x()()，故f x()为奇函数，∴=-=f f()()112，f f()()-=-=-2214∴-f x()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
高三抽象函数总结
高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例一.若函数)1(x f y的定义域为)3,2[，求函数)21(xf y的定义域。
提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x 与21x的范围等同。
变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[，求函数)]3([log 21x f 的定义域。
二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(f ，51)6(f ；②)()()(y f x f y x f ，求f(3)，f(9)的值。
注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f 对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若的值为变式训练4:设函数))((R x x f 为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f 则)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ，且0)1()2(f f ，则)1()1(g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f 总成立，且存在21x x ，使得)()(21x f x f ，求函数)(x f 的值域。
高考数学 抽象函数赋值与构造-含解析
专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212。
高中常见抽象函数题型归纳
抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。
常见题型及其解法如下： 一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.二、特殊模型和抽象函数)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f yxf +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x xf x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数()x ϕ的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1(2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题.例5.定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。
抽象函数常见题型解法宝典
抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0, ∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f (n)-1)f (n =∴==+故即 ②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题二、求值问题 三、值域问题四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。
练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为。
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________练习： 1.f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f =（2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
“抽象函数”常见题型解题策略
变传 统 的 、 一 的“ 单 传授——接 受 ” 的教
学 模 式 ，在 课 堂 教 学 中 ，首 先 要 营 造 平
就 需要教师本 身要善于 发现 问题 、综合
运 用 知 识 解 决 新 问 题 的 能 力 。 此 外 教 师
的一 数。 试题 性较强， 类函 这类 抽象 需要
较 强 的 理 性 思 维 ，特 别 是 在 数 学 高 考 强 调考查“ 理性思维 ” 的今天 更应引 起我们 的重视 。
重视运用“ 赋值法’ ’ 例 １ 定 义在 实 数集 Ｒ 上 的 函数
一
、
点 拨 ： 题 无法 直接 求 出厂 ， 本 （ 若 ） 将 已知等式左边 看成两个 函数 ，利 用换
（） Ｉ 分别用 争 ， ｃ ０替 ３（ ） ＋ 争（ ＞ ）
． ） ． ）Ｉ ）【 ） ． 望 ； ＋ 丝 。 ． 触 触 ， ，
例５ 已知 ） 是定义在Ｒ上的奇
偶函数
・
．
＋ ） 争Ｌ ｃ ） ） 、 墨 ｃ
… ． ．
．
又 、 … Ｉ Ｘ ．， ，时 Ｓ ｌ Ｇ
思维价 值 ， 为创新做 出示范 。其次 ， 并 教
要掌握一点常用的探索、 探究的方法 和
技巧才行 。 ・ 要改变教育观 念 ， 意接受继 续教育 ， 注 比 如学 习现 代教 学理 论 ， 构 主义 的认 知 建
理 论 ， 元 智 力 理 论 等 ， 解 我 国 一 级 多 了
厂 ｙ ）广 （ ） Ｏ （ ｔ ＝ 。 己的思维过程 ，敏 锐捕捉 学生 的思维 闪 光点 ， 给予 支持 、 并 鼓励 ： 并在 解题 后不
抽象函数考法梳理
微专题 抽象函数的考法题型归纳模块一、定义域例题1 若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域 【解析】),21(]31,(+∞--∞【小结】函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
模块二、值域例题2 函数f (x )的定义域为(0,)+∞，对 任意正实数x ,y 都有f (xy )= f (x )+f (y )且f (4)=2 ，则f = 【解析】12模块三、解析式角度1 对称性：定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法结论1：设函数f (x )的定义域为R ，且f (a+x )=f (b-x )，则函数f (x )的图象关于直线 2ba x +=对称；特别地，当f (a+x )=f (a-x )时，f(x)的图象关于x=a 对称（自身对称）结论2：对于定义在R 上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2a b x -=对称（相互对称）例题3 设)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 【解析】D巩固1 已知函数y =f (x )满足f (x +2)=f (2-x )；若方程f (x )=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______ 【解析】6角度2 周期性：充分理解与运用相关的抽象式是关键结论3：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。
证明)(x f y =是周期函数。
【证明】由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+， 又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+由周期函数的定义可知4是它的一个周期。
抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)
抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。
2025高考数学培优25讲2.2抽象函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（ ）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，
高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳
高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳对于刚上高一的学生而言，掌握好抽象函数常见题型的解法，有助于他们在高考数学的考试中发挥的更加出色。
下面是小编为大家整理的高一数学必修1常见题型解法，希望对大家有所帮助!高一数学抽象函数常见题型高一数学填空题解题方法一、直接法从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
高一数学复习答疑问题1:我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。
答:数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。
当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。
为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。
有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。
所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。
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重庆邓丁瑞数学 例 5：（幂函数模型： y x ） 已知定义在 R 上的函数 f x 对任意 x, y R 均有 f xy f x f y ，且 当 x 1时， f x 1. (1) 证明： f 0 0 ； (2) 证明：函数 f x 在 R 上为奇函数； (3) 证明：函数 f x 在 R 上单调递增.
重庆邓丁瑞数学 例 3：（指数函数模型： y ax ） 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f x 对 任 意 的 实 数 x, y R 均 有 f x y f x f y，且当 x 0 时， f x 1. (1) 证明： f 0 1； (2) 证明：当 x 0 时， 0 f x 1； (3) 证明：函数 f x 在 R 上单调递减.
重庆邓丁瑞数学 例 4：（对数函数模型： y loga x ） 已 知 定 义 在 0, 上 的 函 数 f x 对 任 意 的 x, y 0, 均 有 f xy f x f y，且当 x 1时， f x 0 . (1) 证明： f 1 0 ； (2) 证明：当 0 x 1时， f x 0 ； (3) 证明：函数 f x 在 0， 上为增函数.
重庆邓丁瑞数学
高一抽象函数模型常见考法总结
例 1：（正，反比例函数模型： y kx ） 已知函数 f x 对一切 x, y R ，都有 f x y f x f y，当 x 0 时， 有 f x 0. (1) 证明： f 0 0 ； (2) 证明：函数 f x 为奇函数； (3) 证明：函数 f x 在 R 上为减函数.
重庆邓丁瑞数学 例 2：（一次函数模型： y kx c ） 已知函数 f x 对一切 x, y R ，都有 f x y f x f y c ，且当 x 0 时， f x c . (1) 证明： f 0 c ； (2) 证明：函数 gx f x c 为奇函数； (3) 证明：函数 f x 在 R 上为增函数.