高中数学指对数比较大小

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高中数学—指对数比较大小方法

高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。

然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。

指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。

因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。

一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。

简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。

对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。

其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。

二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。

因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。

同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。

2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。

如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。

反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。

3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。

假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。

三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。

如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。

这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。

总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。

我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。

通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。

在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。

十大方法玩转指对幂比较大小

十大方法玩转指对幂比较大小指数对幂比较大小是高中数学中一个非常重要的概念，在学习指数对幂比较大小时，学生可以使用以下十种方法来更好地理解和掌握这个概念。

1.化简幂的指数：使用指数的基本性质，将幂的指数化简为最简形式。

例如，将2^3与2^(2+1)比较时，将2^(2+1)化简为2^2*2^1，然后进行比较。

2.应用指数的运算法则：利用指数的运算法则，如乘法法则和乘方法则，对幂进行化简。

例如，将2^3与(2^2)^2比较时，可以利用乘法法则将(2^2)^2化简为2^4，然后进行比较。

3.求幂的值：计算出幂的具体数值，然后进行比较。

例如，将2^3与8比较时，可以计算出2^3=8，然后进行比较。

4.比较幂的指数：比较幂的指数大小，而不必计算具体数值。

例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4的指数更大。

5.利用幂的递增性质：利用幂的递增性质，即相同底数的幂，指数越大幂越大。

例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4更大。

6.利用幂的递减性质：利用幂的递减性质，即相同底数的幂，指数越小幂越小。

例如，比较2^3与2^2时可以直接说2^3更大。

7. 利用对数函数的性质：利用对数函数的性质，将幂转化为对数进行比较。

例如，比较2^3与2^4时可以利用对数函数将其转化为比较log₂(2^3)与log₂(2^4)，然后进行比较。

8.通过图像比较大小：通过绘制幂函数的图像，比较不同指数下的幂函数在数轴上的位置，进而比较幂的大小。

例如，比较2^3与2^4可以通过绘制y=2^3和y=2^4的图像，并观察图像在数轴上的位置来比较大小。

9.利用数学推理和证明：根据指数的性质和规律，运用数学推理和证明方法来比较幂的大小。

例如，通过数学归纳法证明对于任意正整数n，2^n>n。

通过以上十种方法的学习和应用，学生可以更好地理解和掌握指数对幂比较大小的方法和技巧，从而在解决相关的问题时能够灵活运用这些方法，提高数学解题的效率和准确性。

对数大小的比较

龙源期刊网对数大小的比较作者：龚丹来源：《读与写·上旬刊》2017年第12期摘要：当两个对数式是同底时，可直接用相应对数函数的单调性得出结论；而当两个对数式不同底时，要比较大小就困难多了。

本文举例说明这种情况下求解的若干方法。

关键词：对数大小的比较；高中数学教学；重要教学内容中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）12-0128-01在高中数学学习中，指数与对数大小的比较一直是学习的难点，在以前的学习中，我们主要是采用求值、作差、作商等方法来比较大小，但是有时面对求值很繁琐或者人工无法求解的时候，学生对他们之间的比较可能会无从下手，但是只要我们掌握解决办法，很多难题便可以迎刃而解。

1.对数如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 x=log （a）N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

且a>0并且a≠1，N>0在实数范围内，负数和0没有对数[1]。

在复数范围内，负数有对数。

由于数学是为现实生活服务的--建立的必须是现实存在的数学模型，故在现实生活中不存在真数为负数的数学模型。

所以，高等数学中真数为负数的情况仅在理论上成立。

1.将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把log（10） N 记为 lg N.2.以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把log（e） N 记为 ln N.零没有对数.3.log（a） 1 =0，log（a） a =1在实数范围内，负数无对数。

在复数范围内，负数有对数。

2.当底数相同，真数不同时当对数的底数相同，真数不同时，可直接应用对数函数的单调性来解决.例1比较下列对数的大小：。

高中数学函数对数大小教案

高中数学函数对数大小教案
教学目标：
1. 了解函数和对数的基本概念；
2. 理解函数和对数的大小比较方法；
3. 掌握函数和对数大小比较的常见技巧。

教学重点：
1. 函数概念及大小比较方法；
2. 对数概念及大小比较方法；
3. 函数和对数大小比较综合应用。

教学难点：
1. 函数和对数的大小比较技巧的灵活运用；
2. 函数和对数大小比较问题的解决方法。

教学过程：
一、导入：
教师通过举例引导学生思考如何比较不同函数和对数的大小，激发学生的学习兴趣。

二、讲解函数大小比较方法：
1. 函数大小比较的基本原理；
2. 几种常见函数的大小比较规律；
3. 通过练习巩固函数大小比较技巧。

三、讲解对数大小比较方法：
1. 对数大小比较的基本原理；
2. 对数大小比较的常见规律；
3. 通过实例演练对数大小比较技巧。

四、综合应用：
通过综合性的例题，引导学生对函数和对数的大小比较方法进行综合运用，提高学生的解题能力。

五、总结：
让学生总结函数和对数大小比较的方法和技巧，巩固所学知识。

六、作业布置：
布置作业，要求学生练习函数和对数大小比较的题目，巩固所学知识。

教学反思：
1. 鼓励学生多练习、多思考，提高问题解决能力；
2. 注重培养学生的逻辑思维和数学分析能力；
3. 根据学生实际情况，调整教学方法，提高学生学习效果。

专题12 指、对数函数比较大小-2021年高考数学(理)母题题源解密(解析版)

专题12 指、对数函数比较大小【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A. a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<，0ab ∴<，∴0ab a b <+<．故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.【命题意图】主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力．【命题规律】在高考中的考查热点有：（1）比较指、对数式的大小；（2）指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用．以选择题和填空题为主，难度中等．【答题模板】1．比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，进而得出大小关系；三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象，借助图象比较大小．2．比较对数值大小的类型及相应方法【方法总结】1．指数函数图象的特点（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0，1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势．（3）指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．对数函数图象的特点（1）当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．（2）对数函数y =log a x （a >0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1a ，-1），函数图象只在第一、四象限．（3）在直线x =1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3．解决对数型复合函数的单调性问题的步骤（1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错．1．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，则（）.A ．()()93log 4(1)log 4f f f >>B ．()()93log 4(1)log 4f f f <<C ．()()93(1)log 4log 4f f f >>D ．()()93(1)log 4log 4f f f <<【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性可知()f x 是R 上的单调增函数，只需根据对数函数的单调性比较9log 4，1，3log 4的大小即可得到答案.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，因为99log 4log 91<=，331log 3log 4=<，所以93log 41log 4<<，所以()()93log 4(1)log 4f f f <<. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，对数函数的单调性的应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养. 2．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（） A ．a b c <，所以a b c <<，故选A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（） A ．c b a <>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<. 故选A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.4．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（文））已知20.8a =，0.82b =，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． c a b >>【答案】C 【解析】【分析】把各数与中间值0，1比较即得．【详解】200.81<<，0.821>，2log 0.80<，∴c a b <<．故选C ．【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．5．（2020·广西壮族自治区桂平市第五中学高三月考（文））已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可.【详解】解：由题设知，()()12112log 244a f f f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题. 6．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三期末（文））已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】D 【解析】【分析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，且522π<<，所以a c b <<. 故选:D.【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 7．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知函数()1112xf x e =-+，若()1.32a f =，()0.74b f =，()3log 8c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C 【解析】【分析】由指数函数的性质，求得函数()f x 是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到1.30.73log 824<<，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数e 1xy =+为单调递增函数，可得函数()1112xf x e =-+是定义域R 上的单调递减函数，又因为 1.31.40.73log 82224<<<=，所以()()()0.7 1.3342log 8f f f <<，所以b a c <<. 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 9．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（理））已知13(ln 2)a =，13(ln 3)b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）.A ．a b c <，∴1b >， ∵221log log 313=-<-，∴0c <， ∴c a b <<，故选B ．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.10．（2020·四川省金堂中学校高三一模（文））若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（）A ．c a b <，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以0.500.00.771<<=，即01a <<，同理可得01b <<，因为0.50.500.7.50.5,0.700..55<>，所以0.50.710.70.50>>>，即10a b >>>，因为0.7log y x =在(0,)+∞上为减函数，且0.70.50>>，所以0.70.7log 0.5log 0.71>=，即1c >，所以b a c <<，故选B【点睛】此题考查指数和对数大小的比较，采取了中间量法，利用了转化与化归的思想，属于基础题.12．（2020·四川省成都外国语学校高二期中（理））已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A 【解析】【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ．故选A ．【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．13．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））已知5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 0.12c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，555log 32log 3log 9111422b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5555101log log log 0.1lo 10g 122212c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，由5log y x =在定义域内单调递增，则555log 10log 9log 3>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以555log 10log 9log 3111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.14．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.【详解】由 1.2xy =在区间(,)-∞+∞是单调增函数，得0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>. 故选B.【点睛】本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键. 15．（2020·四川省高三三模（文））已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则A ．a 20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c >B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】由于020181a >=，000.21b <<=，2018log 10c <=，故a b c >>.故选C . 17．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））已知2log 3a =，ln3b =，123c -=，则（）A ．a b c <>，又102331c -=<=，所以1c b a <<<. 故选D.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数单调性的应用，考查了指数式、对数式的大小比较与推理能力，属于基础题.18．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））已知0.250.5log 2,1og 0.2,0.5a b c ===，则（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】555log 1log 2log <<∴102a <<，2221og 1og 54>=，∴2b >， 10.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.19．（2020·四川省阆中中学高三二模（理））已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a c b <=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<．故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．20．（2020·四川省高三三模（理））已知函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(0,)x ∈+∞时，ln ()x f x x =.若2e a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．b a c >> B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象平移的性质判断出函数()y f x =的对称性，结合导数判断出函数()y f x =在(1,)x e ∈时的单调性，最后利用单调性，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行大小比较即可.【详解】因为函数(1)=-y f x 的图象向左平移1个单位长度，得到()y f x =的图象，而函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于0x =对称，即关于纵轴对称，因此()y f x =是偶函数.因此22e e a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(1,)x e ∈时，'2ln ln 1ln ()()x x xf x f x x x x -==⇒=，因为(1,)x e ∈，所以ln 1x <，即'()0f x >，所以()y f x =在(1,)x e ∈时，单调递增，因为122e e <<<，所以()(2)2ef f <，即b a > 32ln232121273ln ln()ln 232323283c f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，ln 21(2)ln 222b f ===，因为2728>，所以c b >，即c b a >>. 故选D【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小问题，考查了导数的应用，考查了对数函数的性质，考查了数学运算能力.21．（2020·贵州省高三其他（文））已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( )A ．b c a <=，ln1ln 2ln 1c e <=<=，所以a c b <<. 故选B.【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，找中间量0和1进行比较是关键，属于基础题.22．（2020·贵州省高三其他（文））若0.32=a ，2log 0.3b =，3log 2c =，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】【分析】由已知，将a ，b ，c 与0和1比较得出结果.【详解】解：由题意可知0.30221a =>=，122log 0.3log 21b -=<=-，330log 2log 31c <=<=，∴a c b >>.故选B.【点睛】本题考查对数比较大小，属于基础题.23．（2020·嘉祥县第一中学高三三模）若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．（2020·贵州省凯里一中高三月考（理））已知,,a b c 均为正实数，若122log aa -=，122log bb -=，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C 【解析】【分析】画出函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =的图像，根据图像得到答案.【详解】122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，如图所示：由图象可得：a b c <<，故选C.【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键. 25．（2020·贵州省高三月考（理））已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】131218a -==<， 21log 03b =<， 1331log log 414c ==>，所以c a b >>. 故选D.26．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））设2log 0.2a =，0.5log 3b =，154c=，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质，把2log 0.2a =和0.5log 3b =缩小范围，和中间值0、1、2、3比较，把154c=两边取以5为底的对数表示出c ，缩小c 的范围，最后比较大小. 【详解】解：∵2221log 0.2log log 55a ===-，22log 53<<，∴32a -<<-， ∵0.5122log 3log 3log 3b ===-，21log 32<<，∴21b -<<-； ∵154c=，∴551log log 44c ==-，50log 41<<，∴10c -<<. ∴c b a >>，故选B ．【点睛】考查对数值、幂值的大小比较，借助于中间值0、1、2、3以及一些特殊值是解决这类题的关键，基础题.27．（2020·云南省高三其他（文））已知352a =，253b =，135c -=，则（） A ．b a c <即得解. 【详解】由题得1305222,12a <∴<<<.120533,1b 33<∴<<<.352b a b a ===∴< 30151,15c -<=∴<.所以c a b <<. 故选D【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．（2020·云南省下关第一中学高一期末）已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <=<=<=∴<<，，，故选D ．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．29．（2020·四川省泸县五中高三月考（文））0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.30．（2020·会泽县茚旺高级中学高一开学考试）三个数60.7，0.76，0.7log 6的大小关系为（）A ．60.70.70.7log 66<=<=，所以60.70.7log 60.76<<.故选:B【点睛】本题考查比较数的大小，注意函数单调性的应用，属于基础题.31．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知函数()2sin f x x x x =-，若()0.2log 3a f =，()3log 0.2b f =，()30.2c f =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为偶函数，然后利用导数求出()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，利用函数的单调性即可比较出大小.【详解】()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，故()f x 为偶函数，故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()()'2sin cos sin 1cos f x x x x x x x x x =--=-+-，当()0,x ∈+∞时，设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增，即()()00h x h >=，故sin x x >，而()1cos 0x x -≥显然成立，故()'0fx >，故()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增.()()0.25log 3log 3a f f ==，()()33log 0.2log 5b f f ==，35530.20.2log log 31log 5<<<<<，由函数单调性可知()()()3530.2log 3log 5f f f <<，即c a b <<，故选B .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题.32．（2020·云南省高三月考（文））若13log 2a =，1312b ⎛⎫=⎪⎝⎭，2log 3c =，则a b c ，，的大小关系是（）A ．b a c <=，所以a b c <<. 故选C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题. 33．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】 A【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知1231a =>，113311log ,0log 122b =<< 21log 03c =<，即a b c >>，选A 34．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈-∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>.选B.。

巧用对数比较大小的五种方法

巧用对数比较大小的五种方法
唐学宁
【期刊名称】《广东教育（高中版）》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】比较大小是高中数学中常见的题型，也是高考数学中常考常新的题型．涉及对数比较大小的问题，更是同学们学习的难点，这类问题涉及面广，常常与不等式、函数、数列相联系，其解法既灵活多样又有章可循。

【总页数】2页(P16-17)
【作者】唐学宁
【作者单位】珠海
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.例说指数与对数比较大小问题的求解策略 [J], 闫伟
2.指数式对数式比较大小解题策略初探 [J], 郝志隆
3.对数比较大小,反思解题技巧--以2020年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第10题为例 [J], 李晓梅;孔德宏
4.指数式及对数式比较大小试题的三种常见题型 [J], 苏艺伟;陈艺平
5.指数与对数比较大小的方法探究 [J], 陈猛
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指对数函数比较大小

指对数函数比较大小一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

在比较大小时，我们经常需要比较对数函数的大小。

本文将介绍如何比较对数函数的大小。

二、对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。

设a为正实数且a≠1，则以a为底的对数函数f(x)定义为：f(x) = logax其中，x为正实数。

三、对数函数的性质1. 对于任意正实数x和y，有以下性质：（1）loga(xy) = logax +logay（2）loga(x/y) = logax -logay（3）logaxn = nlogax2. 对于任意正整数n，有以下性质：（1）lognax = (logn-1alogn-2a...log0ax) （2）当n=2时，有log(logx)<leqslant logx-1四、比较两个对数函数大小的方法在比较两个对数函数大小时，我们可以使用以下方法：1. 换底公式设f(x) = logax，g(x) = logbx，则有：f(x) = logax = ln(x)/ln(a)g(x) = logbx = ln(x)/ln(b)因此，我们可以将两个对数函数都转化为以e为底的对数函数，然后比较它们的大小。

高中数学对数大小教案全套

高中数学对数大小教案全套
教学目标：
1. 了解对数的概念和特点；
2. 掌握对数的运算法则；
3. 能够解决涉及对数的实际问题。

教学重点和难点：
重点：对数的概念和运算法则；
难点：应用对数解决实际问题。

教学准备：
教材：高中数学教科书；
教具：黑板、彩色粉笔、计算器。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个实际问题，如日常生活中的人口增长问题，引发学生对对数的思考和探讨，并引出对数的概念。

二、讲解对数的概念和基本性质（15分钟）
1. 对数的定义和符号表示；
2. 对数的底数、真数和指数的关系；
3. 对数运算法则：对数相加减、对数乘除等。

三、练习与讨论（20分钟）
在黑板上给出若干对数运算题目，让学生进行计算，然后进行讨论和解答疑惑。

四、实例分析与解题（20分钟）
以实际问题为例，如解决一个复杂的对数运算或者应用对数来解决一个生活中的问题，让学生分组进行讨论和解答。

五、作业布置与反思（5分钟）
布置相关的对数练习作业，并要求学生认真对待，巩固所学知识。

并让学生反思本堂对数大小课的收获和不足之处。

教学反思：
本节课设计采用了引入问题、讲解概念、练习讨论等多种教学方式，使学生在实际问题中理解对数的概念和运算法则，在实践中提高对数大小的应用能力。

同时，鼓励学生积极思考、合作探讨，培养他们的解决问题能力和团队合作精神。

高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《指对数比较大小》基础知识与练习题（含答案解析）在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N−= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m na a n N N m= 二、典型例题：例1：设323log ,log 3,log 2a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：22311log 3log 3,log 2log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是___________思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值得大小：1215254c −==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 32a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

2021年人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数(讲解和习题)

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域（0，+∞）值域 R 定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧对数指数幂函数是高中数学中的重要内容之一，其中比大小技巧是必须掌握的基本技能，本文将围绕“对数指数幂函数比大小技巧”展开讨论。

一、对数函数比大小技巧对数函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$log_2 3$和$log_2 5$的大小，由于它们的底数相同，所以比较它们的指数即可，显然$log_2 5>log_2 3$，因此$log_25$比$log_2 3$大。

二、指数函数比大小技巧指数函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此$3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。

三、幂函数比大小技巧幂函数的比大小主要有以下两个步骤：1、若底数相同，则指数大的数值大；2、若指数相同，则底数大的数值大。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此$3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。

四、对数、指数和幂函数比大小综合技巧对于对数、指数和幂函数的混合比较，我们要根据具体情况来决定采用哪一种比较技巧，具体方法如下：1、若比较的两个函数中只有同一种函数，则按该函数的比较规则比较大小。

例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们都是指数函数，所以按照指数函数的比较规则比较大小，结果为$3^{0.1}>2^{0.1}$。

2、若比较的两个函数中包含不同种类的函数，则利用对数函数将它们都化为幂函数，再比较大小。

例如，比较$log_2 3$和$2^{0.5}$的大小，由于它们是不同种类的函数，所以需要利用对数函数将它们都化为幂函数，化简后为$2^{log_2 3}$和$2^{0.5}$，由于它们的底数相同，所以只需比较指数的大小，即$log_2 3>0.5$，因此$2^{log_2 3}>2^{0.5}$，即$log_2 3>2^{0.5}$。

高中数学指数式、对数式比较大小的问题专题训练精讲精练

高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。

一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。

比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。

高考数学复习考点题型专题讲解1 幂指对三角函数值比较大小

高考数学复习考点题型专题讲解第1讲幂指对三角函数值比较大小【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，从而可得出答案. 【详解】因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<；因为11555log 4log 4log 4b -===-，所以10b -<<；又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<.故选：B. 【变式演练】 1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵102021202221022a >==，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=，202220221log log 102021c =<=， ∴a b c >>.故选：A.2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a =，2000.30.31<<=，即1a >，01c <<；因为2221142log log 0.3log <<，所以12222log log 0.3g 2lo 2--<<，即221log 0.3<<--，即21b -<<-，又.2031log 2log 0.3=，所以0.311log 22-<<-，即112d -<<-，即a c d b >>>，故选：C3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是（）A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >> 【答案】A试题分析：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，而1.11.1l o g 0.9l o g 10<=，对于0.901.1 1.11>=所以c a b >>，故选A【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B 【分析】首先求出4a 、4b ，即可判断a b >，再利用作差法判断4432b ⎛>⎫⎪⎝⎭，即可得到32b >，再判断32c <，即可得解；【详解】解：由342a b ==，所以449,8==a b ，可知a b >，又由44381478021616⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭b ，有32b >，又由28e <，有322e <=，可得23log 2<e ，即32c <，故有a b c >>.故选：B【变式演练】1.已知6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a <在()0,∞+上是增函数，对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数可得答案. 【详解】66ln ln a ππ==，33ln 2ln 2b ππ==，44ln1.5ln1.5c ππ==，因为3428 1.5 5.0625ππππ=>=，所以3ln 24ln1.5b c ππ=>=，即b c >，因为6666π=>=，66683.26635222222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，66>，所以632ππ>，所以6ln 3ln 2a b ππ=>=，即a b >，所以c b a <<.故选：A. 2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <， ∴ 1b >，10.300.70.70.7<<，故0.71c <<，所以a c b <<．故选：A ． 3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较0.60.50.5,0.5和0.50.50.5,0.6的大小，即可比较,a b ，再根据91log 32c ==，即可得出答案. 【详解】解：因为函数0.5x y =是减函数，所以0.60.50.50.50.5<<，又函数0.5y x =在()0,∞+上是增函数，所以0.50.50.50.6<，所以0.60.50.50.6<，即12a b <<，91log 32c ==，所以c a b <<.故选：B.【题型三】差比法与商比法【典例分析】已知实数a b c ､､满足13266,log 3log 4,51213b b c a b ==++=，则a b c ､､的关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C 【分析】利用幂函数的性质知2a <，利用对数的运算性质及作差法可得20b ->，再构造1313c b -，根据指数的性质判断其符号，即可知,b c 的大小. 【详解】1133682a =<=；()2226222log 3log 312log 3log 4log 3201log 31log 3b b ⋅-=+=+-=>++，，2b >；2221351251213c b b =+>+=，2c >；222222222222131351213551212131351212121313c b b b b b b b b b b -------=+-=⋅+⋅-⋅<⋅+⋅-⋅2222222212(512)131313(1213)0b b b b ----=+-⋅=-<，∴b c >，综上，b c a >>.故选：C【变式演练】1.已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】25228log 3ln 3ln 8(ln 3ln 8)1log 5ln 54ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【详解】因为310log 35c =，又24log 3.41,log 3.61><，231010lg3.4lg3lg 2lglg 6.8lg3-lg 2lg3lg 2lg 10lg 6.8lg3lg 233log 3.4log =03lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3----==>（），所以23410log 3.4log 1log 3.6,3>>>324log 0.3log 3.4log 3.61555⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+=，6log 101b =>，∴2ab >；又11lg3lg6lg181a b ab a b+=+=+=>∴ a b ab +>，∴2a b ab +>>.故选：D. 【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13-，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜p C ．n ＜m ＜p D ．n ＜p ＜m【答案】C 【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m ，n ，12的大小关系，再由指数的性质有p ＝e 1312->，即知m ，n ，p 的大小关系.【详解】由题意得，m ＝log 4ππlg lg lg 41lg 4lg 4lg lg 4lg πππππ===-++，4lg lg lg 4log 1lg 4lg 4lg lg 4lg e e e n e e e e====-++， ∵lg4＞lgπ＞lg e ＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lg e ，∴lg 4lg 4lg 4111lg 4lg 4lg 4lg lg 4lg eπ->->-+++，∴12n m <<，而p ＝e 1312-=>，∴n ＜m ＜p ．故选：C ．【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<> D ．82log 12log 3lg15<< 【答案】C 【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2=+、8321log 121log 8=+、321lg151log 10=+，进而比较大小关系. 【详解】22232331log 3log (2)1log 122log 2=⋅=+=+，88832331log 12log (8)1log 122log 8=⋅=+=+，32331lg15lg(10)1lg 122log 10=⋅=+=+，∵3332220log 2log 8log 10<<<， ∴28log 3log 12lg15>>，故选：C. 2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>【答案】D 【分析】先化简33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z ==+=+=+，再根据,,x y z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．【详解】因为33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z==+=+=+，函数31log y x =在(0,1)和(1,)+∞上均单调递减，又b 0,b 1a a >>=，所以1,0 1.a b ><<而21,log (),2a b x y a b z a b==+=+, 所以0x <1,1,22y z <>>，即,y x z x >>，可知log (3)x x 最小．由于222221log ()log ,2log 2log 4a ay a b a z a a⎛⎫=+=+=== ⎪⎝⎭，所以比较真数1a a +与4a 的大小关系.当1a >时，14aa a+<，所以1z y >>, 即331111log log y z+>+. 综上,log (3)log (3)log (3)y z x y z x >>．故选：D ．3.已知3log 15a =，4log 40b =，23c =，则（） A ．a c b ＞＞ B ．c a b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【答案】C 【分析】把c 用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log 5log 4log 2、、的大小，分别与1和32比较即可. 【详解】3333log 15=log 3log 5=1log 5a =++，4444log 40=log 4log 10=1log 10b =++，由23c =得，223log 31log 2c ==+. 因为353,104,22>><，所以323log 51log 2>>，423log 101log 2>>，即,a c b c ＞＞. 下面比较a 、b 的大小关系：32333log 5log 32<=（其中323 5.2≈），324443l og 10l o g 8=l o g 4=2>，所以34log 5log 10< 所以b a ＞所以b a c ＞＞.故选：C.【题型五】构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a -=，1e b =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】B 【分析】设()ln xf x x =，利用导数判断单调性，利用对数化简2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()()24c f f ==，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】设()ln x f x x =，则()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x，当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()222222e ln 2ln e ln 24ln 4e 2e e e 22a f -⎛⎫-==== ⎪⎝⎭，()1ln e e e eb f ===，()ln 222c f ==，所以()e b f =最大，又因为()()24c f f ==，2e e 42<<，所以()2e 42a f f c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以b a c >>，故选：B.【变式演练】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（） A ． cB ．cC ．cD ． c【答案】D 对同除，转化为之间的比较，构造函数 =，利用导数研究函数的单调性，得到答案. 【详解】===，，，的大小比较可以转化为的大小比较．设 =ln，则 =ln，当 = 时， = ，当时，，当时，在上单调递减， 3lnlnln=ln，，故选：D ．2.以下四个数中，最大的是（）A ．B ．1eC ．ln ππD 【答案】B 【详解】由题意，令()ln x f x x=，则()21xf x x-'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减，又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，则111113315ln ln3ln ln ln15ee πππ>>>>>，即1ln e ππ>>>，故选：B ． 3.下列命题为真命题的个数是ln3 3ln ； lnπ；； 3 ln A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 本题首先可以构造函数 =，然后通过导数计算出函数 =的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数 =的单调性即可比较出大小。

压轴题02 指、对、幂形数的大小比较问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题02指、对、幂形数的大小比较问题指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．考向一：引入媒介值考向二：含变量问题考向三：构造函数考向四：数形结合考向五：特殊值法、估算法考向六：放缩法考向七：不定方程（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）构造函数比较大小主要方法有：①通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.②通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.1．（2023·全国·模拟预测）若实数a ，b ，(0,1)c ∈，且满足0.8e 0.8e a a =， 1.2e 1.2e b b =，1.6e 1.6e c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c >b >a B ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a【答案】B【解析】由0.8e 0.8e a a =， 1.2e 1.2e b b =， 1.6e 1.6e c c =，得0.80.8e e a a =， 1.21.2e e b b =， 1.61.6e e c c =，令()e x x f x =，则()1e xxf x -'=，当1x <时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数，于是()()1.2 1.6f f >，即()()f b f c >，又b ，()0,1c ∈，所以b c >；0.80.8 1.60.80.80.80.80.80.8 1.60.80.820.8e 2e e e e e e e e ea c a c ⨯--=-==⨯⨯，因为4956252512=>=，所以445522>⨯，45522⎛⎫> ⎪⎝⎭，45522⎛⎫> ⎪⎝⎭，因此450.85e 2202⎛⎫->-> ⎪⎝⎭，于是()()f a f c >，又a ，()0,1c ∈，所以a c >；令()22e e x x x x g x --=-，则()()()()22e e e e 1110e e ex x x x x x x g x x -+-+-=='---⋅≥，所以()g x 在(),-∞+∞上是增函数，()()0.81g g <，0.820.80.820.80e e ---<，即0.8 1.20.8 1.20e e -<，0.8 1.20.8 1.2e e <，()()0.8 1.2f f <，于是()()f a f b <，又a ，()0,1b ∈，所以a b <；综上b a c >>.故选：B .2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知0.03e 1a =-，ln1.03b =，tan 0.03c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．a b c>>【答案】B【解析】0.03e 1tan 0.03a c --=-，令()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=，π04x <<，令()e cos cos sin xg x x x x =--，则()()()e 1cos sin x g x x x '=--，当π04x <<时，()0g x '>，所以()g x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=，所以()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()0.03e 1tan 0.0300.03f -=->，即0.03e 1tan 0.03->，即a c >，令()()ln 1h x x x =+-，π02x <<，所以()1111x h x x x-'=-=++，因为π02x <<，所以()01x h x x -'=<+，所以()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=，即()ln 1x x +<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以()ln 10.03ln1.030.03+=<，令()tan m x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()211cos m x x=-'，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2110cos m x x'=-<，故()tan m x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00m x m <=，即tan x x <在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，当0.03x =时，0.03tan 0.03<，故ln1.030.03tan 0.03<<，即b c <，综上，a c b >>故选：B3．（2023·广西·统考三模）已知2()cos f x x x =+，若3441e ,ln ,54a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a<<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a c b<<【答案】A【解析】因为2()cos ,R f x x x x =+∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x '=-，设()2sin g x x x =-，则()2cos g x x =-'，1cos 1x -≤≤ ，()0g x '∴>，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=,所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，又因为()f x 为偶函数,所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，又因为41ln0,054<-<,所以445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为31411ee e 4-->=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>,所以145ln e ln 4>，即15ln 44>,所以3415eln 44->>,所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即a c b >>.故选：A.4．（2023·全国·模拟预测）已知0.50.75e ,e ln1.5, 1.125a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <，则()11ef x x '=-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，则函数1()ln ef x x x =-在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()(e)ln e 10,f x f ≤=-=，故ln 1e x x ≤，当且仅当e x =时取等号．由于20x >，则22ln ex x ≤，则22ln e x x ≤，则2ln 2e x x ≤，则22(2)2ln 22e e x x x ≤=，当且仅当2x =时取等号．当0.75x =时，221ln1.50.75 1.125e e<⨯=⨯，所以eln1.5 1.125<，所以b c <．构造函数()1e x g x x -=-，则()1e 1x g x -'=-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1ex g x x -=-在()1,+∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时取等号，故21e 2x x -≥，当且仅当0.5x =时取等号．当0.75x =时，0.5e 1.5>，则0.50.75e 0.751.5 1.125>⨯=，所以a c >．综上得：b c a <<．故选：A ．5．（2023·山东青岛·统考一模）已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b fθθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为()()3311()sin()(sin )22f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 在R 上是奇函数.所以1122c f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对()31sin 2f x x x =-求导得，()213cos 2f x x x'=-令()213cos 2g x x x =-，则()16sin 2g x x x'=+当112x <<时，()0g x '>，所以()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则112x <<时，()131131cos 10242242g x g ⎛⎫>=->-⨯> ⎪⎝⎭，即()0f x ¢>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.因为π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 2θθ>>，因为sin 10sin 2y xθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，所以()()sin sin cos sin θθθθ>.令()ln ln 2h x x x =+，则()ln 1h x x '=+所以当10e x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当1ex >时，()()0,h x h x '>单调递增.所以()1111ln ln 2ln 2e e e e h x h ⎛⎫≥=+=- ⎪⎝⎭，而e 2e >，即1e 2e >，所以1ln 2e >，即1ln 20e->.所以ln ln 2x x >-，即12xx >，则()sin 1sin 2θθ>所以()()sin sin 1cos sin 2θθθθ>>所以()()()()sin sin 1cos sin 2fff θθθθ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a b c >>.故选：A6．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）若sin 0.1tan 0.1a =+，0.2b =，0.20.16e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <'=+>，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()0.100f f >=，故a b >，构建()e 1(0)x g x x x =--<，则()e 1xg x '=-，()0g x '<在(),0∞-上恒成立，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则()()00g x g >=，∴e 1(0)x x x >+<，所以0.2e 10.2->-，即()0.210.2e 1-<，所以0.20.8e 1cb=<，故b c >，综上，c b a <<，故选：C7．（2023·江西九江·统考二模）设1sin4a =，1b =，5ln 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】B【解析】将14用变量x 替代，则sin a x =，e 1x b =-，ln(1)c x =+，其中()0,1x ∈，令()sin ln(1)f x x x =-+，则1()cos 1f x x x '=-+，令1()()cos 1g x f x x x '==-+，则21()sin (1)g x x x '=-++，易知()g x '在()0,1上单调递减，且(0)10g '=>，1(1)sin104g '=-<，∴0(0,1)x ∃∈，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '>，()f x '单调递增；当()0,1x x ∈时，()0g x '<，()f x '单调递减．又(0)0f '=，1(1)cos102f =->'，∴()0f x '>，∴()f x 在()0,1上单调递增，∴()()00f x f >=，即sin ln(1)x x >+，∴a c >，记()()e sin 1x h x x =-+，()0,1x ∈，则()e cos 0xh x x =->'，()h x 在()0,1上单调递增，又()()00e sin 010h =-+=，所以1((0)04h h >=，所以b a>综上，b a c >>.故选：B ．8．（2023·河南洛阳·校联考三模）已知函数()21xf x =-，记()0.5log 3a f =，()5log 3b f =，()lg 6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c <又5ln 3log 3ln 5=，50log 31<<，ln 6ln 2ln 3lg 61ln10ln 2ln 5+==<+，0lg 61<<，则5log 3ln 3ln 2ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5lg 6ln 5ln 2ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5+⋅+⋅=⋅=+⋅+⋅，又ln 5ln 3ln 20>>>，则ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5⋅+⋅>⋅+⋅，所以5log 3ln 2ln 3ln 3ln 51lg 6ln 2ln 5ln 3ln 5⋅+⋅=<⋅+⋅，所以52log 3lg 6log 3<<，所以()()()()520.5log 3lg 6log 3log 3f f f f <<=，即b<c<a ，故选：C.9．（2023·安徽·统考一模）已知()0.9329e 1,ln 0.9e 10a b c =+==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c>>【答案】D【解析】0.9e 1,0.92,ln03.9a b c =++=+=构造函数123e 1,2,ln 3xy y x y x =+=+=+，令()12e 1xf x y y x =-=--，()0,1x ∈，则()e 10,xf x '=->所以()f x 在()0,1单增，所以()()0.900f f >=，所以0.9e 1.9>，所以0.9e 0.921>++，所以a b >.令()23ln 1g x y y x x =-=--,()0,1x ∈，()110g x x'=-<，所以()g x 在()0,1x ∈为减函数，所以()(1)0g x g >=，所以0.9ln0.910-->，所以0.92ln0.93+>+，所以b c >，所以a b c >>.故选：D.10．（2023·贵州毕节·统考二模）已知e e m m +=，5e n n +=，则lg n m 与lg m n 的大小关系是（）A ．lg lg n m m n C ．lg lg n m m n=D ．不确定【答案】B【解析】5e e n n n n +=>+，又e e m m +=，则e e m n m n +>+，设()e xt x x =+，显然()t x 为增函数，因为()()t m t n >，所以m n>又()01e t =<，()ee e e e t =+>，则0en m <<<令()lg ln ln10x xf x x x ==，设()ln x g x x =，则()21ln x g x x -'=，当()0,e x ∈时()g x 单调递增，则()()ln ln10ln10g x xf x x ==在()0,e x ∈上单调递增，故()()lg lg m n f m f n m n >⇒>，解得lg lg n m m n >.故选：B11．（2023·全国·模拟预测）已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．12．（2023·四川·校联考一模）设130121,sin ,e 124330a b c ===-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】C【解析】由130e 1c =-，15124430a ==⨯，构造函数()5e 14xf x x =-+，105x ≤≤，则()5e 4xf x '=-，因为()5e 4x f x '=-在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以当105x ≤≤时，()1555e 44e xf x >=--'，又5531253e 41024⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 4>，故()0f x ¢>，所以函数()5e 14xf x x =-+在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故()130151e 10030430f f ⎛⎫=⨯-+>= ⎪⎝⎭，故1301e 124a c >-==，因为21sin330b =，130e 1c =-，构造函数()e 1si 2n 3xg x x =--，01x ≤≤，则()co 3e s 2xg x x '=-，因为22e 1cos 33xx ≥>≥所以()0g x '>，所以()g x 在[]0,1是增函数，所以()10030g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即1300231e 1sin 30-->，所以13021e 13sin 3->，即c b >，综上，a c b >>.故选：C.13．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知 1.01 1.03 1.021.03, 1.01, 1.02a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b<<【答案】C【解析】构造ln(0.01)(),(0,)x f x x x +=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x f x x-+'+=，构造()ln(0.01)0.01xu x x x =-++，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)xu x x x x -=-=<++'+，故()u x 在(0,)+∞内单调递减，110.01)022u -=-=>．故2()()0u x f x x '=>对任意0.01)x ∈-恒成立，则()f x在0.01)单调递增，因为2(1.020.01) 1.0609e +=<，所以1.020.01<，故(1.02)(1.01)f f >，即ln1.03ln1.021.02 1.01>，即1.01ln1.03 1.02ln1.02>，即 1.01 1.02ln1.03ln1.02>，即 1.01 1.021.03 1.02a c =>=，同理构造ln(0.01)(),(0.01,)x g x x x -=∈+∞，则2ln(0.01)0.01()xx x g x x--'-=，构造()ln(0.01)0.01xv x x x =---，则220.011()0(0.01)0.01(0.01)x v x x x x --=---'=-<，故()v x 在(0.01,)+∞内单调递减，e 0.011(e 0.01)10e 100ev ++=-=>，故2()()0v x g x x '=>对任意(0,e 0.01)x ∈+恒成立，则()g x 在(0,e 0.01)+单调递增，故(1.03)(1.02)g g >，即ln1.02ln1.011.03 1.02>，即1.02ln1.02 1.03ln1.01>，即 1.02 1.03ln1.02ln1.01>，即 1.02 1.031.02 1.01c b =>=，则a ，b ，c 的大小关系是b c a <<．故选：C ．14．（2023·四川巴中·统考一模）若 1.1ln1.1a =，0.10.1e b =，110c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+，由于()2,e xy x y =+=在0x >单调递增，且其值均大于0，11y x =+单调递减，所以()()1e 21x h x x x '=-++单调递减，又()010h '=-<，所以()h x 在0x >单调递减，且()00h =，所以在0x >时，()()0h x f x '=<，因此()f x 在0x >时单调递减，故()()00.1f f >，即0.11.1ln1.10.1e 0-<，即0.11.1ln1.10.1e a b <⇒<，设()()()()()()1ln 1,ln 111ln 1,g x x x x g x x x '=++-=++-=+当0x >时，()()ln 10g x x '=+>，所以()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()0.10g g >，即1.1ln1.10.1a c >⇒>，综上可知c a b <<，故选：B15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知12,ln3e 3a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，函数()f x 单调递增；当()()e,,0x f x ∞'∈+<，函数()f x 单调递减，所以当e x =时，函数取得最大值1(e)ef =，因为()()ln21lne2,e ,e 22e e a f b f ======>，所以()()2e f f <，即a b <.（法二）因为ln2lne,2ea b ==，设()()2,ln2,e,lne ,A B O 为坐标原点，结合函数ln y x =的图象知OA OB k k <，所以a b <；比较,b c 的大小时，设函数()ln 1,0g x x x x =-->，则()1x g x x-'=，当01x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,+∞上单调递增，因为1e b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又11013e <<<，所以11e 3g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <，综上可得，a b c <<，故B ，C ，D 错误.故选：A.方法二（估值法）：因为10.69112ln20.345,0.37,ln3 1.10.6722e 2.73a b c ==≈==≈≈=-≈-=0.43.所以a b c <<，故B ，C ，D 错误.故选：A.16．（2023·河南·统考模拟预测）实数x ，y ，z 分别满足2022e x =，20222023y =，20222023z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．y x z>>【答案】B【解析】由已知得12022e x =，2022log 2023y =，20232022z =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以ln ()xf x x=在()e,+∞上单调递减，因此20232022f f <（）（），即ln 2023ln 202220232022<所以20222023ln 2023log 20232022ln 2022>=，z y >；又设()e 1x h x x =--，()e 1xh x '=-，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()e 1xh x x =--在()0,x ∈+∞上单调递增，因此()1202211e10020222022h h ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，所以1202212023e 120222022>+=，则>x z ；综上得x z y >>.故选：B ．17．（2023·全国·模拟预测）已知a =ee b =，2e ln 2=c ，试比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】B【解析】先证明两个不等式：（1）12ln (1)x x x x <->，设1()2ln (1)f x x x x x=-+>，则22211()110(1)f x x x x x ⎛⎫'=--=--<> ⎪⎝⎭，即()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，即12ln (1)x x x x<->成立（2）2(1)ln (1)1x x x x ->>+，设2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)(1)x g x x x x x x -'=-=>>++，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，即2(1)ln (1)1x x x x ->>+成立再说明一个基本事实，显然3π 3.24<<，于是1.73 1.8<<<.由（1）可得，取2x =，可得0.752ln 2 1.5ln 20.75e 2<⇔<⇔>；由（2）可得，取2x =，可得2ln 23>，再取43x =，可得42ln 0.2737>>，即0.270.2743e e34-<⇔>.e e e 1.80.75e e e 1222b a -==>>>，显然0a >，于是b a >；22220.271.730e e 3e ln 2e e e 12ln 24c a ==<<=<=，显然0a >，于是c a <.故b a c >>.故选：B18．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知1ea =，25b =，3ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，则0e x <<；令()0f t '<，则e x >，故()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，可得()()12e e5f t f ≤=<，即a b <，构建()()234111ln 1234g x x x x x x =+-+-+，则()4231111x g x x x x x x '=-+-+=++，当0x >时，()0g x '>恒成立，故()g x 在()0,+∞上单调递增，则()()00g x g >=，可得()234111ln 1234x x x x x +>-+-在()0,+∞上恒成立，则31111772ln22824641925>-+-=>，即c b >，故a b c <<.故选：A.19．（2023·全国·模拟预测）若实数a ，b ，[]0,1c ∈，且满足e e a a =， 1.2e 1.2e b b =，l.6e 1.6e c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．b c a>>【答案】C【解析】由e e a a =， 1.2e 1.2e b b =， 1.6e 1.6e c c =，得1e e a a =， 1.21.2e e b b =， 1.61.6e e c c =，令()e x x f x =，则1()ex xf x -'=，当1x <时()0f x '>，当1x >时()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，于是(1)(1.2)(1.6)f f f >>，即()()()f a f b f c >>，又a ，b ，[0,1]c ∈，所以a b c >>.故选：C.20．（2023·河南郑州·统考二模）π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x=+->，求导得22111()0x h x xx x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x xx>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A21．（2023·天津南开·统考一模）已知()1e lg2,lg ln2,ln2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a <>=-，所以()1lg ln 2ln 2>，即b c >，所以a c b <<.故选：C.22．（2023·四川巴中·统考一模）若0.111.1ln1.1,0.1e ,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b<<【答案】A【解析】设()()()e 1,0,1x f x x x =-∈，则()()()e 1e 1e 0x x xf x x x =-+-=-<'恒成立，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，则()()0.101f f <=，即0.1e 0.91⨯<，所以0.11e 0.9<，于是有0.10.110.1e 0.99<=，即b c <；设()(1)ln(1)e x h x x x x =++-，()ln(1)1e (1)x h x x x +-'=++，0x =时，(0)0h '=，设()()s x h x '=，则1()e (2)1x s x x x =-++'，0x ≥时，()0s x '<，所以()h x '是减函数，所以()0h x '≤恒成立，所以()h x 在0x >时是减函数，并且(0)0h =，所以0.1x =时，0.1(10.1)ln(10.1)0.1e 0++-<，所以a b <．综上，a b c <<．故选：A ．23．（2023·四川凉山·二模）已知1202320232023tan ,e ,20222022a b c ===，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．c b a <，即当3(1,)2x ∈时，()0f x ¢>，∴()f x 在3(1,)2上单调递增，∴()202312022f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴20232023tantan11020222022->->，∴20232023tan 20222022>，即a c >；令()1ln 1x g x x=+-，()1,x ∈+∞，∴()221110x g x x x x-'=-=>，∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴()2023102022g g ⎛⎫>=⎪⎝⎭，∴202311ln12023202220232022>-=，∴120232023e 2022>，即c b >，综上可知：b<c<a .故选：D24．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知eππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，则()()21ln ,0xf x x x -'=>，由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以e ln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；eeππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有(2xx >，又2π4<<，所以ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ2>所以eπeπeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A25．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+-因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D26．（2023·广西南宁·统考一模）23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b <，即0<<x e 时()f x 单调增，>x e 时()f x 单调减，又2133ee <<<，∴b c >，b a >.若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21(()(3)3ef f x f <=，综上：b c a >>.故选：A27．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（）A ．()0.010.012ln e e 3-+【答案】B【解析】对于选项A ，因为28e >，所以232e >，则2ln 23>，又因为0.010e e 1>=，则有0.010.010.010.011ee e 2e-+=+>，所以0.010.012ln(ee )ln 23-+>>，故选项A 错误；对于选项B ，构造函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()(0)0f x f £=，所以(0.01)0f <，即sin 0.010.01<，令()ln 1(01)g x x x x =-+<<，则11()10x g x x x-'=-=>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，则()(1)0g x g <=，即ln 1x x <-，所以ln 0.990.9910.01<-=-，故sin 0.01ln 0.990.01(0.01)0+<+-=，故选项B 正确；对于选项C ，构造函数1()cos ln(1)(02x x x x ϕ=++<<，则1()sin 1x x x ϕ'=-++，由选项B 可知：当0x >时，sin x x <，所以sin x x ->-，则有2111()sin 111x x x x x x x x ϕ--+'=-+>-+=+++，因为函数21y x x =--+在1(0,)2上恒大零，所以()0x ϕ'>，则函数()ϕx 在1(0,2上单调递增，所以(0.01)(0)ϕϕ>，即cos 0.01ln1.011+>，故选项C 错误；对于选项D ，因为 2.01 1.992+0.012-0.010.010.010.010.0134=3+4=93+16494+164--+⨯⨯<⨯⨯，令0.014t =，则1 1.3t <<，令()169(1 1.3)=+<<F t t t t，则22216916()9-'=-=t F t t t ，令()0F t '<，解得：4433t -<<，因为1 1.3t <<，所以()F t 在()1,1.3上单调递减，故()(1)91625<=+=F t F ，即0.010.0194+16425-⨯⨯<，所以 2.01 1.993425+<，故选项D 错误，故选：B .28．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设0.03,2ln1.01,ln1.1x y z ===，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．z x y >>B ．x y z >>C ．x z y >>D ．z y x>>【答案】A 【解析】由3100x =，12ln(1)100y =+，1ln(1)10z =+，若110t =，则23x t =，22ln(1)y t =+，ln(1)z t =+，令22ln(1)3()2f y t x t t +-=-=且01t <<，则2222(13)1)01(64t t t t tt f t -+'-=<++=，所以()f t 在(0,1)上递减，故()(0)0f t f <=，即y x <，令2ln(1)(3)g t t z x t =+--=且01t <<，则1()16t g t t'=+-在(0,1)上递减，若()0g t '=，则116t t +=，可得t =，故上()0g t '>，()g t 递增，而130106<<，且在3(0,)6上()(0)0g t g >=，所以0z x ->，即z x >，综上，z x y >>.故选：A29．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若200a =，()99lg 101b =，101lg99c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a b c>>【答案】B【解析】设()()()100lg 100f x x x =-+，[]1,1x ∈-，当[]1,1x ∈-时，()()100lg 100lg e 100xf x x x-'=-+++，令()()100lg 100lg e 100x g x x x-=-++⋅+，则()()21200lg e e 0100100g x x x '=--<++，所以函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()101991011lg 99lg e lg e lg 9999g -=-+=-，又101299e e 99<<，所以()()()10f x g x g '=<-<，所以函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()()()()991101lg990100lg100200199lg101lg 101f f f -=>==>==，故c a b >>.故选：B.30．（2023·四川德阳·统考一模）已知a 、b 、c 是正实数，且2e 2e e 0a a b b c ++-+=，则a 、b 、c 的大小关系不可能为（）A ．a b c ==B ．a b c>>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为2e 2e e 0a a b b c ++-+=，a 、b 、c 是正实数，所以()()2e e e e e e e e e e 0a a b b c a b a a b b c a+++-+-=-+-=，1,>1,e 1e e a b c >>，对于A ，若a b c ==，则e e e e 0a b c a --==，满足题意；对于B ，若a b c >>，则0,e e e 0e a b c a --><，满足题意；对于C ，若b c a >>，则0,e e e 0e a b c a --<>，满足题意；对于D ，若b a c >>，则0,e e e 0e a b c a --<<，不满足题意.故选：D.31．（2023·江西吉安·统考一模）若0.310,ln3,e 7a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系是___________.【答案】a d c b>>>【解析】设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x ≥时，()()()0,00g x g x g ≥'≥=，故e 1e 1x x x x -≥+⇒≥-+，若()0,1x ∈，则1e 1x x <-，从而0.3110e 10.37d a =<==-b c -=，因为函数1()2ln ,1f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()22221(1)10x f x x x x -=--=-<'，()f x \在()1,+∞上递减，()()10f x f <=，0f∴<，得0.3,e10.3 1.3, 1.2b c d c ==><+=，d c ∴>，故a d c b >>>.故答案为：a d c b>>>32．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知sin13a =，bπ9c =，则,,a b c 的大小关系是___________.【答案】c a b>>【解析】根据题意，设()sin 3x f x x =，则其导数()2cos sin 3x x x f x x -'=.令()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x'=--=-故在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x '<恒成立，则有()(0)g x g <，即cos sin 0x x x -<恒成立()0f x '∴<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，∴函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则有()π13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即πsinsin13π333>⨯a b∴>又πsin193c a -=-πsin1sin 3<=2π6018c a -∴->>，即c a >故答案为：c a b >>。

对数比较大小教学设计

对数比较大小教学设计引言对数比较大小是高中数学中的一个重要内容，也是学生在学习指数函数和对数函数时需要掌握的基本技能。

通过对数比较大小的教学，学生能够更加深入理解指数与对数之间的关系，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

本文将通过教学设计，介绍如何引导学生正确地比较对数的大小。

一、教学目标1. 知识目标- 掌握对数函数的基本定义和性质；- 理解对数比较大小的基本原理；- 掌握通过对数表或计算器进行对数比较大小的方法；- 能够解决与对数比较大小相关的应用问题。

2. 能力目标- 培养学生的逻辑思维和推理能力；- 培养学生解决实际问题的能力；- 培养学生的团队合作和沟通能力。

3. 情感目标- 培养学生的数学兴趣和学习动力；- 培养学生对数学的探索精神和创新思维。

二、教学内容1. 对数函数的基本定义和性质；2. 对数比较大小的基本原理；3. 对数比较大小的方法；4. 对数比较大小的应用问题。

三、教学步骤1. 导入新知识（10分钟）通过提出以下问题引入对数比较大小的概念：如果已知 a > b，那么能否得出 log a > log b？请同学们思考一下并给出自己的答案。

然后引导学生思考指数和对数之间的关系，引出对数比较大小的基本原理。

2. 理解对数比较大小的基本原理（20分钟）通过实例进行讲解，让学生发现指数和对数之间的关系。

以2^3 和 log 8 为例，让学生理解 2^3 = 8 和 log 8 = 3 是等价的表达方式。

然后介绍对数函数的基本定义和性质，以及对数比较大小的基本原理。

3. 掌握对数比较大小的方法（30分钟）介绍通过对数表和计算器进行对数比较大小的方法。

首先讲解如何使用对数表进行对数比较大小，然后介绍如何使用计算器进行对数计算和对数比较大小。

通过实例演示和练习让学生掌握这些方法。

4. 解决对数比较大小的应用问题（40分钟）设计一些与对数比较大小相关的应用问题，让学生通过对数比较大小解决这些问题。

高中数学指数函数与对数函数总结

指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]：1. 指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝a log x 的比较：的比较：定义定义图象图象定义域值域值域性质性质奇偶性单调性过定点值的分布值的分布最值最值y ＝a x （a>0且a ≠1）叫指数函数a>1 （－∞，＋∞）∞）（0，＋∞）非奇非偶增函数（0，1）即a 0＝1 x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝a log （a>0且a ≠1）叫对数函数a>1Oy x（0，＋∞）（－∞，＋∞）∞）非奇非偶增函数（1，0）即log a 1＝0 x>1时y>0；0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0；0<x<1时 y>0 对称性函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称对称函数y ＝log a x 与y ＝1log a x （a>0且a ≠1）关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

在具体比较时，可以首在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。

高中比较大小的练习题及讲解

高中比较大小的练习题及讲解### 高中比较大小的练习题及讲解在数学学习中，比较大小是一个基础而重要的概念。

它不仅涉及到数字的大小比较，还包括函数、不等式等更复杂的数学对象。

下面，我们将通过几个练习题来巩固和提高比较大小的能力。

练习题1：数字大小比较比较下列数字的大小：1. $ 3.14 $ 和 $ \pi $2. $ \sqrt{2} $ 和 $ 1.4 $3. $ 0.999... $ 和 $ 1 $解答：1. $ \pi $ 是一个无理数，其值约为 $ 3.14159... $，因此$ 3.14 < \pi $。

2. $ \sqrt{2} $ 约等于 $ 1.414 $，显然 $ \sqrt{2} > 1.4 $。

3. $ 0.999... $ 实际上等于 $ 1 $，这是一个数学上的极限概念，因此 $ 0.999... = 1 $。

练习题2：函数值比较给定函数 $ f(x) = x^2 $ 和 $ g(x) = 2x $，比较 $ f(2) $ 和 $ g(2) $ 的大小。

解答：计算 $ f(2) $ 和 $ g(2) $ 的值：$ f(2) = 2^2 = 4 $$ g(2) = 2 \times 2 = 4 $因此，$ f(2) = g(2) $。

练习题3：不等式比较解不等式 $ 3x - 2 < 5x + 3 $ 并比较 $ x $ 的取值范围。

解答：首先，将不等式中的 $ x $ 项移到一边：$ 3x - 5x < 3 + 2 $$ -2x < 5 $然后，两边同时除以 $ -2 $（注意，除以负数时不等号方向要改变）：$ x > -\frac{5}{2} $所以，$ x $ 的取值范围是 $ x > -2.5 $。

高中数学比较大小的方法总结

高中数学比较大小的方法总结数学课上，尤其是在高中阶段，比较大小的问题经常会碰到。

这些问题看似简单，但其实能让不少同学绞尽脑汁。

今天咱们就来聊聊几个实用的比较大小方法，力求让大家轻松掌握这些技巧，绝对让你在数学考试中游刃有余。

1. 基本比较方法1.1 数字直接比较这可是最直接、最简单的方法了。

就像你在超市里买水果一样，苹果和橙子哪个大，一眼就能看出来。

对于普通的数字，只需要看它们的大小，哪个大哪个小，毫无悬念。

举个例子，如果要比较 ( 5 ) 和 ( 7 ) 的大小，那就简单了，( 5 < 7 )。

这种方法适用于数字比较，比如整数、分数、或者小数，搞定！1.2 分数比较比较分数稍微复杂点儿，但也不是难事。

最直接的方法是找个通分器，把两个分数的分母统一，再比大小。

这就像你们家有两种大小的披萨，通通切成八块，看看哪一块大就明白了。

比如，比较 ( frac{3}{4} ) 和 ( frac{2}{3} )，可以把它们通分到相同的分母。

最简单的办法是找它们的最小公倍数：4 和 3 的最小公倍数是 12。

所以，把 ( frac{3}{4} ) 转换为( frac{9}{12} )，( frac{2}{3} ) 转换为 ( frac{8}{12} )。

显然，( frac{9}{12} > frac{8}{12} )，所以 ( frac{3}{4} > frac{2}{3} )。

2. 函数比较方法2.1 常见函数比较对于一些函数，比如线性函数、二次函数等，我们可以通过函数的图像来比较大小。

想象一下，如果你在山顶和山脚下，看到山的高低，直接就能知道哪个高哪个低。

比如，比较 ( f(x) = 2x + 3 ) 和 ( g(x) = x^2 ) 的大小，我们可以画出它们的图像。

你会发现，二次函数 ( g(x) = x^2 ) 在 ( x ) 较大的时候，比线性函数 ( f(x) = 2x + 3 ) 要高得多。

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指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） ()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm mn a a æö=ç÷èølog log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）二、典型例题：例1：设的大小关系是______________思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以答案：例2：设，则的大小关系是___________思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为答案：例3：设则的大小关系为（） A. B. C. D. 思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

发现真数的底与指数也不相同，所()log log 0,1,0na a N n N a a N =>¹>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m na a n N N m=323log ,log log a b c p ===,,a b c 0,11,0b 1,0c 1a ><<<<a ,b c ,b c 223311log log 3,log log 222b c ====32log 21log 3<<c b <c b a <<123log 2,ln 2,5a b c -===,,a b c ,,a b c ()0,1,a b a b <c c ,,a b c 12152c -==<=1231log 2log 2a =>=12a c >>b a c >>b a c >>ln 2ln3ln5,,,235a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>,,a b c e 111352ln 2ln3ln5ln 2,ln3,ln5,235a b c ======以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：，通过比较底数的大小可得：答案：C总结：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。

所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。

例如可以先比较，从而，同理再比较或即可例4：设，，，则（）A. B. C. D. 思路：观察可发现：，所以可得：答案：D例5：设则的大小关系为（）A. B. C. D. 思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。

对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上：答案：B例6：已知三个数，则它们之间的大小关系是（） A. B. C. D. 思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。

所以考虑寻找中间值作为桥梁。

()()()1111111510635230303022,33,55===b a c >>,:a b ()()11113232662=2,3=3a b <,a c ,b c 6log 3=a 10log 5=b 14log 7=c a b c >>b c a >>a c b >>a b c >>()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =´=+=´=+=´=+357log 2log 2log 2>>a b c >>232555322,,,555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>,b c ,a c ,b c ()0,1b c <,a c a c >a c b >>0.5333,log 2,cos2a b c ===c b a <<c a b <<a b c <0,1b c <<,b c 0,1以作为入手点。

利用特殊角的余弦值估计其大小。

，而，从而，大小顺序为答案：A总结：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。

例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设，则（） A. B. C. D. 思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而答案：D例8：设且，则的大小关系是（）A. B. C. D. 思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。

，而，因为，所以，所以顺序为答案：C例9：下列四个数：的大小顺序为________ 思路：观察发现，其余均为正。

所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：3cos2331cos cos 23232p p >Þ<=331log 2log 2>=12c b <<c b a <<c 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===b a c <<a c b <<c b a <<c a b <<0,11,c a b <<,a b 21.13322,log 7log 92b a =>=<=2a b <<c a b <<0,1a b a b >>+=1111,log ,log bb a b x y ab z a a æö+ç÷èøæö===ç÷èø,,x y z y xz <<z y x <<y z x <<x y z <<0,1a b a b >>+=1012b a <<<<0,1,,x y z 0x >,0y z <x ,y z ,y z 111log log log 1a b ababa b y ab ab ab +æö+ç÷èø====-1log log b bz a a ==-01b <<log log 1,log 1b b b a b z a y <==->-=y z x <<()()2ln 2,ln ln 2,ln 2a b c d ====()ln ln 20b =<,,a c d ()ln 20,1Îa d <1ln 22c d ==<,a c，所以，综上所述，大小顺序为答案：例10：已知均为正数，且，则（）A. B. C. D. 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。

首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。

观察到，从而，所以顺序为答案：A总结：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。

先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。

()(211ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2022a c æö-=-=-=->ç÷èøa c >b c a d <<,a b 1212baæö>>ç÷èø1122log log a b a b >Þ<a b c <<12log y x =2121log log 2cc c æö-=-=ç÷èø,,a b c 12log y x =112,,22x xxy y y æöæö===-ç÷ç÷èøèø。