NOI导刊-贪心与分治

示例： 【0，1，2】 【2，3，4】 【3，4，5，6
】【4，5，6，7】
【】 【2】 【2 ,1】 【2,1,4】 【2,1,4,6】
上述算法的指导思想是在某一区间中排 列越靠后的数对以后区间的影响越大， 即它在以后区间出现的可能性越大，但 未经严格数学证明

具体实现
由于pascal规定的集合类型只有[0..255]， 因此在实现时不能使用集合作数据结构，用 数组直接保存也不行，因为在数组中查找数 据相当费时，注意到每个区间中的数大小不 超过10000，可用一个下标为[0..10000]的 布尔型数组标记该数是否出现过，从而解决 这一问题。
然后，我们通过多次尝试，可得出一个猜 想：
实际需要的覆盖边数完全等于我们求出的 下限∑[Pi/2](1<=i<=L)。
采用图的数据结构得出的算法为：
每次输出一条非桥的边，并从图中将边 的两顶点删去。
此算法的时间复杂度为O(n3)。 （寻找一条非桥边的复杂度为O(n2)，寻找覆盖
边操作的复杂度为O(n)）
例题3：零件分组
某工厂生产一批棍状零件，每个零件都有一定的长度（Li）和重量（Wi）。 现在为了加工需要，要将它们分成若干组，使每一组的零件都能排成一个长 度和重量都不下降（若i<j，则Li<=Lj，Wi<=Wj）的序列。请问至少要分成 几组?
输入：第一行为一个整数N（N<=1000），表示零件的个数。第二行有N对正 整数，每对正整数表示这些零件的长度和重量，长度和重量均不超过10000 。
要满足用船最少的条件，就是需要尽量多的 两人共乘一条船，表现在图中就是要用最少 的边完成对所有顶点的覆盖。这就正好对应 了图论的典型问题：求最小边的覆盖。所用 的算法为“求任意图最大匹配”的算法。
分析
使用“求任意图最大匹配”的算法比较 复杂(要用到扩展交错树，对花的收缩等 等)，效率也不是很高。因此，我们必须 寻找一个更简单高效的方法。
例题1 罚款问题
现有一台机器以及n项要完成的工作，该 机器每完成一项工作需要1的单位时间，而工 作i如果没有在t[i]的时间内完成，将会受到 c[i]的罚款。求怎样安排工作的顺序，使完成 工作后总的罚款数最少。
分析
要使罚款最少，我们显然应尽量完成c[i]值较 大的工作。
此时，我们可以将工作按c[i]从大到小进行排 序，然后按照排好的顺序依次对工作进行安排 ，安排的规则为：使处理工作i的时间既在t[i] 之内，又尽量靠后；如果t[i]之内的时间都已经 排满，就放弃处理此项工作。
贪心与分治
贪心方法
按照当前的状态，选择最好的决策，这就是贪 心法。在实际的应用中，人们往往不可能精确 计算出怎样才是最好的决策，只能凭借往常的 经验，保证每一步都是最好的选择。在解题的 过程中，这样的算法一般是比较容易想到并且 易于编程实现的。能够使用贪心算法解决的问 题，必然是每次都进行最优的选择，并且通过 证明其得到的最后结果也是最优的。
采用树结构解决
见文档
例题５：通讯保卫战
见文本
例题６：猜数游戏
猜数游戏是一个古老的智力游戏。一个 游戏者A首先想出一个数x（1 x n）， 让另一个游戏者B来猜。现在由你扮演游
戏者B，用尽可能少的次数猜出x，并且 你所猜的数中大于x的数不能超过m个。
例题７：汤姆的游戏
在给定平面上N个图形(矩形或圆)以及M 个点后，请你求出每个点在多少个矩形 或圆内部(这里假设矩形的边都平行于坐 标轴)。
例题2： INT（整数区间）
定义 一个整数区间[A，B]，A﹤B，是一个从A 开始，至B结束的连续整数的集合。 任务是从文件中读取区间的个数及其对它们的 描述，找出满足下述条件的所含元素个数最 少的集合中元素的个数：对于每一个区间， 都至少有两个不同的整数属于该集合。
输入：
文本文件INT.IN的首行包括区间的数目N， 1≦N≦10000。接下来的N行，每行包括两个 整数A，B，被一空格隔开，0≦A≦B≦10000 ，它们是某一个区间的开始值和结束值。
输出：仅一行，即最少分成的组数。 样例（STICK.IN） 5 8438239735 STICK.OUT 2
例题4：乘船问题（ＨＮＣＯＩ）
有N个人需要乘船，而每船最多只能载 两人，且必须同名或同姓。求最少需要多 少条船。
问题分析
看到这道题，很多人wk.baidu.com会想到图的数据结构 ：将N个人看作无向图的N个点，凡同名或同 姓的人之间都连上边。

证明
假设按照上述方法得到的解不是最优的，那 么必然存在某个工作j应当安排到处理的过程 中，却没有得到安排。假设我们要将该工作 安排进去，由于时间t[j]内都已经排满，就必 然需要将一个已安排的工作k与之替换，而 c[k]>=c[j]，这样替换显然会增加罚款的数额 。因此，除上述安排方法以外的安排方法都 不会使罚款的数额减少，可得上述方法得到 的结果是最优的。
输出：最少元素数目。
示例输入： 4 36 24 02 47 输出： 4
分析
本题 “会场安排”问题十分相似，可以用同样 的贪心方法：按照所有区间的结束位置排序， 结束位置相同的项，开始位置小的项在前。从 区间1到区间n进行循环，对于当前区间，若集 合中的数不能覆盖它，则从区间末尾向前扫描 ，若当前数未在集合中出现，则将该数加入集 合，直至使集合能覆盖该区间为止。
反之，如果不能证明每次进行最优选择后，最 终会得到最优的结果，就不能使用贪心算法。 其实，大部分的问题都是不能使用贪心算法的 ，
简单的例子：现有10元、7元、2元、1元四种 纸币，使用的张数不限，需要用这四种纸币凑 成p元钱，怎样用最少的张数达到此要求。
此题我们很容易就想到了贪心的算法，即每次 尽量选面值大的纸币。但是，在p=14时，贪 心算法的结果为14=10+2+2，而最优结果为 14=7+7，贪心显然是不对的。然而，如果我 们将其中的7元纸币换成5元纸币，贪心算法 却又是对的。这就需要我们用证明来判断了。
首先，由于图中任两个连通分量都是 相对独立的，也就是说任一条匹配边的 两顶点，都只属于同一个连通分量。因 此，我们可以对每个连通分量分别进行 处理，而不会影响最终的结果。
同时，我们还可以对需要船只s的下限进行估 计：
对于一个包含Pi个顶点的连通分量，其最小覆 盖边数显然为[Pi/2]。若图中共有L个连通分量 ，则s=∑[Pi/2](1<=i<=L)。
（N<=200000,M<=10000）