组合与组合数 ppt课件
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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
组合与组合数公式课件
重复计算出错
【示例】 从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多 少种？
错解：先保证各 1 台，再从剩下的电视机中任取 1 台，即 分三步．
第一步，从甲型电视机中取 1 台，有 C14种取法； 第二步，从乙型电视机中取 1 台，有 C15种取法； 第三步，从剩下的 7 台电视机中取 1 台，有 C17种取法．根 据分步乘法计数原理，共有 C14·C15·C17＝140 种取法．
8
(1)注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的 顺序有关；
(2)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(3)分析题目条件，避免选取时重复和遗漏，用直接法分类 复杂时，可用间接法处理．
排列、组合的概念辨析
【例1】 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数， 这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字 组成一个集合，这样的集合共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工 作有多少种不AA_mmnm____＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝_m_！___nn_！ －__m__！. 规定 Con＝_C_0n_＝__1___.
4．组合数的两个性质 (1)Cmn ＝_C__mn_＝__C_nn_－_m___；(2)Cmn＋1＝__C_nm_＋_1_＝__C_mn_＋__C_mn_－_1___.
(4)5个人相互通话一次，共通了多少次电话？ (5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？ 【解题探究】取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序 有关则为排列问题，与顺序无关即为组合问题．
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
组合与组合数公式 课件
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为
C130 120.
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的，排列数为 A130 720.
【想一想】区分排列和组合的关键是什么？区分有无顺序的方 法是什么？ 提示：(1)判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正 确区分事件有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来， 然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变 化．若有新变化，即说明有顺序；若无新变化，即说明无顺序.
C
m n
乘 积
Cmn
A
m n
A
m m
式 n n 1n 2n m 1
m!
阶 乘
Cmn
n!
m!n
m!
式
性质 备注
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
①n，m N * 且m n ②规定：C0n 1
1．在 Cmn 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么有 C0n 1? 提示：C0n 是1 为了运算需要规定的，没有实际意义. 2.什么是两个相同的组合？
(A) C42 013
(B) C52 013
(C) C42 013 1 (D) C52 013 1
2.计算：C37 C74 C85 C96 =________.
3.求证：Cnm2
有关组合数的计算和证明
关于组合数计算公式的选取
关于组合数计算公式的选取
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
Cmn
A
m n
A
m m
n n 1n 2
m!
(2)涉及字母的可以用阶乘式
n Cmn
m
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合与组合数公式 课件(66张)
主题2:组合数公式与组合数性质 从1,3,5,7中任取两个相除, 1.可以得到多少个不同的商? 提示: =4×3=12个不同的商.
A24
2.如何用分步乘法计数原理求商的个数?
提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有 种方法;
C24
第2步,将每个组合中的两个数排列,有 种排法.由分
步乘法计数原理,可得商的个数为
出m个元素的组合数,等于从n个不同元素中取出n-m个
元素的组合数,因此
Cmn
Cnm n
.
【预习自测】
1.如果 =28,则n的值为 (
C2n
A.9
B.8
C.7
) D.6
【解析】选B.
=28,所以n=8或n=-7(舍).
C2n
28得
nn 1
2
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; ②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构 成焦点在x轴上的双曲线的方程; ④从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.
(5)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3 个元素的有多少?
【解题指南】明确组合、排列的定义是解题的关键,若 问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一 个结果进行判断.
【解析】(1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺 序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关, 而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.排列数为
A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 【解析】选B.①④中所取元素不考虑顺序,故是组合问 题,②③中考虑元素顺序,是排列问题.
3.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑 选5名队员参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的 选法共有________种. 【解析】只需在除种子选手外的7人中再选3人,共有
组合及组合数的计算PPT课件
190
性质2
Cm n1
Cnm
C m1 n
mn
性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.
课后练习3.1.2
1、计算下列各数
(1) C72 __________;
(2) C54 __________;
(3) C83 __________;
(4)
C10 12
__________;
例 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以 画多少个？
分析：因为只要选出三个点，三角形元素的组合数.
解：可以画出的圆内接三角形个数为
C130
P130 3!
10 98 3 21
120
即可以画出120个圆内接三角形.
练习
6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？ 从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？ 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？
(4)
C10 11
__________;
C44
P44 P44
1
说明：
（1）Cnn 1 （2）Cn0 1
组合数的性质
性质1
Cnm
C nm n
mn
利用这个性质，当
m
n 2
时，可以通过计算比较简单Cnnm 的得到的 Cnm
值，
如
C18 20
C18 20
C 2018 20
C220
20 19 2!
3.1.2 组合
问题
在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，有多少种不同 的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？
组合与组合数公式PPT教学课件
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
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39
C
C1 4
39
C
C0 5
39
756
方法二：C152 C33C92 756
(6
)方
法
一
：
C
33C
2 9
C
C2 3
39
C
31C
4 9
666
方 法 二 ： C152
C30C
5 9
666
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
第2步,从上场的11人中选1名守门员
有
C
1种
11
共有
C
11 17
C
1 11
136136
种
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120
10 9 2
45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 Cnm 种不同的取法;
若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数
记
作C
m n
C是英文Combination的首字母
如何计算这个组合数呢？
从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：
第一步 组合
•
C
1 98
9604
种
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C 3 100
C
3 98
9604
种
课堂小结：
①主要学习了组合、组合数的概念。 ②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。
第一步 n个不同元素
m个元素
第二步 m个元素
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C
C3 2
39
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
36
C30C95
126
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
（ （45））甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人至只多有2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方
法
一
：
C
C2 3
问题一
从已知的 3个不同元素 中每次取出2 个元素,按照 一定的顺序 排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3 个不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合有什么共同点与不同点？
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a是管不顺同序的并排成列一，组但”是；相同的组合
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本Biblioteka C1 4C
2 4
从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C21
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
2 98
C
1 2
•
C
2 98
9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C
1 2
• C928
C
2 2
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8
56
或
C
3 8
C
2 7
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C
2 7
21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
C73 35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
35
2、课本P15练习2
3、课本P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质
性质1：
C
m n
C
n n
m
性质2：
C
m n
1
C
m n
C
m n
1
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 Anm 排法.
Anm
C
m n
•
Amm
Cnm
Anm Amm
组合数公式
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n!
n m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n
m !
例1．计算：（1）C74
C74
7654 4!
C43
C44
15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C63
C
2 4
C
1 3
360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
C3 100
100 99 98 32
161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员
上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守
门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异
C 11 17
12376
种
(2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
有
C
11种
17
C
C1 4
39
C
C0 5
39
756
方法二：C152 C33C92 756
(6
)方
法
一
：
C
33C
2 9
C
C2 3
39
C
31C
4 9
666
方 法 二 ： C152
C30C
5 9
666
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
第2步,从上场的11人中选1名守门员
有
C
1种
11
共有
C
11 17
C
1 11
136136
种
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120
10 9 2
45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 Cnm 种不同的取法;
若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数
记
作C
m n
C是英文Combination的首字母
如何计算这个组合数呢？
从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：
第一步 组合
•
C
1 98
9604
种
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C 3 100
C
3 98
9604
种
课堂小结：
①主要学习了组合、组合数的概念。 ②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。
第一步 n个不同元素
m个元素
第二步 m个元素
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C
C3 2
39
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
36
C30C95
126
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
（ （45））甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人至只多有2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方
法
一
：
C
C2 3
问题一
从已知的 3个不同元素 中每次取出2 个元素,按照 一定的顺序 排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3 个不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合有什么共同点与不同点？
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a是管不顺同序的并排成列一，组但”是；相同的组合
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本Biblioteka C1 4C
2 4
从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C21
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
2 98
C
1 2
•
C
2 98
9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C
1 2
• C928
C
2 2
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8
56
或
C
3 8
C
2 7
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C
2 7
21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
C73 35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
35
2、课本P15练习2
3、课本P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质
性质1：
C
m n
C
n n
m
性质2：
C
m n
1
C
m n
C
m n
1
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 Anm 排法.
Anm
C
m n
•
Amm
Cnm
Anm Amm
组合数公式
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n!
n m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n
m !
例1．计算：（1）C74
C74
7654 4!
C43
C44
15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C63
C
2 4
C
1 3
360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
C3 100
100 99 98 32
161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员
上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守
门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异
C 11 17
12376
种
(2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
有
C
11种
17