组合与组合数 ppt课件
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第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 Anm 排法.
Anm
C
m n
•
Amm
Cnm
Anm Amm
组合数公式
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n!
n m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n
m !
例1．计算：（1）C74
C74
7654 4!
问题一
从已知的 3个不同元素 中每次取出2 个元素,按照 一定的顺序 排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3 个不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合有什么共同点与不同点？
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8
56
或
C
3 8
C
2 7
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C
2 7
21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
C73 35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 Cnm 种不同的取法;
C43
C44
15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C63
C
2 4
C
1 3
360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ100个不同元素中取3个元素的组合数
C3 100
100 99 98 32
161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员
上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守
门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异
C 11 17
12376
种
(2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
有
C
11种
17
若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数
记
作C
m n
C是英文Combination的首字母
如何计算这个组合数呢？
从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：
第一步 组合
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
35
2、课本P15练习2
3、课本P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质
性质1：
C
m n
C
n n
m
性质2：
C
m n
1
C
m n
C
m n
1
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一
39
C
C1 4
39
C
C0 5
39
756
方法二：C152 C33C92 756
(6
)方
法
一
：
C
33C
2 9
C
C2 3
39
C
31C
4 9
666
方 法 二 ： C152
C30C
5 9
666
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本
C
1 4
C
2 4
•
C
1 98
9604
种
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C 3 100
C
3 98
9604
种
课堂小结：
①主要学习了组合、组合数的概念。 ②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。
第一步 n个不同元素
m个元素
第二步 m个元素
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
第2步,从上场的11人中选1名守门员
有
C
1种
11
共有
C
11 17
C
1 11
136136
种
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120
10 9 2
45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C21
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
2 98
C
1 2
•
C
2 98
9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C
1 2
• C928
C
2 2
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C
C3 2
39
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
36
C30C95
126
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
（ （45））甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人至只多有2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方
法
一
：
C
C2 3
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a是管不顺同序的并排成列一，组但”是；相同的组合
Anm
C
m n
•
Amm
Cnm
Anm Amm
组合数公式
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n!
n m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n
m !
例1．计算：（1）C74
C74
7654 4!
问题一
从已知的 3个不同元素 中每次取出2 个元素,按照 一定的顺序 排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3 个不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合有什么共同点与不同点？
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8
56
或
C
3 8
C
2 7
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C
2 7
21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
C73 35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 Cnm 种不同的取法;
C43
C44
15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C63
C
2 4
C
1 3
360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ100个不同元素中取3个元素的组合数
C3 100
100 99 98 32
161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员
上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守
门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异
C 11 17
12376
种
(2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
有
C
11种
17
若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数
记
作C
m n
C是英文Combination的首字母
如何计算这个组合数呢？
从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：
第一步 组合
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
35
2、课本P15练习2
3、课本P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质
性质1：
C
m n
C
n n
m
性质2：
C
m n
1
C
m n
C
m n
1
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一
39
C
C1 4
39
C
C0 5
39
756
方法二：C152 C33C92 756
(6
)方
法
一
：
C
33C
2 9
C
C2 3
39
C
31C
4 9
666
方 法 二 ： C152
C30C
5 9
666
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本
C
1 4
C
2 4
•
C
1 98
9604
种
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C 3 100
C
3 98
9604
种
课堂小结：
①主要学习了组合、组合数的概念。 ②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。
第一步 n个不同元素
m个元素
第二步 m个元素
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
第2步,从上场的11人中选1名守门员
有
C
1种
11
共有
C
11 17
C
1 11
136136
种
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120
10 9 2
45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C21
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
2 98
C
1 2
•
C
2 98
9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C
1 2
• C928
C
2 2
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C
C3 2
39
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
36
C30C95
126
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
（ （45））甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人至只多有2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方
法
一
：
C
C2 3
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a是管不顺同序的并排成列一，组但”是；相同的组合