四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：11.模为素数的二次剩余

高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余

设素数2,p d >是整数,.p d 如果同余方程2

(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.

注意到|.p d 则同余方程2

0(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡

若2,p =且.p d 则同余方程2

(mod 2)x d ≡为2

1(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡

1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,1

2

p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2

(mod )x d p ≡的解数为2.

2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是12

1(mod );p d p -≡d 是模p

的二次非剩余的充要条件是12

1(mod ).p d

p -≡-

3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡

当1(mod 4)p ≡时,2

1!1(mod ).2p p ⎛-⎫

⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

4.设p 是奇素数,证明：1,2,

,1p -中全体模p 的二次剩余之和12

22

1(1)

.24p j p p j S p p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦

∑

由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,1

222

1(1)(1)

.244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦

∑

高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余解答

设素数2,p d >是整数,.p d 如果同余方程2

(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.

注意到|.p d 则同余方程2

0(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡

若2,p =且.p d 则同余方程2

(mod 2)x d ≡为2

1(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡

1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,1

2

p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2

(mod )x d p ≡的解数为2.

证明：取模p 的绝对最小既约剩余系11

11

,1,,1,1,,

1,.22

22

p p p p -----

-+-- d 是模p 的二次剩余当且仅当222222

11

11(),(1),,(1),1,

,(

1),().22

22

p p p p d ----≡-

-+-- 由于2

2

()(mod ),j j p -≡所以d 是模p 的二次剩余当且仅当2

22

111,

,(

1),().22

p p d --≡- 当112p i j -≤<≤

时,1

21,10,2p i j p i j -<+<--<-<22()()0(mod ).i j i j i j p -=+-≡/ 所以2

22111,

,(

1),()22p p d --≡-给出了模p 的全部二次剩余,共有

1

2

p -个. 由于模p 的既约剩余系(简系)有1p -个数,所以另外的

1

2

p -个必为模p 的二次非剩余.

当d 是模p 的二次剩余时,必存在唯一的1

,1,2

p i i -≤≤

使得(mod )x i p =是同余方程2(mod )x d p ≡的解,于是在模p 的绝对最小既约剩余系1111

,1,,1,1,,1,.2222

p p p p ------+--中有且仅有

(mod )x i p =±是同余方程2(mod )x d p ≡的解,所以解数为2.

2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是12

1(mod );p d p -≡d 是模p

的二次非剩余的充要条件是1

2

1(mod ).p d

p -≡-

证明：首先来证明对任一,,d p d 112

2

1(mod ),1(mod )p p d p d

p --≡≡-有且仅有一个成立.

由Euler 定理知道1

1(mod ).p d

p -≡因此112

2

(1)(1)0(mod ).p p d d

p --+-≡

由于素数2p >即112

2

(1)(1) 2.p p d

d

--+--≡

所以对任一,,d p d 112

2

1(mod ),1(mod )p p d

p d p --≡≡-有且仅有一个成立.

下面来证明d 是模p 的二次剩余的充要条件是12

1(mod ).p d p -≡

先证必要性()⇒若d 是模p 的二次剩余,则必有0x 使得2

0(mod ),x d p ≡ 因此有11122

2

()

(mod ).p p p x

x d

p ---=≡

由于,p d 所以0.p x 由Euler 定理知道10

1(mod )p x

p -≡,所以12

1(mod ).p d

p -≡

再证充分性,若12

1(mod ).p d

p -≡则.p d 考虑一次同余方程(mod ).ax d p ≡对模p 的绝对最小既约剩余

系1111,1,,1,1,,1,.2222

p p p p ------+--

中的每个j ,当a j =时,必有唯一的j x x =属于模p 的绝对最小既约剩余系,使得(mod ).ax d p ≡ 若d 不是模p 的二次剩余,则必有.j j x ≠这样模p 的绝对最小既约剩余系中的1p -个数就可按,j j x 作为

一对,两两配完.因此有1

211

11(1)!()(1)(1)1

(1)(mod ).22

22

p p p p p p d p ------≡--+--≡ 由Wilson 定理知(1)!1(mod )p p -≡-,所以1

2

1(mod )p d

p -≡-这与1

2

1(mod )p d

p -≡矛盾.

d 是模p 的二次剩余的充要条件是12

1(mod ),p d

p -≡与对任一,,d p d

112

2

1(mod ),1(mod )p p d

p d

p --≡≡-有且仅有一个成立.可以推得d 是模p 的二次非剩余的充要条件是