比例式、等积式证明常用方法
人教版九年级下册数学第27章 相似 阶段技巧专训 证比例式或等积式的七种常用技巧
9．如图，CE 是 Rt△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一 点 P，连接 AP，作 BG⊥AP 于点 G，交 CE 于点 D. 求证 CE2＝DE·PE. 证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°. ∴∠P＝∠ABG. ∴△AEP∽△DEB.
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 M，N. 求证 BP·CP＝BM·CN.
证明：如图，连接 PM，PN. ∵MN 是 AP 的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，即 BP·CP＝BM·CN.
【点拨】等线段代换法可以将结论中 的线段进行转移，继而根据三点定型 确定目标相似三角形．
证明：如图，连接 PC. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 垂直平分 BC，∠ABC＝∠ACB. ∴BP＝CP. ∴∠1＝∠2. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC. ∴CPEP＝PCFP，即 CP2＝PF·PE. ∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
【点拨】利用相似三角形证明等积式或比例式 的一般方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角 形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证 明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不 容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
等积式证明的常用方法
等积式证明的常用方法等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂，线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。
常用方法一：三点定形法例1如图：在Rt△ABC中，°于D，E为AC的中点，ED的延长线交CB 的延长线于点P，求证：.分析：先把转化为比例式，在比例式左边线段PD、PB的端点分别为点P、D、B，由点P、D、B可确定△PBD，同理由比例式右边的线段PC、PD的端点P、C、D可确定△PCD. 所以要证明等积式，只需要证明比例式，要证明，由三点定形法只需要证明△∽△PCD即可.证明：°°又AC的中线，°又°°°又△∽△PCD注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1．先把等积式转化为比例式；2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3．再找这两个三角形相似所需的条件.常用方法二：找相等的量（比、线段、等积式）替换例2 如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，BE∥AD交AC的延长线于点E，求证：分析：要证明，只需要证明即可，但OA、OC、OE在一条直线上，不能直接用三点定形法来证明，但可以用中间比。
由题意可知：，从而可证.证明：∵BE∥AD又∵AB∥CD例3 已知：等腰△ABC中，于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：.分析：在中，线段BE、EF、EG在一条直线上，但可以找相等的线段来替换，由等腰三角形性质可知，AD为BC的垂直平分线，故，从而转化为证，也就是证它们确定的△CEF和△GEC相似.证明：连结EC，AD垂直平分BC，即∥AB又∴△CEF∽△GEC例4 如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P，连结AP，垂足为G，交CE于D，求证：.分析：在中，线段CE、PE、DE在一条直线上无法直接用“三点定形法”来证，并且也找不到相等的比、线段来替换，但我们可以用相等的等积式来替换，可以先证：，再证.证明：°，°又°°又△AEC∽△CEB°，°°在△PAE中，°°又°△PEA∽△BED注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.常用方法三：利用相似三角形的性质例5 如图，Rt△ABC中，°，于点D，的平分线AE交CD于点F，交CB于点E.求证：.分析：观察中的四条线段，发现AF、AE在一条直线上，而且没有相等的量（比、线段、等积式）可替换，但AF、AE分别是△ACD和△ABC的内角平分线，CD、CB也是△ACD和△ABC的边，所以只要证明△ACD∽△ABC即可.证明：°又°又△CDA∽△BCA注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧
典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧◐名师点金◑证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。
技巧1：构造平行线法1.如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,DF 交AC 于点E,交BC 的延长线于点F 。
求证:AE ·CF=BF ·EC.2.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D,边BC 的延长线上有一点E,且AD=CE,DE 交AC 于点F 。
求证:AB ·DF=BC.EF技巧2：三点定型法3.如图,在□ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F 。
求证:AD CF AE DC4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CMA的延长线于D,交AB于E。
AM=MD·ME.求证:2技巧3：构造相似三角形法5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N。
求证:BP·CP=BM·CN技巧4：等积代换法6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE。
求证:(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF=DB·EF7.如图,CE 是Rt △ABC 斜边上的高,在EC 的延长线上任取一点P,连结AP,作BC ⊥AP 于点C,交CE 于 点D 。
求证:2CE =DE ·PE8.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F 。
求证:AB AC AE =AF技巧5：两次相似法9.如图,在□ABCD 中,AM ⊥BC,AN ⊥CD,垂足分别为M,N.求证:(1)△AMB ∽△AND (2)AC MN AB AM =技巧6：等比代换法10.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于F 。
如何确定相似三角形来证比例式或等积式
如何确定相似三角形来证比例式或等积式同学们在证明三角形中线段的比例式或等积式时，常不知道通过证明哪两个三角形相似可得。
通过我的教学体验可得到一基本方法：先找出与比例式线段有关的两个三角形，再证其相似。
怎样找出与比例式或等积式有关的两个相似三角形呢？常见的规律是：在要证的比例式（等积式可转为比例式）中，把表示第一、三两项的线段端点的三个不同字母为一个三角形的三个顶点，而把表示第二、四两项线段端点的三个不同字母为另一个三角形的三个顶点，那么，这两个三角形就是要证的两个相似三角形。
现举例说明如下。
一、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个不同字母能直接构成三角形时。
例1 在ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、CA 上的高，如图1。
求证：AD ACBE BC=。
分析：如图1，要证ACD A D AC BCE B E BC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭。
为此，只要证ACD ∽BCE ，即可。
证明：如图1，在ACD 和BCE 中，9090AD BC ADC BE AC BEC C C⎫⊥⇒∠=⎪⊥⇒∠=⇒⎬⎪∠=∠⎭ACD ∽BCE ⇒AD AC BE BC =。
二、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个（或四个）不同字母不能直接构成三角形时。
例2 如图2，Rt ABC 中90C ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，F 是AC 的中点，FD 交CB 的延长线于E 。
求证：BE BCDE AC=。
分析：如图2，要证B C E B E BC D E AC A C D E →⎛⎫= ⎪→⎝⎭、、三点一线、、、四点构不成三角形成立，显然不能直接证两个三角形相似。
因而可交换两内项DE 、BC ，得BED B E D E ABC BC AC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭，显然BED 与ABC 不相似。
当出现以上情况时，应根据已知条件或图形性质，把比例中的某一比（或一线段）用它图 1DECBA图 2321FD EC B A的等量来代替。
相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似立体模型总结2 (比例式、等积式的常见证明方法)本文总结了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法。
比例式的常见证明方法1. 比例式的宽度证明要证明两个相似立体模型的宽度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的宽度分别为$a$和$b$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{a}{b}$。
2. 比例式的高度证明要证明两个相似立体模型的高度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的高度分别为$h$和$k$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{h}{k}$。
3. 比例式的长度证明要证明两个相似立体模型的长度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的长度分别为$l$和$m$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{l}{m}$。
等积式的常见证明方法1. 等积式的底面积证明要证明两个相似立体模型的底面积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的底面积分别为$A$和$B$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的高度之比为$\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$。
2. 等积式的体积证明要证明两个相似立体模型的体积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的体积分别为$V_1$和$V_2$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的边长之比的立方为$\left(\frac{{V_1}}{{V_2}}\right)^{\frac{1}{3}}$。
结论以上介绍了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法，可根据具体情况选择合适的方法进行证明。
相似椎体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似椎体模型总结2(比例式、等积式的常
见证明方法)
相似椎体模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）
一、比例式证明方法
比例式证明方法是通过比较两个相似椎体的边长或高度之比来
证明它们相似的方法。
常见的比例式证明方法包括以下几种：
1. 比较边长：首先，我们可以比较两个相似椎体的底面边长之
比和高度之比。
如果它们的比值相等，即两个椎体的底面边长之比
等于高度之比，那么可以得出它们相似的结论。
2. 比较斜边长：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的斜
边长之比来证明它们相似。
如果两个椎体的斜边长之比相等，那么
可以说明它们相似。
3. 比较面积：除了边长之比，我们还可以通过比较两个相似椎
体的底面积或侧面积之比来证明它们相似。
如果它们的面积比相等，则可以推断出它们相似。
二、等积式证明方法
等积式证明方法是通过比较两个相似椎体的体积来证明它们相似的方法。
常见的等积式证明方法包括以下几种：
1. 比较体积：我们可以比较两个相似椎体的体积之比来判断它们是否相似。
如果两个椎体的体积比相等，那么可以得出它们相似的结论。
2. 比较高度：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的高度来判断它们是否相似。
如果两个椎体的高度相等，则可以说明它们相似。
总结：在证明相似椎体模型时，我们可以使用比例式证明方法或等积式证明方法。
比例式证明方法是通过比较边长、斜边长或面积之比来判断相似性，而等积式证明方法则是通过比较体积或高度来判断相似性。
根据具体情况选择合适的证明方法，能够简化证明过程，同时避免法律复杂性。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法(修改)
相似三角形的判定方法
⑴平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
B
A
E
E
D
C
⑵两角分别相等的两个三角形 相似.
2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图 中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC 相似 的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
相似三角形的判定方法
C．
D．
⑶两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑷三边成比例的两个三角形相似.
3．在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列
条件不能判定两个三角形相似的是( D )
AB AC
C1
A．∠B＝∠B1
B.A1B1＝A1C1
C
AB BC C.A1B1＝B1C1
AB AC D.B1C1＝A1C1
B
A
A1
B1
相似三角形的判定方法
⑸斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， D为弧AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，连 接AC,AD,BD，弦AC、BD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△BDA； (2)求证：AE⋅AB=DF⋅DB
★证明等积式时，如果不能 进行等线段替换，还可以 转化一个乘积.
例4.如图，点E是▱ABCD的边CD延长线 上的一点，连接BE交AC于点O,交 AD于点F. 求证：OB2=OF·OE.
O
★证明等积式时，如果不能转化 一个乘积，也可以转化一个比.
课堂小结 返故悟新
证明等积式时，先将等积式改写成比 例式，然后找相似三角形；如果找不到相 似三角形，可以找等线段；等积或等比转 化.
比例式等积式证明的常用方法
比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。
其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。
在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。
一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。
我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。
例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。
二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。
对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。
例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。
比例式、等积式证明的常用方法
比例式、等积式证明的常用方法一、三点定形法例1如图，在Rt^ABC中，NACB=90° , CD_LAB于D, E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点P,求证：PD2 =PB PC例2如图，在AABC中，AB _L AC , D为BC中点, DE _L BC交AC于F ,交BA延长线于E .求证：AD2 = DE DF注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1.先把等积式转化为比例式；2.观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;3.再找这两个三角形相似所需的条件.二、找相等的量（比、线段、等积式）替换1、等线段替换例1 已知等腰AABC 中，AB = AC, AD _L BC 于D , CG//AB , BG 分别交AD、2 _AC 于E、F ,求证：BE =EF EGB例 2 如图，在 MBC 中，AB = AC , AD _L BC 于 D , BE _L AC 于 E , EG _L BC 于G ,L 是AF 的中点.求证：CD2=EGDL2、等比替换已知梯形 ABCD 中，AB//CD, AC 、BD 交于点O, BE// AD 交AC 的延长线于点 E,例3 求_ 2OA =OC OE.如图，在 AABC 中，AB .L AC , AD 1 BC , E 为 AC 中点, ED 延长线交AB 延长线于F .求证：AB AF =AC DFDB3、等积替换例5如图，在MBC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E ,交BF于G ,交AC延长线于H .求证：DE 2 = EG EH .例6如图，已知CE是RtAABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P,连结AP, BG_LAP 垂足为G,交CE 于D,求证：CE2 = PE DE .注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化1 . _ 例1 已知在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF=1AD,42EG -LCF ,垂足为G ,求证：EG =CG FG .四、利用相似三角形的性质例1 如图，RtAABC 中，NACB =90° , CD _L AB 于点D , /CAB 的平分AE 交CD 于点F ,交CB于点E .求证：AF CB =CD .AE .A D B注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！练习巩固：1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ADE =/C求证：(1) AADE s AACB ；(2) AD AB = AE AC .2.如图，MBC中，点DE在边BC上，且MDE是等边三角形，/ BAC =120〜求证：(1) AADB s ACEA ; ( 2 ) DE 2 = BD CE ; (3) AB AC = AD BC .3.如图，在平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，N D =/ECA.求证：AD EC =AC EB4 .如图，AD为MBC中NBAC的平分线，EF是AD的垂直平分线.求证：FD2 = FC FB 。
三角形相似---上传版
相似三角形相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．一、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD ABDC AC=． 321EDCA B证法一：过C 作CE AD ∥，交BA 的延长线于E ． ∴1E ∠=∠，23∠=∠． ∵12∠=∠，∴3E ∠=∠．∴AC AE =．∵AD CE ∥，∴BD BA BADC BE AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．BA CDE12证法二；过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ． ∴12E ∠=∠=∠，∴AB BE =．∵BE AC ∥，∴BD BE ABDC AC AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．二、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABCACDBC AHSBC S CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图3：“燕尾”型CDEB A如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．三、相似证明中的基本模型I H G FED CB AGF EDC BAEDCB A ED C BAEFDC BA F ED C BAOD C BAODC BAHE DCBAE DCBAEDCBAODCBAD C BD BA CAEDCB AD C B AG FEDC BAGFEDC BA G FE DCB ADEFCBAH PMNF EDCBAGHG FEDC BAEF DCBAFEDCBA与三角形有关的相似问题【例1】 如图，在ABC △中，AC AB ，点D 在AC 边上，若在增加一个条件就能使ABC ACB △∽△，则这个条件可以是 ．CDBA【例2】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【例3】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【例4】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE △与ABC △相似的条件有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例5】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB = ．PCBA【例6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【例7】 如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则A F E FF C F D+的值为（ ）A DEFCBA.52 B.1 C.32D.2 【例8】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PED CBA【例9】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使A D A E =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=PEDCBA【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMO DC BA【例11】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=PNME D CBA与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．EFGDC AB【例13】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB A【例14】 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值．OFE DCBA【例15】 如图：矩形ABCD 的面积是36，在AB AD ，边上分别取点E F ，，使得3AE EB =，2DF AF =，且DE 与CF 的交点为点O ，求FOD ∆的面积。
123.15.比例式、等积式的常见证明方法
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
相似椭圆模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似椭圆模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)比例式的常见证明方法相似椭圆模型中，比例式是常见的一种证明方法。
以下是一些常用的比例式证明方法：1. 使用比例关系:- 通过利用已知的椭圆模型的比例关系，可以推导出其他椭圆模型的比例关系。
例如，如果已知两个椭圆模型的长轴和短轴之比，就可以通过设置一个变量，用其它两个未知椭圆模型的长轴和短轴表示。
- 利用求比例的方法，可以找到已知椭圆模型和未知椭圆模型之间的比例关系。
例如，通过比较两个椭圆模型的半焦距或者直径之间的比例，可以推导出它们的其他关系。
2. 利用相似三角形:- 椭圆模型中的比例关系可以通过相似三角形来证明。
通过找到两个椭圆模型之间的相似三角形，可以得到它们的比例。
- 通过利用已知椭圆模型的角度和边长的关系，可以推导出未知椭圆模型的相似三角形，从而得到比例关系。
3. 利用已知椭圆模型的变换:- 当已知两个椭圆模型之间有某种变换关系时，可以通过这种变换关系证明它们的比例关系。
例如，如果已知一个椭圆模型是另一个椭圆模型的伸缩、平移或旋转变换，可以利用几何变换的性质来推导出它们的比例关系。
等积式的常见证明方法相似椭圆模型中，等积式也是一种常用的证明方法。
以下是一些常用的等积式证明方法：1. 利用椭圆面积公式:- 椭圆的面积可以通过一些已知参数计算得出。
利用已知椭圆模型和未知椭圆模型的面积公式，可以推导出它们的等积关系。
2. 利用轨迹与面积关系:- 椭圆模型的轨迹之间具有一定的关系，可以通过这种关系证明它们的等积关系。
例如，已知两个椭圆模型的焦点和轨迹方程相同，可以推导出它们的等积关系。
3. 利用边界条件:- 椭圆模型的边界条件也可以用于证明等积关系。
例如，已知两个椭圆模型的边界点相同，可以推导出它们的等积关系。
以上就是相似椭圆模型中比例式和等积式的常见证明方法总结。
通过运用这些方法，可以更方便地推导出相似椭圆模型之间的关系。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
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比例式、等积式证明的常用方法
一、三点定形法
例1 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于D ，E 为AC 的中点，ED 的延
长线交CB 的延长线于点P ，求证：PC PB PD ⋅=2
例 2 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，D 为BC 中点，BC DE ⊥交AC 于F ，交BA 延长线于E . 求证：DF DE AD ⋅=2
注：三点定形法证明等积式的一般步骤：
1．先把等积式转化为比例式；
2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；
3．再找这两个三角形相似所需的条件.
二、找相等的量（比、线段、等积式）替换
1、等线段替换
例１ 已知等腰ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AB CG //，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ，求证：EG EF BE ⋅=2
1 D F A B C E 2
例2 如图，在ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，BC EG ⊥于G ，L 是AF 的中点.求证：DL EG CD ⋅=2
2、等比替换
例３ 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，
求证：.2OE OC OA ⋅=
例４ 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，BC AD ⊥，E 为AC 中点，ED 延长线交AB 延长线于F . 求证：DF AC AF AB ⋅=⋅
3、等积替换
例 5 如图，在ABC ∆中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：EH EG DE ⋅=2.
例６ 如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2．
注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.
三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化
例１ 已知在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且
AD AF 41=，CF EG ⊥，垂足为G ，求证：FG CG EG ⋅=2.
A B C H D G E F
四、利用相似三角形的性质
例１ 如图，ABC Rt ∆中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于点D ，CAB ∠的平分AE 交CD 于点F ，交CB 于点E ．求证：AE CD CB AF ⋅=⋅.
注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！
练习巩固：
1．如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且C ADE ∠=∠
求证：（1） ADE ∆∽ACB ∆； (2)AC AE AB AD ⋅=⋅.
２．如图，ABC ∆中，点DE 在边BC 上，且ADE ∆是等边三角形，︒=∠120BAC 求证：（１）ADB ∆∽CEA ∆；（２）CE BD DE ⋅=2
； （３）BC AD AC AB ⋅=⋅.
3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，ECA D ∠=∠. 求证：EB AC EC AD ⋅=⋅
４．如图，AD 为ABC ∆中BAC ∠的平分线，EF 是AD 的垂直平分线．
求证:FB FC FD ⋅=2。
５．如图，E 是平行四边形ABCD 的边DA 延长线上一点，EC 交AB 于点G ，交BD 于点F ，求证：EF FG FC ⋅=2.
６．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F，过F作
FM .
FM//交DE于M．求证：CF
BE。