二次根式知识点及习题

二次根式
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：
因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是
二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以
反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而
表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但
与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，
而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而
.
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、
√x^2+2xy+y^2等
（3）最终结果分母不含根号。

知识点八：二次根式的乘法和除法
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

知识点十：二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
知识点十一：分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图
注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

“二次根式”经典练习题 【典型例题】
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。

A 、3-；
B 、
x ； C 、12+x ； D 、1-x
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）
;2-x （2）
1
21
+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）
1
21
3-+
-x x （6）若
1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若
1
3
13++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。

（7）注：（书写格式（4）由5+x ≥0且x +4≠0得x ≥－5且x ≠－4∴当x ≥－5且x ≠－4时代数式
4
5++x x
在实数范围内有意义） 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是
4.是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

6. 若20042005a a a -+-=，则2
2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3
2
9922-+-+-=
m m m n ，则mn = 。

9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=
-+⋅--，求m 的值．
10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对
值)来解题
1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）
A.x ≤0
B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 3.若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则x 的取值范围是（） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4
4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。

6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -
7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。

A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a 8、把2
1
)2(--
-x x 根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ）。

A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--
x D 、x --2
三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根
式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（a ）2
=a （a ≥0），即||2a a =。

）
1.把下列各式化成最简二次根式：
（1）8
33 （2）2
24041- （3）2255m （4）224y x x +
2.下列各式中哪些是同类二次根式： （1）75，
271，12，2，501，3，101
； （2）,533c b a 323c b a ，4
c ab ，a
bc
a
3.计算：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）a
c
c b b a 53654⋅
⋅ （4）
24
18
2 （5）－545
321÷ （6）)(23
522c ab c b a -÷ 4.计算（1）25051122183133++-- （2）)25
4414()31
91(3323y
y x x
y y
x x +-+ 5．已知10182
22=++x x x
x ，则x 等于（ ）
A ．4
B ．±2
C ．2
D ．±4 6..已知12,12+=-=
y x ，求
xy
x y x y y x 33++++的值。

四．二次根式的分母有理化 1已知：1
32-=x ，求12
+-x x 的值。

2..已知:x =2
323,2
323-+=
+-y ，求代数式3x 2－5xy +3y 2
的值。

3.211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+
4.已知21915-=+-+x x ，试求x x +++1519的值。

五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值（ ）
A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值
4.若a ，b 为有理数，且8+18+8
1=a+b 2，则b a
= . 六．二次根式的比较大小 （1）322005
1
和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（倒数法）
二次根式提高测试题
一、选择题
1
有意义的x 的取值范围是（ ） 2．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）
（A ）1,1a a -+（B C （D ）2
2
1,1a a -+
3．若0x <x 等于（ ）
（A ）0 （B ）2x - （C ）2x （D ）0或2x
4．若0,0a b <> ）
（A ）-（B ）-（C ）（D ）a
5m
=，则
2
1y y +的结果为（ ）
（A ）22m + （B ）2
2m - （C 2 （D 2
6．已知,a b b a =-，则a 与b 的大小关系是（ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）a b ≥ （D ）a b ≤ 7．已知下列命题：
2=； 36π-=；
③()()()2
2333a a a +-=+-； a b =+．
其中正确的有（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
8．若m 的值为（ ） （A ）
203 （B ）5126 （C ）138 （D ）158
9．当12
a ≤21a -等于（ ）
（A ）2 （B ）24a - （C ）a （D ）0
102
得（ ）
（A ）2 （B ）44x -+ （C ）2- （D ）44x -
二、填空题
11．若21x +的平方根是5±_____=．
12．当_____x 有意义．
13与a _____a b +=．
14．若x 的整数部分，y ____x =，_____y =．
15=
0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____．
16．若11x -<<1_____x +=．
17．若0xy ≠=-_____．
18．若01x <<等于_____．
三、解答题
1 9．计算下列各题：（1⎛ ⎝；
（23a
20．已知()
)
2006
2007
22
2
2a =+-+
24a a +的值 ．
21．已知y x ,是实数，且3
2
9922+--+-=x x x y ，求y x 65+的值.
22．若42--y x 与()2
12+-y x 互为相反数，求代数式3
2
34
1y y x x +
+的值.
23．若a b S 、、满足7,S ==，求S 的最大值和最小值.。