2014--2015学年 高三复习专题 椭圆题型归纳(学生版)

知识点回顾：

题型一、定义及其应用：

知识点：

例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

例2、方程2x =++所表示的曲线是

练习：

16=对应的图形是（ ）

A 、直线

B 、线段

C 、椭圆

D 、圆

210=对应的图形是（ ）

A 、直线

B 、线段

C 、椭圆

D 、圆

310=成立的充要条件是（ ）

A 、

2212516x y += B 、221259x y += C 、2211625x y += D 、22

1925

x y +=

41m =+表示椭圆，则m 的取值范围是

5、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；

6、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；

题型二、椭圆的方程。

知识点：

（一）由方程研究曲线

例1、方程

22

11625

x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；

（二）分情况求椭圆的方程

例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；

（三）用待定系数法求方程

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；

例4、求经过点(2,3)-且与椭圆2

2

9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；

22x y 22

x y

（四）定义法求轨迹方程；

例5、在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)

B C -，求满足b a c >>且sinB ，

sinA ，sinC 成等差数列时顶点A 的轨迹；

练习：

1、三角形ABC 中，B （-2,0），C （2，0），AB 、AC 边上的中线长之和为30，求三角形ABC 的重心 的轨迹方程。

2、已知动圆C 和定圆O ：（x-3）2 +y 2 = 64相内切，且A （3，0）在动圆C 上，求动圆圆心的轨迹方 程。

（五）相关点代入法求轨迹方程；

例6、已知x 轴上一定点A(2，-3)，Q 为椭圆2

214

x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；

例7、设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8、中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1

2

，求 此椭圆的方程；

题型三.焦点三角形问题

例1、已知椭圆22

11625

x y +=上一点P 的纵坐标为53，

椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；

题型四、椭圆的几何性质： 知识点：

例1、已知P 是椭圆22

221x y a b

+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦

距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为

例2、椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，

则椭圆的离心率为 ；

例3、若椭圆

22

114

x y k +=+的离心率为12，则k = ；

例4、若P 为椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且0

1215PF F ∠=，

02175PF F ∠=， 则椭圆的离心率为

题型五、求范围

例1、方程22

22

1(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；

题型六、椭圆的第二定义的应用： 知识点：

例1、方程2x y =++所表示的曲线是

例2、求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为1

2

的椭圆的左顶点的轨迹方程；

例3、椭圆

22

1259

x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为

例4、知椭圆13

42

2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它 到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5、已知椭圆1592

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标．

题型七、求离心率。

例1、椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到

直线AB

，则椭圆的离心率e =

例2、若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，

则椭圆的离心率为

例3、1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则 椭圆的离心率为 ；

题型八、椭圆参数方程的应用。

例1、椭圆22

143

x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 ；

例2、方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；

题型九、直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系

例1、当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？

例2、曲线222

22x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。