2014--2015学年 高三复习专题 椭圆题型归纳(学生版)

知识点回顾：
题型一、定义及其应用：
知识点：
例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
例2、方程2x =++所表示的曲线是
练习：
16=对应的图形是（ ）
A 、直线
B 、线段
C 、椭圆
D 、圆
210=对应的图形是（ ）
A 、直线
B 、线段
C 、椭圆
D 、圆
310=成立的充要条件是（ ）
A 、
2212516x y += B 、221259x y += C 、2211625x y += D 、22
1925
x y +=
41m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
5、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；
6、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二、椭圆的方程。

知识点：
（一）由方程研究曲线
例1、方程
22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；
（二）分情况求椭圆的方程
例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4、求经过点(2,3)-且与椭圆2
2
9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
22x y 22
x y
（四）定义法求轨迹方程；
例5、在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)
B C -，求满足b a c >>且sinB ，
sinA ，sinC 成等差数列时顶点A 的轨迹；
练习：
1、三角形ABC 中，B （-2,0），C （2，0），AB 、AC 边上的中线长之和为30，求三角形ABC 的重心 的轨迹方程。

2、已知动圆C 和定圆O ：（x-3）2 +y 2 = 64相内切，且A （3，0）在动圆C 上，求动圆圆心的轨迹方 程。

（五）相关点代入法求轨迹方程；
例6、已知x 轴上一定点A(2，-3)，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7、设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8、中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1
2
，求 此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
例1、已知椭圆22
11625
x y +=上一点P 的纵坐标为53，
椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；
题型四、椭圆的几何性质： 知识点：
例1、已知P 是椭圆22
221x y a b
+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦
距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为
例2、椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，
则椭圆的离心率为 ；
例3、若椭圆
22
114
x y k +=+的离心率为12，则k = ；
例4、若P 为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且0
1215PF F ∠=，
02175PF F ∠=， 则椭圆的离心率为
题型五、求范围
例1、方程22
22
1(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；
题型六、椭圆的第二定义的应用： 知识点：
例1、方程2x y =++所表示的曲线是
例2、求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为1
2
的椭圆的左顶点的轨迹方程；
例3、椭圆
22
1259
x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为
例4、知椭圆13
42
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它 到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5、已知椭圆1592
2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22
3
PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标．
题型七、求离心率。

例1、椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到
直线AB
，则椭圆的离心率e =
例2、若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，
则椭圆的离心率为
例3、1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则 椭圆的离心率为 ；
题型八、椭圆参数方程的应用。

例1、椭圆22
143
x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 ；
例2、方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；
题型九、直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系
例1、当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？
例2、曲线222
22x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。

例3、过点)0 ,3(-P 作直线l 与椭圆223412x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

例4、求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题：
例1、已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的
弦长为3
13
4，求点A 的坐标。

(2,0)A ；
例2、椭圆22
1ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若22||=AB ，O 为坐
标原点，OC 的斜率为2
2
，求,a b 的值。

例3、椭圆
120
452
2=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ∆的 面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程
例1、已知椭圆22
1164
x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；
例2、已知一直线与椭圆224936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；
例3、椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3
2
=
e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交 于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2；（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ∆的面积；
（2）当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程．
例4、已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22
143
x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且 ,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题
例1、已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m
=+对称；
例2、已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率3
2
2=e ，试问是否存在直线l ，使l 与 椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线2
1
-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若 不存在，请说明理由。

题型十、最值问题
例1
、若(P -，2F 为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

分析：
欲求2MP MF +的最大值和最小值可转化为距离差再求。

由此想到椭圆第一定义212MF a MF =-,
结论1：
设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ,00(,)P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为椭圆上任意一点，
则2MP MF +的最大值为12a PF +,最小值为12a PF -；
例2、(2,6)P -,2F 为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，
点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。

分析：点P 在椭圆外，2PF 交椭圆于M ，此点使2MP MF +值最小，求最大值方法同例1.
结论2：
设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ，00(,)P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为椭圆上任意一点，
则2MP MF +的最大值为12a PF +，最小值为2PF ;
2、二次函数法
例3、求定点(,0)A a 到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA ，转化为,x y 的函数求最小值。

结论3：
椭圆122
22=+b
y a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式
3、三角函数法
例4、求椭圆14
222
=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；
结论4： 若椭圆122
22=+b
y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。

4、判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

结论5：
椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

例5、已知定点(A -，点F 为椭圆22
11612
x y +=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）
例6、已知1F 、2F 分别为椭圆22
110064
x y +=的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）253
PM PF +
的最小值； （2）2PM PF +的取值范围．
三角形法： 椭圆122
22=+b
y a x （b 2=5, a 2>5）的左焦点为F ，直线x=m 于椭圆相交于点A,B,三角形FAB 的周长的最大值为12， 则该椭圆的离心率为
题型十一.轨迹问题
例1、到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )
、椭圆 Ｂ、双曲线 Ｃ、直线 Ｄ、线段
例2、已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求 点Q 的轨迹方程。

例3、已知圆22
:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合
例1、关于x
20
kx k
+=有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围.
例2
、求函数μ=。