信号与系统第3讲
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信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
信号与系统2-3
∴ yzs (t) = g(t) ∗δ (t) − 2g(t) ∗δ (t − 2) + g(t) ∗δ (t − 3) = g(t) − 2 g(t − 2) + g(t − 3) = (2e−2t −1)ε (t) − 2[2e−2(t−2) −1]ε (t − 2) +[2e−2(t −3) −1]ε (t −3)
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯+ 其中 H( p) = D( p) ( p − λ1)( p − λ2 )⋯( p − λn ) p − λ1 p − λj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑Cje j ε (t)
j =1
λt
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑Cj e j ε (t) + h(t) ∗ f (t)
j =1 n
λt
长江大学电信学院
第二章第3讲
9
Signals And systems
例 2.14
p +3 , 已知 p2 + 3 p + 2
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1 (t)
f 2 (t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t) ∗ f2′(t)
f2′(t)
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯+ 其中 H( p) = D( p) ( p − λ1)( p − λ2 )⋯( p − λn ) p − λ1 p − λj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑Cje j ε (t)
j =1
λt
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑Cj e j ε (t) + h(t) ∗ f (t)
j =1 n
λt
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第二章第3讲
9
Signals And systems
例 2.14
p +3 , 已知 p2 + 3 p + 2
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1 (t)
f 2 (t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t) ∗ f2′(t)
f2′(t)
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统 第3讲
一、经典法
( p + a n 1 p
n
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
p+3 , 且r (0) = 1, r ' (0) = 2, 例1：已知一系统 H ( p ) = 2 p + 3p+ 2 求系统零输入响应
r (t ) = 4e t 3e 2t t≥0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p) 分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母 解：第一步 求微分方程的特征根
m n m+n
m,n为任意整数 为任意整数
m , n同为正数或负数
微分和积分的次序不能交换
1 1 p 问： = p? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程： 一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) + a n 1 n 1 r ( t ) + ... + a 1 r (t ) + a0r (t ) n dt dt dt dm d m 1 d e ( t ) + b m 1 m 1 e ( t ) + ... + b 1 e ( t ) + b0 e ( t ) = bm m dt dt dt
rzi ( t ) = C 1 e
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
λ1t
+ C 2e
λ 2t
+ ... + C n e
λnt
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t
2
信号与系统-罗斯判据
§4 系统的稳定性
• 系统稳定的充分必要条件 – 冲激响应必须是绝对可积的，0即| h(t) | dt 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特 征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
1 1F 2H
(1) 系统函数
H (s) U0(s) US (s)
解：用节点法列方程：
1
uS (t)
2 u1
u0 (t) Ku1
(1
1 2
1 11/ s
2s
)U1
1 11/ s
2s
KU1
US
(
3 2
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
第六章第3讲
3
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：
• 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也 有不全为正数的情况：
– 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一 列系数符号改变的次数。s4 2s3 3s2 4s 5 0
罗斯阵–为例：s4线性系统１的特征方３程为： ５
s3
２
４
０
s2
(6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0
6 25
s
4 25
6s2 4s 3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)
• 系统稳定的充分必要条件 – 冲激响应必须是绝对可积的，0即| h(t) | dt 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特 征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
1 1F 2H
(1) 系统函数
H (s) U0(s) US (s)
解：用节点法列方程：
1
uS (t)
2 u1
u0 (t) Ku1
(1
1 2
1 11/ s
2s
)U1
1 11/ s
2s
KU1
US
(
3 2
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
第六章第3讲
3
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：
• 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也 有不全为正数的情况：
– 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一 列系数符号改变的次数。s4 2s3 3s2 4s 5 0
罗斯阵–为例：s4线性系统１的特征方３程为： ５
s3
２
４
０
s2
(6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0
6 25
s
4 25
6s2 4s 3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)
信号与系统 第二章 第3讲
第二节 起始点的跳变
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章
An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：
信号与系统 第3章(xin ) 信号的频域分析
3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的 偶 T
An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函 数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n
重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
《信号与系统》真题强化教程(第3讲 连续信号傅里叶变换)
考点16：群时延
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考点17：系统性题目 （1）滤波系统 例63：如图所示系统。
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考点7：傅里叶变换与响应
考点8：奈奎斯特频率 （1）傅里叶变换的性质求解奈奎斯特频率
例32：若f(t)的奈奎斯特角频率为ω0，则f(t)+f(t-t0)的奈奎斯特 角频率为________，f(t)cosω0t的奈奎斯特角频率为______。
（1）抽样后，在什么频率上会出现干 扰信号？试画出抽样后的信号的频谱 示意图； （2）为抗干扰，信号在抽样前通过一 个抗混淆系统，将干扰信号滤除。请 在图（a）、（b）中选出合适的抗混 淆系统，并画出幅度响应图； （3）为使有用信号的衰减低于1 dB， 而混淆信号的衰减高于15 dB，试求所 需的时间参数RC的范围。
（a） （b）
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（a）
（b）
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考点4：傅里叶变换应用 （1）判断互逆系统 （2）求解积分
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（3）求幅频特性和相频特性
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（4）求解各频率分量振幅
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考点17：系统性题目 （1）滤波系统 例63：如图所示系统。
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考点7：傅里叶变换与响应
考点8：奈奎斯特频率 （1）傅里叶变换的性质求解奈奎斯特频率
例32：若f(t)的奈奎斯特角频率为ω0，则f(t)+f(t-t0)的奈奎斯特 角频率为________，f(t)cosω0t的奈奎斯特角频率为______。
（1）抽样后，在什么频率上会出现干 扰信号？试画出抽样后的信号的频谱 示意图； （2）为抗干扰，信号在抽样前通过一 个抗混淆系统，将干扰信号滤除。请 在图（a）、（b）中选出合适的抗混 淆系统，并画出幅度响应图； （3）为使有用信号的衰减低于1 dB， 而混淆信号的衰减高于15 dB，试求所 需的时间参数RC的范围。
（a） （b）
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信号与系统1-3
解：零输入响应是初始值的线性函数，故
yzi (t) k1x1(0) k2x2 (0)
电信学院
14
yzi (t) k1x1(0) k2x2 (0)
将(1)，(2)条件代入，得：
5k1 2k2 et (7t 5) k1 4k2 et (5t 1)
所以，零输入响应为
基本要求
掌握微分方程描述的系统判别其线性、时变和因果性。
掌握线性系统的齐次性、叠加性和分解性。会运用这些 概念计算和分析问题。
掌握线性系统的非时变性质。会运用它计算和分析问题
电信学院
19
作业
1-10 1-11
选做 1-23
电信学院
20
课堂练习
若有线性时不变系统的方程为
电信学院
22
电信学院
2
1.6 系统的概念
系统分类
动态系统与静态系统 动态系统也称作记忆系统，是用微分方程描述的。它 的当前响应取决于现在和过去的输入。相反地，系统 的响应只取决于输入的瞬时值，而与过去和将来的值 无关。这样的系统也称为瞬时的、无记忆的或静态的 系统，所有瞬时系统都是因果的。
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y(t) ay(t) f (t)
在非零 f (t) 作用下其零状态响应 y(t) 1 et，试求方程
y(t) ay(t) 2 f (t) f (t)
的零状态响应。
y(t) 2(1 et ) et 2 et
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下一节
21
课堂练习
自测题1.11 自测题1.12
yzs (t) y(t) yzi (t) et (t 1) 2tet et tet
yzi (t) k1x1(0) k2x2 (0)
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14
yzi (t) k1x1(0) k2x2 (0)
将(1)，(2)条件代入，得：
5k1 2k2 et (7t 5) k1 4k2 et (5t 1)
所以，零输入响应为
基本要求
掌握微分方程描述的系统判别其线性、时变和因果性。
掌握线性系统的齐次性、叠加性和分解性。会运用这些 概念计算和分析问题。
掌握线性系统的非时变性质。会运用它计算和分析问题
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19
作业
1-10 1-11
选做 1-23
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20
课堂练习
若有线性时不变系统的方程为
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2
1.6 系统的概念
系统分类
动态系统与静态系统 动态系统也称作记忆系统，是用微分方程描述的。它 的当前响应取决于现在和过去的输入。相反地，系统 的响应只取决于输入的瞬时值，而与过去和将来的值 无关。这样的系统也称为瞬时的、无记忆的或静态的 系统，所有瞬时系统都是因果的。
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y(t) ay(t) f (t)
在非零 f (t) 作用下其零状态响应 y(t) 1 et，试求方程
y(t) ay(t) 2 f (t) f (t)
的零状态响应。
y(t) 2(1 et ) et 2 et
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下一节
21
课堂练习
自测题1.11 自测题1.12
yzs (t) y(t) yzi (t) et (t 1) 2tet et tet
信号与系统 郑君里 第三章 连续系统频域分析
编辑状态下，图形演示平移T1/2再翻转。
第3章 连续时间信号频域分析
1.三角型傅里叶级数
让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶(Jean
Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830)， 法国著名数学家、物理学家，1817年当 选为科学院院士，1822年任该院终身秘 书，后又任法兰西学院终身秘书和理工 科大学校务委员会主席，主要贡献是在 研究热的传播时创立了一套数学理论。 小行星10101号傅里叶星、他是名字被刻在埃菲尔铁塔的七十二位法国 科学家与工程师其中一位、约瑟夫.傅立叶大学 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方 程，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
������=−1
������ ������������1 ej������������1������
因此得到指数形式的傅里叶级数
∞
������(������) =
������=−∞
������(������������1 )ej������������1������
第3章 连续时间信号频域分析
2.指数型傅里叶级数
������=1
������ ������ = ������0 +
������0 = ������0 = ������0
������������ = ������������ =
2 2 ������������ + ������������
������������ = ������������ cos ������������ = ������������ sin ������������
第3章 连续时间信号频域分析
（1） 三角型傅里叶级数系数的计算
信号与系统6-3
1 25
s
2 1
7 25s2 1源自u0(t)1 25
et
3
cos
7 18
t
1 25
18 7
et
3
sin
7 18
t
1 25
cos
t
7 25
sin
t
第六章第3讲
11
课堂练习题
系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有 正实部的特征根及负实部的特征根的个数。
(1) s3 s2 s 6 0
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
(2)K为何值时，系统稳定？
欲使系统稳定，必有 5－2K＞0 即 K＜2.5
第六章第3讲
10
例3
(3)取K＝0.5，uS(t)= sint (t)，求零状态响应u0(t)。
解得： A 1 , B 7 ,
N 4A 6B 2
25
25
故有
M 3A 4B 1 N 3B 1
M 6 , N 4
25
25
U0 (s)
6 25
s
6s2 4s
4 25
3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)
2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)2
7 18
s
解： K＝0.5 时：
H
(s)
2K (2s 2 6s2 (5
《信号与系统》课程讲义3-4
t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理
《信号与系统》第3章
信号与系统讲稿
• 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一 些特殊情形下应用的三角级数方法发展 成内容丰富的一般理论，三角级数后来 就以傅里叶的名字命名。 • 《热的解析理论》影响了整个19世纪分 析严格化的进程。
信号与系统讲稿
3.1
周期性信号的频域分析
教学目标：掌握周期性信号频谱的概念， 会用傅里叶级数表示周期信号。
或 E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa 2 n 1
Cos( n1t )
若将展开指数形式的傅里叶级数，由式（8）可得：
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
Ee
ห้องสมุดไป่ตู้
jn1t
E n1 dt Sa T1 2
幅度谱cn和相位谱 见书P104页。
特别注意：书P103 1． 2． 3． P105 “对称方波信号有两个特点： （1）它是正负交替的信号，其直流分量（a0 等于零。 （2） 它的脉宽等于周期的一半，即 ”
信号与系统讲稿 第三章
）
信号与系统讲稿
二． 三． 四． 五．
周期锯齿脉冲信号（书P106，自学） 周期三角脉冲信号（书P106，自学） 周期半波余弦信号（书P108，自学） 周期全波余弦信号（书P108，自学）
n 1
a0 d0 2 dn
2 2 an bn 1
n tg
an bn
n次谐波的初相角
信号与系统讲稿
三． 频谱的概念
f ( t )为时间函数，而c0、cn、n为频率函数， 所以，信号从用时间函数来表达过渡到用频率函 数来表达。 1. 幅度频谱：cn 随频率变化的情况用图 来表示就叫幅度频谱。 2. 相位频谱：n随频率变化的情况用图 来表示就叫相位频谱。
《信号与系统》课件讲义
《信号与系统》课件讲义一、内容描述首先我们将从信号的基本概念开始，大家都知道，无论是听音乐、看电视还是打电话，背后都离不开信号的存在。
那么什么是信号呢？信号有哪些种类？我们又如何描述它们呢？这一部分我们会带领大家走进信号的世界，一起探索信号的奥秘。
接下来我们将探讨信号与系统之间的关系，信号在系统中是如何传输、处理和变换的？不同的系统对信号有何影响？我们将通过具体的例子和模型，帮助大家理解这个复杂的过程。
此外我们还会深入学习信号的数学描述方法，虽然这部分内容可能会有些难度，但我们会尽量使用通俗易懂的语言，帮助大家更好地理解。
通过这部分的学习，我们将学会如何对信号进行量化分析，从而更好地理解和应用信号。
我们将探讨信号处理的一些基本方法和技术，如何对信号进行滤波、调制、解调等处理？这些处理技术在实际中有哪些应用？我们将通过实例和实践，帮助大家掌握这些基本方法和技术。
1. 介绍信号与系统的基本概念及其重要性首先什么是信号？简单来说信号就像是我们生活中的各种信息传达方式，想象一下当你用手机给朋友发一条短信，这条信息就是一个信号，它传递了你的意图和情感。
在更广泛的层面上，信号可以是任何形式的波动或变化，比如声音、光线、电流等。
它们都有一个共同特点，那就是携带了某种信息。
这些信息可能是我们想要传达的话语，也可能是自然界中的物理变化。
而系统则是接收和处理这些信号的装置或过程，它像是一个加工厂，将接收到的信号进行加工处理，然后输出我们想要的结果。
比如收音机就是一个系统，它接收无线电信号并转换成声音让我们听到。
这样描述下来，你会发现信号和系统真的是无处不在。
无论是在学习还是在日常生活中都能见到他们的影子，他们对现代通信、计算机技术的发展都有着不可替代的作用。
因此我们也需要对这一概念进行透彻的了解与学习才能更好地服务于相关领域为社会贡献力量！2. 简述本课程的学习目标和主要内容《信号与系统》这门课程无论是对于通信工程、电子工程还是计算机领域的学生来说，都是一门极其重要的基础课程。
信号与系统教案第3章
2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。
将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励， 利用迭代法可求得其数值解。
第3-3页
■
©东北电力大学电气工程学院
第3-6页
■
©东北电力大学电气工程学院
信号与系统
3.1
LTI离散系统的响应
例：若描述某系统的差分方程为 P88例题3.1-2 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的
全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 特征根λ1=λ2= – 2，为二重根，差分方程齐次解为 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
求单位序列响应h(k)。 P97例题3.2-1给的是框图 解 根据h(k)的定义 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1) 方程（1）移项写为
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e(t) E 系统 0 E 系统 0 t0 T+t0 t 0 t0 t T e(t -t0) t 0 r(t-t0) t r(t)
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2013-7-20
判别方法：先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f(t)
f(t - )
] H [·
H[f(t - )]
f(t)
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
方程左端只保留输出的最高阶导数项
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项
上式与冲激信号的抽样特性完全一致 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积 积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。
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2013-7-20
§ 1.6 系统模型及其分类
（理解“模型”理论，掌握系统分类） 所谓模型，是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或 具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 例如由R，C和L组合而成的串联回路，可抽象表示为图示 的模型。
t0 t0
系统1：系统的作用是对输入信号作余弦运算
经过系统 (1) e(t ) 时移 t 0 e(t t 0 ) r11 (t ) cos e(t t 0 ) t 0 时移 t 0 ( 2) e(t ) 经过系统 cos e(t ) r12 (t ) cos e(t t 0 ) t 0
表示系统的变换
C 1 C 2
H[· ]
H[· ]
+
C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
若H[C1f1(t) +C2f2(t)] ＝ C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
则系统 H[· ]是线性系统,否则是非线性系统
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2013-7-20
二、时不变特性 如果 e(t) → r(t) 则有 e(t - t0) → r(t - t0)，即输入延时，输出亦延时。
◄ Up
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2013-7-20
2、即时系统与动态系统
即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，
与历史无关（无记忆系统）。如：只有电阻元件的系统 动态系统：不仅同时刻的激励，而且历史决定其输出信号
（记忆系统）。凡包含有记忆作用的元件（如电容、电感、
磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) C 1 C 2 H[· ] H[· ] C1f1(t) C2f2(t)
+
C1t·1(t) f C2t·2(t) f
H[· ]
t· 1f1(t) +C2f2(t)] [C
t·1(t) f t·2(t) f
C 1 C 2
+
C1t·1(t) +C2 t·2(t) f f
5、时变系统与时不变系统 时变系统：系统的参量随时间改变（参变系统）。 时不变系统：系统的参量不随时间改变（定常系统）。
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2013-7-20
5、可逆系统与不可逆系统 可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。
每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统
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2013-7-20
§1.5 信号的分解
（掌握信号从不同角度分解 ） 一、直流分量与交流分量 信号平均值即信号的直流分量，去掉直流分量即得信号的
交流分量。
f(t) = fD + fA(t)
f(t)
E 0
fD 直流分量，fA(t) 交流分量
fA(t)
E
fD(t)
0
t
t
0
t
◄ Up
1
t 1 d t 1 ,
t 1
t 1 0 t 1
lim t 1
f (t 1 )(t - t 1 )dt 1
出现在不同时刻的，不同强 度的冲激函数的和。
• 变量代换，将t1改为t，将t改为t0
f (t 0 ) f (t )(t 0 - t)dt f (t )(t - t 0 )dt
2013-7-20
r(t) = ae(t)
4.微分器
e(t)
5.积分器
d dt
r t
de(t ) dt
t
e(t)
6.延时器
∫ τ
r(t ) e( )d
e(t)
r t et
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2013-7-20
例1-6-1请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图
e(t)
∫
∫
＋
r(t)
∫
-3
∫
-2
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2013-7-20
系统的分类 （从数学模型的差异来划分） 1、连续时间系统与离散时间系统 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换 为离散信号的系统。 连续时间系统的模型是微分方程。（例如RLC电路） 系统的输入与输出都是离散时间信号。 离散时间系统用差分方程描述。（数字计算机） 实际中经常是两种系统混合运用，称为混合系统
r11 t r12 t 所以此系统为时不变系统。
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2013-7-20
系统2： rt et cos t
t0
系统作用：输入信号乘cost
(1) e(t ) 时移t 0 e(t t 0 ) 经过系统 r21 (t ) e(t t 0 ) cos t
若激励信号是电压源e(t)，欲求解 电流i(t)，可建立如下的微分方程
+ C e(t) L R
d 2i( t ) di(t ) de(t ) LC RC i( t ) C 2 dt dt dt 这就是电阻、电容与线圈串联组合系统的数学模型。
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2013-7-20
► Down
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2013-7-20
二、偶分量与奇分量
任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。
偶分量 fe(t) = fe(-t) 奇分量 fo(t) = -fo(-t)
f(t) = [f(t) + f(t) + f(-t) - f(-t)]/2
= [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2 fe(t) = [f(t) + f(-t)]/2 fo(t) = [f(t) - f(-t)]/2 （利用此方法求奇偶分量）
f(t) Δt1
矩形窄脉冲分量
如图所示
窄脉冲的极限情 况就是冲激信号 的叠加。
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f(t1)
0
t1
t
◙
Main
Return
2013-7-20
• 将函数f(t)近似写作 窄脉冲信号的叠加， 其中某个窄脉冲为 f(t1)[u(t-t1)-u(t-t1-Δt1)]
f(t1)
f(t)
Δt1
方框图表示系统模型（介绍几个基本运算单元）
1.加法器
e1(t)
e2(t) 2.乘法器 e1(t) e2(t)
Σ
或用
r(t) = e1(t) + e2(t)
×
r(t) = e1(t)·2(t) e
3.标量乘法器（数乘器，比例器） e(t) a a
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► Down
◙Leabharlann MainReturn2013-7-20
判别方法：[先线性运算，再经系统]＝[先经系统，再线性运算]
f1(t)
f2(t) f1(t) f2(t)
C 1
C 2
C1f1(t) C2f2(t) H[f1(t)] H[f2(t)]
+
C1H[f1(t)] C2H[f2(t)]
H[· ]
H[C1f1(t) +C2f2(t)]
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2013-7-20
3、集总参数系统与分布参数系统 由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统； 含有分布参数元件的系统是分布参数系统。(如传输线、 波导等)。 在一般的电路分析中，所涉及的电路系统都是集总参数的， 各点之间的信号是瞬间传递的, 并且这种瞬间传递对信号 本身没有影响。集总参数系统是一种理想化的模型
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2013-7-20
4、线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统 ①叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出 响应等于各个激励单独作用所产生的响应之和。 ②均匀性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的 常数。 不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。
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2013-7-20
判别方法：先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f(t)
f(t - )
] H [·
H[f(t - )]
f(t)
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
方程左端只保留输出的最高阶导数项
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项
上式与冲激信号的抽样特性完全一致 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积 积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。
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§ 1.6 系统模型及其分类
（理解“模型”理论，掌握系统分类） 所谓模型，是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或 具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 例如由R，C和L组合而成的串联回路，可抽象表示为图示 的模型。
t0 t0
系统1：系统的作用是对输入信号作余弦运算
经过系统 (1) e(t ) 时移 t 0 e(t t 0 ) r11 (t ) cos e(t t 0 ) t 0 时移 t 0 ( 2) e(t ) 经过系统 cos e(t ) r12 (t ) cos e(t t 0 ) t 0
表示系统的变换
C 1 C 2
H[· ]
H[· ]
+
C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
若H[C1f1(t) +C2f2(t)] ＝ C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
则系统 H[· ]是线性系统,否则是非线性系统
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2013-7-20
二、时不变特性 如果 e(t) → r(t) 则有 e(t - t0) → r(t - t0)，即输入延时，输出亦延时。
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2013-7-20
2、即时系统与动态系统
即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，
与历史无关（无记忆系统）。如：只有电阻元件的系统 动态系统：不仅同时刻的激励，而且历史决定其输出信号
（记忆系统）。凡包含有记忆作用的元件（如电容、电感、
磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) C 1 C 2 H[· ] H[· ] C1f1(t) C2f2(t)
+
C1t·1(t) f C2t·2(t) f
H[· ]
t· 1f1(t) +C2f2(t)] [C
t·1(t) f t·2(t) f
C 1 C 2
+
C1t·1(t) +C2 t·2(t) f f
5、时变系统与时不变系统 时变系统：系统的参量随时间改变（参变系统）。 时不变系统：系统的参量不随时间改变（定常系统）。
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5、可逆系统与不可逆系统 可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。
每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统
► Down
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2013-7-20
§1.5 信号的分解
（掌握信号从不同角度分解 ） 一、直流分量与交流分量 信号平均值即信号的直流分量，去掉直流分量即得信号的
交流分量。
f(t) = fD + fA(t)
f(t)
E 0
fD 直流分量，fA(t) 交流分量
fA(t)
E
fD(t)
0
t
t
0
t
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1
t 1 d t 1 ,
t 1
t 1 0 t 1
lim t 1
f (t 1 )(t - t 1 )dt 1
出现在不同时刻的，不同强 度的冲激函数的和。
• 变量代换，将t1改为t，将t改为t0
f (t 0 ) f (t )(t 0 - t)dt f (t )(t - t 0 )dt
2013-7-20
r(t) = ae(t)
4.微分器
e(t)
5.积分器
d dt
r t
de(t ) dt
t
e(t)
6.延时器
∫ τ
r(t ) e( )d
e(t)
r t et
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2013-7-20
例1-6-1请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图
e(t)
∫
∫
＋
r(t)
∫
-3
∫
-2
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2013-7-20
系统的分类 （从数学模型的差异来划分） 1、连续时间系统与离散时间系统 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换 为离散信号的系统。 连续时间系统的模型是微分方程。（例如RLC电路） 系统的输入与输出都是离散时间信号。 离散时间系统用差分方程描述。（数字计算机） 实际中经常是两种系统混合运用，称为混合系统
r11 t r12 t 所以此系统为时不变系统。
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2013-7-20
系统2： rt et cos t
t0
系统作用：输入信号乘cost
(1) e(t ) 时移t 0 e(t t 0 ) 经过系统 r21 (t ) e(t t 0 ) cos t
若激励信号是电压源e(t)，欲求解 电流i(t)，可建立如下的微分方程
+ C e(t) L R
d 2i( t ) di(t ) de(t ) LC RC i( t ) C 2 dt dt dt 这就是电阻、电容与线圈串联组合系统的数学模型。
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2013-7-20
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2013-7-20
二、偶分量与奇分量
任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。
偶分量 fe(t) = fe(-t) 奇分量 fo(t) = -fo(-t)
f(t) = [f(t) + f(t) + f(-t) - f(-t)]/2
= [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2 fe(t) = [f(t) + f(-t)]/2 fo(t) = [f(t) - f(-t)]/2 （利用此方法求奇偶分量）
f(t) Δt1
矩形窄脉冲分量
如图所示
窄脉冲的极限情 况就是冲激信号 的叠加。
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f(t1)
0
t1
t
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2013-7-20
• 将函数f(t)近似写作 窄脉冲信号的叠加， 其中某个窄脉冲为 f(t1)[u(t-t1)-u(t-t1-Δt1)]
f(t1)
f(t)
Δt1
方框图表示系统模型（介绍几个基本运算单元）
1.加法器
e1(t)
e2(t) 2.乘法器 e1(t) e2(t)
Σ
或用
r(t) = e1(t) + e2(t)
×
r(t) = e1(t)·2(t) e
3.标量乘法器（数乘器，比例器） e(t) a a
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◙Leabharlann MainReturn2013-7-20
判别方法：[先线性运算，再经系统]＝[先经系统，再线性运算]
f1(t)
f2(t) f1(t) f2(t)
C 1
C 2
C1f1(t) C2f2(t) H[f1(t)] H[f2(t)]
+
C1H[f1(t)] C2H[f2(t)]
H[· ]
H[C1f1(t) +C2f2(t)]
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2013-7-20
3、集总参数系统与分布参数系统 由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统； 含有分布参数元件的系统是分布参数系统。(如传输线、 波导等)。 在一般的电路分析中，所涉及的电路系统都是集总参数的， 各点之间的信号是瞬间传递的, 并且这种瞬间传递对信号 本身没有影响。集总参数系统是一种理想化的模型
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2013-7-20
4、线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统 ①叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出 响应等于各个激励单独作用所产生的响应之和。 ②均匀性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的 常数。 不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。
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