信号与系统第3讲

2013-7-20
r(t) = ae(t)
4.微分器
e(t)
5.积分器
d dt
r t
de(t ) dt
t
e(t)
6.延时器
∫ τ
r(t ) e( )d
e(t)
r t et
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2013-7-20
例1-6-1请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图

上式与冲激信号的抽样特性完全一致 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积 积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。
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2013-7-20
§ 1.6 系统模型及其分类
（理解“模型”理论，掌握系统分类） 所谓模型，是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或 具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 例如由R，C和L组合而成的串联回路，可抽象表示为图示 的模型。
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4、线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统 ①叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出 响应等于各个激励单独作用所产生的响应之和。 ②均匀性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的 常数。 不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。
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二、偶分量与奇分量
任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。
偶分量 fe(t) = fe(-t) 奇分量 fo(t) = -fo(-t)
f(t) = [f(t) + f(t) + f(-t) - f(-t)]/2
= [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2 fe(t) = [f(t) + f(-t)]/2 fo(t) = [f(t) - f(-t)]/2 （利用此方法求奇偶分量）
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从波形上看
f(t) 1 t f(t) 1 fe(t) fe(t) fo(t) 1
=
+
t t
fo(t)
=
t
1/2
+
t
1/2
t
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三、脉冲分量
一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和
矩形窄脉冲分量 阶跃信号分量（极少采用）
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[u(t - t 1 ) - u(t - t 1 - t 1 )] f (t ) lim f (t 1 ) t 1 t 1 0 t t 1 1

lim f (t 1 )(t - t 1 )t 1 t 0
1

t 1 d t 1 ,
t 1
t 1 0 t 1
lim t 1


f (t 1 )(t - t 1 )dt 1

出现在不同时刻的，不同强 度的冲激函数的和。
• 变量代换，将t1改为t，将t改为t0
f (t 0 ) f (t )(t 0 - t)dt f (t )(t - t 0 )dt
表示系统的变换
C 1 C 2
H[· ]
H[· ]
+
C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
若H[C1f1(t) +C2f2(t)] ＝ C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
则系统 H[· ]是线性系统,否则是非线性系统
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二、时不变特性 如果 e(t) → r(t) 则有 e(t - t0) → r(t - t0)，即输入延时，输出亦延时。
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判别方法：[先线性运算，再经系统]＝[先经系统，再线性运算]
f1(t)
f2(t) f1(t) f2(t)
C 1
C 2
C1f1(t) C2f2(t) H[f1(t)] H[f2(t)]
+
C1H[f1(t)] C2H[f2(t)]
H[· ]
H[C1f来自百度文库(t) +C2f2(t)]
可见，先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算， 所以此系统是线性系统。
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若激励信号是电压源e(t)，欲求解 电流i(t)，可建立如下的微分方程
+ C e(t) L R
d 2i( t ) di(t ) de(t ) LC RC i( t ) C 2 dt dt dt 这就是电阻、电容与线圈串联组合系统的数学模型。
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t0 t0
系统1：系统的作用是对输入信号作余弦运算
经过系统 (1) e(t ) 时移 t 0 e(t t 0 ) r11 (t ) cos e(t t 0 ) t 0 时移 t 0 ( 2) e(t ) 经过系统 cos e(t ) r12 (t ) cos e(t t 0 ) t 0
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2013-7-20
3、集总参数系统与分布参数系统 由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统； 含有分布参数元件的系统是分布参数系统。(如传输线、 波导等)。 在一般的电路分析中，所涉及的电路系统都是集总参数的， 各点之间的信号是瞬间传递的, 并且这种瞬间传递对信号 本身没有影响。集总参数系统是一种理想化的模型
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) C 1 C 2 H[· ] H[· ] C1f1(t) C2f2(t)
+
C1t·1(t) f C2t·2(t) f
H[· ]
t· 1f1(t) +C2f2(t)] [C
t·1(t) f t·2(t) f
C 1 C 2
+
C1t·1(t) +C2 t·2(t) f f
e(t)
∫
∫
＋
r(t)
∫
-3
∫
-2
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2013-7-20
系统的分类 （从数学模型的差异来划分） 1、连续时间系统与离散时间系统 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换 为离散信号的系统。 连续时间系统的模型是微分方程。（例如RLC电路） 系统的输入与输出都是离散时间信号。 离散时间系统用差分方程描述。（数字计算机） 实际中经常是两种系统混合运用，称为混合系统
方框图表示系统模型（介绍几个基本运算单元）
1.加法器
e1(t)
e2(t) 2.乘法器 e1(t) e2(t)
Σ
或用
r(t) = e1(t) + e2(t)
×
r(t) = e1(t)·2(t) e
3.标量乘法器（数乘器，比例器） e(t) a a
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t0
( 2) e(t ) 经过系统 e(t ) cos t
t0 r22 (t ) e(t t 0 ) cos( t t 0 )
时移
t0
r21 (t ) r22 (t )
此系统为时变系统。
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2013-7-20
例1-7-3判断以下系统是否为线性非时变系统y(t)= t · f(t) ⑴是否为线性系统？
f(t) Δt1
矩形窄脉冲分量
如图所示
窄脉冲的极限情 况就是冲激信号 的叠加。
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f(t1)
0
t1
t
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2013-7-20
• 将函数f(t)近似写作 窄脉冲信号的叠加， 其中某个窄脉冲为 f(t1)[u(t-t1)-u(t-t1-Δt1)]
f(t1)
f(t)
Δt1
级联组合后，输出信号与输入信号相同 。
e1(t)
×5
×5
r1(t)
e1(t)
÷5
÷5
r2(t)
e1(t)
e1(t)
e1(t)
乘方
r3(t)
e1(t)与- e1(t)产生相同的响应
因果系统与非因果系统、稳定系统与非稳定系统
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§ 1.7 线性时不变系统 （着重讨论确定输入信号作用下的集总参数线性时不变系统）
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2、即时系统与动态系统
即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，
与历史无关（无记忆系统）。如：只有电阻元件的系统 动态系统：不仅同时刻的激励，而且历史决定其输出信号
（记忆系统）。凡包含有记忆作用的元件（如电容、电感、
磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统
（Linear Time – Invariant LTI） LTI系统基本特性 一、叠加性与均匀性 如果 e1(t) → r1(t)、e2(t) → r2(t)， 则有 C1e1(t) + C2e2(t) → C1r1(t) + C2r2(t)
e1(t) e2(t) 系统 系统 r1(t) C1e1(t) + C2e2(t) r2(t) 系统 C1r1(t) + C2r2(t)
r(t ) 3 r(t ) d t 2 r(t ) d t e(t ) d t e(t ) d t
系统框图
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r(t ) 3 r(t ) d t 2 r(t ) d t e(t ) d t e(t ) d t
• 无数个窄脉冲相加
0

t1
t
f (t ) f (t 1 )[u(t - t 1 ) - u(t - t 1 - t 1 )]
t 1

• 取Δt1 →0的极限
f (t 1 )
t 1
[u(t - t 1 ) - u(t - t 1 - t 1 )] t 1 t 1
e(t) E 系统 0 E 系统 0 t0 T+t0 t 0 t0 t T e(t -t0) t 0 r(t-t0) t r(t)
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判别方法：先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f(t)

f(t - )
] H [·

H[f(t - )]
f(t)
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2013-7-20
§1.5 信号的分解
（掌握信号从不同角度分解 ） 一、直流分量与交流分量 信号平均值即信号的直流分量，去掉直流分量即得信号的
交流分量。
f(t) = fD + fA(t)
f(t)
E 0
fD 直流分量，fA(t) 交流分量
fA(t)
E
fD(t)
0
t
t
0
t
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d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
方程左端只保留输出的最高阶导数项
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项
] H [·
H[f(t)] y(t)
y(t - )
若 H[f(t - )] ＝ y(t - ) 则系统 H[· ]是非时变系统,否则是时变系统
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2013-7-20
例1-7-1判断下列两个系统是否为非时变系统。 系统1： rt coset 系统2： rt et cos t
5、时变系统与时不变系统 时变系统：系统的参量随时间改变（参变系统）。 时不变系统：系统的参量不随时间改变（定常系统）。
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2013-7-20
5、可逆系统与不可逆系统 可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。
每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统
r11 t r12 t 所以此系统为时不变系统。
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2013-7-20
系统2： rt et cos t
t0
系统作用：输入信号乘cost
(1) e(t ) 时移t 0 e(t t 0 ) 经过系统 r21 (t ) e(t t 0 ) cos t