第五章 范数及误差分析
ch7-5误差分析_数值计算方法
x1 x2
2 2.
记为Ax
b,它的
精确解为x
2 0
二、病态方程组
现在考虑常数项的微小变化对方程组解的影响， 即考察方程组
1 1
1
1.0001
y1
y2
2 2.0001
2 2
0 0.0001
b
b
y
x
x
1 1
为其解
可见 :常数项b的第2个分量只有 1 的微小变化， 10000
方程组的解却变化很大.
由由由AAxAxxbb，b，， A( xAAxx)bbbb b
x
xxAAA111bbb
由 两两两边 A边 x边取取取范 b范 ， 范数数数 A
xx b
xx
AAA 111bbbxAAA1A111bbbb
两 又 又 又 此 又 此边 因 因因 式因 式取 为 为为 表xx为 表 xx范 xxx明x明数 ,当 ,当xAxA右 xA右 xA 111端 bbAAbA1端 bA项 AAA项 AAAbbbAxAxx有 bx有x扰 扰A动 bAAAbbAA动 bA时 AA时AAAb,1解 bb1b,解 111b的 的 b相bbb相对A对误1误差差b不不超超过过
A max{1 1, 3 2} 5 1
AT
A
1 3
21
1 1
3 2
2 5
5 13
举例
特征方程为I AT A
如果将矩阵范数看作R
2 5
n52空间上的13向量0 范数，
则由向例量：1 范A1数515的123等222价12421,性,2可计 得算15矩A的2阵2各范21种数范的数等。价性。
五、常用的矩阵范数
n
1.
误差与范数
第一章误差与范数1.1 误差的来源1.2 误差和有效数字1.3 误差估计的基本方法1.4 数值计算中应注意的问题第二章非线性方程（组）的数值解法2.1 方程（组）的根及其MATLAB命令2.1.2 求解方程（组）的solve命令2.1.4 求解方程（组）的fsolve命令2.2 搜索根的方法及其MATLAB程序2.2.1 作图法及其MATLAB程序2.2.2 逐步搜索法及其MATLAB程序2.3 二分法及其MATLAB程序2.3.1 二分法求方程根的迭代次数的MATLAB命令2.3.2 二分法的MATLAB程序2.4 迭代法及其MATLAB程序2.4.2 迭代法的MATLAB程序12.4.5 迭代法的MATLAB程序22.5 迭代过程的加速方法及其MATLAB程序2.5.2 加权迭代的MATLAB程序2.5.4 艾特肯(Aitken)加速方法的MATLAB程序2.6 牛顿(Newton)切线法及其MATLAB程序2.6.2 牛顿切线法的收敛性及其MATLAB程序2.6.3 牛顿切线法的MATLAB程序2.6.6 牛顿切线法的加速及其两种MATLAB程序2.7 割线法及其MATLAB程序2.7.2 割线法的MATLAB程序2.8 抛物线法及其MATLAB程序2.8.2 抛物线法的MATLAB程序2.9 求解非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.1 求解二阶非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.2 求解n阶非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.3 求解n阶非线性方程组的拟牛顿法及其MATLAB程序第三章解线性方程组的直接方法3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序3.2 三角形方程组的解法及其MATLAB程序3.2.2 解三角形方程组的MATLAB程序3.3 高斯消元法和列主元素消元法及其MATLAB程序3.3.1 高斯消元法及其MATLAB程序3.3.2 列主元素消元法及其MATLAB程序3.4 LU分解法及其MATLAB程序3.4.1 判断矩阵LU分解的充要条件及其MATLAB程序3.4.2 直接LU分解法及其MATLAB程序3.4.3 含交换阵的LU分解法及其MATLAB程序3.4.4 正定对称矩阵的Cholesky分解及其MATLAB程序3.4.5 正定对称矩阵的Cholesky分解及其MATLAB程序3.5 求解线性方程组的LU方法及其MATLAB实现3.5.1 求解线性方程组的Cholesky分解及其MATLAB实现3.5.2 求解线性方程组的直接LU分解法及其MATLAB实现3.5.3 解线性方程组的选主元的LU方法及其MATLAB实现3.6 误差分析及其两种MATLAB程序3.6.1 用MATLAB软件作误差分析AX=解的性态的MATLAB程序3.6.2 求P条件数和讨论bAX=解和A的性态的MATLAB程序3.6.3 用P范数讨论b第四章解线性方程组的迭代法4.1 迭代法和敛散性及其MATLAB程序4.1.2 用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB程序4.2 雅可比（Jacobi）迭代及其MATLAB程序4.2.2 判别雅可比迭代收敛性的MATLAB程序4.2.3 雅可比迭代的两种MATLAB程序4.3 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代及其MATLAB程序4.3.3 高斯—塞德尔迭代两种MATLAB程序4.4 解方程组的超松弛迭代法及其MATLAB程序4.4.2 超松弛迭代法收敛性及其MATLAB程序4.4.3 超松弛迭代法的MATLAB程序第五章矩阵的特征值与特征向量的计算5.2 幂法及其MATLAB程序5.2.2 幂法的MATLAB程序5.3 反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3 原点位移反幂法的两种MATLAB程序5.4 雅可比(Jacobi)方法及其MATLAB程序5.4.3 雅可比方法的MATLAB程序5.5 豪斯荷尔德方法及其MATLAB程序5.5.1 豪斯荷尔德方法及其MATLAB程序5.5.2 矩阵约化为上Householder阵及其MATLAB程序5.5.3 实对称矩阵的三对角化及其MATLAB 程序5.6 QR 方法及其MATLAB 程序5.6.2 QR 方法的MATLANB 程序5.6.5 最末元素位移QR 法计算实对称矩阵特征值及其MATLAB 程序5.6.6 求根位移QR 方法计算实对称矩阵A 的特征值及其MATLAB 程序5.7 广义特征值问题及其MATLAB 程序5.7.2 用MATLAB 计算BX AX λ=型的广义特征值和特征向量第六章 函数的插值方法6.1 插值问题及其误差6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数6.2 拉格朗日（Lagrange ）插值及其MATLAB 程序6.2.1 线性插值及其MATLAB 程序6.2.2 抛物线插值及其MATLAB 程序 6.2.3 n 次拉格朗日（Lagrange ）插值及其MATLAB 程序6.2.5 拉格朗日多项式和基函数的MATLAB 程序6.2.6 拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB 程序6.3 牛顿（Newton ）插值及其MATLAB 程序6.3.3 牛顿插值多项式、差商和误差公式的MATLAB 程序6.3.4 牛顿插值及其误差估计的MATLAB 程序6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序6.4 埃尔米特（Hermite ）插值及其MATLAB 程序6.4.3 埃尔米特插值多项式的MATLAB 程序6.5 分段插值及其MATLAB 程序6.5.1 高次插值的振荡和MATLAB 程序6.5.3 分段线性插值的MATLAB 程序6.5.4 作有关分段线性插值图形的MATLAB 程序6.5.5 用MATLAB 计算有关分段线性插值的误差6.6 分段埃尔米特（Hermite ）插值及其MATLAB 程序6.6.2 Hermite 插值的MATLAB 程序6.6.3 作有关分段Hermite 插值图形的MATLAB 程序6.6.4 用MATLAB 计算有关分段Hermite 插值的误差6.7 三次样条插值及其MATLAB 程序6.7.4 用一阶导数计算的几种样条函数和MATLAB 程序6.7.6 用MATLAB 计算三次样条6.7.7 几种作三次样条有关图像的MATLAB 程序6.7.8 用MATLAB 计算有关分段三次样条的误差6.8 高元插值及其MATLAB 程序6.8.1 MESHGRID 命令的功能和调用格式6.8.2 单调数据点上的二元插值及其MATLAB 程序6.8.3 三元插值及其MATLAB 程序第七章 函数逼近与曲线（面）拟合7.1 曲线拟合、误差及其MATLAB 实现7.2 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序7.3 函数)(x r k 的选取及其MATLAB 程序7.4 多项式拟合及其MATLAB 程序7.5 拟合曲线的线性变换及其MATLAB 程序7.6 函数逼近及其MATLAB 程序7.7 三角多项式逼近及其MATLAB 程序7.8 随机数据点上的二元拟合及其MATLAB 程序7.9 随机数据点上的n 元拟合及其MATLAB 程第八章 数值微分8.2 一阶导数的数值计算及其MATLAB 程序 (117)8.2.1 差商求导及其MATLAB 程序8.2.2 中心差商公式求导四种MATLAB 程序8.2.3 Richardson 外推法求导及其MATLAB 程序8.2.4 牛顿多项式求导及其MATLAB 程序8.2.5 diff 和gradient 函数在数值求导中的应用8.3 高阶导数的数值计算及其MATLAB 程序8.3.1 插值或拟合高阶数值导数及其MATLAB 程序8.3.2 高阶泰勒数值导数及其MATLAB 程序8.4 数值梯度和数值偏导数的计算及其MATLAB 程序8.4.1 梯度和偏导数的数值计算及其MATLAB 程序8.4.2 计算雅克比矩阵及其行列式的MATLAB 方法第九章 数值积分9.1 积分的符号计算9.1.1 定积分的MATLAB 符号计算9.1.2 变限积分的MATLAB 符号计算9.2 数值积分的思想及其MATLAB 程序9.2.3 矩形公式的MATLAB 运算9.3 插值型数值积分及其MATLAB 程序9.3.2 梯形公式的四种MATLAB 程序9.3.4 辛普生（Simpson ）数值积分的MATLAB 程序9.3.6 牛顿-科茨（Newton-Cotes ）数值积分和误差分析的三种MATLAB 程序9.3.7 利用三次样条求表格型数值积分的MATLAB 方法9.3.8 利用拉格朗日插值等方法求表格型数值积分的MATLAB 方法9.4 龙贝格公式及其MATLAB 程序9.4.2 龙贝格积分的MATLAB 程序9.5 自适应积分及其MATLAB 程序9.6 高斯（Gauss ）型积分公式及其MATLAB 程序9.6.2 在]1,1[ 上的高斯-- 勒让德积分公式及其MATLAB 程序9.6.3 在],[b a 上的高斯-- 勒让德积分公式及其MATLAB 程序9.6.4 Radau 和Lobatto 积分公式及其MATLAB 程序9.7 反常积分的计算及其MATLAB 程序9.7.1 无穷积分的符号计算及其MATLAB 程序9.7.2 无穷积分的近似计算及其MATLAB程序9.7.3 无界函数反常积分的符号计算的五种MATLAB程序9.7.4 无界函数反常积分的近似计算的两种MATLAB程序9.8 多重积分的计算及其MATLAB程序9.8.1 二重积分的符号计算及其MATLAB程序9.8.2 二重积分的梯形公式及其MATLAB程序9.8.3 矩形域上的辛普生公式及其MATLAB程序9.8.4 一般域上二重积分的数值计算及其MATLAB程序9.8.5 三重积分的计算及其MATLAB程序第十章常微分方程（组）求解10.1 常微分方程（组）的MATLAB符号求解10.1.1 MATLAB求常微分方程（组）的通解10.1.2 MATLAB求常微分方程（组）的特解10.1.3 线性常微分方程组的MATLAB解法10.3 欧拉方法及其MATLAB程序10.3.2 向前欧拉方法的三种MATLAB程序10.3.4 向后欧拉方法的MATLAB程序10.4 改进的欧拉方法及其MATLAB程序10.4.2 梯形公式的两个MATLAB程序10.4.4 改进的欧拉公式的MATLAB程序10.5 龙格—库塔方法10.5.2 二阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.3 三阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.4 四阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.5 自适应龙格—库塔方法及其MATLAB库函数10.6 线性多步法及其MATLAB程序10.6.2 亚当斯显式公式及其MATLAB程序10.6.3 亚当斯隐式公式及其MATLAB程序10.6.4 米尔恩公式及其MATLAB程序10.6.5 汉明公式及其MATLAB程序10.6.6 预测-校正系统及其MATLAB程序10.7 一阶（高）阶微分方程（组）的数值解及其MATLAB程序10.7.1 一阶微分方程组的数值解及其MATLAB程序10.7.2 高阶微分方程（组）的数值解及其MATLAB实现10.8 边值问题的数值解及其MATLAB程序10.8.1 打靶法及其MATLAB程序10.8.2 有限差分方法及其MATLAB程序10.8.3 求解常微分方程（组）边值问题数值解的MATLAB库函数。
数值分析——误差估计
—— 误差估计
1
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质
矩阵范数 误差估计
矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质
2
向量范数
方程组的解为一组数，称为解向量，近似解向量 与准确解向量之差称为误差向量，为了估计误差向 量的大小，以及在迭代法讨论收敛性的需要，首先 需引入衡量向量与矩阵大小的度量——范数。
8
算子范数
常见的算子范数 ① 1-范数（列范数）
n
A
1
max
1 jn
i 1
aij
② 2-范数（谱范数） A (AT A) 2
n
③ 无穷范数（行范数）
A
max
1in
j 1
aij
(A)为A的谱半径，即(A) max{1 , 2 ,, n }
9
算子范数
例 求矩阵A的各种常用范数
A
1 1 0
x A1 A b
x
b
18
设方程组 AX=b+δb 的解为 X~ X X
即 A(X X ) b b
②
②-①得 A X b
即 X A1 b 于是有 X A1 b ③
另一方面，由①得
bA X
且 X 0
故
1 A Xb
④
由③与④有 X A1 A b
X
b
19
病态矩阵
2.系数矩阵A的扰动对方程组解的影响
c1
A s
A t c2
A s
13
算子范数性质
算子范数的性质
定理：（相容性条件）设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量 范数，其对应的算子范数也记为 || ·|| ，则有
华中科技大学 计算方法课件第5章 线性方程-误差分析
i =1, 2
来度量 x 的“大小”，而且这种度量“大
小”的方法计算起来比欧氏范数方便。 一般要求度量向量“大小”的函数 N ( x) 满足正定性、 齐次性和三角不等式。
3
定义2 (向量的范数) 如果向量 x ∈ R n(或 C n )的某 个实值函数 N ( x) = x ，满足条件：
1
将非负实数
x
2
n 2 = ( x, x) = ∑ xi i =1
1 2
1 2
1 2
或
x
2
= ( x, x )
n = ∑ xi i =1
2
1 2
称为向量 x 的欧氏范数 。
2
向量的欧式范数可以看成是对 R n 中向量“大小”的一 种度量。 也可以用其他办法来度量向量的“大小”。 例如，对于 x = ( x1 , x2 )T ∈ R 2 , 可以用一个 x 的函数
16
下面讨论数据 A (或 b )的微小误差对解的影响。 即考虑估计 x − y ， 其中 y 是 ( A + δA) y = b 的解。 例3 设有方程组
1 1 x1 2 = 1.0001 x2 2 1
（6.1）
∞
A
∞
25
(2) A 的谱条件数
cond ( A) 2 = A
−1 2
A
2
=
λmax ( AT A) . T λmin ( A A)
当 A 为对称矩阵时
λ1 cond ( A) 2 = , λn
其中 λ1 , λn 为 A 的绝对值最大和绝对值最小的特征值。
向量与矩阵范数, 误差分析
算子范数
常见的算子范数
① 1-范数（列范数）
② 2-范数（谱范数） ③ -范数（行范数） 证明：③ ② 板书，① 为作业
A 1 max aij
1 j n i 1
n
A 2 ( AT A)
A max aij
1 i n j 1
n
10
算子范数举例
例：设
Cond(H3)=748
Cond(H4)=28375，Cond(H10)=3.51013
21
1 2 A 3 4
Hale Waihona Puke 计算A 1, A 2, A , A F
解：板书
11
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的 每个分量是连续的。 证明：略 (2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵范数， 则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
I B
1
1 1 B
证明：板书
14
病态矩阵
什么是病态矩阵
定义：考虑线性方程组 Ax=b，如果 A 或 b 的微小变化会导
致解的巨大变化，则称此线性方程组是病态的，并称矩阵 A 是病态的，反之则是良态的。
例： 1
1 x1 2 1 1.0001 x2 2 1 x1 2 1 1 1.0001 x2 2.0001
10000 10000 10000
Cond(A)=||A-1|| ||A|| 4104
2 2.0001 2.0001 0.0004 0 ( A ) A 对称，且 2
矩阵分析第五章
例1：矩阵A 的Frobenius范数与向量2-范数相容
(∑ ∑ ) (∑ ) A = F
m i =1
n|
j =1
aij
|2
1/ 2
,
x= 2
n|
j =1
xj
|2
1/ 2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ax 2 = 2
m i =1
a x n
j =1 ij j
2
≤
(4) 矩阵乘法相容性: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, ∀A, B: AB可相乘
则称实数||A||为矩阵A的范数.
∑ ∑ 例1：A =(aij)∈Cm×n, 定义 A =
m i =1
n|
j =1
aij
|
是A的范数,
是向量1-范数的推广
证明：(1)(2)(3)自然满足, 只需验证(4).
∑ (1) 若A = (α1, α2, L, αn), 则
A2 = F
α n
2
i=1 i 2 ;
∑ (2) A 2 = trace( AH A) = F
n i =1
λi
(
AH
A)
(3)
∀U
∈
U
m×m m
,
V
∈U
n×n n
,
A = UA = AH = AV = UAV
F
F
F
F
F
( ) ( ) 证明(3)： UA 2 = trace (UA)H (UA) = trace AH (U HU ) A
+
b n
k =1 k
ak
+ bk
线性方程组的范数,性态和解的误差分析,条件数
定义5：设A 为n 阶非奇矩阵，称数 A −1 A 为矩阵A的条件数， 定义 ： 阶非奇矩阵， 为矩阵 的条件数， 的条件数 记为cond( A )。 记为 。 条件数的性质： 条件数的性质： ⅰ）cond ( A )≥1 ⅱ）cond ( kA )= conபைடு நூலகம் ( A ) k 为非零常数 ⅲ）若
|| A || ⋅ || A − 1 || ⋅ v || δ x || || A − 1 || ⋅ || δ A || || A || ⇒ v ≤ = || x || 1 − || A − 1 || ⋅ || δ A || 1 − || A || ⋅ || A − 1 || ⋅ || δ A || || A ||
绝对误差放大因子
v v −1 ⇒ || δ x || ≤ || A || ⋅ || δ b ||
⇒ 1 || A || v ≤ v || x || || b ||
v v v || b || = || Ax || ≤ || A || ⋅ || x || 又
v v || δ x || || δ b || −1 v ≤ || A || ⋅ || A || ⋅ v || x || || b ||
ε 经验表明： 不是非常病态（例如： 经验表明：若 A 不是非常病态（例如： ⋅ cond ( A)∞ < 1）， 则如此迭代可达到机器精度； 病态， 则如此迭代可达到机器精度；但若 A 病态，则此算法也 不能改进。 不能改进。
近似解的误差估计及改善： 近似解的误差估计及改善： v v v v v v v 设 Ax = b 的近似解为 x *，则一般有 r = b − A x * ≠ 0 v v v || x − x* || cond (A) || r || v ≤ ⇒ v || x || b
范数
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
14
§6 误差分析
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会 有误差(观测误差和舍入误差)，即有扰动，从 而使计算结果产生误差。 向量的误差可用向量范数表示：设x 是x的近似 矩阵， x x 、x x / x 分别称为x 的关于
* * * * *
范数 的绝对误差与相对误差。
16
方程组的状态与条件数
x1 x2 2 x1 2 例：方程组 . x1 1.00001x2 2 x2 0 x1 x2 2 x1 1 而方程组 . x1 1.00001x2 2.00001 x2 1 比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
x A1 A( x x ) A1 A ( x x ) x（ 1 A1 A ） A1 A x x
x A
1 1
如果 A充分小，使得 A1 A 1, 则由上式得
A A
A A
1
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1 有关。一般地， A A1 越大，解的扰动也越大。
15
矩阵的误差可用矩阵算子范数表示：设A 是A的 近似矩阵，A A 、A A / A 分别称为A 的关
* * * *
*
于范数 的绝对误差与相对误差。 由于范数等价，用何种向量范数都是合理 的。关键是容易计算。 理论分析，谱范数是非常有效的。但在计算 上行范数和列范数更方便。 比较：向量1-范数--列范数， 向量-范数--行范数。
范数及误差分析
2021/4/18
性质较好 使用最广泛
A F
较少使用
10
定义6. 显然
设A Rnn的特征值为 1 , 2 ,, n , 称
( A) max{ 1 , 2 ,, n }
--------(9)
为矩阵A的谱半径
A 2 max( AT A) ( AT A)
定理21.
若B满足 B 1,则I B非奇异,且
若常数项b存在误差b,则解也应存在误差x
即有
A(x x) b b
--------(11)
2021/4/18
13
Ax b
x A1b
所以
x A1b A1 b
--------(12)
又因为
b Ax A x
可得
1 A
xb
(12)和(13)两式相乘,得
2021/4/18
x A A1 b
§ 5.6 向量和矩阵的范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x, 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足
(1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn.
--------(7)
称A的行范数
(3)
A 2
max( AT A)
--------(8)
称A的
( 202m1/4a/x18 AT A)为AT A的特征值的绝对值的最 大值 2 范数7
例3.
求矩阵A的各种常用范数
A
1 1 0
2 2 1
0 1 1
n
解:
A
1
max
第五章 范数及误差分析
(k) 则称 x ( k ) 收敛到 x * ，记作 lim x x 。 k
5
定义 2’ 称 R 中的向量序列 x
n
(k )
在范数 意义下收敛于 R 中的
n
向量 x ，如果 lim x
k n
(k )
x 0 。这里 是向量的任一种范数。
在 R 中，若在某一种范数意义下向量序列 x
x的p 范数, p 1
3
显然
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
1
并且由于
max xi ( x1
1i n
p
x2
p
xn
p
)
p
( n max xi )
p 1 i n
1
p
n
x
p
1
p
max xi max xi ( p ) 1 i n
特征方程为
det( I AT A)
可得AT A的特征值为
2
0 1
0
9
1
2
0
1 9.1428, 2 2.9211, 3 0.9361
max ( AT A) 9.1428
10
A1 5
T A 2 max ( A A)
A
4
3.0237
A1
诱导范数由向量范数例例33求矩阵a的各种常用范数由于10的特征值因此先求的特征值为可得容易计算容易计算计算较复杂计算较复杂对矩阵元素的对矩阵元素的变化比较敏感变化比较敏感使用最广泛使用最广泛性质较好性质较好使用最广泛使用最广泛12定义定义6565的谱半径为矩阵和算子范数对于某种向量范数10显然任何一种算子范数的谱半径不超过矩阵的即矩阵a
误差分析—误差的基本概念(试验设计与数据处理课件)
样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较好地代表总体样本
绝对误差
绝对误差（absolute error）
定义：绝对误差＝试验值知
绝对误差的范围：
x x xt x max
6
或
xt x x max
绝对误差限或
绝对误差上界
算术平均误差
算术平均误差 (Average discrepancy)
1）绝对误差/偏差
di
xi
=
xi
_
试验值
x
x
算术平均值
2）算术平均误差 (Average discrepancy)
n
x
i 1
i
n
n
x
d
i 1
i
n
算术平均误差反映一组试验数据的误差大小。
相对误差
相对误差（relative error）
绝对误差估算方法：
➢ 最小刻度的一半为绝对误差；
➢ 最小刻度为最大绝对误差；
➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
绝对误差估算方法
例(p6)：压强表最大量程0.4MPa，精度等级1.5。
解：压强表的绝对误差：0.4 MPa×1.5%=0.006 MPa；
天平的最小刻度0.1mg；
解： 最大绝对误差为0.1mg，绝对误差估计值为0.1 mg/2=0.05 mg。
定义：
绝对误差
相对误差
真值
即
x x xt
ER
xt
xt
注：真值未知，绝对误差未知，相对误差也未知。
相对误差（Relative error）
常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
长沙理工大学高等工程数学第5章课件
范数有多种定义形式, 只要满足上述定义即可定义一个范数.
常用向量范数： Euclid范数
n
|| x ||1 | x i |
i1
n
|| x ||
| x |2
2
i1
i
例：（见教材p94 例5.1）
||
x
||
max
1 i n
|
xi
|
Lp范数 （Hölder范数）
11..9979
精确解为
x
11
.
计算cond (A)2 。
求方程组的A解1 =即求0两.010条01直 线00.的9.989
0.99 1
解：考察 A 的特征根 交点, 条件数大表明这两条直线
det(I A) 0 接近1 平1行.9,8求00解5中05对04误差敏感
|| I || 1
常用矩阵范数：
n
特别有： || A || max | aij | （行和范数） 1in j1 n || A ||1 max | aij | （列和范数） 1 jn i 1
|| A ||2 max( AT A) （谱范数 ）
如果A是对称矩阵，有
(4)* || AB || || A || ·|| B || （相容 /* consistent */ 当 m = n 时)
nn
Frobenius 范数 || A ||F | aij |2 — 向量|| ·||2的直接
i 1 j1
推广, 易于计算.
对方阵 A Rnn
以及
x
量
x0
使得
Ax0
5.5+5.6 向量和矩阵的范数+误差分析
( A) max{ 1 , 2 ,, n }
为矩阵A的谱半径
--------(13)
对于某种向量范数 x 和算子范数 A ,
Ax A x
为矩阵 A
而
Ax x x
的特征值
因此
x A x
11
即 所以
A ( A) A
19
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x, 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足
(1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn. 则称 x 为向量x的范数. 对于复线性空间 Cn中的向量范数可以类似 定义
max 1i4
xi
4
4
定义2. 对于空间 Rnn中任意一个矩阵 A, 若存在唯一一个实数 A R与A对应，且满足 (1) (正定性 ) A 0,且A Rnn , A 0 A 0;
(2) (齐次性) A A ，A Rnn , R;
(3) (三角不等式) A B A B ，A, B Rnn.
2 2 1
011
3 4 2
2 52
n
解:
A
1
max
1 jn
i1
aij
max{2,5,2} 5 1 jn
n
A
max
1in
j1
aij
max{3,4,2} 4 1in
由于
A 2 max( AT A)
7
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--------(5)
称A的列范数
A的每列绝对值之和的最大值,
(2)
A
max aij
1 i n j 1
n
--------(6)
A的每行绝对值之和的最大值, 称A的行范数
(3)
A
2
max ( AT A)
--------(7) 称A的2 范 数
其中max ( AT A )为AT A的特征值的绝对值的最 大值
)
2
--------(1)
x的2 范数或欧氏范数
x 1 x1 x2 xn x max xi 1i n
( x1 p
p
--------(2)
x的 1 范数
--------(3)
x的 范数或最大范数
xn
p 1
x
x2
p
)
p
--------(4)
解:
x x
x
1
x (1,4 ,3,1)T x1 x2 x4
9
2
2
( x1 x2 x4
max xi
1i 4
2
2
)
1
2
27 3 3
4
显 然, 本 例 中 c1 x
x
1
c2 x
,即
1*4≤9≤9/4*4=9 定义2 设向量序列 x ( k ) 和向量 x *，若 lim xi( k ) xi , i 1, 2,, n
则称 A 为矩阵A的范数.
对于复空间C nn中的矩阵范数可以类似定义
7
定义4 矩阵算子范数：（诱导范数）
由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
常用的矩阵范数
(1) A 1 max aij 1 j n
i 1 n
A
p
max
x 0
|| Ax || p || x || p
( AT A)
对于某种向量范数 x 和算子范数 A ,
Ax A x
而 因此
Ax x
x
x
A x
12
即 所以
A
( A) A
即矩阵A的谱半径不超过矩阵的任何一种算子范数
13
5.5 向量与矩阵的范数
基本概念 • 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度。高维向量 的"长度"能否定义呢? "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广. 数域:数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘 法封闭,也称为向量空间
则称 x 为向量x的范数.
由(3)可推出
x y x y ，x, y R n .
对于复线性空间C n中的向量范数可以类似定义
2
在向量空间R n (C n )中, 设x ( x1 , x2 , , xn )T
常用的向量的范数有 x
x
2
( x1
2
x2
2
xn
2
1
x的p 范数, p 1
3
显然
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
1
并且由于
max xi ( x1
1i n
p
x2
p
xn
p
)
p
( n max xi )
p 1 i n
1
p
n
x
p
1
p
max xi max xi ( p ) 1 i n
容易计算 使用最广泛
A
A2
计算较复杂
对矩阵元素的 变化比较敏感 性质较好 使用最广泛
11
定义65
设A R n n的特征值为1 , 2 , , n , 称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵A的谱半径
--------(10)
显然
A 2 max ( AT A)
8
例3
求矩阵A的各种常用范数
1 2 A 1 2 0 1
2
n
0 1 1
2
3
4 2
5
解:
A 1 max aij
1 j n i 1
n
max{ 2 ,5 ,2} 5
1 j n
A
max aij
1 i n j 1
max{ 3 , 4 ,2} 4
k
(k) 则称 x ( k ) 收敛到 x * ，记作 lim x x 。 k
5
定义 2’ 称 R 中的向量序列 x
n
(k )
在范数 意义下收敛于 R 中的
n
向量 x ，如果 lim x
k n
(k )
x 0 。这里 是向量的任一种范数。
在 R 中，若在某一种范数意义下向量序列 x
6
定义3
对于空间 nn中任意一个矩阵 , 若存在唯一一个 R A
实数 A R与A对应，且满足
(1) (正定性) A 0 , 且A R nn , A 0 A 0 ;
( 2 ) (齐次性) A A ，A R n n , R ;
( 3) (三角不等式) A B A B ，A, B R nn . ( 4) AB A B ，A, B R n n .
1i n
由于
A2
max ( AT A)
9
因此先求AT A的特征值
1 T A A 2 0 1 0 1 2 2 1 1 2 1 1 0 1
0 2 1 0 1 1
1 1
0 1 9 1 1 2
特征方程为
det( I AT A)
可得AT A的特征值为
2
0 1
0
9
1
2
0
1 9.1428, 2 2.9211, 3 0.9361
max ( AT A) 9.1428
10
A1 5
T A 2 max ( A A)
A
4
3.0237
A1
k
收敛，则在任何范
(k )
k
数意义下该向量序列仍收敛，即 lim x ( k ) x* lim x ( k ) x* 0 。 按不同方式规定的范数，其值一般不同。 但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论是一致的，一致的含义 是收敛都收敛，且有相同的极限。 提出各种范数是为解不同问题时用的， 即对某一个问题可能是某一种 范数方便，而另一种范数不方便。
1
向量的范数 定义1
对于n维向量空间 n中任意一个向量, 若存在唯 R x
一一个实数x R与x对应，且满足
(1) (正定性) x 0 , 且x R n , x 0 x 0 ;
( 2 ) (齐次性) x x y ，x , y R n .
1i n
x
( p 时), 所 以 x
2
也是 x p的特例
且 x
x
x
1
定理：(向量范数的等价)
m x x
给定 x Rn，对于 R n上的任意两种
M ，使关系式 ，
m 范数 ， ，总存在与无关的正常数
M x 对一切 x Rn 成立。
4
例 1 求下列向量的各种常用范数