直角坐标与极坐标的互化
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3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
源自文库32
ysin5sin 25 3.
32
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
32
ysin5sin 25 3.
32
所以, 点M的直角坐标为 ( 5 , 5 3 ). 22
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
7
6
.
因此, 点M的极坐标为 (2, 7 ).
6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
43 6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
43 6
x
4x
即y x( y 0)
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
极坐标和直角坐标的 互化
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么，这 两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
2.将下列各点的直角坐标化为极坐标:
(1,1)(,0,5)(,3,1).
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
7
6
.
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
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2
半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
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2
半径为 5 的圆。 2
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
课外作业
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
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问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
源自文库32
ysin5sin 25 3.
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问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
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(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (1) xco s5co2s5,
32
ysin5sin 25 3.
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所以, 点M的直角坐标为 ( 5 , 5 3 ). 22
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
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因此, 点M的极坐标为 (2, 7 ).
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试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
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试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
( 2,)(,6,)(,2,11 )(,5,).
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x
4x
即y x( y 0)
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
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半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
极坐标和直角坐标的 互化
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么，这 两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
2.将下列各点的直角坐标化为极坐标:
(1,1)(,0,5)(,3,1).
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)
试一试
（1） 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
tany 1 3,
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
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问题解析
解: (2) x2y2(3)2( 1 )22
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
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半径为 5 的圆。 2
（ 2）极坐标 si方 n2程 co所 s 表示
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。 2
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
课外作业