第1套答案.doc

一、填空题：（每题3分，共30分）

1. 解答：1()23

Arg z arctg k π=-+

，z = 2. 解答： U V x y ∂∂=-∂∂, U V y x

∂∂=∂∂。 3. 解答：充分， 充要。

4. 解答：42i +

5. 解答：1R =。

6. 解答：绝对收敛。

7. 解答：二级极点。

8. 解答：-1。

9. 解答：-4。

10. 解答：0。

二、计算题：（每题8分，共48分）

1、解答：

222(cos sin )33

k k i ππππ++=+

00,2(cos sin )133k w i ππ

==+= 11,2(cos sin )2k w i ππ==+=-

2552,2(cos

sin )133k w i ππ==+= 2、解答：22

(cos )s L t s ωω=+，由象函数微分性质得 2222222223

2(3)(cos )()()s s s L t t s s s ωωωω∂-==∂++ 3、解答：(02)i C re θθπ+≤≤0的参数方程可写作z=z ，所以

220120002,0()(cos()sin())00in n n C n i d i n dz i e d i z z r n i n d n r ππθπθπθθθθ-+⎧==⎪==⎨-⎪-=≠⎩⎰⎰⎰⎰ 所以10

2000()n C i n dz n z z π+=⎧=⎨≠-⎩⎰ 4、解答：函数f(z)在曲线C 的内部有奇点2z =-和3z =-，以2z =-和3z =-圆心，r 为半径作圆1C 2,C 。则由复合闭路定理得

121122(2)(3)(2)(3)(2)(3)

(2)(3)(2)(3)

20020

C C C C C C C dz dz dz z z z z z z dz dz dz dz z z z z i i ππ=+++++++=-+-++++=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5、解答： i 2

()1z

e f z z =+有两个一级极点i z =±，并有i ()()2z P z e Q z z ='， 故i Re (,i)2s f e =- ，i Re (,i)2

s f e -=。 6、解答：令θi e z =，则θθθizd d ie dz i ==，故dz iz d 1=θ，故原积分等于⎰=C z iz

dz e I ，其中C 为单位圆，因为iz e z f z

=)(只有一个一阶极点0=z ，所以 ππ2)2(0=⋅==z z

i

e i I 。 三、综合题 （每小题10分，共20分）

1、解答： 令22(4)(9)0z z ++=，则2,3z i i =±±，只取2,3z i i =

2

22(4)(9)2[Re ((),2)Re ((),3)]132()5105

x dx

x x i s f z i s f z i i i i πππ+∞

-∞++=+=-=⎰ 2、解答：由于1<|z|<3，那么1z ||<1,||<1,z 3利用当|α|<1 时的幂级数展式

......1112+++++=-n αααα

)1331(81)3)(1(122-+--=--z z z z z )13131(8122-----=z z z z 而

01113333(1)3n n n z z z +∞=--==--∑ ， 222202111111(1)n n z z

z z z +∞

===--∑ 所以，有

+++2+12-12-2n=0n=0n=01113=().(1)(3)83n n n n z -z z z z

∞∞∞----∑∑∑

四、证明题 （8分）

证明：设()(,)i (,)f z u x y v x y =+，由于其在区域D 内解析，则有 u v x y

∂∂=∂∂，u v y x ∂∂=-∂∂；又()f z 在区域D 内解析，有u v x y ∂∂=-∂∂，u v y x ∂∂=∂∂， 故0u u v v x y x y ∂∂∂∂====∂∂∂∂，因此，1(,)u x y c =，2(,)v x y c = 12()i f z c c =+。