特勒根定理和互易定理

u1 i1 + u2 i2 u1i1 + u2i2
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
i1
us1
1 2 i2
i 1 1
2 u1
2 i 2
+ -
u1
+
-
N
(a)
u2
2
+ -
+
1
-
N
(b)
1
-
u2
2
+
+
-
us2
u1 i1 + u2 i2 u1i1 + u2i2
解：设两组条件分别对应两个电路：其中第一组条件对应图(a)， 第二组条件对应图(b)。因此，第二组条件变为： 对图(b)电路，当R2’ = 4 Ω , US1’=10V时，I1’ = 3A，求U2’。 设NR中有k个电阻，其中第j个电阻记为Rj(j =1,2,…k)。 对图(a)， Rj上的电压、电流记为URj和IRj；对图(b)， Rj上的电 压、电流记为URj’和IRj’，根据OL有 URj= Rj IRj （1） ， URj’= Rj IRj’ （2） 图(a)与图(b)显然拓扑结构相同
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
某一个具体电路之所以具有某种电性能，除了取决于组成
该电路的各个元件电性能以外，还取决于这些元件的互相
连接，即该电路的结构。显然，结构确定以后，单纯描述 这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路 就可以抽象成一个线图. R6
①. ②
+ Us1 _
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω ,US1=6V时 ，I1 = 2A，U2= 2V；R2=4Ω ,US1=10V时，I1 = 3A， 求这时的U2。
I1 US1 NR (a) I2 R2 U2 US1 ' I1' NR (b) I 2' R2' U2'
i1= -3A u2 = 5V i'1=？ u'2 = 0
i2=1A i'2=2A
利用例2结
论计算： i'1=-3.5A
i''2=I2 i''1=-I1 u''2=20+5i''2 联立(a)、(c) ： -8I1+5I2 =-3·(20-4I1) +(20+5I2)
联立(b)、(c) ： -6I1+0 =-3.5·(20-4I1) + 2·(20+5I2) i''2 I2 5 I1 4 i''1 (a) + I1= 2A I2= -1A + + + u''1 N u''2 20V 20V (c)
u2=un2-un1
u5=un2
u3= un3-un2
u6= -un3
u i u i
k k
6
1 1
+ u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 + u6 i6
un 1 (i1 - i2 - i4 ) + un 2 ( i 2 - i3 + i5 ) + un 3 ( i3 + i4 - i 6 )
I2 5
20V
-
N
(c)
+ -
i2 1A 3A 4 i1 (a) + + + N 20V u2 5 u1 (a) 解：根据特勒根定理 (a)图：u1=20-3· 4=8V (b)图：u'1=20+4i'1 (c)图：u''1=20+4i''1
Baidu Nhomakorabea4 i'1
+ -
+ 20V u'1 -
i'2 2A (a) + N u' 2 (b)
将以下已知数据代入上式， us1=20V，i1= -10A， i2=2A， us2=10V 得:
u1 u1 (-10) + 10 2 20 + 0 i2 2
u1=1V， i 1=1/2A
R2
.
Is4 R3
.③
R5
④
.
G
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映 出各支路的具体元件。
R6
①
+ Us1 _
.
②
R2
.
Is4 R3
.③
R5
①.
②
.
.③
④
.
④
.
G
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
同构电路：具有相同图的电路. R6
Is6
②
+ Us1 _
①.
②
R2
.
Is4 R3
①.
.③
①.
. ④
R5 R1
②
R2 + Us3
.
R4
.③
R5
_
. ④
.
.③
G
④
.
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.2 特勒根定理
1、特勒根定理一（功率平衡（守恒）定律）
对于任意一个具有 b 条支路、n 个节点的集中参数电路，设各 支路电压、支路电流分别为uk、ik(k=1,2,· ·· ,b)，且各支路电压 和电流取关联参考方向，则对任何时间t，有
u k ik k
1
b
0;
ik uk k
1
b
0;
由于上式求和中的每一项是一个电路的支路电压和另一电 路相应支路的支路电流的乘积，它虽具有功率的量纲，但不表 示任何支路功率，称为拟功率守恒。故特勒根定理二也称为拟 功率定理。
2.8 特勒根定理和互易定理
4
证明：
两个电路 图都可利用结 点法，且结点
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω ,US1=6V时 ，I1 = 2A，U2= 2V；R2=4Ω ,US1=10V时，I1 = 3A， 求这时的U2。
I1 US1 NR (a) I2 R2 U2 US1 ' I1' NR (b) I 2' R2' U2'
i1 + u2 i2 + uk ik 0 u1
k 3
代入第k条电阻支路的伏安关系:
+ u2i2 + (a)图: u1i1
(R i )i 0
k 3 b k k k
k 3
b
联立上两式，故有
i1 + u2 i2 + ( Rk ik )ik 0 (b)图: u1
2、特勒根定理二（拟功率平衡） 对于任意两个拓扑结构完全相同（即图完全相同，各支路组 成元件性质任意）的集中参数电路N 和N 。设它们具有 b 条支 路 n 个节点，其相对应的各支路和各节点的编号相同。设它们 ，支路电流分别为ik和i (k=1,2,···,b)， 的支路电压分别为uk和 u k k 且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任意时刻t，有
k 1
u k ik
b
0
由于上式求和中的每一项是同一支路电压和电流的乘 积，表示支路吸收的功率，因此，特勒根定理一是电路功 率守恒的具体体现，故也称为功率定理。
2.8 特勒根定理和互易定理 证明：各支路电压、电流取关联方向，用结点电压法：
各支电压： u1= un1，
u4= un3-un1
k 1
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
特勒根定理表达的是电路的拓扑规律，与各支路元件本身的 性质无关。适用于各种集总参数电路。 i 1 1 2 i2 i1 1 2 i 2 us1
+ -
u1
+
-
N
(a)
u2
2
+
1
-
2
u1
+
-
N
(b)
1
-
u 2
2
+
+
-
us2
例4：在上图(a)和(b)的网络中，N同为线性无源电阻网络， 已知：us1=20V，i1= -10A， i2=2A，us2=10V， 求：图(b)中2电阻的电压u1。 解：对网络N中任一支路的，取关联参考方向，则网络内各支 路的伏安关系如下： 图(a)中为uk= Rk ik 图(b)中为uk= Rk ik
US1(-I1’)+U2I2’ - US1’(-I1)- U2’I2 = 0 （5） 由于I2’ = U2’ /R2’= U2’/4， I2 = U2 /R2= 2/2=1， 将已知条件代入（5）式，得 6×(-3)+2× U2’/4 - 10 ×(-2) - U2’ ×1 =0 解得 U2’ = 4V
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω ,US1=6V时 ，I1 = 2A，U2= 2V；R2=4Ω ,US1=10V时，I1 = 3A， 求这时的U2。
I1 US1 NR (a) I2 R2 U2 US1 ' I1' NR (b) I 2' R2' U2'
根据特勒根定理二有
US1(-I1’)+U2I2’ + ∑URjIRj’ = 0 (3) US1’(-I1)+U2’I2 + ∑URj’IRj = 0 (4) 由URj= Rj IRj （1）， URj’= Rj IRj’ （2），代入（3）、（4） 式得：∑URjIRj’ = ∑URj’IRj ，故(3)-(4)得： US1(-I1’)+U2I2’ - US1’(-I1)- U2’I2 = 0 （5）
2.8 特勒根定理和互易定理
特勒根定理(Tellegen’s theorem)是荷兰学者特勒根(B.D. H.Tellegen)于1952年在菲力浦研究报告第七期的“A General Network Theorem With Applications”一文中发表的提出的。 它是集中电路普遍适用的定理之一，对任何电路都普遍成立， 仅仅用KCL、KVL就可作出它的证明，所以它具有与基尔霍夫定律 同等的普遍意义。 特勒根定理在网络理论的研究、电路设计的实践、电路的灵敏 度分析和电路优化设计中均有广泛的应用： 它促进了计算机辅助电路优化设计的迅速发展，充分显示了特 勒根定理普遍应用的威力。
R1 u2
is1
i3 R2 i 5 u5 u3 u6
k 1
u i u i +u i +u i
k k 1 1 2 2 3 3
i 1 us2
+
i 6
R3
+ u4 i4 + u5 i5 + u6 i6 0
-
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参 考方向要关联 例3、图中N由纯电阻组成，根据已知，求图（c）中的 I1和I2 。 3A 4 20V
+
(a)
1A
5
4
-
N
(a) I1 20V
+
(a)
2A
-
20V
N
(b)
4
+
(a)
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
某一个具体电路之所以具有某种电性能，除了取决于组成
该电路的各个元件电性能以外，还取决于这些元件的互相
连接，即该电路的结构。显然，结构确定以后，单纯描述 这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路 就可以抽象成一个线图.
1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
又根据KCL，得： 6
k 1
u i
k k
0
un1 i1 u1 is1 i2
i4
R1 u4 i5 u5 is2 i 3 un3 u3
推广到任何具有n个结点 和b条支路的电路，有：
R2 un2 u2 R3
u i
k 1
b
k k
0
R4
i6 u6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
图(b) i’ 1 = 0.8A i’2 = 3.2A , i’ 3 = 2.8A i’ 4 = - 4A , i’ 5 = 0.4A i’ 6 = 3.6A
u1 i’ 1 + u2 i’ 2 + u3 i’ 3 + u4 i’ 4 + u5 i’ 5 + u6 i’ 6 = 2.88 - 4.48+14 - 4+0.96 - 9.36 = 0
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
i1
us1
1 2 i2
i 1 1
2 u1
2 i 2
+ -
u1
+
-
N
(a)
u2
2
+ -
+
1
b
N
(b)
1
-
u2
2
+
+
-
us2
根据特勒根定理: (a)图:
+ uk ik 0 u1i1 + u2i2
k 3
b
(b)图:
例1：
u2 u4
4
2Ω
u1
u3 u6
2 1
3
i'1
6V 4A
0.1u
2Ω 20Ω 12V
2Ω 5V 1V u5 1Ω 2Ω
5 6
i'2
u
i'3
i'6
4Ω
i'5
(a)
i'4 (b)
图(a) u1 = 3.6V u2 = - 1.4V , u3 = 5V u4 = 1V , u5 = 2.4V u6 = - 2.6V
2 1
i4
R1
3 5 6 u1
i2 R2
u4
is2 i 3
i1
is1
u2
R3
电压表述一致，再利用KCL，则：
i5 u i6 3 R4 u u5 6
is2
k 1
u i
6
6
k k
u1i1 + u2i2 + u3i3
i 2
u1
i'4 u4
+ u4i4 + u5i5 + u6i6 0