特勒根定理和互易定理
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特勒根定理和互易定理
特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。
2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。
假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。
有时称它为“拟功率定理”。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。
<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。
4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。
图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。
图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。
图3互易定理3。
4. 5 互易定理
+ u1 G1 – G3 gm u1
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
特勒根与互易定理.ppt
0
以④节点作为电位参考点，则 ①、②、③节点的电位分别为 v1、v2、v3
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i3 i5 i6 0
u1 v1, u2 v2 , u3 v3 ,
u4
v1
v2 , u5
v2
v3 , u6
v3
v1
对于任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，其 支路电流、支路电压分别为( i1，i2 ，···，ib )、 ( u1，u2 ，···， ub )，且各支路电压与电流参考方 向相关联，则在任意时刻t，均有
b
ukik 0
k 1
该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路 吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独 立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总 和，满足功率守恒。
注意：
（1）该定理要求u(或 uˆ )和i(或 iˆ)应分别满足KVL和KCL。
特勒根定理适用于任何（线性或非线性、有源或 无源、时变或非时变）集中参数网络。 特勒根定理只与考虑电路的联接形式，与元件特性 无关。
（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同 网络，k Rkikiˆk
k 1
k 1
b
b
Rkiˆkik uˆkik
k 1
k 1
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11 us , u22 0 uˆ22 us , uˆ11 0
I2
第5章 特勒根定理
第五章 特勒根定理5-1 引言特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。
特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、2]。
实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。
最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。
尽管如此，先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。
定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。
特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。
本章介绍特勒根定理。
首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。
5-2 特勒根定理定理5-1（特勒根定理1）：对n 个节点b 条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有0),,,(02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V （5.1）其中，b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。
证明：由第一章网络的关联性可知m Tb b nTa b I K I V K V == （5.2）各符号意义同第一章，于是有b a Tn b T b I K V I V ⋅= (5.3)由基尔霍夫电流定律0=b a I K （5.4）故必有0=b T b I V （5.5）证毕。
定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致，必有b b 和0~=b T b I V （5.7）成立。
其中b b I V ,和b b I V ~,~分别属于两个不同网络。
证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ，这样有b a T n b T b I K V I V ~~= （5.8）上式显然为零。
2-7、2-8、2-9 特勒根定理 、互易定理、节点分析法
4 1 1 4 2 2 4 3 3
6
ˆ ˆ ˆ (v1 -v 2 )i4 + (v 2 -v 3 )i5 + (v 3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( i2 − i4 + i5 ) + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν 3 ( − i3 − i5 + i6 ) + v 4 ( i1 + i2 + i3 )
1. 互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路N， 对一个仅含电阻的二端口电路 ，其中一 仅含电阻的二端口电路 个端口加激励源，一个端口作响应端口， 个端口加激励源，一个端口作响应端口，在 只有一个激励源的情况下，当激励与响应互 只有一个激励源的情况下， 的情况下 换位置时，同一激励所产生的响应相同。 换位置时，同一激励所产生的响应相同。
b
∑u i
k =1
k k
=0
特勒根功率定理： 特勒根功率定理： 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 吸收 代数和恒为零。 代数和恒为零。
每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。 每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2-7-2. 特勒根似功率定理
= v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( − i2 − i4 + i5 ) + v 3 ( − i3 − i5 + i6 + v 4 ( i1 + i2 + i3 ) =0 ）
将这一结论推广到任一具有n n+1个节点 个节点、 将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的 电路， 电路，则有 :
6
ˆ ˆ ˆ (v1 -v 2 )i4 + (v 2 -v 3 )i5 + (v 3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( i2 − i4 + i5 ) + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν 3 ( − i3 − i5 + i6 ) + v 4 ( i1 + i2 + i3 )
1. 互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路N， 对一个仅含电阻的二端口电路 ，其中一 仅含电阻的二端口电路 个端口加激励源，一个端口作响应端口， 个端口加激励源，一个端口作响应端口，在 只有一个激励源的情况下，当激励与响应互 只有一个激励源的情况下， 的情况下 换位置时，同一激励所产生的响应相同。 换位置时，同一激励所产生的响应相同。
b
∑u i
k =1
k k
=0
特勒根功率定理： 特勒根功率定理： 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 在任意电路中，任何时刻，各支路吸收功率的 吸收 代数和恒为零。 代数和恒为零。
每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。 每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2-7-2. 特勒根似功率定理
= v1 ( − i1 + i4 − i6 ) + v 2 ( − i2 − i4 + i5 ) + v 3 ( − i3 − i5 + i6 + v 4 ( i1 + i2 + i3 ) =0 ）
将这一结论推广到任一具有n n+1个节点 个节点、 将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的 电路， 电路，则有 :
电路定理III-特勒根定理、互易定理、对偶原理
b
由特勒根定理，得 10 ix 0 i2 ukiˆk 0 3b 0 i1 (5) 1 uˆkik 0 3
ukiˆk ik Rkiˆk ikuˆk
10ix 5 ix 0.5A
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互易定理 (Reciprocity Theorem)
电路定理
第三讲（总第十四讲）
特勒根定理 互易定理 对偶原理
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
一、具有相同拓扑结构的电路
2
2
+
-
1
4
1
4
3
3
N
+–
2
N 2
2
2
13
13
14
5 3
4 14
5 3
4
6
6
2
2
例:
2
2
13
13
14
5 3
4
14
5 3
4
N6
6
N
*对应支路取相同的参考方向
*各支路电压、电流均取关联的参考方向
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
对应元素 网孔电阻阵 CCVS T形
节点导纳阵 VCCS 形
两个电路互为对偶电路。
二、对偶原理 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题
（或陈述）S成立，则将S中所有元素分别以其对应的对偶
k 3
k 3
k 3
a
iˆ2 c
线性电
+
iˆ1 阻网络 uˆS
N
–
b
(b)
由特勒根定理，得 10 ix 0 i2 ukiˆk 0 3b 0 i1 (5) 1 uˆkik 0 3
ukiˆk ik Rkiˆk ikuˆk
10ix 5 ix 0.5A
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电路定理
第三讲（总第十四讲）
特勒根定理 互易定理 对偶原理
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
一、具有相同拓扑结构的电路
2
2
+
-
1
4
1
4
3
3
N
+–
2
N 2
2
2
13
13
14
5 3
4 14
5 3
4
6
6
2
2
例:
2
2
13
13
14
5 3
4
14
5 3
4
N6
6
N
*对应支路取相同的参考方向
*各支路电压、电流均取关联的参考方向
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
对应元素 网孔电阻阵 CCVS T形
节点导纳阵 VCCS 形
两个电路互为对偶电路。
二、对偶原理 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题
（或陈述）S成立，则将S中所有元素分别以其对应的对偶
k 3
k 3
k 3
a
iˆ2 c
线性电
+
iˆ1 阻网络 uˆS
N
–
b
(b)
工学07戴维南诺顿特勒根和互易定理电子教案
b
4.3 戴维南定理和诺顿定理
例4 电路如图所示，用戴维南定理求电压U
.
+ 2Ω U
4V_
4
3Ω + U_ 6Ω
.
4.3 戴维南定理和诺顿定理
第1步：求Uoc
.
+ 4V_
2Ω U o c 4
.
.
3Ω +
Uoc
_.
U oc2U 4 oc4U oc8V
4.3 戴维南定理和诺顿定理
第2步：求Req （法一）
U 3 I 2 ( I U ) 4 U 5 I 4 U 1 0 I 8 42
4.3 戴维南定理和诺顿定理
四、诺顿定理
对于任意一个线性含源二端网络NS，就其两个端钮a、b而 言，都可以用一条实际电流源支路对外部进行等效，其中电流 源的电流等于该含源二端网络在端钮处的短路电流iSC，其串联 电阻等于该含源二端网络中所有独立源置零时，由端钮看进去 的等效电阻Req。
UO*C 0.2V
b、求等效电阻Re*q。
1A 1Ω
0.8Ω c a
2Ω
2Ω
R*eq +
1Ω
0.2V
_
b d
32
Re*q
0.82
32
1、先求左边部分电路
1Ω
的戴维南等效电路。
a、求开路电压Uo*c。 1Ω
UO*C 0.2V
b、求等效电阻Re*q。
Req*
320.82 32
2、所以原电路可等效为：
试问：该电路是否可进一步 等效为如右所示的电路？
工学07戴维南诺顿特勒根和互 易定理
4.3 戴维南定理和诺顿定理
4.3 戴维南定理和诺顿定理
第6章 特勒根定理
+
~ I1
~ I2
JS
若网络互易，必有
2010-11-4
~ V2 = V1
第6章 特勒根定理 7
互易定义2 端口网络互易） 二、 互易定义 （n端口网络互易） 端口网络互易
一个P端口时不变网络，或者一个 端元件， 一个 端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ： 端口时不变网络 端元件
k =1
则有： ∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b + ∆Z b ∆I b 上式略去二阶小量后，得
∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b
2010-11-4 第6章 特勒根定理 18
设网络N的伴随网络为 ~ ~ VbT I b − VbT I b = 0
T
~ N
则有：
网络N参数变化前的变量 网络N参数变化后的变量
2010-11-4 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N 相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有： 则对于非独立电源支路集合 ，必有：
l =1
~ ~ ∑ (Vl I l − Vl I l ) = 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
=
T T I b (Z b
~ − Z b )I b = 0
上式恒为零，只有
Zb =
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身 2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。
第4章 电路的基本定理
(2 1)(i 2) 2i 0
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
i i i 1.4 1.2 0.2A u u u 7.2 1.6 5.6V
【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux＝80V；当iS1=－8A， iS2=4A时，响应ux＝0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux＝－40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？ 解 设网络N内所有独立源作为一组， 所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产 生的响应分量为AiS1与B iS2 。则
uk 为原值
(b)
ik 可以是任意值（电压源特点）
原电路[图（a）]的所有支路电压和电流将满足图(b)的全 部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原 值。
替代定理不适用：
⑴ 电路在替代前后，具有多解；
⑵ 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量， 且替代将使控制量消失。
【例4-6】图a电路中，i1＝4A， i2＝6A， i3＝10A，u1＝80V，
uS u Rin i iS
iS
u
i
uS
N
输入电阻
【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。
A
U
I1
1
I3
1
I5
1
I7
1
U2
1
U4
1
U6
1
1
B
I2
I4
I6
I8
解 设 I8＝1A，则
I 7 I 8 1A
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
i i i 1.4 1.2 0.2A u u u 7.2 1.6 5.6V
【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux＝80V；当iS1=－8A， iS2=4A时，响应ux＝0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux＝－40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？ 解 设网络N内所有独立源作为一组， 所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产 生的响应分量为AiS1与B iS2 。则
uk 为原值
(b)
ik 可以是任意值（电压源特点）
原电路[图（a）]的所有支路电压和电流将满足图(b)的全 部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原 值。
替代定理不适用：
⑴ 电路在替代前后，具有多解；
⑵ 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量， 且替代将使控制量消失。
【例4-6】图a电路中，i1＝4A， i2＝6A， i3＝10A，u1＝80V，
uS u Rin i iS
iS
u
i
uS
N
输入电阻
【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。
A
U
I1
1
I3
1
I5
1
I7
1
U2
1
U4
1
U6
1
1
B
I2
I4
I6
I8
解 设 I8＝1A，则
I 7 I 8 1A
15-4互易定理
例 求图示两端口的Y 参数。
解
I1
+ U1
3 3
6
I2
+ 15 U 2
为互易对 称两端口
1 I Y11 1 U
I Y21 2 U 1
2 0 U
1 0.2S 3 // 6 3
1 I1 3 0.0667 S U 1
0 U 2
u
k 1
b
k
ˆk ik 0 i k 0 和 u
k 1
b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3
b
u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0
b
u
k 1
b
k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
§2-2 互易定理 特勒根定理
1. 特勒根定理1
任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒
表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
定理证明： 1 2 3
b
应用KCL:
2
i1 i2 i4 0 i4 i5 i6 0 i2 i3 i6 0
激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d
电压源 a i1 b
响应 线性 电阻 网络 NR (b) c
电流 + uS2 – d
2.8 特勒根定理和互易定理
− 1'
u2 = 0
u s1
−
u1
+
NR
(a )
u2
− 2'
2 +
根据特勒根定理证明： 根据特勒根定理证明：
i2
互易后
ˆ u1 = 0
ˆ i2 i1 = us1 us 2
iˆ2
+
iˆ1
1 +
− 1'
ˆ u1
NR
(b )
ˆ u2
− 2'
2 +
−
us 2
若us1 = us2 ,则i2 = i1．
^
XIDIAN UNIVERSITY 2011年 AM 日星期五12 2011年10月14日星期五12时 GaoJN 西安电子科技大学电路信号与系统实验中心 10/14/2011 12:56:55 10月14日星期五12时 Gao Jianning
第10-5页 10-
■
二、互易定理
对于一个仅含线性电阻的二端 口电路N 口电路 R，在只有一个激励源的情 况下，当激励与响应互换位置时， 况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同。 同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式。详见课本第 页 互易定理有三种形式。详见课本第78页。
4 Ω 3
+
4ˆ ˆ ˆ I × 2 + ∑ uN I N + u × 0 = 0 3 ˆ ∵ ∑ uN IˆN = ∑ uN I N
解得： 解得：
ˆ I = −3 A
NR
U = 2V
−
−
应用齐次性和叠加性， 应用齐次性和叠加性，令：
I = k1 × 10 + k2 × 10
u2 = 0
u s1
−
u1
+
NR
(a )
u2
− 2'
2 +
根据特勒根定理证明： 根据特勒根定理证明：
i2
互易后
ˆ u1 = 0
ˆ i2 i1 = us1 us 2
iˆ2
+
iˆ1
1 +
− 1'
ˆ u1
NR
(b )
ˆ u2
− 2'
2 +
−
us 2
若us1 = us2 ,则i2 = i1．
^
XIDIAN UNIVERSITY 2011年 AM 日星期五12 2011年10月14日星期五12时 GaoJN 西安电子科技大学电路信号与系统实验中心 10/14/2011 12:56:55 10月14日星期五12时 Gao Jianning
第10-5页 10-
■
二、互易定理
对于一个仅含线性电阻的二端 口电路N 口电路 R，在只有一个激励源的情 况下，当激励与响应互换位置时， 况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同。 同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式。详见课本第 页 互易定理有三种形式。详见课本第78页。
4 Ω 3
+
4ˆ ˆ ˆ I × 2 + ∑ uN I N + u × 0 = 0 3 ˆ ∵ ∑ uN IˆN = ∑ uN I N
解得： 解得：
ˆ I = −3 A
NR
U = 2V
−
−
应用齐次性和叠加性， 应用齐次性和叠加性，令：
I = k1 × 10 + k2 × 10
08 诺顿、特勒根和互易定理
T T T T n T n
ˆ 同理可证：i Tu 0, u Ti 0, i Tu 0 ˆ ˆ
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
例: 已知图中N0为线性电阻无源网络，由图a中测得us1=20V，
ˆ i1=10A, i2=2A, 当图b中 i1=4A时，试用特勒根定理求 us2 ˆ
T T T u i 0 (i u 0) u i 0 (i u 0)
T
即拟功率守恒：
电路
uk ik 0 或
k 1
b
uk ik 0
b k 1
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4.4 特勒根定理
特勒根定理
定理 2 证明：
u i ( A un ) i u A i u ( A i ) 0
同理可证：T u 0 i
电路
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4.4 特勒根定理
ˆ 定理二、有网络N和网络 N ，若它们具有相同的 关联矩阵，并设支路电压向量与支路电流向量 分别为： uT u1 , u2 , , ub i T i1 , i2 , , ib T T u u1 , u2 , , ub i i1 , i2 , , ib 且各支路电压电流为关联参考方向，则：
这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路
就可以抽象成一个线图
电路
南京理工大学自动化学院
4.4 特勒根定理
图论基础 1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
R6
①.
②
.
+ Us1 _
ˆ 同理可证：i Tu 0, u Ti 0, i Tu 0 ˆ ˆ
电路
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4.4 特勒根定理
例: 已知图中N0为线性电阻无源网络，由图a中测得us1=20V，
ˆ i1=10A, i2=2A, 当图b中 i1=4A时，试用特勒根定理求 us2 ˆ
T T T u i 0 (i u 0) u i 0 (i u 0)
T
即拟功率守恒：
电路
uk ik 0 或
k 1
b
uk ik 0
b k 1
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4.4 特勒根定理
特勒根定理
定理 2 证明：
u i ( A un ) i u A i u ( A i ) 0
同理可证：T u 0 i
电路
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4.4 特勒根定理
ˆ 定理二、有网络N和网络 N ，若它们具有相同的 关联矩阵，并设支路电压向量与支路电流向量 分别为： uT u1 , u2 , , ub i T i1 , i2 , , ib T T u u1 , u2 , , ub i i1 , i2 , , ib 且各支路电压电流为关联参考方向，则：
这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路
就可以抽象成一个线图
电路
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4.4 特勒根定理
图论基础 1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
R6
①.
②
.
+ Us1 _
电路原理学习资料
二、迭加定理 a uS R1 u2 i2 R2
列电路的节点电压方程求响应： 列电路的节点电压方程求响应：
iS
uS 1 1 ( + )u2 = + iS R1 R2 R1
R1 i2' u2' R2 i2'' u2'' R2 iS
uS
R2u S R1 R2iS u2 = + = k 3u S + k 4 i S R1 + R2 R1 + R2 uS R1iS u2 i2 = = + = k1u S + k 2iS R2 R1 + R2 R1 + R2
2Ω Ω
1A
5V
2.5A
5Ω Ω 2Ω Ω 10V 5V
? ?
5V
10V
1.5A
A + 1A 1V B
+ _ 1V 1A
满足
A + 1V 不满足
A + 1A
1Ω Ω
?
B 1A
B
2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。
例 5：电路如图所示，用替代定理求各支路电流 ：电路如图所示，
i1 1Ω 18V i1 1Ω 18V 7V i 3 1Ω 7A 1Ω i 3 1Ω i4 1Ω i4 1Ω 1A 1Ω i6 1Ω 1A
1A i6 1Ω 1A
i1 1Ω 18V
i 3 1Ω i4 7V 1Ω
1A i6 1Ω 1A
i1 1Ω 18V 7V
i 3 1Ω i4 7V 1Ω 1A
1A i6 1Ω
– uk + C
AC等电位 等电位
特勒根定理
在稳态情况下，线性电容及电感为互易元件
~ ~ ~ ~ V1I1 V1I1 ZI1I1 ZI1I1 0
不是所有元件都是互易元件， 如晶体管，回转器，独立电源等等
2015-1-15 第6章 特勒根定理 9
互易定理：由互易元件组成的P端口网络一定是互易的
I1
Ip
V1
~ I1
Vp
~ Ip
由特勒根定理得：
b
~ V I k k 0
k 1
b
所有支路（变化前） 所有支路（变化后）
k 1 b
~ (Vk Vk ) I k 0
~ V I k k 0
k 1
~ Vk ( I k I k ) 0
b
k 1
nb
b ~ ~ V I V I k k k k 0 k 1
由基尔霍夫电流定律 Ka I b 0
故必有
T Vb I b
0
K b：回路－支路关联矩阵
功率守恒
T 由网络的关联性可知 Ib Kb Im
T VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb ) Im
T
由基尔霍夫电压定律 故必有
2015-1-15
KbVb 0
VbT I b 0
T T ( I b Zb T T ~ I b Zb ) I b
Vb ZbI b Zb I b
~T Vb I b ~T T T~ T~ I b Z b I b ( I b Vb Vb I b ) T T~ I b Zb I b
T~ ( I b Vb
则称
2015-1-15
N
~ 互为伴随网络 N
第9讲 特勒根定理和互易定理
电压源
开路
KCL
14
对偶电路
is2
( R1 R2 )i1 R2 i2 us1
R2i1 + ( R3 R2 )i2 us2
(G1 G2 )u1 G2u2 is1
G2u1 + (G2 G3 )u2 -i s2
比较这两组方程， 可看出， 它们的形式相同， 对应变量 为对偶元素， 所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路
u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6 u7i7 (u1 u2 u3 )i2 (u4 u5 u7 )i4 u6i6 u6 (i2 i4 i6 ) 0
+ u3 _
i2 i4 i6 0
KVL和KCL可知：
u
k 1
b
k k
i 0
u
k 1
b
k k
i 0
具有功率的量纲， 但不表示任何支路的功 率，称为拟功率。 率，称为拟功率 特勒根定理一是当特勒根定理二中电路N与
3 ^ 为同一电路的特例。 N
证明： 选节点d为参 考节点， 对 独立节点a 、b、 c列出电路的 KCL方程为
i i i 0 1 3 4
中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对
偶的两电路称为对偶电路。
15
第9讲 特勒根定理、互易定理、电路的对偶性
结
束
作业：P123 2-28、2-30 自行学习：P104~117----2.10和2.11 复习：第1 、2章
16
k 1
支路吸收的功率
特勒根定理一：
是功率守恒的具体体现
1
电路分析基础特勒根定理
定理1：设某网络N有b条支路，n个节点，设：
支路电流 ik 支路电压 uk
k = 1,2,b k = 1,2,b
取关联参考方向
b
则有：
uk ik 0
k 1
(1) 功率平衡定理
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
定理2：如果有两个具有b条支路、n个节点的网络N
和 Nˆ ，他们由不同的二端元件组成，但其有
k =1
k=3
∑ ∑ b
b
uˆkik = - uˆ1i1 + uˆ2i2 + uˆk ik = 0
k =1
k=3
uk iˆk
= uk
uˆ k Rk
uˆk ik
= uˆk
uk Rk
X
解（续）
∑ ∑ b
b
uk iˆk = uˆk ik
k=3
k=3
u1 9 V
u2
0V
i1 4.5A i2 1A
4 2
4
ik'
4 3
A
对b点应用KCL有：
a
im
b
1
2
8V ik
im'
id' b
ic'b
2 3
(
4) 3
2 3
A
d
所以
ik
im'
2 3
A
X
注意事项：
1．互易的支路在互易前后电压、电流的参考方向不 能发生变化。
2．利用互易定理只能求出互易支路的电量，互易后 其他支路的电压、电流发生变化。
3．当线性电路中含有多个独立源时，需要应用叠加 定理，分别对每个独立源单独处理。
2-7_8特勒根与互易定理
b
ˆ ˆ ˆ − i1u1 + i2 u2 + ∑ ik uk = 0
k =1
网络N由线性电阻元件组成 网络 由线性电阻元件组成
ˆ ∑i u = ∑i R iˆ = ∑u iˆ
k=1 k k k=1 k k k k=1 b b b k k
ˆ ˆ ˆ i1u1 − i2 u2 + ∑ ik uk = 0
= 4 − 2 = 2Ω 1
U oc 4 I sc = = = 2A 成的无源(既无 对于一个仅由线性电阻元件组成的无源 既无 独立源又无受控源)网络 网络N， 独立源又无受控源 网络 ，在单一激励的情 况下， 况下，当激励端口和响应端口互换而电路的几 何结构不变时， 何结构不变时，同一数值激励所产生的响应在 数值上将不会改变。这种特性称为互易特性 互易特性。 数值上将不会改变。这种特性称为互易特性。
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11′ = us , u22′ = 0 ˆ ˆ u22′ = us , u11′ = 0
ˆ ˆ ˆ ˆ u11′i11′ + u22′i22′ = u11′i11′ + u22′i22′
ˆ us i11′ = us i22′
ˆ i11′ = i22′
互易定理的第二种形式
对于同一电路的两种工作状态(即激励源作用于端口 对于同一电路的两种工作状态 即激励源作用于端口 11′的工作状态和激励源作用于端口 ′的工作状态 ， ′的工作状态和激励源作用于端口22′的工作状态)， 应用特勒根似功率定理， 应用特勒根似功率定理，可得
ˆ ˆ ˆ u11′ i11′ + u22′ i22′ + ∑ uk ik = 0
k =1
b
ˆ ˆ ˆ − i1u1 + i2 u2 + ∑ ik uk = 0
k =1
网络N由线性电阻元件组成 网络 由线性电阻元件组成
ˆ ∑i u = ∑i R iˆ = ∑u iˆ
k=1 k k k=1 k k k k=1 b b b k k
ˆ ˆ ˆ i1u1 − i2 u2 + ∑ ik uk = 0
= 4 − 2 = 2Ω 1
U oc 4 I sc = = = 2A 成的无源(既无 对于一个仅由线性电阻元件组成的无源 既无 独立源又无受控源)网络 网络N， 独立源又无受控源 网络 ，在单一激励的情 况下， 况下，当激励端口和响应端口互换而电路的几 何结构不变时， 何结构不变时，同一数值激励所产生的响应在 数值上将不会改变。这种特性称为互易特性 互易特性。 数值上将不会改变。这种特性称为互易特性。
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11′ = us , u22′ = 0 ˆ ˆ u22′ = us , u11′ = 0
ˆ ˆ ˆ ˆ u11′i11′ + u22′i22′ = u11′i11′ + u22′i22′
ˆ us i11′ = us i22′
ˆ i11′ = i22′
互易定理的第二种形式
对于同一电路的两种工作状态(即激励源作用于端口 对于同一电路的两种工作状态 即激励源作用于端口 11′的工作状态和激励源作用于端口 ′的工作状态 ， ′的工作状态和激励源作用于端口22′的工作状态)， 应用特勒根似功率定理， 应用特勒根似功率定理，可得
ˆ ˆ ˆ u11′ i11′ + u22′ i22′ + ∑ uk ik = 0
k =1
b
电路原理4.5.1特勒根定理 - 特勒根定理
返回 上页 下页
电路定理
2.具有相同拓扑结构（特征）的电路：
两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应 支路与结点的连接关系也相同。
N
1
R4 2 R5
R2R6
R3
4
3
R1
uS1 +–
N
1
R4' 2 R5'
RuS6+6' –
R3' 4
iS2
3 R1'
故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图
（图）完全相同。
互易定理有的三种不同形式，其中激励和响 应可能是电压或电流而有所不同，当激励和响应 互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。
返回 上页 下页
电路定理
应用互易定理时应注意： (1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，
两个支路的电压电流关系。 (2)激励为电压源时，响应为电流 电压与电流互易
激励为电流源时，响应为电压
(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串 入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处 开路，电流源并入另一支路的两个结点间。
(4)互易要注意电源与电压(电流)的方向。 (5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
返回 上页 下页
利用特勒根定理2（注意电压与电流的方向），可知：
U1( - I1 ) + U2 I 2 U1 ( - I1 ) + U 2 I2
-4 3 + 21.25Uˆ2 -4.8 2 + Uˆ2 1
Uˆ 2
2.4/1.5 1.6V 返回 上页 下页
电路定理
例2 已知：U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A ；U 2 10V
电路定理
2.具有相同拓扑结构（特征）的电路：
两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应 支路与结点的连接关系也相同。
N
1
R4 2 R5
R2R6
R3
4
3
R1
uS1 +–
N
1
R4' 2 R5'
RuS6+6' –
R3' 4
iS2
3 R1'
故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图
（图）完全相同。
互易定理有的三种不同形式，其中激励和响 应可能是电压或电流而有所不同，当激励和响应 互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。
返回 上页 下页
电路定理
应用互易定理时应注意： (1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，
两个支路的电压电流关系。 (2)激励为电压源时，响应为电流 电压与电流互易
激励为电流源时，响应为电压
(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串 入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处 开路，电流源并入另一支路的两个结点间。
(4)互易要注意电源与电压(电流)的方向。 (5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
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利用特勒根定理2（注意电压与电流的方向），可知：
U1( - I1 ) + U2 I 2 U1 ( - I1 ) + U 2 I2
-4 3 + 21.25Uˆ2 -4.8 2 + Uˆ2 1
Uˆ 2
2.4/1.5 1.6V 返回 上页 下页
电路定理
例2 已知：U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A ；U 2 10V
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2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
在使用定理的过程中，一定要注意对应支路的电压、电流的参 考方向要关联 例3、图中N由纯电阻组成，根据已知，求图（c）中的 I1和I2 。 3A 4 20V
+
(a)
1A
5
4
-
N
(a) I1 20V
+
(a)
2A
-
20V
N
(b)
4
+
(a)
又根据KCL，得： 6
k 1
u i
k k
0
un1 i1 u1 is1 i2
i4
R1 u4 i5 u5 is2 i 3 un3 u3
推广到任何具有n个结点 和b条支路的电路，有：
R2 un2 u2 R3
u i
k 1
b
k k
0
R4
i6 u6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
i1= -3A u2 = 5V i'1=？ u'2 = 0
i2=1A i'2=2A
利用例2结
论计算： i'1=-3.5A
i''2=I2 i''1=-I1 u''2=20+5i''2 联立(a)、(c) ： -8I1+5I2 =-3·(20-4I1) +(20+5I2)
联立(b)、(c) ： -6I1+0 =-3.5·(20-4I1) + 2·(20+5I2) i''2 I2 5 I1 4 i''1 (a) + I1= 2A I2= -1A + + + u''1 N u''2 20V 20V (c)
2、特勒根定理二（拟功率平衡） 对于任意两个拓扑结构完全相同（即图完全相同，各支路组 成元件性质任意）的集中参数电路N 和N 。设它们具有 b 条支 路 n 个节点，其相对应的各支路和各节点的编号相同。设它们 ，支路电流分别为ik和i (k=1,2,···,b)， 的支路电压分别为uk和 u k k 且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任意时刻t，有
i1 + u2 i2 + uk ik 0 u1
k 3
代入第k条电阻支路的伏安关系:
+ u2i2 + (a)图: u1i1
(R i )i 0
k 3 b k k k
k 3
b
联立上两式，故有
i1 + u2 i2 + ( Rk ik )ik 0 (b)图: u1
R2
.
Is4 R3
.③
R5
④
.
G
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
图反映了支路和节点关联的情况，而不能反映 出各支路的具体元件。
R6
①
+ Us1 _
.
②
R2
.
Is4 R3
.③
R5
①.
②
.
.③
④
.
④
.
G
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
同构电路：具有相同图的电路. R6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
某一个具体电路之所以具有某种电性能，除了取决于组成
该电路的各个元件电性能以外，还取决于这些元件的互相
连接，即该电路的结构。显然，结构确定以后，单纯描述 这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路 就可以抽象成一个线图.
1、图(Graph)：用线段代替电路中的支路，并 保留原电路中的节点，如此所构成的点线图， 称为原电路对应的图，用G表示。
图(b) i’ 1 = 0.8A i’2 = 3.2A , i’ 3 = 2.8A i’ 4 = - 4A , i’ 5 = 0.4A i’ 6 = 3.6A
u1 i’ 1 + u2 i’ 2 + u3 i’ 3 + u4 i’ 4 + u5 i’ 5 + u6 i’ 6 = 2.88 - 4.48+14 - 4+0.96 - 9.36 = 0
2 1
i4
R1
3 5 6 u1
i2 R2
u4
is2 i 3
i1
is1
u2
R3
电压表述一致，再利用KCL，则：
i5 u i6 3 R4 u u5 6
is2
k 1
u i
6
6
k k
u1i1 + u2i2 + u3i3
i 2
u1
i'4 u4
+ u4i4 + u5i5 + u6i6 0
k 1
u k ik
b
0
由于上式求和中的每一项是同一支路电压和电流的乘 积，表示支路吸收的功率，因此，特勒根定理一是电路功 率守恒的具体体现，故也称为功率定理。
2.8 特勒根定理和互易定理 证明：各支路电压、电流取关联方向，用结点电压法：
各支电压： u1= un1，
u4= un3-un1
k 1
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω ,US1=6V时 ，I1 = 2A，U2= 2V；R2=4Ω ,US1=10V时，I1 = 3A， 求这时的U2。
I1 US1 NR (a) I2 R2 U2 US1 ' I1' NR (b) I 2' R2' U2'
例1：
u2 u4
4
2Ω
u1
u3 u6
2 1
3
i'1
6V 4A
0.1u
2Ω 20Ω 12V
2Ω 5V 1V u5 1Ω 2Ω
5 6
i'2
u
i'3
i'6
4Ω
i'5
(a)
i'4 (b)
图(a) u1 = 3.6V u2 = - 1.4V , u3 = 5V u4 = 1V , u5 = 2.4V u6 = - 2.6V
US1(-I1’)+U2I2’ - US1’(-I1)- U2’I2 = 0 （5） 由于I2’ = U2’ /R2’= U2’/4， I2 = U2 /R2= 2/2=1， 将已知条件代入（5）式，得 6×(-3)+2× U2’/4 - 10 ×(-2) - U2’ ×1 =0 解得 U2’ = 4V
u k ik k
1
b
0;
ik uk k
1
b
0;
由于上式求和中的每一项是一个电路的支路电压和另一电 路相应支路的支路电流的乘积，它虽具有功率的量纲，但不表 示任何支路功率，称为拟功率守恒。故特勒根定理二也称为拟 功率定理。
2.8 特勒根定理和互易定理
4
证明：
两个电路 图都可利用结 点法，且结点
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 图论基础
某一个具体电路之所以具有某种电性能，除了取决于组成
该电路的各个元件电性能以外，还取决于这些元件的互相
连接，即该电路的结构。显然，结构确定以后，单纯描述 这个电路结构所服从的KCL和KVL方程时，一个元件电路 就可以抽象成一个线图. R6
①. ②
+ Us1 _
R1 u2
is1
i3 R2 i 5 u5 u3 u6
k 1
u i u i +u i +u i
k k 1 1 2 2 3 3
i 1 us2
+
i 6
R3
+ u4 i4 + u5 i5 + u6 i6 0
-
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
将以下已知数据代入上式， us1=20V，i1= -10A， i2=2A， us2=10V 得:
u1 u1 ຫໍສະໝຸດ (-10) + 10 2 20 + 0 i2 2
u1=1V， i 1=1/2A
u2=un2-un1
u5=un2
u3= un3-un2
u6= -un3
u i u i
k k
6
1 1
+ u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 + u6 i6
un 1 (i1 - i2 - i4 ) + un 2 ( i 2 - i3 + i5 ) + un 3 ( i3 + i4 - i 6 )
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
例2：图(a)电路中，NR为纯线性电阻组成。已知当R2=2Ω ,US1=6V时 ，I1 = 2A，U2= 2V；R2=4Ω ,US1=10V时，I1 = 3A， 求这时的U2。
I1 US1 NR (a) I2 R2 U2 US1 ' I1' NR (b) I 2' R2' U2'
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
i1
us1
1 2 i2
i 1 1
2 u1
2 i 2
+ -
u1
+
-
N
(a)
u2
2
+ -
+