西南名校联盟2021届高三高考适应性月考卷(五)数学(文)试题文数答案
西南名校联盟2021届高考数学联考试卷(文科)(含答案解析)
西南名校联盟2021届高考数学联考试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合B={a,a2,2}，1∈B，则实数a的值为()A. 1B. −1C. ±1D. −√22.已知i是虚数单位，则3+i的虚部为()1−iA. 2B. −2C. 1D. −13.对变量X与Y的卡方统计量Χ2的值，说法正确的是()A. Χ2越大，“X与Y有关系”可信程度越小B. Χ2越小，“X与Y有关系”可信程度越小C. Χ2越接近0，“X与Y无关”程度越小D. Χ2越大，“X与Y无关”程度越大4.“m≥8”是“方程x2−mx+2m=0有两个大于2的根”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列{a n}为“L数列”()A. 若{a n}是等差数列，且首项a1=0，则数列{a n}是“L数列”B. 若{a n}是等差数列，且公差d=0，则数列{a n}是“L数列”C. 若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|<1，则数列{a n}是“L数列”D. 若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|<1−1在区间[0,π]的最小值是()6.已知函数f(x)=cosx+4cos x2A. −2B. −4C. 2D. 47.下列函数中，图象不关于原点对称的是()−1A. y=e x−e−xB. y=2e+1C. y=ln(x+√x2+1)D. y=lnsinx8.某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()A. 不赚不亏B. 赚了80元C. 亏了80元D. 赚了160元9.按如图的程序框图运行后，输出的S 应为( )A. 7B. 15C. 26D. 4010. 设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为( ) A. √52B. √5+12C. √2D. √311. 已知函数f(x)=(x 2−2ax)e x ，若f(x)在[−1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,34)B. (12,34)C. [34,+∞)D. (0,12)12. 已知抛物线 y =14x 2的焦点为F ，若P 为抛物线上一点，且|PF|=4，则P 到X 轴的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则<a ⃗ ,b ⃗ >为______ °.14. 已知区域D ：{x +y −1≥0x −y +1≥03x −y −3≤0，直线y =kx +1等分区域D 的面积，则实数k 的值为______ ．15. 已知正四棱棱锥P −ABCD 的底面边长和高都为2，O 是底面ABCD 的中心，以O 为球心的球与四棱锥P −ABCD 的各个侧面都相切，则球O 的表面积为______ ． 16. 给出下列命题： ①存在实数，使得； ②函数的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知是锐角三角形ABC 的两个内角，则。
2021年5月第三次高考适应性考试-文数(含答案)
2021年5月第三次高考适应性考试文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()()(){},1210A x y x y x y =++-+=，则集合A 中元素个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】D【解析】因为()()1210x y x y ++-+=等价于10x y ++=或210x y -+=， 所以集合A 是直线10x y ++=和直线210x y -+=上的所有点组成的集合， 所以集合A 中的元素个数有无数个，故选D ．2．若复数z 满足()34i 43i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．45【答案】B【解析】43i 5-==，所以()34i 453i z +=-=，则()()()534i 534i 34i 34i 34i 34i 555z --====-+-+，因此，z 的虚部为45-，故选B ．3．已知1()1x x e f x e -=+，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1()1x x e f x e -=+的定义域为R ，且()11()11x xx x e e f x f x e e -----===-++，即函数为奇函数，由120x x +=，即12x x =-可得()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=， 则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，故选C ． 4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】A ．如图所示：在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，AF ∥平面PBDC ，故正确；B ．如果平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，故正确；C ．如图所示：在γ内取一点Q ，作QM CP ⊥，QN CD ⊥，因为平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，所以QM ⊥平面α，QN ⊥平面β， 又因为α∩β＝l ，所以QM l ⊥，QN l ⊥， 又QMQN Q =，则l ⊥平面γ，故正确；D ．如图所示：在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，AF ∥平面PBDC ，故错误，故选D ．5．如图，在ABC △中，D ，E 是AB 边上两点，2BM MC =，且BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积成等差数列．若在ABC △内随机取一点，则该点取自AEM △的概率是（ ）A ．518B ．29C ．16D ．19【答案】A【解析】因为2BM MC =，所以2BM MC =，2ABM ACM S S =△△， 因为BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积成等差数列．设面积依次为,,2,3a a d a d a d +++，则22(3)a a d a d a d ++++=+，则3a d =， 所以BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积依次为3,4,5,6d d d d ，所求概率为55345618d P d d d d ==+++，故选A ．6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在(1,0)-上递减．若12(5)a f -=，(ln2)b f =-，3(log 18)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，因为()2()f x f x -=，所以()22(2)f x f x --=+，即()(2)()f x f x f x -=+=， 所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又()f x 在()1,0-上递减，所以在()0,1递增，又125a f f -⎛⎫==⎪⎝⎭，()()ln2ln2b f f =-=， ()()()333log 182log 2log 2c f f f ==+=，331log log 2ln 212<=<<<，()f x 在()0,1递增， 故()()3log 2ln 2f f f <<，即a c b <<，故选A ． 7．已知ABC △中，45ABC ACB ∠=∠=︒，12BC =，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN CN ⋅的最小值为（ ） A ．365-B ．725-C ．185-D ．545-【答案】C【解析】由45ABC ACB ∠=∠=︒，可知90BAC ∠=︒．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则()0,0A、(M、(C ， 设1,2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0x ≤≤1,2AN x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2CN x x ⎛=- ⎝，故22115224AN CN x x x x ⎛⋅=+-=- ⎝． 令()254f x x =-，0x ≤≤x =时，函数()f x 有最小值， 且()max 185f x f ==-⎝⎭，即AN CN ⋅的最小值为185-，故选C ． 8．若x ，y 满足约束条件2360244x y x y x y a -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，且3z x y =-的最大值为12，则a 的取值范围为（ ） A ．4a ≥ B ．16a ≥C ．12a =D ．16a =【答案】D【解析】由约束条件得如图所示区域，2416,77a a B --+⎛⎫⎪⎝⎭，代入3z x y =-，得612161277a a --+-=，解得16a =，故选D ．9．已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A ．()sin 2ln f x x x =⋅B ．()()cos π2x f x x-=C ．()sin 21xxf x e =-D ．()()21ln f x x x =-⋅【答案】A【解析】由图象知，函数()f x 关于原点对称，即()f x 为奇函数；当()0,4x ∈时，函数有3个零点；在y 轴右侧一点，函数值()0f x <，且在y 轴右侧一点，函数()f x 递减． 选项B 中，函数()()cos π2cos 2x xf x x x-==-，()22sin 2cos 2x x x f x x +'=， 当4π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在4π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，与图象不符，不正确；选项C 中，函数()sin 21xx f x e =-中，当2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，则sin 20x >，而0x >，1x e >，即10xe ->，故()0f x >，与图象不符，不正确； 选项D 中，()()21ln f x x x =-⋅，满足()()()()221ln 1ln f x x x x x f x ⎡⎤-=--⋅-=-⋅=⎣⎦，即()f x 是偶函数，故与图象不符，不正确；故由排除法只能说选A ，而选项A 中，函数()sin 2ln f x x x =⋅，满足()()()sin 2ln sin2ln f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，即()f x 是奇函数；当()0,4x ∈时，()()20,80,3πx ∈⊆，故sin 20x =有两根：2π,2πx =，即π,π2x =， 且ln 0x =有一根：1x =，符合题意中()0,4x ∈有3个零点； 存在正数1，使得当()0,1x ∈时，()0f x <． 故以上性质均与图象符合，可能是图象对应的函数， 故选A ．10．已知()()()2sin 0f x x ωϕω+>＝同时满足以下条件： ①当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为π2；②7π1212πf x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()04πf f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．若()f x a =在[]0,π有2个不同实根m ，n ，且3πm n -≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．[)0,1C ．(D ．[)1,1-【答案】D【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+满足， 当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为12ππ22ω⨯=， ∴2ω=，函数()()2sin 2f x x ϕ=+． ∵7π1212πf x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，故有22ππ3πk ϕ⨯+=+，即ππ6k ϕ=-，k ∈Z ． 又()04πf f ⎛⎫>⎪⎝⎭，即2sin 2sin 2o πc s 2ϕϕϕ⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，即sin cos ϕϕ>，故5π6ϕ=，函数()5π2sin 26x x f ⎛⎫+⎝=⎪⎭． ()f x a =在[] 0,π有2个不同实根m ，n ，且3πm n -≥， 根据5π5π5π2,2π666x ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π11π2sin 2sin 166==-， 5π5π2sin2sin 2π2sin 2π1666π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴11a -≤<，故选D ．11．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，B 为渐近线上一点，O 为坐标原点．若四边形OFAB 为菱形，则双曲线C 的离心率e =（ ）A ．2B ．3C D 1【答案】D【解析】由题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点(,0)F c ，且渐近线方程b y x a =， 因为四边形OFAB 为菱形，如图所示，设(,)b B x x a ，因为OB c ==，解得x a =-，可得(),B a b -，设1(,)A x b ，代入双曲线的方程22221x y a b-=，可得x =，即,)A b ，又由OB FA k k =ba =-c a -=-，所以双曲线的离心率为21c ea，故选D ．12．已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'===， 令()0h x '=，解得12x e -=，当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e->时，()0h x '<，()h x 单调递减，故当12x e-=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=， 又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →， 作出函数大致图象，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +==， 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x +=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤<，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若平面向量(1,2)=-a ，||3=b ，则||-a b 的最小值为________．【答案】3【解析】||-a b 以O 为圆心、3为半径的圆上任一点与点(1,2)A -间的距离，所以最小值为||3r OA -=314．某公司对近5年的年广告支出x （单位：万元）与年利润y （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示：由上表中数据求得年广告支出x 与年利润y 满足线性回归方程 1.2 3.6y x =+，则a 的值为_____． 【答案】7【解析】由已知，1234535x ++++==，568102955a ay +++++==，所以29 1.23 3.65a+=⨯+，解得7a =， 故答案为7．15．点P 是曲线2ln y x x x =+-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最短距离为_____．【解析】设20x y m -+=与函数2ln y x x x =+-的图象相切于点()00,P x y ．121y x x '=+-，所以01212x x +-=，00x >，解得01x =，02y =， ∴点()1,2P 到直线220x y --=的距离为最小距离d ==故答案为516．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是_______．【答案】 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 建系如图，则1(,0,0)2M ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C ．设(,,0)P x y (01,01)x y <<<<，则1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y =---， 设平面1A BM 的法向量111(,,)x y z =n ，11(,0,1)2MA =，1(,1,0)2MB =，11111102102MA x z MB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩n n ，即11111212z x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取12x =，则(2,1,1)=--n ， 若1B P平面1A BM ，则1B P ⊥n ，即12(1)(1)120B P x y x y ⋅=---+=-=n ，则2y x =， 又1(,1,1)C P x y =--，1(,21,1)C P x x ∴=--，即21||C P x ===01x <<，01y <<，2y x =，102x ∴<<， 26265()2555x ≤-+<∴1||2C P ≤<， 故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{}n a ，4116a =，57256a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2log n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）516n n a -=；（2）22182,521880,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩．【解析】（1）由等比数列的性质可得2576256a a a ⋅==，又因为数列{}n a 为正项数列，所以616a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，所以264256a q a ==，16q =， 所以6656161616n n n n a a q ---==⨯=． （2）由（1）可知52log 16420n n -=-，令420n b n =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ． ①当5n ≤且*n ∈N 时，()2162041822n n n T n n +-==-；②当6n ≥且*n ∈N 时，()()5442052n n n T T +--=+()()221852528521880n n n n =⨯-⨯+--=-+， 综上所述，22182,521880,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩．18．（12分）某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务．现统计了前8天每天(用1t =，2，…，8表示)的接种人数y (单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，求y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)；（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．参考数据：12.25y =，()82142ii tt=-=∑，()()8170i i i y y t t =--=∑．参考公式：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，回归方程ˆˆˆy a bt=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()81821ˆiii i i t t y y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-． 【答案】（1）ˆ 1.67 4.75y t =+；（2）第10天接种人数预报值2145人，预计从第13天开始，接种人数会突破2500人． 【解析】（1）由题意，得1(12345678) 4.58t =⨯+++++++=， ()()()81821705ˆ 1.667423iii i i t t y y bt t ==--===≈-∑∑， ˆˆ12.25 1.667 4.5 4.75ay bt =-=-⨯≈， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ 1.67 4.75yt =+． （2）第10天接种人数ˆy的预报值ˆ 1.6710 4.7521.45y =⨯+=， 第10天接种人数的预报值为2145人．当12t =时，ˆy的预报值ˆ 1.6712 4.7524.79y =⨯+=；当13t =时，ˆy的预报值ˆ 1.6713 4.7526.4625y =⨯+=>， 故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是菱形，160B BC ∠=︒，AB BC ⊥，1AB BB ⊥，D 为棱BC 的中点．（1）求证：平面1AB D ⊥平面ABC ；（2）若2AB BC ==，求点C 到平面1AB D 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）证明：设2BC a =．四边形11B BCC 是菱形，D 为棱BC 的中点，12BC BB a ∴==，12BD BC a ==． 在1BB D △中，1160B BD B BC ∠=∠=︒，由余弦定理得22211112cos B D BD BB BD BB B BD =+-⋅∠，解得1B D ．22211BD B D BB ∴+=，190BDB ∴∠=︒，即1B D BC ⊥．AB BC ⊥，1AB BB ⊥，且1BC BB B =，AB ∴⊥平面1BDB ．1B D ⊂平面1BDB ，1AB B D ∴⊥．1AB B D ⊥，1B D BC ⊥，且AB BC B =，1B D ∴⊥平面ABC ． 1B D ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面ABC ．（2）由2AB BC ==和（1）知1B D =，1B D ⊥平面ABC ，1B D ∴是点1B 到平面ABC 的距离．AD ⊂平面ABC ，1B D AD ∴⊥，则1AB D △是以1AB 为斜边的直角三角形，AB BC ⊥，2AB BC ==，点D 为棱BC 的中点，AD ∴，ACD △的面积12ACD CD ABS ⨯==△，1AB D △的面积112AB D AD DB S ⨯==△设点C 到平面1AB D 的距离为h ，则11C AB D B ACD V V --=，111133AB D ACD S h S B D ∴⨯⨯=⨯⨯△△，解得h =∴点C 到平面1AB D20．（12分）如图，已知椭圆()222:11x y C a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，k =．（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1（2）为定值5．【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F ，所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-，当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-．联立2221y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++．将k =代入，得222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆22:13x C y +=，设0:AD x y =22:33C x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =同理00:x BE x y y =，E y =从而E D E D y y y y +=-于是00000055E D DE E D E D y y y k k x x x -====⋅=-，所以DE ，AB 的斜率之比为定值5． 21．（12分）设()()ln a f x ax x =+，()11ln xg x b e x x-=⋅+，其中,a b ∈R ，且0a ≠． （1）试讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，()()ln f x xg x x -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）(],e -∞．【解析】（1）()221a x af x x x x-'=-=， ①当0a <时，由0ax >，得0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>， ()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；②当0a >时，由0ax >，得0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增； 当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （2）由()()ln f x xg x x -≥，得11ln ln ln x x bxe x x x -+--≥，即11ln x bxe x x-≤-， 设()ln h t t t =-，则()111t h t t t-'=-=， ∴当()0,1t ∈时，()0h t '>；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<， ()h t ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；又1t x=在()0,∞+上单调递减， 11ln y x x ∴=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min 11ln 1ln11xx ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1xbxe -∴≤在()0,∞+上恒成立，xe b x∴≤，设()xe m x x =，则()()21x e x m x x-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0m x '<；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>， ()m x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 1m x m e ∴==，b e ∴≤，即实数b 的取值范围为(],e -∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线 C 交于,A B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】（1）cos sin 10l θρθ-=，2 :2C y x =；（2）163MA MB ⋅=． 【解析】（1）因为l的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数)， 消去参数t得)11y x =-+，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线lcos sin 10θρθ-=．由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线 C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为π3，∴直线l '的倾斜角也为π3， 又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为122(2x t t y '''⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ''， 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴163MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()13f x x x =++-． （1）求不等式()3f x x ≤+的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：111a b b c a c +++++92m≥． 【答案】（1）{}15x x ≤≤；（2）证明见解析． 【解析】（1）①当1x ≤-时，22313x x x -≤+⇒-≥，无解； ②当13x -<≤时，1≥x ，解得13x ≤≤； ③当3x >时，2235x x x -≤+⇒≤，35x <≤， 综上：不等式的解集为{}15x x ≤≤．（2）因为()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以4m =， 所以4a b c m ++==，()()()11111118a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ 3188b c a b b c c a a b c a a b b c c a b c c a a b ++++++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝⎭319888⎛≥+= ⎝， 当且仅当a b b c c a +=+=+，即43a b c ===时，等号成立．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(文科)(附答案详解)
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.Z(M)max表示集合M中整数元素的最大值.已知集合A={x|(2x+1)(3x−13)≤0}，则Z(A)max=()D. 4A. 0B. 5C. 1332.若z(2+i)=4−3i，则z的实部为()A. 2B. −2C. 1D. −13.已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，则()A. 甲组数据变量间的线性相关程度最强B. 乙组数据变量间的线性相关程度最弱C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有()A. 10层B. 11层C. 12层D. 13层6. 函数f(x)=1−3sin2x 在(π2,11π12)上的值域为( )A. (1,52)B. (1,4]C. (1,2)D. (52,4]7. 已知函数f(x)为偶函数，且f(x)在R 上有3个零点，则f(x)的解析式可以为( )A. f(x)=x 2(2x +2−x −4)B. f(x)=x 2(2x −4x 2)C. f(x)=x 3(2x +2−x −4)D. f(x)=x(2x −2−x )8. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y =e ax+b (a,b 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( )A. 9℃B. 12℃C. 18℃D. 20℃9. 执行如图所示的程序框图，若输入的k =3，则输出的S =( )A. √32B. −√32C. 12 D. 010. 设双曲线C ：x 2a 2−y 224a 2=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为C 右支上的一点，且PF 1⊥PF 2，则tan∠PF 2F 1=( )A. 43B. 74C. 2D. 12511. 已知函数f(x)=(x −32)e x ，则( )A. f(log 279)>f(log 85)>f(79) B. f(79)>f(log 85)>f(log 279) C. f(log 85)>f(79)>f(log 279)D. f(79)>f(log 279)>f(log 85)12. 已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l 0，过F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，过点A 作AP ⊥l 0，垂足为P ，点G 为∠PAB 的角平分线与l 0的交点，则|FG|=( )A. 4B. 2√3C. 3√2D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，|a⃗|=2，|b⃗ |=1，若(a⃗+3b⃗⃗⃗⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )，则λ=______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−6≤02x+y−4≥0x−2y+4≤0，则z=x+2y的最大值为______ ．15.如图，已知面积为4的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，⊙O1为正方形ABCD的外接圆，△AO1O为等腰直角三角形，则球O的体积为______ ．16.设{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，现有如下四个命题：①a1，a2，a3成等差数列；②a9不是质数；③{a n+n2}的前n项和为2n+1−2；④数列{a n}存在相同的项．其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(√3−cosA)c=acosC．(1)求cb；(2)若cosA=c2b ，且△ABC的面积为9√114，求a．18.针对偏远地区因交通不便、消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如表：(1)估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19.如图，四棱锥P−ABCD的侧棱PD垂直底面，AB//CD，AB=PD=1，BC=CD=2，∠BCD=60°，M为线段BC上一点．(1)当BC=2CM时，证明：平面PBC⊥平面PDM；(2)若四棱锥P−ABMD与三棱锥C−PDM的体积相等，求三棱锥C−PDM的侧面积．20.以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长为方程x2−8x+12=0的两个实数根．(1)求C的方程与离心率；(2)若点N在C上，点M在直线y=2上，|GN|=2|GM|，且GN⊥GM，求点N的坐标．21.已知函数f(x)=x3−3x2+2．(1)设a∈R，讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)证明：f(x)+4lnx>1x −1x4−x24对x∈[1,+∞)恒成立．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−4+tcosαy=−3+tsinα(t为参数，−π4<α<π2).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ=0．(1)求曲线C与直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有公共点，求tanα的取值范围．23.设x，y，z均为正实数，且x+2y+z=4．(1)证明：x2+2y2+z2≥4．(2)求√x+√y+√z的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的运算，理解Z(A)最大值的定义是解题的关键．解一元二次不等式求出x的范围，得到集合A，然后列举出集合A的元素，找出最大值，从而得出Z(A)的最大值．【解答】解：由(2x+1)(3x−13)≤0得−12≤x≤133，∴A={x|−12≤x≤133}，∴A中的整数有0，1，2，3，4 ∴Z(A)的最大值为4，故选D．2.【答案】C【解析】解：由z(2+i)=4−3i，得z=4−3i2+i =(4−3i)(2−i)5=5−10i5=1−2i，所以z的实部为1．故选：C．先利用复数的运算求出z的代数形式，然后由复数z的定义即可得到答案．本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，所以丙组数据的线性相关性最强．故选：C．根据题意，由线性相关系数的定义，判断个选项可得答案．本题考查线性相关系数的定义，解题的关键是理解线性相关系数的统计意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：取AD的中点G，连接EG、FG，如图所示：当F为棱BC的中点时，FG//AB，EF//BC1，且EF∩FG=F，则平面EFG//平面ABC1D1，又EF⊂平面EFG，所以EF//平面ABC1D1，充分性成立，显然，GF上的点都满足EF//平面ABC1D1，即必要性不成立，所以“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的充分不必要条件．故选：A．取AD的中点G，连接EG、FG，判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了线面平行的判定与充要条件应用问题，也考查了直观想象与逻辑推理的核心素养．5.【答案】C【解析】解：根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，数列{a n}为1，3，3，5，5，7，…，则S4=1+3+3+5=12，该数列从第5项开始成等差数列，而a5=5，a6=7，则其公差d=2，=n(n−4)，则有S n−S4=a5+a6+⋯…+a n=5×(n−4)+(n−4)(n−5)×22又由S n=108，则有12+n(n−4)=108，即n(n−4)=96，解可得n=12或−8(舍)，则n=12．故选：C．根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，求出S4以及S n−S4表达式，又由S n的值可得关于n的方程，计算可得答案．本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及数列的求和，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵x∈(π2,11π12)∴2x∈(π,11π6)∴sin2x∈[−1,0)∴−3sin2x∈(0,3]∴1−3sin2x∈(1,4]即f(x)的值域为(1,4]．故选：B．找到角的取值范围，利用正弦函数求值域得出答案．本题考查了三角函数求值域，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=x2(2x+2−x−4)，其定义域为R，f(−x)=x2(2x+2−x−4)=f(x)，是偶函数，对于方程2x+2−x−4=0，设t=2x，则有t+1t−4=0，变形可得t2−4t+1=0，方程有2个正根，则2x+2−x−4=0有两解，则函数f(x)=x2(2x+2−x−4)有3个零点，A正确，对于B，f(x)=x2(2x−4x2)，其定义域为R，有f(−x)=x2(2−x−4x2)≠f(x)，不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=x3(2x+2−x−4)，其定义域为R，有f(−x)=−x3(2x+2−x−4)=−f(x)，是奇函数，不符合题意，对于D，f(x)=x(2x−2−x)，其定义域为{x|x≠0}，有f(x)=(−x)(2−x−2x)=f(x)，是偶函数，对于方程2x−2−x=0，设t=2x，则有t−1t=0，解可得t=±1，只有1个正根，则方程2x−2−x=0有1解，即x=0，则函数f(x)=x(2x−2−x)有1个零点，不符合题意，故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和零点的个数，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，以及函数零点的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当x=6时，e6a+b=216；当x=24时，e24a+b=8，则e6a+be24a+b =2168=27，整理可得e6a=13．则72=13×216=e6a×e6a+b=e12a+b，所以该果蔬所需物流时间为3天，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12℃．故选：B．利用题中的条件，列出等式，根据函数的性质，即可解出结果．本题考查函数模型与指数的运算，考查数学建模与数学运算的核心素养．9.【答案】B【解析】解：设第n次循环后输出，k=3+4n≥2021，解得n≥504.5，可知第505次循环后结束循环，此时k=3+4×505=2023，S=cos2023π6=cos7π6=−cosπ6=−√32．故选：B．根据程序框图的运行过程，得出第n次循环后输出k=3+4n≥2021，求出n的最小正整数，再计算k和S的值．本题考查了程序框图与等差数列的应用问题，也考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．10.【答案】A【解析】解：易知c2=25a2，则c=5a，|F1F2|=2c=10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|−|PF2|=2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则(|PF2|+2a)2+|PF2|2=100a2，解得|PF1|=8a，所以|PF2|=6a，故tan∠PF2F1=|PF1||PF2|=43．故选：A ．利用已知条件，求出a ，c 关系，利用双曲线的定义，勾股定理，转化求解三角形，推出结果即可．本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想，是中档题．11.【答案】B【解析】解：函数f(x)=(x −32)e x ，则f′(x)=(x −12)e x ， 令f′(x)>0，可得x >12，令f′(x)<0，可得x <12， 所以f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增， 因为log 279=23log 33=23>12，log 85=13log 25>13log 24=23，79=733log 22=log 8(273)，又因为273=22×213，(54)3=12564<2，所以213>54，所以273>5，所以log 8(273)>log 85，所以79>log 85>log 279>12，因为f(x)在(12,+∞)上单调递增， 所以f(79)>f(log 85)>f(log 279)． 故选：B ．对f(x)求导，利用导数可求得f(x)的单调性，由对数的运算性质比较log 279，log 85，79的大小，再利用单调性即可比较函数值的大小．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得|AF|=|AP|，又∠FAG =∠PAG ，AG 公用， 所以△PAG≌△FAG ，因为AP ⊥PG ，所以GF ⊥AF ， 因为k AB =1，所以k GF =−1，而F(32,0)，所以直线FG 的方程为：y =−(x −32)， 联立{y =−(x −32)x =−32可得y =3，所以G(−32,3)， 所以|FG|=√(−32−32)2+32=3√2．故选：C ．由抛物线的性质可得|AP|=|AF|，再由角平分线可得三角形全等，可得GF ⊥AF ，由F 的坐标求出直线FG 的方程，与准线方程联立求出G 的坐标，进而求出|FG|的值． 本题考查抛物线的性质及角平分线的性质，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2×1×cos120°=−1， ∵(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⊥(a ⃗ +λb⃗ )， ∴(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=a ⃗ 2+(λ+3)a ⃗ ⋅b ⃗ +3λb ⃗ 2=4+(λ+3)×(−1)+3λ=0，则λ=−12，故答案为：−12．由题意利用两个平面向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题考查两个平面向量的数量积，两个向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】14【解析】解：作出可行域如图所示，将目标函数化为y =−12x +z2， 由图可知，当直线y =−12x +z2经过点A(−2,8)时， 目标函数取得最大值，且最大值为：−2+16=14．故答案为：14．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，是基础题．15.【答案】32π3【解析】解：设⊙O1的半径为r，球O的半径为R，易知O1为AC的中点，由正方形ABCD的面积为4，可知正方形的边长为2，因此r=|AO1|=12|AC|=√22|AB|=√2，R=√2r=2，故球O的体积v=4πR33=32π3．故答案为：32π3．设出圆的半径，球的半径，转化求解球的半径，然后求解球的体积即可．本题考查球面的性质与体积，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．16.【答案】①③④【解析】解：{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，令b n=a n+n2，所以b1=a1+1=2，b2=a2+4=4，由于数列{b n}为等比数列，设公比为q，则q=b2b1=2，则b n=b1q n−1=2n，则a n=b n−n2=2n−n2，所以对于①，a1=2−1=1，a2=22−4=0，a3=23−9=−1，所以2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列，故①正确；对于②，a 9=29−92=431，除了1和本身没有别的约数，故431为质数，故②错误； 对于③，由于b n =a n −n 2=2n ，所以数列{b n }的前n 项和为S n =21+22+⋯+2n =2×(2n −1)2−1=2n+1−2，故③正确；对于④，由于a 2=22−22=0，a 4=24−42=0，故a 2=a 4=0，故④正确． 故答案为：①③④．直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，再利用赋值法的应用求出数列中的相同项，最后确定①②③④的结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为(√3−cosA)c =acosC ，所以由正弦定理可得√3sinC −cosAsinC =sinAcosC ， 即√3sinC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)， 而sin(A +C)=sinB ， 所以√3c =b ， 故cb=√33．(2)由(1)知cosA =√36，则sinA =√336，又△ABC 的面积为12bcsinA =√114c 2=9√114，则c =3，b =3√3．由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =27，解得a =3√3．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，利用三角形的面积公式进而可求c ，b 的值，利用余弦定理可求得a 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为1−5+3+2100=0.9，本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为5+3+2100×7500+3+21+34100×12500+2+6+24100×17500=13600(元)．(2)列联表如下：人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万832电商扶贫年度总投入超过1000万258因为K2=100×(8×58−2×32)210×90×40×60=20027≈7.407>6.635，所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．【解析】(1)先求出该年度内贫困地区人均可支配年收入不过万的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出结果；利用区间中点值乘以该组的频率，依次相加，即可求出平均值的估计值．(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了频数分布表的实际应用，考查了估计平均值，同时考查了独立性检验的的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)连接BD，因为BC=CD=2且∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形，因为BC=2CM，则M为BC的中点，所以BC⊥DM，因为PD⊥平面ABCD且BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩DM=D且PD、DM⊂平面PDM，所以BC⊥平面PDM，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDM；(2)因为AB//CD且△BCD是边长为2的等边三角形，所以∠ABD=60°，DM=√3，由余弦定理可得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD =3， 得AD 2+AB 2=BD 2，即AD ⊥AB ，所以AD ⊥CD ， 因为四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等， 所以S ABMD =S △CDM ，设BM 1=x ，那么CM 1=2−x ，所以S △ABD +S △BDM 1=S △CDM 1，得√32+√32x =√32(2−x)，解得x =12，且PM =√DM 2+PD 2=2，M 1C =1+12=32， 所以S △CDM 1=12CM 1⋅DM =12×32×√3=3√34， S △PCM 1=12CM 1⋅PM =12×32×2=32， S △PCD =12PD ⋅CD =12×1×2=1，所以三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD =3√34+32+1=52+3√34．【解析】(1)连接BD ，先利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明结论即可；(2)根据四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等，得到S ABMD =S △CDM ，求出BM 1的长，而三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD ，从而可求出所求． 本题主要考查了线面垂直面面垂直的判定定理，以及棱锥侧面积的求法，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可设C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，(a >b >0, 因为x 2−8x +12=0的两根为x 1=2，x 2=6， 所以2a =6，2b =2 则a =3，b =1， 则C 的方程为x 29+y 2=1， 离心率e =ca=2√23；(2)易知G(0,1)．设M(x M ,2)，N(x N ,y N )，则k GM =2−1x M=1x M，由GN ⊥GM ，得k GN =−1kGN=−x M ．由|GN|=2|GM|，得√1+x M 2|x N −0|=2√x M 2+1，因此|x N |=2． 由x N29+y N 2=1，得|y N |=√53， 故点N 的坐标为(2,√53)或(2,−√53) 或(−2,√53)或(−2,−√53).【解析】(1)由方程解出方程的解，由题意可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的离心率；(2)设M ，N 的坐标，由|GN|=2|GM|，可得M ，N 的坐标的关系，再由GN ⊥GM ，可得斜率之积为−1，求出M ，N 的坐标的关系，两式联立求出N 的坐标． 本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质，两条直线垂直的性质，属于中档题．21.【答案】(1)解：函数f(x)=x 3−3x 2+2，则f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，解得x =0或x =2，所以f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，①当a <0时，则f(x)在(a,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ②当0≤a <2时，f(x)在(a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ③当a ≥2时，f(x)在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：先证明f(x)+4lnx ≥0，令g(x)=f(x)+4lnx =x 3−3x 2+2+4lnx ， 则g′(x)=3x 2−6x +4x =1x (3x 3−6x 2+4)=3x (x 3−2x 2+43)， 令ℎ(x)=x 3−2x 2+43，则ℎ′(x)=3x 2−4x =x(3x −4)， 当x ∈(0,43)时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减， 当x ∈(43,+∞)时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 所以当x =43时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(43)=427>0，所以g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即g(x)在[1,+∞)上单调递增， 又g(1)=0，所以g(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，即x 3−3x 2+2+4lnx ≥0在[1,+∞)上恒成立， 下证1x −1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立，即证x 3−x 64−1≤0[1,+∞)上恒成立，令H(x)=x 3−x 64−1，则H′(x)=3x 2−3x x 5=3x 2(1−12x 3)，当x ∈(1,√23)时，H′(x)>0，则H(x)单调递增，当x ∈(√23,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)单调递减，所以当x =√23时，H(x)取得最大值为H(√23)=0，所以H(x)≤0，即1x−1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立．因为x 3−3x 2+2+4lnx ≥0中取等号的条件是x =1，而1x −1x 4−x 24≤0中取等号的条件是x =√23， 又g(1)>H(1)=−14， 所以g(x)>H(x)， 故f(x)+4lnx >1x −1x4−x 24对x ∈[1,+∞)恒成立．【解析】(1)求出f′(x)，求出f(x)在R 上的单调区间，然后分a <0，0≤a <2，a ≥2分别求解f(x)在(a,+∞)上的单调性即可；(2)分别利用导数证明f(x)+4lnx ≥0在(0,+∞)上恒成立和H(x)=x 3−x 64−1≤0在(0,+∞)上恒成立，分析取等号的条件即可证明原不等式．本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断、不等式的证明等问题，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于较难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ+6sinθ=0，整理得ρ2+6ρsinθ=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+(y +3)2=9．直线l 的参数方程为{x =−4+tcosαy =−3+tsinα(t 为参数，−π4<α<π2)，转换为直角坐标方程为y+3x+4=tanα，整理得xtanα−y +4tanα−3=0．(2)由(1)知，曲线C 表示圆心为(0,−3)，半径为3的圆，直线l 与曲线C 有公共点，所以圆心到直线l 的距离d =√1+tan 2α≤3， 解得tan 2α≤97， 解得−3√77≤tanα≤3√77， 又−π4<α<π2， 所以−1<tanα≤3√77，故tanα的取值范围是(−1,3√77].【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：∵x2+1≥2x，2(y2+1)≥4y，z2+1≥2z，∴x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)=8，即x2+2y2+z2≥4，当且仅当x=y=z=1时，等号成立，∴x2+2y2+z2≥4．(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，当且仅当x4=2y2=z4，即x=z=85，y=25时，等号成立．∵x+2y+z=4，∴(√x+√y+√z)2≤10，则√x+√y+√z≤√10，故√x+√y+√z的最大值为√10．【解析】(1)利用基本不等式可得x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)，从而证明x2+2y2+z2≥4成立；(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，进一步得到(√x+√y+√z)2≤10，再求出√x+√y+√z的最大值．本题考查了利用柯西不等式求最值，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。
西南名校联盟高考适应性月考卷文科数学试题有答案-word
第 0 页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，则AB [32)=-，，故选D ． 2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 的最小值1，所以2||3z =-B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选A ．4．设a 与b 的夹角为θ，由222|2|(2)()44()116a b a b a a b b +=+=++=+所以1cos 2θ=-，则a 与b 的夹角为2π3，故选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1，所以圆柱的，故而圆柱的外接球的表面积为8π，故选C ．6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23⎛⎫⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12m i n π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，故选B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，则17AB =， 设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIA S S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=△1()2r AB BC CA ++，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．图1第 1 页8．到正四面体的四个顶点距离相等的截面，如图2 有两种情况：第一种情况，截面为边长为 1的正三角形，共有4种情况；第二种情况，截面为边长为1的正方形，共有3种情况，综上所述，所有截面的个数为347+=，故选D ．9．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3m y =，5m z =，m =m =m ．又由6689=<=，由10103225=>=>m y x =(0)m >在第一象限的单调性知，<B ．10．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．11．如图3，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以 61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 21cos 2F PF S mn θθθθ===+△所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为122ππsin sin 33F F ==4π3，故选A ． 图3图2第 2 页12．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）113⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图4中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直线 20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小 值4，所以2z x y =+的最小值为4．14．由126n n n a a a ++++=，当1n =时，则1236a a a ++=，由11a =，22a =，则33a =； 当2n =时，则2346a a a ++=，由22a =，33a =，则41a =； 当3n =时，则3456a a a ++=，由33a =，41a =，则52a =，观察可得，数列{}n a 是以3为周期的周期数列，且每个周期内的和为6，则数列{}n a 的前2019项的和20186726124035S =⨯++=．15．由()e e ln ||x x f x x -=++，则函数()f x 是定义在(0)(0)-∞+∞，，上的偶函数，当(0)x ∈+∞，时，令()e e x x g x -=+，所以()e e 0x x g x -'=->，即()g x 为(0)x ∈+∞，上的增函数，又由(0)x ∈+∞，时，()()ln f x g x x =+，所以()f x 为(0)+∞，上的增函数，则不等式(31)(2)f x f -<等价于2312x -<-<，且310x -≠，解得1111333x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． 图4第 3 页16．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y +=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y+=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知：所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠，而(0π)A ∈，，则1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图5，由b c ==ABC △是顶角为2π3的等腰三角形，则π6ABC ∠=， 所以2222π2cos63BC b c bc =+-=，即BC =， 又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+，则222π9||||4||4||||cos 266BD BC BA BA BC =++=，所以BD =．………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，图5第 4 页所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分） （Ⅲ）由题意知，数学优秀的同学为60名，数学不优秀的同学为40名. 按分层抽样抽取的5名同学中包含了3名数学优秀的同学，记为123A A A ，，， 按分层抽样抽取的5名同学中包含了2名数学不优秀的同学，记为12B B ，， 所以从这5名同学中随机选取2人的所有情况共有如下10种情况，即：12()A A ，，13()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A A ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，， 其中2名同学数学都优秀的情况包括：12()A A ，，13()A A ，，23()A A ，共3种情况， 所以参加该活动的2名同学数学都优秀的概率为310．………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥， 又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且ACAM A =，所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，NO BD ⊥， 由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且可得MO =，2NO =，又由4MN =，即222MN MO NO =+， 所以NO MO ⊥，又MOBD O =，所以NO ⊥平面MDB ，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………（6分） （Ⅱ）解：由O 为AC 的中点，则点A 到平面BMD 的距离等于点C 到平面BMD 的距离， 设点A 到平面BMD 的距离为d ， 由（Ⅰ）知BD ⊥平面ACNM ，所以2A BMD B AOM D AOM B AOM V V V V ----=+=，图6第 5 页即11233BMD AOM d S BO S ⨯⨯=⨯⨯⨯△△，所以1212322122AOMBMDAM AOBO S d S BD MO ⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯△△．……………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．由题意知：||1x +24y x =(0)x >．………………………（4分） （Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=， 设A B ，的横坐标分别是12x x ，，则有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==， 同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥，当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．…（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+，第 6 页所以1()f x a x'=-． 若0a ≤，则1()0f x a x'=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a <<，由(1)0f =，不合题意；若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a >，由(1)0f =，不合题意；若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1xf x x x-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞， 上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意．综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为00(ln )x x ，且00x >， 则切线方程可以表示为0001ln ()y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-， 所以001ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x =+->，则22111()x g x x x x-'=-+=，第 7 页所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．又由cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………（5分）（Ⅱ）如图7，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，由（Ⅰ）知，OAOB ==所以，1()8(24ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++，图7第 8 页所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，则函数()f x 的图象如图8， 则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，所以1116a b c a b c +++++=≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．…………………（10分） 图8。
(新高考)2021年5月第三次高考适应性考试-数学(含答案)
（新高考）2021年5月第三次高考适应性考试数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}32log 1A x y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．(1,2]-B ．[2,)+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】因为(){}{}32log 11A x y x x x ==-=>，{{}0B y y y y ===≥，所以(1,)AB =+∞，故选D ．2．若复数()i1im z m =∈+R ，且z =m =（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】D【解析】由i i(1i)i 1i (1i)(1i)22m m m mz -===+++-，得||||z m ===2m ∴=±，故选D ． 3．已知函数()3333x xx xf x ---=+，且()()522f a f a ->--，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，函数()3333x xx xf x ---=+，其定义域为R ， 又由()()33333333x x x xx x x xf x f x -------==-=-++，()f x 为奇函数，又()2191xf x =-+，函数91xy =+为增函数，则()f x 在R 上单调递增， ()()()()522522522f a f a f a f a a a ->--⇒->-+⇒->-+，解得23a >， 故选D ．4．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为，则p =（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，由题得准线方程为2p x =-， 点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF ==，2p=p =D ．5．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若m n >，则m n S S -的最大值是（ ） A ．5 B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】依题意12m n n n m S S a a a ++-=+++，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a +++++包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=，故选B ．6．在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出π的近似值为(精确到小数点后两位)（ ） A ．3.06 B ．3.12C ．3.20D ．3.24【答案】D【解析】由题意得，铁片的圆心在图中两个圆内为获胜，则22122π2π15π2π40100r r O O r ==+⋅+， 所以200π60015π=+，解得600π 3.24185=≈，故选D ．7．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2AB =，60AFC ∠=︒，则多面体ABCDEF 的体积为（ ）A ．43B ．3C ．3D ．163【答案】D【解析】连接BD ，AC ，四边形BDEF 为矩形，BF BD ∴⊥， 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，BF ⊂平面BDEF ，BF ∴⊥平面ABCD ，又AB平面ABCD ，BFAB ∴⊥，设BF x =，则AF FC ==又60AFC ∠=︒，AFC ∴△为等边三角形，AF AC ∴====2x =，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥， 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面BDEF ，∴多面体ABCDEF 体积11233A BDEF C BDEF BDEFV V V SAC --=+=⋅=⨯⨯163=， 故选D ．8．已知函数3()x f x e -=，()1ln g x x =+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为（ ）A ．ln 2-B ．ln 2C ．2D ．2-【答案】D 【解析】令()()tf mg n ==，则3m e t -=，1ln n t +=，∴3ln m t =+，1t n e -=，即13ln t n m et --=--，若1()3ln t h t et -=--，则11()(0)t h t e t t-'=->，∴()0h t '=，有1t =，当01t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当1t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， ∴0min ()(1)3ln12h t h e ==--=-，即n m -的最小值为2-，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知向量()2,1=a ，()3,1=-b ，则（ ）A ．()+⊥a b aB ．向量a 在向量b 上的投影向量是2-C ．25+=a bD ．与向量a 方向相同的单位向量是⎝⎭【答案】ACD【解析】由向量()2,1=a ，()3,1=-b ，A ，()1,2+=-a b ，所以()12120+⋅=-⨯+⨯=a b a ，所以()+⊥a b a ，故A 正确；B ，向量a 在向量b 上的投影向量为()23111cos ,102⨯-+⨯⋅⋅=⋅==-b a b b a a b b b b b b ，故B 错误；C ，()()()22,16,24,3+=+-=-a b ，所以25+==a b ，故C 正确；D ，与向量a 方向相同的单位向量)52,15==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=a e a ，故D 正确， 故选ACD ．10．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．当x ∈R 时，4sin 4sin x x+≥ C ．若a ∈R 22D ．若,a b +∈R ，22a b +=，则1492a b +≥+【答案】AD【解析】A ：因为22ac bc >，不等式两边同乘以21c， 因为210c>，不等式两边不等号不变，所以a b >成立，故A 正确； B ：∵x ∈R ，令sin t x =，∴[]sin 1,1t x =∈-，当[)1,0t ∈-时，40t t+<，故B 错误；C 22==t =≥1t t+，根据函数的定义域可得1t t+≥，错误； D ：因为22a b +=，则14114124(2)922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19(922≥⨯+=+，正确， 故选AD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【解析】A ．连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知MN BD ∥，1NP C D ∥，1MP BC ∥， 且平面MNP ∥平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -，所以三棱锥11A BC D -为正四面体，所以1A 到平面1BC D =， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC =，所以1A 到平面PMN的距离∈⎝，且433<<确；B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '，因为CP CM =，且1CP DD ∥，CM AD ∥，则1CP CM CQDD DA DQ=='， 所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ， 所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知1MP BC ∥，11BC AD ∥，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面MNP ∥平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ， 所以1BD ∥平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12PP MP ∥交11B C 于2P ，过2P 作21P N MN ∥交11C D 于1N ， 以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212PP N N M M ∥平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为)31x ⎤+-=⎦故选ABD ．12．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点 B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在2π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的取值范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于π4x =对称，且在5π,1836π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】令4πt x ω=+，由[]0,2πx ∈，可得出π4π,24πt ω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间ππ,2π44ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点， A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4π2π5π4πω≤+<，解得151988ω≤<，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω≤<，则2π19π21540π4π6πω≤+<+，所以，函数()f x 在区间2π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于π4x =对称，则()ππππ442k k ω+=+∈Z ，()14k k ω∴=+∈Z ． 5π236π1ππ812T ω∴=≥-=，12ω∴≤， ()41k k ω=+∈Z ，max 9ω∴=．当9ω=时，()sin 9π4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π,1836πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3ππ3π9442x <+<， 此时，函数()f x 在区间5π,1836π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确， 故选ACD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设6(x的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为________． 【答案】60【解析】6(x-的展开式的通项是()3662166C C 2kkk k k k k T x x --+⎛==- ⎝， 令3632k-=，解得2k =， 因此，x 3的系数为()26260C 2a -==，故答案为60． 14．请你举出与函数2 ()1xf x e=-在(0,0)处具有相同切线的一个函数___________．【答案】()22g x x x =+ (答案不唯一)【解析】由题，()22x f x e '=，故()0022f e '==， 故函数2 ()1xf x e=-在原点()0,0处的切线方程为2y x =，故可考虑如函数()2g x ax bx =+，此时()2g x ax b '=+，故()02g b '==， 取1a =，此时()22g x x x =+．故答案为()22g x x x =+(答案不唯一)．15．有7个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有______种不同的坐法． 【答案】320【解析】先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1，2，3，4号位置， 因为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有33A 6=种排法，当丙在2号位置有22A 2=种排法，当丙在3号位置有22A 2=种排法，当丙在4号位置有33A 6=种排法，共有16种排法；又因为有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余一个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有25A 20=种排法，所以共有1620320⨯=种排法，故答案为320．16．方程log xa a x =（0a >且1a ≠）最多______个根，当此方程无根时的取值范围是_______．【答案】3，1ea e >【解析】当1a >时，xy a =单调递增，和其反函数log a y x =的图象如果有交点， 则交点一定在直线y x =上，所以函数xy a =图象与函数log a y x =图象的交点个数， 只需要考虑xy a =图象与直线y x =交点的个数，当y x =与xy a =相切时，设切点()00,x y ，则ln xy a a '=，所以00000|ln 1x x x x y a a y a x =⎧===='⎪⎨⎪⎩，解得01ln x e a ==，所以1e a e =， 所以当1ea e >时，xy a =与log a y x =图象没有交点， 当1ea e =时，xy a =与log a y x =图象有一个交点， 当11e a e <<时，xy a =与log a y x =图象有2个交点，当01a <<时，设xy a =与log a y x =图象相切于点()11,x y ，则切点在直线y x =上，且直线log a y x =或xy a =在点()11,x y 处切线斜率为1-，所以()000log |1x x x a a x x =⎧=⎪⎨'=-⎪⎩，即00011ln x a x x a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以011ln 1e ax e ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1e a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时两条曲线相切于点11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以有：当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有1个交点，当11ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有1个交点， 当10ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有3一个交点，综上所述：10ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，方程log x a a x =有3个根，当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，方程log xa a x =有1个根，当11ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，方程log xa a x =有1个根， 当11ea e <<时，方程log xa a x =有2个根， 当1e a e =时，方程log xa a x =有1个根， 当1ea e >时，方程log xa a x =没有根，故答案为3，1ea e >．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，424S =，10120S =． （1）求n S ；（2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34n T <．【答案】（1）22n S n n =+；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n dS na -=+， ∴由题意，有4110146241045120S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，得13a =，2d =，∴2232n S n n n n n =+-=+．（2）211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴12311111111111232435n n T S S S S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ 11111211111131112224212n n n n n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+-+-<+= ⎪ ⎪ ⎪⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦．18．（12分）在①(cos ,2)B c b =-m ，(cos ,)A a =n ，且//m n ，②cos sin b a C A =，③2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， ． （1）求A 的值； （2）若a =ABC △M 是BC 的中点，求AM 的长度． (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【答案】条件选择见解析；（1）π3；（2）2．【解析】选①：由//m n ，得cos (2)cos a B c b A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin()2sin cos B A C A +=， 又sin()sin B A C +=，sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 又0πA <<，所以π3A =．②因为cos sin b a C A =+，根据正弦定理得sin sin cos sin 3B AC C A =+，所以sin()sin cos sin sin 3A C A C C A +=+，所以sin cos cos sin sin cos sin 3A C A C A C C A +=+，所以cos sin sin 3A C C A =．因为sin 0C ≠，所以tan A = 又0πA <<，所以π3A =． ③因为2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=， 所以cos [cos()cos()]sin sin A B C C B B C -++-=， 所以2cos sin sin sin sin A B C B C =．因为(0,π)B ∈，(0,π)C ∈，所以sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =， 又0πA <<，所以π3A =．（2）在ABC △中，由a =π3A =，得223b c bc +-=．由ABC △的面积为2，得2bc =，所以225b c +=． 因为M 是BC 的中点，所以()12AM AB AC =+， 从而()()22222117||||2444AM AB AC AB AC b c bc =++⋅=++=，所以2AM =． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，M ，N 分别是棱BC ，PC 的中点，且AB AC PA ==．（1）证明：平面AMN ⊥平面PAD ；（2）求平面AMN 与平面PAB 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）∵AB AC =，M 是棱BC 的中点，∴AM BC ⊥， 又//BC AD ，∴AM AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴PA AM ⊥， 又PAAD A =，∴AM ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PAD ． （2）由题知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 中，AM BC ⊥， 则,,AM AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设2AB AC PA ===，又45ABC ∠=︒，易得AM BM MC ===∴()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，)M，,22N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面APB 与平面AMN 的法向量分别为()111,,x y z =m 和()222,,x y z =n ，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即111200z =⎧⎪-=，令11x =，可得()1,1,0=m ；则00AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即22220022x y z =++=⎩，令2y =()1=-n ，∴cos ,⋅==⋅>=<m n m n m n设平面AMN 与平面PAB 所成二面角为θ，则sin θ==， ∴平面AMN 与平面PAB．20．（12分）某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40)，[40,50)，⋅⋅⋅，[90,100]，整理得到如下频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：（1）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率； （2）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X 表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，期望为65． 【解析】（1）由频率分布直方图可知满意度的分数[30,60)的频率为()0.0050.010.025100.4++⨯=，满意度的分数[60,100]的频率为()0.030.0150.010.005100.6+++⨯=， 故从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率为0.6． （2）依题意可知32,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0、1、2， 所以()202340C 1525P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()1233121C 15525P X ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()255E X =⨯=． 21．（12分）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C的上顶点，点2A 到直线1A B 的距离为7，椭圆C 过点3⎛ ⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ △的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x +-=或360x -=． 【解析】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ， 则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=， 所以点2A 到直线1A B的距离d ==2234b a =．① 又椭圆C过点3⎛⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22x x my =-⎧⎨=+⎩，解得24x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即42,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 联立222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+．由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++，所以2PA Q △与PEQ △的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号． （在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧） 故当2PA Q △与PEQ △的面积之差取得最大值时， 直线2A P的方程为360x +-=或360x -=． 22．（12分）已知函数2()()xf x e mx m =-∈R ．（1）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ex e =-+，求m 的值； （2）若存在0[0,1]x ∈，使得()02f x ≥，求m 的取值范围． 【答案】（1）m e =，（2）2m e ≤-．【解析】（1）因为函数2()()xf x e mx m =-∈R ，所以()2xf x e mx '=-，(1)2f e m '=-，由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ex e =-+， 由导数的几何意义可知(1)2f e m e '=-=-，解得m e =．（2）因为存在0[0,1]x ∈，使得()02f x ≥，即0202xe mx -≥，又当00x =时，上式不成立，所以存在0(0,1]x ∈，使得0202x e mx -≥，参变分离得0202x e m x -≤， 令22()((0,1])x e h x x x -=∈，2432(2)24()x x x x e x x e xe e h x x x⨯-⨯--+'∴==， 令()24x x x xe e ϕ=-+，所以()(1)xx x e ϕ'=-，因为(0,1]x ∈，且0x e >恒成立，所以()0x ϕ'<， 所以()x ϕ在(0,1]单调递减，(1)40e ϕ=->，即()0x ϕ>在(0,1]上恒成立，即()0h x '>， 所以22()x e h x x -=在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)2h x h e ==-， 因为存在0(0,1]x ∈，使得0202x e mx -≥， 参变分离得0202x e m x -≤，即max ()2m h x e ≤=-， 综上：m 的取值范围为2m e ≤-．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
西南名校联盟高考数学适应性月考卷(一)文试题
西南名校联盟高考数学适应性月考卷(一)文（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3A. a>0, b>0, c>0B. a<0, b<0, c<0C. a>0, b<0, c>0D. a<0, b>0, c<03. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 134. 在三角形ABC中，若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则三角形ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定5. 若复数z满足|z1|=|z+i|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 直线y=x上B. 直线y=x上C. 直线x=0上D. 直线y=0上二、判断题（每题1分，共20分）6. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。
（）7. 任何两个等差数列的通项公式一定相同。
（）8. 若矩阵A的行列式为0，则A一定是不可逆矩阵。
（）9. 在三角形中，若两边之和等于第三边，则该三角形为直角三角形。
（）10. 对于任意实数x，都有(x²)²=x⁴成立。
（）三、填空题（每空1分，共10分）11. 已知数列{an}的通项公式为an=n²+n+1，则a5=______。
12. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则2a3b=______。
13. 在直角坐标系中，点P(3,4)关于原点的对称点坐标为______。
14. 若函数f(x)=x²4x+c在x=2处取得最小值，则c=______。
15. 设矩阵A为2阶方阵，若|A|=3，则|3A|=______。
西南名校联盟2020届高考适应性月考卷(一)数学(文)试题(PDF版,含解析)
(
n
Hale Waihona Puke N)，于是bn n 1
4(n
1)
，所以数列
bn n
1
是以
8
为首项，
微博关注：橙子辅导。获取考前
4 为公差的等差数列. （8 分）
故 b1 b2 bn ＝ 8 n n(n 1) 4 ＝
23
n 1
2
2n 2 6n .（10 分）
18.【解析】(1)从 8 名工作人员中选出语言服务人员、城市
即
y12 y22 4 p2
＋
y1 y2 ＝0，∴16－8
p
＝0，则
p
＝2，故抛物
线 C 的方程为 y 2＝ 4x .
12.【答案】C
【解析】由 f (2) ＝8＋12 m ＋6＋1≥0，可得 m ≥－ 5 . 4
当 m ≥－ 5 ，x (2，＋∞)时， f (x) ＝3( x 2＋2 mx ＋ 4
7.【答案】D
【解析】因为
cos
π 6
＝
3 cos ＋ 1 sin ，故
2
2
由
cos
π 6
＝
(
3 1) cos 1
2
3
得 sin
＋
cos ＝ 2 ，所以 1＋ sin 2 ＝ 4 ，故 sin 2 ＝－ 5 .
3
9
9
8. 【答案】C
【解析】log3 2 ＜ log3 3 ＝1，∴ log3 2 ＞4 不成立， 执 行第一次循环， a ＝ 24 ＝16； log316 ＜ log3 27 ＝3， ∴ log316 ＞4 不成立，执行第二次循环， a ＝164 ； log3164 ＝ 4 log316 ＞ 4 log3 3 ＝4 成立，跳出循环体，
【西南名校联盟】重庆巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(一)数学-答案
所以直线 AB 的方程为 x 2 m( y 3) ，恒过定点 (2， 3) ．………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分） 解：设学生参与两次甲方案后获得的分数为 X ，学生参与两次乙方案后获得的分数为 Y .
（1）当 X 取值为140，80，50，20 时，学生参与两次甲方案后可以获得嘉奖，由条件得
∴ f (x)min f (1) 6 ．……………………………………………………………………（5 分）
数学参考答案·第 3 页（共 7 页）
（2）由题 f (x) 3x2 4ax 9 ≤ 0 在 R 上恒成立，则 16a2 4 27 ≤ 0，
∴
a
3
3 2
，3
3 2
．…………………………………………………………………（10
分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）依题意可知 K 2 1000(400 200 300 100)2 47.619 10.828， 700 300 500 500
故能在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为对“云课堂”倡议的了解程度与性别有
关系．………………………………………………………………………………………（6 分） （2）依题意抽取 6 人中，男女比例为 1∶2，即男性 2 人，女性 4 人，
2 3
的直线
l：y
m(x
1)
2 3
图2
有 4 个不同的交点，如图 2，当 l 过原点时， m 2 ；当直 3
线l
与
y ln(x 1)(x 0) 相 切 时 ， 设 切 点 P(x0，ln(x0 1)) ，
y 1 ， 可 得 x 1
1 x0 1
ln(x0 1) x0 1
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(含解析)
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤4}，a =3√3，则下列关系正确的是( )A. a ⊄AB. a ∈AC. a ∉AD. {a}∈A2. i 是虚数单位，复数z 满足(1+i)z =1+3i ，则z =( )A. 1+2iB. 2+iC. 1−2iD. 2−i3. 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是( )A. 瑞雪兆丰年B. 名师出高徒C. 吸烟有害健康D. 喜鹊叫喜4. 下列有关命题的叙述错误的是( )A.B.C.D.5. 已知{a n }是公差为2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若a 2，a 5，a 17成等比数列，则S 7=( )A. 73B. 42C. 49D. 76. f(x)=7sin(π6x +π6)的周期与最大值分别是( )A. 12π，7B. 12π，−7C. 12，7D. 12，−77. 已知a >2，函数f(x)={log a (x +1)+x −2,x >0x +4−(1a )x+1 x ≤0，若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，则( )A. ∃a >2，x 1−x 2=0B. ∃a >2，x 1−x 2=1C. ∀a >2，|x 1−x 2|=2D. ∀a >2，|x 1−x 2|=38. 为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力，某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=√n n <M √Mn ≥M(k 、M 为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )A. 40分钟B. 35分钟C. 30分钟D. 25分钟9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为( )A. n ≤5B. n ≤6C. n ≤7D. n ≤810. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的个数是( )①点P 的横坐标为203；②△PF 1F 2的周长为803；③∠F 1PF 2小于π3；④△PF 1F 2的内切圆半径为34．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知f(x)为R 上的可导函数，且满足f(x)>f′(x)，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是( )A. f(a)>f(0)e aB. f(a)<f(0)e aC. f(a)>e a f(0)D. f(a)<e a f(0)12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点P(x 0,12)在C 上，且|PF|=34，则P =( )A. 14B. 12C. 34D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ −2b ⃗ |______． 14. 若x,y 满足{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0,则x +2y 的最大值为________． 15. 14.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，并且、、的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为________16. 下列四个命题中真命题的是 ；①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”；④“若∪，则”的逆否命题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的外接圆半径，角的对边分别是，且(1)求角和边长；(2)求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状．18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”是“年轻人”．中有56(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？参考数据：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635，n=a+b+c+d．其中，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)以频率为概率，用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选2户，求至少有1户经常使用共享单车的概率．19.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=3√2，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=√2将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′−BCDE，使得A′B=A′C=2√3．(1)证明：平面A′BC⊥平面BCD；(2)求A′B与平面A′CD所成角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2为椭圆的左右焦点，A1，A2；B1，B2分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图).若四边形B1F1B2F2的面积为2√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程．(Ⅱ)抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的右焦点重合，过点N(5,2)任意作一条直线l，交抛物线E于A，B两点．证明：以AB为直径的所有圆是否过抛物线E上一定点．21.设.(是自然对数的底数)(1)若对一切恒成立，求的取值范围；(2)求证：．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cosαy =2sinα(α为参数)，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若P ，Q 分别是曲线C 1，C 2上的动点，求|PQ|的最大值．23. 选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a + b + c =1，证明：(1) ab + bc + ac ≤；(2)．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为A={x|x≤4}，a=3√3，且3√3>4，故a∉A．故选C．根据元素与集合的关系进行判断，只需要a=3√3符合集合A中元素的属性即可．本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断与辨析，要注意两者的区别．2.答案：B解析：解：由(1+i)z=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：根据两个变量之间的相关关系，可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D．瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系．得到结论．本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．4.答案：C解析：本题考查了复合命题的真假判断、特称命题的否定、命题的逆否命题、充分必要条件等知识，解答此题的关键是牢记有关概念及格式。
2021届重庆市西南大学附属中学高三下学期第五次月考数学试题及答案
2021届重庆市西南大学附属中学高三下学期第五次月考数学试题★祝考试顺利★(含答案)（满分：150分；考试时间：120分钟）一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合2{|log 0}{|220}x A x x B x =≥=->，，则R A C B =（ ）A ．∅B ．AC ．{1}D ．R 2． 已知命题0sin 0P x x ∀≤>∶，，则其否定为（ ）A ．0sin 0x x ∀≤≤，B ．0sin 0x x ∀>≤，C ．0sin 0x x ∃>≤，D ．0sin 0x x ∃≤≤， 3．已知曲线214C y x =∶的焦点与曲线2221(0)x y C mn m n +=<∶的某一焦点关于直线：y = x 对称，则m n -=（ ）A ．1B ．– 1C ．116D ．1256 4． 已知097x y x y xy >++=，，，则3xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 某社区为了迎接某重大纪念活动，进行了相关的知识比赛．社区工作人员将100名社区群众的比赛分数（满分100分且每人的分值为整数）分成6组：[7075)，，[7580)，，[8085)，，[8590)，，[9095)，，[95100]，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名社区群众的分数说法错误的是（ ）A ．分数的中位数一定落在区间[8590)，B ．分数的众数可能为96C ．分数落在区间[8085)，内的人数为25 D ．分数的平均数约为856． 已知点A (1，0)，B (1，6)，圆2210120C x y x y m +--+=∶，若在圆C 上存在唯一的点P 使90APB ∠=︒，则m =（ ）A ．– 3或3B ．57C ．– 3或57D ．3或57 7． 已知定义在R 上奇函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，且()f x 在[01]，上单调递增，若2(log 3)a f =，(10)b f =，(2021)c f =，则（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D. b c a << 8． 在ABC △中，BC CA CA AB ⋅=⋅，|2BA BC +=｜，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ）A. (1]-∞，B. [01]，C.203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9． 假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X ，Y ）均服从正态分布，即211()X N μσ～，，222()Y N μσ～，，X ，Y 的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）参考数据：2()N ξμσ若～，，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈A ．1111(2X )0.8186P μσμσ-≤≤+≈B ．12()()P X P Y μμ≤<≤。
重庆市西南大学附属中学2021届高三数学上学期第五次月考试题 文(含解析).doc
重庆市西南大学附属中学2021届高三数学上学期第五次月考试题文（含解析）本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}|1A x x =>-，{}*2|60B x N x x =∈--<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2 【答案】 D【解析】由题意可得{}1,2B =，则{}1,2AB =，故选D ．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(12)()z i a i =-+在复平面内对应的点为M ，则“12a >”是“点M 在第四象限”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也必要条件【答案】：C.【解析】：(12)()2(12)z i a i a a i =-+=++-，当12a >时，20a +>，120a -<⇒点M 在第四象限，当点M 在第四象限时有2011202a a a +>⎧⇒>⎨-<⎩，故“12a >”是“点M 在第四象限”的充要条件，选C 选项。
3.本次高三数学考试有1万人次参加，成绩ξ服从正太分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在(98,138]内的人数约为（ ）(参考数据()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈)(A).6667人 (B) .6827人 (C) .9545人 (D) .9973人【答案】：C【解析】：100000.9545=9545⨯4．已知)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于直线6π=x 对称，若存在,,21R x x ∈使得)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，且21x x -的最小值为，2π则ϕ等于（ ）12.πA 6.πB 4.πC 3.πD【答案】B【解析】 由题意得：)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，且21x x -的最小值为，2π,2T πω==根据三角函数的图像对称轴方程为2,(k )2x k Z πϕπ+=+∈，因为6π=x=6πϕ∴.5已知由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-≥≤04,2,0,0x y kx y y x 确定的平面区域Ω的面积为，7则k 的值为（ ） 3.A 1.B 1.-C 3.-D【答案】C6. 已知A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若P 的坐标为()2,0，则|++|PA PB PC 的最大值为（ ）7.Α 8.Β 9.C 10.D【答案】A【解析】由题意得：设()()()1,0,1,0,cos ,sin A B C θθ-，()()()()|++|=|3,0+1,0+cos 2,sin |=|cos 6,sin |PA PB PC θθθθ----22cos 12cos 36sin 3712cos θθθθ-++=-77.一个三位数：个位，十位，百位上的数字为,,x y z ，当且仅当,y z y x >>时，称这样的数为凸数，现从集合{}5,6,7,8中取出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是凸数的概率为（ ）32.Α 31.Β 61.C 121.D 【答案】B【解析】由题意得：343421==3C P A8. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =, 4BC =,5AC =,若阳马111C ABB A -的外接球的表面积等于50π，则鳖臑1C ABC -的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ） A.5 4152 D.8【答案】：C.【解析】：解法一：设线段1AA x =，外接求的半径为r ，由于已知得1111111111,,C B A B C B B B A B B B ⊥⊥⊥,所以22223425x x r +++==为 ()2222542550x x πππ+=+=⎝⎭，解得5x =.由于AC BC >，所以鳖臑1C ABC -的所有棱中，最长的棱的棱长为1AC，1AC =.故选C.解法二：……通过割补法知1AC 为外球球的直径，所以1AC 最长，因为214502AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以1AC =.【点评】 通过外接球的直径最长，直接求值. 9.设函数22()lg(2)1||f x x x =+-+，已知40.30.31000.3,log ,47a b c ===，则( ) (A) ()()()f a f b f c << (B) ()()()f a f c f b << (C) ()()()f c f b f a << (D) ()()()f b f a f c << 【答案】：B【解析】：()f x 为R 上的偶函数，且[0,)+∞在上是增函数， 又40.30.50.30.30.31000.31,|||log |log 0.07log 0.092,14427a b c =<==>=<=<=， 所以()()()f a f c f b <<10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且21122n n n S a a =+ ，若数列21(1)2nn n n b S +=-，数列{}n b 的前2021项和为( )(A)20192020 (B) 20192020- (C) 20202021 (D) 20202021- 【答案】D 【解析】：由21122n n n S a a =+得221111112222n n n n n n n a S S a a a a --⎛⎫=-=+-+ ⎪⎝⎭，整理得111()22n n n n n n a a a a a a ---+-=+因为0n a >所以11,n n a a --=当1n =时2112n n a a n S n n =∴=⇒=+所以，2212111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n b n n n n n n ++=-=-=-++++ 12320201111111112020(1)()(1)()(1)()(1)()11223342020202120212021n T =-++-++-+++-+=-=-11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对任意的实数x 都有1'()42f x x +<，若3(1)()32f m f m m +≤-++．则实数m 的取值范围是（ ） A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞【答案】A【解析】：令21()()22g x f x x x =-+，则1'()'()40()2g x f x x g x =-+≤⇒不增 又3(1)()(1)()32g m g m f m f m m +--=+----故所求不等式即1(1)()12g m g m m m m +≤-⇒+≥-⇒≥-，故选A ．12．在△ABC 中，A >B ，BC=10，37sin C =，1cos()8A B -=，若点P 是△ABC 所在平面内任意一点，则PA PC -的取值范围是（ ）A ．[5,5]-B ．[6,6]-C ．[7,7]-D ．[8,8]- 【答案】D【解析】：如图，作DAB B =∠，D 在边BC 上，则CAD A B =-∠ 在△ACD 中，1cos 8CAD =∠，则37sin 4sin CAD C ==∠ 由正弦定理知：CD=4AD=4BD ，则BC=CD+BD=5BD=10 故BD=AD=2，CD=8，又sin sin CAD C >∠，故(0,)2C π∈，则31cos 32C =37sin sin sin()88sin AD ADCADC CAD C AC Cπ⇒=--=⇒==∠∠∠ 又AC PA PC AC -≤-≤，即[8,8]PA PC -∈-，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积是____【答案】16【解析】考查定积分：()23121001=|236x x S x x dx -=-=⎰ 14．已知函数21,02()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若2(x)(x)4(x)m g f f =-+有4个零点，则m的取值范围是____15．已知函数|x|2(x)e ,f x =-下列说法中正确的是____ ①(x)f 的值域是[)1+∞，；②当1a =时，方程(x)ax 10f --=有两个不等的实根； ③若函数(x)ax 1y f =--有三个零点时，则()|a|2,1e ∈-； ④经过()0,1有三条直线与(x)y f =相切. 【答案】①②③ 【解析】：由图可得16. 如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D .则 （1）双曲线的离心率____e =；（2）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12____S S =.【答案】（151+；（2）52+.【解析】【方法一】（1）直线21B F 的方程为0bx cy bc -+=，点O 到直线的距离为a ，所22222242242242()(2)30()513101).bca c a c c a a c a c abc e e e e =⇒-=-⇒-+=+-+⇒-+=⇒=>，（2）12S bc =，设222222222222222112222222,2,,,,,451524,.,,2222m c ac ab BC m BA n m n a m n n b b c b cS S a bc b c b c S mn bc a c b b c b c S a bc S ==∴=+=∴==++++∴======-∴=∴=+【方法二】（1）直线21B F 的方程为0bx cy bc -+=，点O 到直线的距离为a ，所以22222242242242()(2)30()51310(1).2bc a c a c c a a c a c a b c e e e e =⇒-=-⇒-+=+-⇒-+=⇒=>，（2）12S bc =，设222222222222222112222222,2,,,,,451524,.,,22m c ac ab BC m BA n m n a m n n b b c b cS S a bc b c b c S mn bc a c b b b c S a bc S ==∴=+=∴==++++-+∴======-∴=∴=+三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当*n N ∈时，n S 是12n +与2m 的等差中项（m为实数）.()Ⅰ求m 的值及数列{}n a 的通项公式；()Ⅱ令*21log (),n n b a n N =+∈是否存在正整数k ,使得1111210n n n kb b b n +++>+++对任意正整数n 均成立？若存在,求出k 的最大值,若不存在,说明理由.【答案】()Ⅰ1m =-,12(1)n n a n -=≥.()Ⅱ4. 【解析】()Ⅰ11111222,222(2)2(1)1,2421n n n n n n S m S m n a n a a m m +--=+=+≥⇒=≥⇒==+⇒=-()Ⅱmax 11111,412210n kb n n k n n n n n n =+++>⋅=>⇒=++++18.如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知BD AD DB AB ⋅=⋅,且DB AD AB =+.（1）求证：ABD ∆是等腰直角三角形；（2）若1,2==CD BC ,求四边形ABCD 面积的最大值。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(五)数学(文)答案
A(1，2) 的距离，所以 | z 1 2i |min 为 | OA | r 5 1 ，故选 B．
12．因为 x1x2
0 ，所以
f (x1) x22
f (x2 ) x12
x12 f (x1 )
x22 f (x2 ) ，令 g(x) x2 f (x) x2 cos x ，则 g(x) 为偶
比数列，所以 bn an 1 2n ，则 a8 1 a6 1 a4 1 a2 1 1 28 2 6 2 4 22 1 341 ，故
选 D． 10．如图 2，设截面为 ，设 BD AM O ，P 为 DD1 的靠近于 D1 的三等分点，
N 为 CC1 的靠近于 C 的三等分点，由 BD1∥ 可得平面 BDD1 与 的交线平 行于 BD1 ，所以 平面 DBD1 OP ，又平面 与两平行平面 AA1D1D ，
图2
BB1C1C 的交线应互相平行，∴ 平面 BB1C1C MN ，由 MN∥AP 且 MN AP 可得截面 AMNP
为梯形，故选 C．
11．因为 | z | | x yi | x 2 y 2 1 ，所以 x2 y2 1，即 z 在复平面内表示圆 O：x2 y2 1上的点；
又 | z 1 2i | | (x 1) ( y 2)i | (x 1) 2 ( y 2) 2 ，所以 | z 1 2i | 表示圆 O 上的动点到定点
0
，则
C
为钝角；但当
A
为钝角时，
tan
A
tan
B
0
，故选
B．
7．由 f (x) 的导函数图象可知， f (x) 在 (a，b) ， (c，e) 上单调递增，在 (b，c) 上单调递减，所以
f (a) f (b) ，B 错误； f (b) f (0) f (c) ，C，D 错误； f (c) f (d ) f (e) ，A 正确，故选 A．
2021年高三5月联考(三模)数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三5月联考（三模）数学（文）试题 Word版含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数A．B．C．D．2．已知集合,，则A．B．C．D．3. 已知，那么“”是“共线”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为A． B． C． D．5.在中，若，则的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 48B.C.16D. 327．已知偶函数f（x），当时，f（x）=2sinx，当时，，则A．B．1 C．3 D．8.曲线与曲线的A.长轴长相等B. 短轴长相等C.离心率相等D. 焦距相等9.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是10．对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．已知函数，则在点处的切线方程为 .12．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数________. 13、在各项均为正项的等比数列，已知1234512345111113131,16a a a a a a a a a a ++++=++++=，则 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形中，∥，，，点、分别在、上，且∥，若，则的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.17．（本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（Ⅰ）求该组织的人数．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图，三棱锥中，，为的中点，，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：⊥平面；（Ⅲ）求四面体ABCD的体积。
西南名校联盟2021届高三下学期4月高考适应性考试 语文试题(含解析)
多记载朝廷中的典故事实、故旧老臣的进退，流传于世。在润州居住八年后去世，终年六十 五岁。
语文参考答案·第6页（共 6 页）
发特 展征 等 20 级分
深刻 丰富有文采 有创意
较深刻 较丰富 较有文采 较有创意
略显深刻 略显丰富 略有文采 略有创意
个别语句有深意 个别例子较好 个别语句较精彩 个别地方有新意
说明： （一）基础等级评分，“题意”主要看选择角度是否符合材料内容及含意涉及的范围。选 择角度符合材料内容及含意范围的属于“符合题意”。与材料内容及含意范围沾边的套 作，在第三等及以下评分（“发展等级”不给分）。 （二）发展等级评分，不求全面，可根据“特征”4 项 16 点中若干突出点按等评分。 1．深刻：（1）透过现象深入本质（2）揭示事物内在的因果关系（3）观点具有启发作用 2．丰富：（4）材料丰富（5）论据充足（6）形象丰满 （7）意境深远 3．有文采：（8）用词贴切 （9）句式灵活（10）善于运用修辞手法（11）文句有表现力 4．有创意：（12）见解新颖（13）材料新鲜 （14）构思新巧 （15）推理想象有独到之 处（16）有个性特征 （三）名句引用不合要求的，酌情扣分。 （四）缺标题扣 2 分；不足字数，每少 50 字扣 1 分；每一个错别字扣 1 分，重复的不计， 最多扣 3 分；标点错误多酌情扣 1～2 分。 （五）套作、文体不明确的适当扣分。抄袭的“基础等级”在第四等之内评分，“发展等 级”不给分。
语文参考答案·第1页（共 6 页）
10．（3 分）B 11．（3 分）D 【解析】宋代的“路”和现在省的区划是不同的。 12．（3 分）D 【解析】“则顾吏举以答”是沈括回头看吏士，让他们回答。 13．（10 分）翻译：
：云南省西南联盟2021届第五次高三月考数学测试题(原卷版)
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的最小整数， 精确到个位， ， .根据检验标准，技术升级改造后，防护服的质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则视为不合格品.利用样本估计总体的思想，将频率视作概率，在该条生产线上随机抽取10件防护服，记其中合格品的件数为随机变量 ，求 的数学期望.
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 （）
A. B. C. D.
7.已知a，b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.若 ， ，则
B.若直线a，b与平面 所成的角相等，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，则
8.已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的最大值为（）
根据图示信息，得出下列推断，其中不正确的推断是（）
A.该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少
B.该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加
C.该市2000年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加
D.该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少
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西南名校联盟高考适应性月考卷12月考文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBDCABACDCBA【解析】1．因为{101}A =-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选D ．2．12()f x xx-==，()f x 的定义域为(0)+∞，，因此A ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，B 正确，故选B ．3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-⎩，，，，≤当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ⎧⎨-=⎩≤，，解得3x =-，故选D ．4．试验发生包含的事件总的时间长度为24小时，其中播放音乐时间为245613--=（小时），所以某人随机在某一时刻打开该广播收听到音乐或新闻的概率为1353244+=，故选C ． 5．因为c 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=++=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以22k =A ． 6．因为当0tan tan 1AB <<时，tan 0A >，tan 0B >，所以tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+tan tan 01tan tan A BA B+=-<-，则C 为钝角；但当A 为钝角时，tan tan 0A B <，故选B ．7．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，B 错误；()(0)()f b f f c >>，C ，D 错误；()()()f c f d f e <<，A 正确，故选A ．8．如图1，设焦点F 关于直线3y 的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线3y =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF '的中点，可得OQ PF '∥，所以90F PF OQF '∠=∠=︒，则OP OF =，又图13tan QOF ∠=，所以30QOF ∠=︒，则60POF ∠=︒，又因为P 在渐近线上，所以tan 3bPOF a∠=，即3b a =．经检验，只有C 选项满足条件，故选C ． 9．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=，则864864211111222a a a a ++++++++=+++ 221341+=，故选D ．10．如图2，设截面为α，设BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴α平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP为梯形，故选C ．11．因为22|||i |1z x y x y =++=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -，的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=，故选B ．12．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ22044h ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 141516答案 212- 13a -≤≤59【解析】13．因为ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．图214．如图3，作出可行域，则3yk x =-表示可行域内的动点()x y ，与定点(30)P ，连线的斜率，所以当且仅当动点取点(11)A ，时，min 12z =-． 15．由于A ，B 均在直线l ：2y x =上，又l 与椭圆C 的交点分别为(12)M ，，(12)N --，，且||||25MN AB ==A 或点B 在线段MN 上，均能保证线段AB 与椭圆有公共点，即11a -≤≤或121a --≤≤，所以13a -≤≤．16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作B C BC ''∥，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，则AP x AB y AC x k AB y k AC ''''''=+=+=xAB y AC +，所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+ 1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+．方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+可得()AP x AP PB =++ ()y AP PC +，所以(1)(*)x y AP xPB yPC --=+，则101x y x y -->⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R --=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=-=，所以上式整理可得3622125xy x y =+-．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令t x y =+，则2950250t t -+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点，图3 图4∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形， ∴(13)M ，，3A = 又2π2ππ42T ω===， ∴π()3sin2f x x ． ………………………………………………………（6分）（2）πππ()3sin (1)3sin 444g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选择2个采样地，所有选择方式为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE （共10种）， 其中BC ，CD 可满足标本数量至少达到总标本数量的一半.令P 为两个采样地所含标本数量至少达到总标本数量一半的概率，则21105P ==．………………………………………………………（6分）（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795iii i i x yx yb x x==--⨯===-=--⨯-∑∑， ∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+．∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ， ∵PB PD =，O 为BD 的中点， ∴PO DB ⊥． 同理，QO DB ⊥，图5又PO OQ O =，PO ，OQ ⊂平面POQ ， ∴BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， ∴平面POQ ⊥平面ABCD ．……………………………………………（5分）（2）解：如图，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点， 且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形， ∴PQ AC ∥．且1212232232333PQ O O AO AO ==⨯==⨯⨯=，∴222221112432343PO AP AO AP O O ⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 取BC 的中点E ，则22162133QE QB BE =-=-=， 又由（1），平面POQ ⊥平面ABCD ， 而平面POQ平面ABCD AC =，BO AC ⊥，∴BO ⊥平面PQC ．设点P 到平面QBC 的距离为d ，则由P QBC B PQC V V --=，可得1133QBC PQC S d S BO =△△ ，即1111332QE BE d PQ PO BO =⨯ ， 即2112332332d ⨯=⨯⨯⨯， 解得27d =．……………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上， ∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒-+=，解得4p =或1，∴当4p =时，C ：28y x =，122A ⎛⎫⎪⎝⎭，；当1p =时，C ：22y x =，(22)A ，．…………………………………………………（4分）（2）∵4p <，∴C ：22y x =，设MN ：1x my =+，代入抛物线方程可得2220y my --=， 设11()M x y ，，22()N x y ，， 则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，，∴||MN = 又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=-+，∴||PQ =∴1||||2MNPQ S MN PQ ==四边形2(2)m =+ 252m =+∵2212m m+≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴12MNPQ S 四边形≥，∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）证明：（1）令2525()()ln 33g x f x x x x =+-=+-， 则22122()x g x x x x-'=-=， ∴当2x >时，()0g x '>， ∴()g x 在(2)+∞，上单调递增．又2(2)ln 23g =-，而22ln 233e e 2e -=-，328=，2323(e )e = 2.83e =>， ∴2(2)ln 203g =->， ∴25()3f x x -+<在(2)+∞，上恒成立． 令()()ln 22x x h x f x x =-=-，则112()22x h x x x -'=-=，∴当2x >时，()0h x '<， ∴()h x 在(2)+∞，上单调递减． 又(2)ln 210h =-<， ∴()2xf x <在(2)+∞，上恒成立． 综上，当2x >时，25()32xf x x -+<<恒成立．……………………………………………（6分）（2）∵22ln 22n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，而22222n n +>+，（*） 所以令（*）中不等式的2222242222n n x n n n n++=+=++，则有22225112132n n n a n n n n+-+<<++++，则一方面，22222255211212133213(1)n n n n n a n n n n n +++->-+=-=+>+++++ 213(1)(2)n n +++211312n n =+-++， ∴21111112113233412322n S n n n n n ⎛⎫>+-+-++-=+- ⎪+++⎝⎭…2112132336n n >+-=+． 另一方面，111111(2)22n a n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪++⎝⎭，∴111111111111232422212n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=++-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 综上，有213364n n S n +<<+．……………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=， 又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=， 即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程，将222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=， 即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………（5分）（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程， 可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴1||||2(sin OA OB == ．又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴1tan (1θ∈，∴||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． ………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =-， ∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥， 其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a --+≤， ∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥，∴432a -≥或432a --≤，即23a ≤或2a ≥．…………………………………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥， 222b c bc +≥222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥， ∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++，∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===． ………………………………………………（10分）。