高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用

高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项

一、积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；

(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； (3)|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．向量的坐标运算

3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：

一、空间向量的简单应用

1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b

D ．以上都不对

2．(2012·济宁一模)若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )

A ．{a ，a ＋b ，a －b }

B ．{b ，a ＋b ，a －b }

C ．{c ，a ＋b ，a －b }

D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }

3．(教材习题改编)下列命题：

①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r

＝0；

②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r

，则M 、P 、A 、B 共面；

③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r

＝

________(用a ，b ，c 表示)．

5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)

6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.62

7 B.637 C.60

7

D.657

二、利用空间向量证明平行或垂直

[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .

8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如

果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．

方法

利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直． (1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．

(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.

1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.

(1)求证：BD ⊥PC ；

(2)设点E 在棱PC 上，PE u u u r

＝λPC u u u r ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．

2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.

(1)求证：C 1C ⊥BD ； (2)当CD

CC 1

的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．

3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .

三、利用向量求空间角

1．两条异面直线所成的角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b |

|a||b |

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

2．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|e ·n |

|e ||n |

.

3．求二面角的大小

(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ，CD u u u

r 〉．

(2)如图2、3，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．