平抛圆周天体

专题定位 本专题解决的是物体(或带电体)在力的作用下的曲线运动的问题．高考对本专题的考查以运动组合为线索，进而从力和能的角度进行命题，题目情景新，过程复杂，具有一定的综合性．考查的主要内容有：①曲线运动的条件和运动的合成与分解；②平抛运动规律；③圆周运动规律；④平抛运动与圆周运动的多过程组合问题；⑤应用万有引力定律解决天体运动问题；⑥带电粒子在电场中的类平抛运动问题；⑦带电粒子在磁场内的匀速圆周运动问题；⑧带电粒子在简单组合场内的运动问题等．用到的主要物理思想和方法有：运动的合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题的方法、建立类平抛运动模型方法、等效的思想方法等．

应考策略 熟练掌握平抛、圆周运动的规律，对平抛和圆周运动的组合问题，要善于由转折点的速度进行突破；熟悉解决天体运动问题的两条思路；灵活应用运动的合成与分解的思想，解决带电粒子在电场中的类平抛运动问题；对带电粒子在磁场内的匀速圆周运动问题掌握找圆心求半径的方法．

第1课时 平抛、圆周和天体运动

1． 物体做曲线运动的条件

当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动．合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性． 2． 平抛运动

(1)规律：v x ＝v 0，v y ＝gt ，x ＝v 0t ，y ＝1

2gt 2.

(2)推论：做平抛(或类平抛)运动的物体

①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan_φ. 3． 竖直平面圆周运动的两种临界问题

(1)绳固定，物体能通过最高点的条件是v ≥gR . (2)杆固定，物体能通过最高点的条件是v >0.

4． 在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力

由万有引力提供．其基本关系式为G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m (2π

T )2r ＝m (2πf )2r .

在天体表面，忽略自转的情况下有G Mm

R

2＝mg .

5． 卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系

(1)由G Mm

r 2＝m v 2r ，得v ＝

GM

r

，则r 越大，v 越小． (2)由G Mm

r 2＝mω2r ，得ω＝

GM

r 3

，则r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m 4π2

T 2r ，得T ＝

4π2r 3

GM

，则r 越大，T 越大． 6． 卫星变轨

(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比低轨道小． (2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比高轨道大．

1． 竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度关系通常利用动能定理来建立联系，然后

结合牛顿第二定律进行动力学分析．

2． 对于平抛或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析这两种运动

转折点的速度是解题的关键．

3． 分析天体运动类问题的一条主线就是F 万＝F 向，抓住黄金代换公式GM ＝gR 2. 4． 确定天体表面重力加速度的方法有：(1)测重力法；(2)单摆法；(3)平抛(或竖直上抛)物

体法；(4)近地卫星环绕法．

题型1 运动的合成与分解问题

例1 质量为2 kg 的质点在竖直平面内斜向下做曲线运动，它在竖直方向的速度图象和水

平方向的位移图象如图1甲、乙所示，下列说法正确的是

( )

甲 乙

图1

A ．前2 s 内质点处于失重状态

B ．2 s 末质点速度大小为4 m/s

C ．质点的加速度方向与初速度方向垂直

D ．质点向下运动的过程中机械能减小

解析 根据水平方向的位移图象可知，质点水平方向做匀速直线运动，水平速度v x ＝4

3

m /s.根据竖直方向的速度图象可知，在竖直方向做匀加速直线运动，加速度a ＝1 m/s 2.前2 s 内质点处于失重状态，2 s 末质点速度为v ＝

42＋(4

3

)2 m /s>4 m/s ，选项A 正

确，B 错误．质点的加速度方向竖直向下，与初速度方向不垂直，选项C 错误．质点向下运动的过程中a ＝1 m/s 2

以题说法 1.运动的独立性是分析分运动特点的理论依据，本题中水平方向和竖直方向互不影响．

2．对于任意时刻的速度、位移或加速度情况，要把两方向的速度、位移或加速度用平行四边形定则合成后再分析．

物体在光滑水平面上，在外力F 作用下的v －t 图象如图2甲、乙所示，从

图中可以判断物体在0～t 4的运动状态

( )

甲 乙

图2

A ．物体一直在做曲线运动

B ．在t 1～t 3时间内，合外力先增大后减小

C ．在t 1、t 3时刻，外力F 的功率最大

D ．在t 1～t 3时间内，外力F 做的总功为零 答案 ABD

解析 由图象可知物体沿x 方向做加速度时刻变化的变速直线运动，沿y 方向做匀速直

线运动，结合运动的合成知识可知物体做曲线运动，选项A正确；速度—时间图线的斜率表示加速度，在t1～t3时间内，物体的加速度先增大后减小，故合外力先增大后减小，选项B正确；t1、t3时刻，速度的变化率为0，物体的加速度为0，合外力F为0，故F的功率为0，选项C错误；t1时刻的合速度的大小与t2时刻合速度的大小相等，则t1～t3时间内，物体的动能变化为0，据动能定理知外力F做的总功为零，选项D正确．题型2平抛运动问题的分析

例2如图3，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为()

图3

A. 3gR

2 B.

33gR

2

C. 3gR

2 D.

3gR

3

解析平抛运动的水平位移x＝R＋R cos 60°

设小球抛出时的初速度为v0，则到达B点时有tan 60°＝v0

gt 水平位移与水平速度v0的关系为x＝v0t，联立解得

v0＝33gR

2

，选项B正确．

答案 B

以题说法 1.处理平抛(或类平抛)运动的基本方法就是把运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动，通过研究分运动达到研究合运动的目的．2．要善于建立平抛运动的两个分速度和分位移与题目呈现的角度之间的关系，这往往是解决问题的突破口．

(2013·北京·19)在实验操作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛运动的实验装置示意图如图4所示．小球每次都从斜槽的同一位置无初速度释放，并从斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球