不等式知识点归纳

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不等式知识点详解

不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。

不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。

下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。

一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。

3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。

4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。

二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。

对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。

2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。

3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。

4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。

三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。

-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。

高中不等式全套知识点总结

高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。

一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。

2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。

3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。

二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。

2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。

3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。

三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。

2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。

四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。

2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

不等式知识点大全

不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。

2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。

3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。

二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。

2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。

三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。

2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。

2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。

2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。

2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。

八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。

2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。

3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。

4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。

5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。

6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。

不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。

例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。

二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。

1.对称性：如果x > y，则y < x。

这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。

2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。

3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。

1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。

我们可以通过作差来比较两个数的大小。

2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。

我们可以通过作商来比较两个数的大小。

3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。

我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。

不等式知识点总结

不等式知识点总结1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d cd>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：112a b a b --+≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ 2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时,()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

不等式知识点总结

不等式知识点总结一、不等式的基本概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。

2. 不等式的解与解集。

- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。

- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。

3. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。

例如5>3，那么3 < 5。

2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如7>5，5>3，那么7>3。

3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。

例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。

- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。

例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。

4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。

例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。

集合不等式知识点总结

集合不等式知识点总结一、集合知识点总结（一）集合的基本概念1. 定义- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

- 例如：集合A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。

2. 集合中元素的特性- 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。

例如，“所有的好人”不能构成集合，因为“好人”的标准不明确；而“所有小于5的自然数”能构成集合{0,1,2,3,4}。

- 互异性：集合中的元素是互不相同的。

例如，集合{1,2,2,3}不符合集合的定义，应写成{1,2,3}。

- 无序性：集合中的元素没有顺序之分。

例如，{1,2,3}和{3,2,1}表示同一个集合。

3. 集合的表示方法- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，A={a,b,c}。

- 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

一般形式为{x|p(x)}，其中x是集合中的代表元素，p(x)是元素x所满足的条件。

例如，{x|x > 0且x∈ R}表示所有大于0的实数组成的集合。

- 图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合。

例如，用一个圆表示集合A，圆内的点表示集合A的元素。

（二）集合间的基本关系1. 子集- 定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊂eq B（或B⊃eq A）。

- 例如：集合A = {1,2}，集合B={1,2,3}，则A⊂eq B。

- 性质：- 任何一个集合是它本身的子集，即A⊂eq A。

- 空集varnothing是任何集合的子集，即varnothing⊂eq A。

2. 真子集- 定义：如果A⊂eq B，且存在元素x∈ B，但x∉ A，那么集合A称为集合B 的真子集，记作A⊂neqq B（或B⊃neqq A）。

- 例如：集合A = {1,2}，集合B={1,2,3}，则A⊂neqq B。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

高一数学不等式知识点整理归纳

高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 \(a > b\)，则 \(b a\)；若 \(a b\)，则\(b > a\)。

2. 传递性：若 \(a > b\) 且 \(b > c\)，则 \(a > c\)；若\(a b\) 且 \(b c\)，则 \(a c\)。

3. 加法性质：若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\)。

4. 乘法性质：若 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，则 \(ac > bc\)；若 \(a > b\) 且 \(c 0\)，则 \(ac bc\)。

二、一元一次不等式形如 \(ax + b > 0\) 或 \(ax + b 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。

解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。

2. 化简：将 \(x\) 的系数化为 \(1\)，注意当系数为负数时，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如 \(ax^2 + bx + c > 0\) 或 \(ax^2 + bx + c 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。

解法：1. 求出方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根（可用求根公式 \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}\) ）。

2. 根据二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像与 \(x\) 轴的交点，确定不等式的解集。

当 \(a > 0\) 时：若方程有两个不同实根 \(x_1\) ， \(x_2\) （\(x_1x_2\)），则不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) 的解集为 \(x x_1\)或 \(x > x_2\) ；不等式 \(ax^2 + bx + c 0\) 的解集为 \(x_1x x_2\) 。

初中不等式重要知识点总结

初中不等式重要知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指两个不同实数之间的大小关系，用不等号表示的式子称为不等式。

例如：a ＞b，a、b为实数。

不等式包括开区间不等式和闭区间不等式。

开区间不等式：a ＞ b（>表示大于，不包括a）；闭区间不等式：a ≥ b（≥表示大于等于，包括a）。

2. 不等式的解集不等式的解集是所有满足不等式条件的实数构成的集合。

例如：不等式2x ＞ 6的解集为{x | x ＞ 3}。

3. 不等式的性质不等式与等式一样，具有传递性、对称性和反对称性。

传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞c；对称性：若a ＞ b，则-b ＜ -a；反对称性：若a ＞ b，且b ＞ a，则a = b。

另外，对于不等式，还有加减法原理和乘除法原理。

加减法原理：不等式两边都加（减）同一个实数，不等式号的方向不变；乘除法原理：不等式两边都乘（除）同一个正数，不等式号的方向不变，都乘（除）同一个负数，不等式号的方向改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的书写一元一次不等式是指形如ax + b ＞ 0或ax + b ＜ 0的不等式，其中a和b是常数，x是未知数。

一元一次不等式中，a不等于0。

2. 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，利用函数的图像找出满足不等式条件的实数解。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足不等式条件的实数解。

（3）分析法：通过移项整理和求解，找出满足不等式条件的实数解。

三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式构成的集合。

2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，找出满足所有不等式条件的实数解，画出其图像，并找出图像的交集部分。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足所有不等式条件的实数解。

高中不等式知识点大全总结

高中不等式知识点大全总结一、基本不等式性质1. 两个数的比较：（1）当 a > b 时，a-b>0；（2）当 a < b 时，a-b<0；（3）当 a = b 时，a-b=0。

2. 不等式的四则运算：不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。

3. 绝对值不等式：对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。

4. 不等式的取反：若不等式 a > b 成立，则其取反 a b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。

5. 不等式的合并：若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。

6. 不等式的分拆：若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或ax+b < 0。

1. 解不等式的方法一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。

2. 一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。

解一元一次不等式组的方法同样包括化简法和图解法。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。

1. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。

折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。

不等式知识点整理

不等式知识点整理一、不等关系：1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔ （自反性）（2）c a c b b a >⇒>>, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒> （可加性）（4）bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0, （可乘性）（5）d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向加法）（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；（同向乘法）（7）n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0。

（同向乘方）3．常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a ，当且仅当0a =取“=”.（2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”）（3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”）注：2a b +. （4）222()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”）（5）2222()33a b c a b c ++++≥（当且仅当a b c ==时取“=”）（6）22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当a b c d=时取“=”）（柯西不等式）4、最值定理：设,0,x y x y >+≥由（1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +有最小值；（2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ⋅有最大值2()2S . 即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）.二、不等式的证明方法1．比较法（1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；（2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）2．综合法——由因导果（由前面结论）3．分析法——执果索因注：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.三、解不等式1．一元一次不等式 )0(≠>a b ax （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 2．一元二次不等式 )0(,02>>++a c bx ax（1）步骤：一看开口方向（a 的符号），二看判别式 ac b 42-=∆的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：20ax bx c ++>(0)a ≠解集为R （即02>++c bx ax 对R x ∈恒成立），则0,0a >∆<.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证0=a ）.3．绝对值不等式（1）零点分段讨论⎩⎨⎧≤-≥=←00a a a a a （2）转化法：)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇒>或 )()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇒<（3）数形结合4．高次不等式、分式不等式——序轴标根法步骤：①形式：()0()P x Q x >或()()0P x Q x >（移项，一边化为0，不要轻易去分母）；②因式分解，化为积的形式（x 系数符号>0——标准式）； ③序轴标根；④写出解集.5．．注意含参数的不等式的解的讨论．．．．．．．．．．．．．．．.四、一个有用的结论关于函数xp x y +=1．0p >时，当0x >时p x +≥；当0x <时p x x+≤-.在0(、[上是减函数；在-∞（、[)+∞上是增函数. 2．0p <时，在()0-∞，、0+∞（，）上为增函数.。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质；在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质．（1）a b b a <⇔>对称性（2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加（5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<xb>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法：注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。

完整版)不等式知识点归纳大全

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

(完整版)不等式知识点归纳大全

《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(2)解分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)；(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.二、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2()2a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等四同时).三、.2211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）四、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：（，）；五、最值定理（积定和最小） ①，则当时和有最小值（和定积最大）②若和，则当是积有最大值. 【推广】：③已知,,,,+∈R y x b a 若1=+by ax ，则有则y x 11+的最小值为：3333a b c abc++≥0ab c ++>等式即可成立时取等或0=++==c b a c b a 3a b c ++⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤,0,x y x y >+≥由()xy P =定值x y =x y +,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值x y =xy 214s 21111()()by ax ax by a b a b xy x y x y +=++=+++++=+≥④等式到不等式的转化：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 4)2()2(82)2(822y x y x y x y x xy +≤+-=⋅⇒+-=即0)42)(82(08)2(4)2(2≥-+++⇒≥-+++y x y x y x y x 解得4282≥+-≤+y x y x （舍）或故x ＋2y 的最小值是4 如果求xy 的最大值，则xy xy y x y x xy 22282)2(82≥-=+⇒+-=，然后解关于xy 的一元二次不等式，求xy 的范围，进而得到xy 的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。

它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。

通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。

其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。

例如，a b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c b，则 a ± c > b ± c。

其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。

注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。

注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。

三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。

常见的解不等式的方法有以下几种。

1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。

不等式知识点

不等式知识点一、不等式的主要性质：1)对称性：a b b a <⇔>2)传递性：c a c b b a >⇒>>,,d b c a d c b a +>+⇒>>,,bc ac c b a <⇒<>0, 3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0. 5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> 6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且注意: 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a cb d +>+（若,a bcd ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则a c b d >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>易错点:多次应用不等式时,忽视不等号成立的条件2(1)(1)(1).(2).1(1)(1)(1)2:,(1)1(1)(1)2(2)422(1)2(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)10(2)18.f px qx f f f p f f f p q f p q q f f f p q f f f f f f f f f ⎧⎡⎤⎣⎦⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎡⎤⎣⎦⎪⎩-≤-≤≤≤-=-+-=-=+=--+∴-=-=-++--=+-≤-≤≤≤∴≤-≤ 设=+,且24,46求的取值范围解由24,46 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法； 8．图象法。

不等式的基本性质知识点总结

4.1 不等式的应用场景不等式在数学、物理、经济等多个领域都有广泛的应用。例如在解决实际问题时，常常需要利用不等式的性质来找出最优解
4.2 实例分析以一道具体的不等式问题为例，详细分析其解题过程和思路，展示如何运用不等式的性质进行解题。通过实例分析，加深对不等式基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困难时，不要轻易放弃，而是要坚持下去，相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习和反思，我们可以逐渐提高自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我们的数学能力，还可以培养我们的耐心、毅力和创新精神
通过解决复杂的问题，我们可以锻炼自己的意志品质，提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然会产生学习的动力参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力，提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等，可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持