2018年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷 精品
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题含答案
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对
22 b 0 有 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对
22 b 0 有 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1
xn xn2 (n
1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1.
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1，解得 a 3 .
2018年最新 湖南省2018年高中数学竞赛试卷及解答2018018 精品
2018年湖南省高中数学竞赛试卷（9月6日上午9：00-11：00） 注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。
本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 设函数()log (0,1)a f x x a a =>?，若()1220038f xx x =L ，则()()2212f x f x +()22003f x ++L 的值等于 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 2log 8a 2. 如图，S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O 为底面内的一点，若OSA a ?，OSB b ?,OSC g ?，则tan tan tan a b g 的取值范围是 ( )A. )+?B.C. 轾犏臌D. (1,3. 某水池装有编号为1，2，3，…，的9 个进出口水管，有的只进水，有的只出水。
已知所开的水管号与水池装A. 1小时B. 2小时 C . 3小时 D 4小时 4. 若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为 （ ） A. 双曲线 B. 椭圆C. 抛物线D. 椭圆或双曲线5. 有10个不同的球，其中有2个红球，5个黄球，3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个黄球得1 分，取到一个白球得2分，则从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A. 90B. 100 （ ）C. 110D. 1206. 自然数按下表的规律排列，则上起第2018行，左起第2018列的数为 （ ） A. 22002B. 22003 C. 2018+2018 D. 2018×2018二、填空题（在每小题中的横线上填上正确答案。
本小题共6小题，每小题6分，满分36分）7. 设,,x y R Î，且满足()()()()2003200312002112200221x x y y ìï-+-=-ïïíï-+-=ïïî，则x y +=___________; 8. 满足22sin sin sin 23cos x x x x +-=的锐角x =________________;9. 记{}min ,a b 为两数,a b 的最小值，当正数x , y 变化时，22min ,yt x x y 禳镲镲=睚镲+镲铪也在变化，则t 的最大值为_____________________;10. 已知n 为自然数，多项式()()01nhh n h n h P x x x -==-åð可展开成x 的升幂排列01a a x +22n n a x a x +++L ，则012||||||||n a a a a ++++=L ________________;11. 底面边长为a 的正三棱柱，被不平行底面的平面所截，其中一块的形状如图所示，剩余的侧棱长分别为123,,h h h ，则剩余的几何体的体积为__________________; 12. 已知a 、b 是不相等的正数，在a 、b 之间插入两组数:12,,,n x x x L ;12,,,n y y y L 使 a, 12,,,n x x x L ,b 成等差数列，a, 12,,,n y y y L ，b 成等比数列，则下列不等式:① 11nk k x n =>å2桫, ② 11nk k x n =>å2a b +④22a b ++桫 中成立的有_____________________.三、解答题 （每题的解答要有严格的推理过程，本大题共6小题，每小题13分，共78分）13. 已知曲线21(0)xy y =>在曲线上点00(,)x y 处的切线的斜率k =-，过点()11,0P 作y 轴的平行线交曲线于1Q ，过1Q 作曲线的切线与x 轴交于点2P ，过2P 作y 轴的平行线交曲线于2Q ，仿此，不断的这样作图（如图所示），得到点列12,,;P P L 12,,Q Q L ，记||n n n l P Q =，求2003l 的值。
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（ ）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（ ） （A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（ ）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（ ）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为 （ ） （A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝ －lg lg3lg10 ＝ －lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝ －π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为 ．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。
2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷
2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y yy B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（ ）A. 5B. 4C. 25D. 10 2、命题P ：6πα≠， 命题q ：1sin 2α≠，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件3、如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）A. A C BD '⊥B. 90BA C'∠=C. CA '与平面A BD '所成的角为30D. 四面体A BCD '-的体积为134、多面体ABCD A BC D -的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示． ） A ．31112a B ．312a C ．334a D ．356aABCD正视图侧视图5、设()11xf x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2012f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-6、设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +有（ ）A. 最小值为15 B.最大值为15 D.7、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >>二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）９、已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．10、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .11、已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x ，则x 的取值范围为 .12、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____________________. 13、对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=， 数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 14、设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则1()2x f x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭＝ 。
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题Word版含答案
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解．9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为 ．10.四面体P ABC -，PA BC =，PB AC ==PC AB ==接球的半径为 ． 二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616- 3. 5665- 4. 36 5. 1-6. 16-；67.728. 39. 1414x -≤+二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为11=.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥， 解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<.（3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<.（4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111nnn n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111nnn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题答
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案二、填空题9、(1,1)- 10、2004 11 12 13、0x =14、10a -<< 三、解答题15、解：设l 方程为1(1)y m x -=--，则1(1,0)P m +，(0,1)Q m +-----------------1分 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和22(1)0x y m -++=--------2分 又||PRQS，11|221|32||m m RS +++++∴== 又22|||PR QS +==-----------------------------------------------------------------------5分 所以四边形PRSQ 的面积为：2123212PRSQ m S +++==21191()5480m m ++--------------------------------8分 219118(2)54805≥+-=。
所以四边形PRSQ 面积的最小值为185--------------------------------------------------------------10分16、解：设椭圆的离心率为e ，则1||MF e d=，即1||MF de =，--------------------------1分 又12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a de =-，---------------------------------------3分由题意可得212||||MF d MF =，所以22(2)d e d a de =-，故22a d e e=+，------5分 由d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离，即2222222112a a a a a e e ca d a e c c a a ae e c⎧≥-⎪⎪+-≤≤+⇒⇒≤<⎨⎪≤+⎪+⎩-----------------------------9分 11e ≤<时，符合条件的点M 存在， 当01e <<时，点M 不存在。
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得 到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。 由 f (x) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f (x) = 0 得 两 个 解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈
3π 4
,π
， cos(α
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期 数学竞赛试卷(含答案)
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷满分100分,时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.214. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a ykx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-, 求k的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1) 125CM CN ⋅=-得3cos ,5MCN ∠=- ……2分……2分 1=22k =或 ……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d ,S ==……2分当CMN ∆面积取最大时d ……2=4a = ……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.解析：（1）当a>0时，()222max 1[1,21],|()|21f x x ax a f x a =++∈+=+ ……2分当a<0时, ()222max 4-4-1[,1],|()|max ||,144a a f x x ax f x ⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0a a -≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a ……1分（2）()()()20f a b a b a a b b +=++++=得22230a ab b b +++= ……1分2=b -8b ∆必为完全平方数 ……1分2222=b -8b=,()16m N m ∆∈-=令m 得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b m b m b m b m b m --=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b 的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+n nn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。
2018年苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷 精品
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是 （ ）A.01a <<B.02,1a a <<≠C.12a <<D.2a ≥2. 设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是 （ ）Ａ.d c b a <<< Ｂ.c d a b <<< Ｃ.a b d c <<< Ｄ.b a c d <<<3．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n=，则(1)f的值等于 （ ） A.1 B.2 C.3 D.44．5名志愿者随意进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 （ ） A.53 B.151 C.85 D.81505．已知圆4)3(22=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为P 、Q ，则|OP|·|OQ|的值为（ ）A.215k+ B.21k + C.10 D.5 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个7. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （ ）A.2B.1C.0D.2-8．连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为 （ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9．已知平面上三个点A 、B 、C 满足||3,||4,|A B B C C A ===，则···A B B C B C C A C A A B++=____________. 10．右图的发生器对于任意函数()x f ，D x ∈可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据D x ∉0则发生器结束工作；②若输入数据D x ∈0时，则发生器输出1x ，其中()01x f x =，并将1x 反馈回输入端.定义()12+=x x f ,)50,0(=D .若输入10=x ,那么当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 .11．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .12． 从m 个男生，n 2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．若A 的概率和B 的概率相等，则(),m n 的可能值为 ． 13．若关于,x y 的方程组22110ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 .14．已知数列}{n a 满足10a =，),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .三、解答题（本大题共3小题，第15题8分，第16、17题各12分,满分32分. 要求写出必要的解答过程）15．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）． （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π， 上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．16．已知数列{}n a 中11a =，.关于x 的方程21sin(cos )(21)sin10n n x a x a +-++=有唯一解． (１) 求数列{}n a 的通项公式；(２) 设n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n s ； (３) 设21[1]log (1)n n n c a =++，求证：3n c <．17．是否存在一个二次函数)(x f ，使得对任意的正整数k ，当 5555个k x =时，都有52555)(个k x f =成立？请给出结论，并加以证明．。
最新-2018年下期高二数学比赛考试(理科) 精品
祁阳县2018年下期高二比赛考试数学理科试卷（问卷）（时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（每小题5分，共50分）1．设集合},42|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则 A ，M=N B ，M ⊂≠N C ，M ≠⊃N D ，M ∩N =φ2．设|||1|)(x x x f --=则)]21([f f 的值等于A ，21 B ，0 C ，-21D ，1 3．若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是A ，18B ，6C ，32D ，432 4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)25．设c b a ,,分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边长，则直线o c ay x A =++∙sin 与0sin sin =+∙-C y B bx 的位置关系是A ，平行B ，重合C ，垂直D ，相交但不垂直 6．△ABC的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π7．过坐标原点且与圆2254202x y x y +-++=相切的直线方程为（ ）（A ）x y x y 313=-=或 （B ）x y x y 313-==或（C ）x y x y 313-=-=或 （D ）x y x y 313==或8．已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。
若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m = ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．49．设),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 是右焦点为F 的椭圆192522=+y x 上三个不同点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“821=+x x ”的A ，充要条件B ，必要不充分条件C ，充分不必要条件D ，既不充分又不必要条件10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞二，填空题（每小题4分。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题 精
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高 二 试 题命题人：薛祖坚一、选择题（每小题5分，共40分）1、动点P 在抛物线26y x =-上运动,定点(0,1)A ，线段PA 中点的轨迹方程是( )．A 、2(21)12y x +=-B 、2(21)12y x +=C 、2(21)12y x -=-D 、2(21)12y x -=2、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有( )A 、113ω-≤≤B 、1123ω-≤≤C 、12ω≥-D 、112ω-≤<3、直线y x m =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅= ，则m 的值等于( )A 、1B 、－1C 、2D 、－24、在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、6条D 、8条 5、方程(1)(1)1(0)x y x +-=≠表示的曲线关于（ ）对称.A 、y x =B 、2y x =+C 、y x =-D 、(1,1)-6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。
那么满足不等式22(||1)(||1)2x y -+-<的整点(,)x y 的个数为( )个.A 、16B 、17C 、18D 、257、已知()(2005)(2006)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C、 D、 8、设,,x y z 都是正数，则2222xy yzx y z +++的最大值为（ ）A 、1B 、2 C、2 D、59、不论,a b 为何值，直线0ax by a b +-+=过定点______________________. 10、若函数()f x 满足()()(),f a b f a f b +=且(1)1f =,则(2)(3)(2005)(1)(2)(2004)f f f f f f +++的值等于__________________.11、若P 是双曲线2213x y -=的右支上的动点，F 是双曲线的右焦点，已知(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值是_____________________________. 12、正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，则该数列的通项公式n a =__________ 13、方程221(1)cos2202x x x x--++--=的解为____________________. 14、如果关于x 的不等式|||||1|x a x x -<++的解集为一切实数，那么实数a 的取值范围是_____________________答题卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、_________________ 10、__________________ 11、____________________12、________________ 13、__________________ 14、____________________15、已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于点,P Q ，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为,R S . 求四边形PRSQ 面积的最小值。
2010年苍南县姜立夫杯数学竞赛
2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1．已知：b a ,为实数，则“a ＞b ”是“a 1＜b1”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2．)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈总有)()27(x f x f -=+，则)27(-f 的值为（ ）A ．0B ．7C ．27 D ．-27 3．022120cos 41cos 79cos 241cos 79cos ⋅⋅⋅-+的值为 （ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．434．经过点P （-1，1）引直线l 交两坐标轴于A 、B ，且∆AOB 的面积为3（O 为原点），若这样的直线l 共有n 条，则n= （ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和b 的线段，则b a +的最大值为（ ）A ．52B ．4C ．32D ．22 6．函数x x y 3247-+-=的值域为 （ ）A ．[1，2]B ．[0，2]C ．[1，3]D ． (]3,07．把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为 （ ） A ．41 B ．21 C ．43 D ．54∆ABC的外接圆圆心D ，且DA+DC=λDB （R ∈λ），则满足条件的函数)(x f 有（ ）A ．6个B ．10个C ．12个D ．14个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上）9．已知：∆ABC 三个顶点的坐标为A （-2，1），B （6，1），C （-2，16），则∆ABC 的内切圆方程为 . 10．已知：69222++m是一个平方数，则正整数m = .11、设45)c o s1)(sin 1(=++θθ，k nm-=--)cos 1)(sin 1(θθ，其中n m k ,,都是正整数，n m ,互质，则n m k ++= .12．在直角坐标系中，如果两点A （b a ,），B （b a --,）在函数)(x f y =的图象上，那么[A ，B]为函数)(x f 的一组关于原点的中心对称点，（[A ，B]与[B ，A]看作一组），函数⎪⎩⎪⎨⎧+=),1(log ,2cos )(2010x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 .13．如果集合A 、B 、C （其中可以有相同）的并集C B A U U ={1，2，3，4}，那么有序的三元集合组（A ，B ，C ）的个数为 . 14．设正项数列{n a }满足11112121=++⋅++++n n n n n n a a a a a a （*N n ∈），631=+a a ，321,,a a a 单调递增且成等比数列，n S 为{n a }的前n 项和，记[x ]为不超过x 的最大整数，则[2008S ]= .2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上） 9． 10． 11． 12． 13． 14．三、解答题（本大题共3小题，第15题、16题各10分，17题12分，满分32分，要求写出必要的解答过程） 15．已知：3)3(cos 32)3cos()3sin(2)(2--+--=πππx x x x f（1）求)(x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值.x ≤0 x ＞0（2）若函数a x f y -=)2(在区间[0，4π]上恰有两个零点1x ，2x ，求)tan(21x x +的值.16．在数列{n a }中，已知1a =2，n n n a a a 2)1(1=++ （1）求数列{n a }的通项公式.（2）记*))(1(N n a a b n n n ∈-⋅=，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证n T ＜3.17．已知：集合A={811610|),(22+--+y x y x y x ＜0}，B={y y x |),(≥8||+-t x } （1）若A ∩B ≠φ，求实数t 的取值范围.（2）设点P （8,t ）∈A ，集合A 、B 所表示的两个平面区域的边界相交于点M ，N ，求PNPM 11+的最小值.2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二卷答案一、选择题：DADD BAAC 二、填空题：9．9)4()1(22=-+-y x 10．10 11．27 12．1004 13．2401 14．5352 三、解答题：15解：（1）)32sin(2)(π-=x x f当2232πππ+=-k x ， 125ππ+=k x )(Z k ∈时 )(x f 的最大值为2…………………………………………………………5分（2）a x a x f y --=-=)34sin(2)2(π结合图像可知：πππ=-+-343421x xπ12521=+x x 32)tan(21+=+∴x x …………………………10分 16解：（1）由已知可得：n a ＞0 )11(21111-=-+nn a a11)21()11(11-⋅-=-n n a a 122-=∴n n n a …………………………6分（2）22121)12(2)1(2-+=-=-=n n nnn n n a a b ＜221-n ≤1121221--=-n n n （n ≥2） ++=∴21b b S n …n b +＜+++221212…121-+n 1213--=n ＜3…………12分17、解（1）集合A={22)8()5(|),(-+-y x y x ＜8}当射线8+-=t x y （x ≥t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时 可得1=t 或9，9=t （舍去）；当射线8+-=x t y （x ≤t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时t ∴的范围为1＜t ＜9……………………………………………………6分（2）如图：设集合A 所表示的圆与x 轴平行的直径为CD ，MP 的延长线与圆的另一个交点为N /则PN PM 11+≥PD PC PNPM PN PM ⋅=⋅=⋅222/ ≥2244==+CD PD PC 当5=t 时等号成立 PN PM 11+∴的最小值为22………………12分。
浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题
浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e r 为平面单位向量且|a ·e r |+|b r ·e r|的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b r |=|a -b r | B.b r ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-=r r二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲ 13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r ,求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a（2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++L2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17.已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.212.[0,4) 13.2 14. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1)125CM CN⋅=-uuu r uuu r得3cos,5MCN∠=-……2分……2分1=22k=或……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d,S==……2分当CMN∆面积取最大时d (2)=4a=……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b=++.(1) 0a≠且1b=,求()y f x=在区间0,a⎡⎤⎣⎦上的最大值；(2) 若,a b Z∈，且()a b f x+是的零点，求所有可能b的值.解析：（1）当a>0时，()222max1[1,21],|()|21f x x ax a f x a=++∈+=+……2分当a<0时, ()222max4-4-1[,1],|()|max||,144a af x x ax f x⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0aa-≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a……1分（2）()()()20f a b a b a a b b+=++++=得22230a ab b b+++=……1分2=b-8b∆必为完全平方数……1分2222=b-8b=,()16m N m∆∈-=令m得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b mb m b m b m b m--=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n}满足，++∈+==Nnaaaannn,144,812211（1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分） （2）284414422221+=+≤+=+nnn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n ΛΛ…1分。
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2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）1．已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-, 若4＜k a ＜7, 则k = ( ) A.9 B.8 C.7 D.62．设集合S={x |x 2-5|x |+6=0}, T={x |(a -2)x =2}, 则满足T ⊂ ≠S 的a 的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N MN c ⊂⊂=平面平面(1)若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；(2)若a //b , 则必有a //c ； (3)若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； (4)若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.其中正确的命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.04．为使关于实数x 的不等式()2121x x a a a R -+-≤-+∈的解集是空集, 则实数a 的 取值范围是 ( ) A. a ＞1 B. -1＜a ＜0 C.0＜a ＜1 D. 1＜a ＜25．在△ABC 中, 如果2228a b c +=, 则(BA tan 1tan 1+) tan C 的值等于 ( ) A.72 B.71 C.92 D.916．若点A(1,3)关于直线y kx =的对称点落在x 轴上, 则k = ( )A.33 B.22 C.33或-3 D.22或-2 7．已知x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x , 若z ax y =+的最大值为39a +, 最小值为33a -, 则a的取值范围是 ( ) A.a ≤-1或a ≥1 B.0≤a ≤1 C.-1≤a ≤0 D.-1≤a ≤1 8．若()()()s i n 2f x x x θθ=++为奇函数, 且在[0,4π]为增函数, 则θ的一个值为 ( ) A.32πB. -3πC.65πD. -6π二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9．设向量绕点O 逆时针旋转2π, 得向量, 且2+=(8, 9), 则向量=_____.10.从3名男生和n 名女生中, 任选3人参加比赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为3534, 则n =______. 11.若sin 2(x +125π)-sin 2(x -125π)= -43, 且x ∈(43π,π), 则tan x =_______.12.设n a 是(3 +x )n的展开式中x 项的系数(n =2, 3, 4,… ), 则当n ＞100时, 223a +333a +…+nn a 3的整数部分的值为 . 13.若集合A 中的每个元素都可表为1, 2, 3,…, 8中两个不同的数之积, 则集合A 中元素个数的最大值为______14.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8g 的值.16.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.17.设函数()f x 的定义域为R , 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}n a 满足()10a f =, 且()()*11(2)n n f a n N f a +=∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值； (3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. （-2,5） 10. 411. 3-12. 17 13. 24 14. 8三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8g 的值.15.解:(1)∵x x t -++=11, ∴要使t 有意义, 必须⎩⎨⎧≥-≥+0101x x , 解得-1≤x ≤1∵]4,2[12222∈-+=x t , 且t ≥0 ∴t 的取值范围是]2,2[又121122-=-t x , ∴t t a t m --=)121(2)(2a t at 22--=, ]2,2[∈t(2)由题意知g (81)即为函数m (t )41812--=t t =49)4(812--x , ]2,2[∈t 的最小值.此时, m (t )在[2,2]上是减函数, 故得g (81)=m (2)= -4716.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.16.解: 依题意, 设A (a , 0), B (0, b ), a ＞0, b ＞0, 则直线AB 的方程为1=+bya x ∵点(1, 1)在AB 上, ∴111=+ba ① (1)当AB //CD 时, 则可得k AB = -3, 即-3-=ab ∴b =3a 结合①解得a =34, b =4设AB 的中点为N , 则N (31, 2). 又∵AC , BD ⊥垂直于CD , M 是CD 的中点∴MN ⊥CD ,从而直线MN 的方程为y =31(x -32)+2与方程3x +y +3=0联立, 可解得M (1013,3043-) (2)∵AC , BD ⊥垂直于直线y = -3x -3, ∴直线AC 的方程为y =31(x -a ), 即x -3y -a =0,且点B 到直线AC 的距离就等于|CD |, 故得|CD |=10331|3|2b a a b +=+--(ba 11+) =)34(101b a a b ++≥)324(101+ 等号成立当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=1113bab a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=33131b a因此, 所求的直线l 的方程为x +3y -3-1=017.设函数()f x 的定义域为R , 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}n a 满足()10a f =, 且()()*11(2)n n f a n N f a +=∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值； (3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.17.解(1)由题设, 令x = -1, y =0, 可得f (-1)=f (-1)f (0), ∴ f (0)=1. 故a 1=f (0)=1 当x ＞0时, -x ＜0, ∴ f (-x )＞1, 且 1=f (0)=f (x )f (-x ), 故得 0＜f (x )＜1 从而可得f (x )＞0, x ∈R设x 1, x 2∈R , 且x 1＜x 2, 则x 2-x 1＞0, 故f (x 2-x 1)＜1, f (x 1)＞0从而f (x 1) -f (x 2)=f (x 1) -f (x 1+x 2-x 1)=f (x 1) -f (x 1)f (x 2-x 1)=f (x 1)[1-f (x 2-x 1)]＞0 即f (x 1)＞f (x 2), ∴函数f (x )在R 上是减函数. (2)由f (a n +1)=)2(1n a f --, 得f (a n +1)f ( -2-a n )=1, 即f (a n +1-a n -2)=f (0)由f (x )的单调性, 故a n +1-a n -2=0 即a n +1-a n =2 (n ∈N *)因此, {a n }是首项是1, 公差为2的等差数列, 从而a n =2n -1, ∴ a 2018=4013 (3)设g (n )=12)11()11)(11(21++++n a a a n, 则g (n )＞0, 且k ≤g (n )对n ∈N *恒成立.由1)1(4)1(23212)11()()1(21-++=+++=++n n n n a n g n g n ＞1, 即g (n +1)＞g (n ),∴ g (n )在N *上为单调递增函数, 故g (n )≥g (1)=323因此, k ≤323, 即k 的最大值为323。