2018年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷 精品

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二试卷

考生注意事项：

1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.

2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）

1．已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-, 若4＜k a ＜7, 则k = ( ) A.9 B.8 C.7 D.6

2．设集合S={x |x 2-5|x |+6=0}, T={x |(a -2)x =2}, 则满足T ⊂ ≠

S 的a 的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N M

N c ⊂⊂=平面平面

(1)若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；(2)若a //b , 则必有a //c ； (3)若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； (4)若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.

其中正确的命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0

4．为使关于实数x 的不等式()2121x x a a a R -+-≤-+∈的解集是空集, 则实数a 的 取值范围是 ( ) A. a ＞1 B. -1＜a ＜0 C.0＜a ＜1 D. 1＜a ＜2

5．在△ABC 中, 如果2

2

2

8a b c +=, 则(

B

A tan 1

tan 1+

) tan C 的值等于 ( ) A.72 B.71 C.92 D.9

1

6．若点A(1,3)关于直线y kx =的对称点落在x 轴上, 则k = ( )

A.

33 B.22 C.33或-3 D.2

2

或-2 7．已知x , y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+≥+-300

6x y x y x , 若z ax y =+的最大值为39a +, 最小值为33a -, 则a

的取值范围是 ( ) A.a ≤-1或a ≥1 B.0≤a ≤1 C.-1≤a ≤0 D.-1≤a ≤1 8．若()(

)()s i n 2f x x x θθ=++为奇函数, 且在[0,

4

π

]为增函数, 则θ的一个值

为 ( ) A.32π

B. -3π

C.65π

D. -6

π

二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)

9．设向量绕点O 逆时针旋转

2

π

, 得向量, 且2+=(8, 9), 则向量=_____.

10.从3名男生和n 名女生中, 任选3人参加比赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为35

34

, 则n =______. 11.若sin 2

(x +

125π)-sin 2

(x -12

5π)= -43, 且x ∈(43π,π), 则tan x =_______.

12.设n a 是(3 +x )n

的展开式中x 项的系数(n =2, 3, 4,… ), 则当n ＞100时, 223a +3

3

3a +…

+n

n a 3的整数部分的值为 . 13.若集合A 中的每个元素都可表为1, 2, 3,…, 8中两个不同的数之积, 则集合A 中元素个数的最大值为______

14.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）

二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)

9. 10. 11. 12. 13. 14.

三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)

15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .

(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8

g 的值.

16.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .

(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.

17.设函数()f x 的定义域为R , 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有

()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}n a 满足()10a f =, 且()()*11

(2)

n n f a n N f a +=

∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值； (3)若不等式)1

1()11)(11(21n

a a a +++

≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）

二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)

9. （-2,5） 10. 4

11. 3

-

12. 17 13. 24 14. 8

三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)

15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .

(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8

g 的值.

15.解:(1)∵x x t -++=11, ∴要使t 有意义, 必须⎩

⎨⎧≥-≥+010

1x x , 解得-1≤x ≤1

∵]4,2[12222∈-+=x t , 且t ≥0 ∴t 的取值范围是]2,2[

又12

1122-=

-t x , ∴t t a t m --=)121

(2)(2a t at 22--=, ]2,2[∈t

(2)由题意知g (81

)即为函数m (t )41812--=t t =49)4(8

12--x , ]2,2[∈t 的最小值.

此时, m (t )在[2,2]上是减函数, 故得g (81)=m (2)= -4

7

16.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .

(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.

16.解: 依题意, 设A (a , 0), B (0, b ), a ＞0, b ＞0, 则直线AB 的方程为

1=+b

y

a x ∵点(1, 1)在AB 上, ∴

11

1=+b

a ① (1)当AB //CD 时, 则可得k AB = -3, 即-3-=a

b ∴b =3a 结合①解得a =34

, b =4

设AB 的中点为N , 则N (3

1, 2). 又∵AC , BD ⊥垂直于CD , M 是CD 的中点∴MN ⊥CD ,