高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线专题复习

焦 点弦 长 AB

12()x x p ++

12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

= 2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 切线 方程

00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

一．直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p

联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y

设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 抛物线练习

1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值

时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

3、直线3y x =-与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为

4、设O 是坐标原点，F 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为

60，则OA 为

5、抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，

AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是

6、已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK

∆的面积为

7、已知双曲线22

145

x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线2

2(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是

10、抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是

11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 12、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2

2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量

OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=。

(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(2)当圆C 的圆心到直线

x-2y=0p 的值。 解： (1)证明:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，

整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为

2222121212121

()()[()()]224

x x y y x y x x y y ++-

+-=-+-， 展开并将(1)代入得:22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+=，

故线段AB 是圆C 的直径

(2)解: 设圆C 的圆心为C(x,y),则12122

2

x x x y y y +⎧

=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则12

12|

()|x x y y d +-+=22

1

1222,2(0)y px y px p ==>，22

12122

4y y x x p

∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅， 22

12122

4y y y y p ∴-⋅=，

12120,0x x y y ⋅≠∴

⋅≠，21

24y y p ∴⋅=-，

2212122221

|

()()|

y y y y

d +-+∴==22

=

， 当122

y y p +=

时,d 5=

，2p ∴=. 13、已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2

2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点

C 为圆心）

（1）求圆C 的方程；

（2）设圆M 的方程为2

2

(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线