高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

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抛物线知识点总结及练习

抛物线知识点总结及练习一、抛物线的定义：平面上给予一直线L 及L 外一定点F ，则平面上所有到直线L 的距离恰等于到定点F 的距离之所有动点P 所形成的图形就称为抛物线，其中L 称为准线，F 称为焦点。

二、名词的认识：(一)对称轴﹕通过焦点F 且与准线L 垂直之直线M ，又简称为轴。

(二)顶点﹕抛物线与对称轴的交点V 。

(三)焦距﹕焦点F 与顶点V 的距离VF 。

(四)弦﹕抛物线上任取相异两点A 、B 的连线段。

(五)焦弦﹕过焦点F 的弦AC 。

(六)正焦弦﹕垂直于对称轴的焦弦MN 。

(注) 正焦弦长 MN 是焦距 FV 的 4 倍.三、抛物线的标准式：2y ax bx c =++ 配方 2()y a x h k =-+四、抛物线方程式：标准式焦点准线图形24y cx = F (,0)c :L x c =-0c >0c <24x cy = F (0,)c:L y c =-0c >0c <观念延伸：平移后的抛物线之方程式与其图形则会变成？标准式图形2y k c x h-=-()4()c<c>02-=-x h c y k()4()c<c>0例1：右图是一张科学家所记录的草图。

草图描绘着一颗绕着太阳运行之彗星的轨迹，其中的A、B、C、D、E 五点是科学家观察到彗星所在的位置。

经过仔细的计算，这颗彗星所运行的轨迹是一条抛物线，太阳位于其焦点且其准线是一条水平线。

则根据这张草图，彗星在被观察到的五点A、B、C、D、E与太阳之距离的大小顺序为何？【练习题】右图为一抛物线的部分图形， A、B、C、D、E个点中有一为其焦点。

试判断何点是其焦点？例2：求满足下列各条件的抛物线方程式：(1)焦点 F (2,0)，准线:2L x =- (2)焦点 F (0,3)-，准线:3L y =.【练习题】求满足下列各条件的抛物线方程式：(1) 焦点 F (1,0)-，准线:1L x = (2) 焦点 F (0,4)，准线:4L y =-例3：求抛物线216y x =-的顶点、焦点、准线与正焦弦长。

抛物线知识点汇总及考点例题

抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的。

2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。

考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-，练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。

圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)

抛物线典例剖析知识点一抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ，当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小，最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27，此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10，所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|，由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|，且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°，即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ，由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案－36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理，得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ，即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ，将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条答案 C解析容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)，所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析方法一由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)．三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4，所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值．证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ）直线OQ 的方程为y=02y p x ，当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列答案 A解析设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2，所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________．答案 (1,1)解析设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程．解显然，直线存在斜率k ，设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点．证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ，过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。

(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。

p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)

则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b

y
2

2
px
k 2x22源自kbp)x
b2

0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正

抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析

抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦点位置 X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e =通径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB以AB 为直径的圆必与准线l 相切3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及标准答案

抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ___________23、直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。

抛物线知识点总结及例题讲解

当 a0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当 a0 时，
情况相反. ② ③ ④ 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程 ax bx c 0 （a≠0）的根，就是抛物线 y ax bx c 与 x 轴交点的
2 2 2
.
5.二次函数 y ax c （c 不为零），当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则 x1 与 x2 的关系是 .
2
6.抛物线 y ax bx c 当 b=0 时，对称轴是侧，当 a，b 异号时，对称轴在 y 轴 7.抛物线 y 2( x 1) 3 开口
B. ,0
1 2

C.（-1，5）
D.（3，4）
5
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17.直线 y A.0 个
5 1 x 2 与抛物线 y x 2 x 的交点个数是（ 2 2
B.1 个
2
）
C.2 个
D.互相重合的两个）
18.关于抛物线 y ax bx c （a≠0），下面几点结论中，正确的有（ ①
2
b 2 4ac b 2 ， ) 2a 4a
∴顶点是 (
b 4ac b 2 b , ) ，对称轴是直线 x . 2a 4a 2a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a( x h) k 的形式，得到顶点为 (h, k ) ，对称轴是直线 .
y
b ＜1 2a ∴ 2a b ＞0
-1
O

高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案

一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。

抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)

抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，所以04x =±，故选D 。

抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版)

抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则 221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则，112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =>图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥0y ≤对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =通径2p（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线C ： 2x的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，则0x =（）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案

直线与抛物线的位置关系直线■:、•二，抛物线「占八y =hr+J<，=2丹消y得.+2(肪-p)x+护二0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k M 0 时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)-------- •- •关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1:kx b 抛物线- 丁芒八，(p ' 0)①联立方程法：y =kx +b 2 2 2:2二k2x2+2(kb — p)x+b2 =0y =2px设交点坐标为Ad-yJ, BX M)，则有:'0 ,以及x「，还可进一步求出y 1 y 2 二 kx i b kx 2 b = k(x 1 x 2) 2b2 2y 1y 2 =(kx b)(kx 2 b) = k X j X 2 kb(x-i x 2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长AB| = J i +冏为—x 2| = J l + k 2 J% +x 2)2 —4X J X 2 = J l + k 2-p I 9!1 2 - 2+■^2^ (y i + y 2)—4y i y 2 =H 1 + kb. 中点 M （X 0,yo ）, X 0 二宁②点差法：设交点坐标为A （X 1，yJ ，B （X 2,y 2），代入抛物线方程，得2 2 y 12px 1y 2 2px 2将两式相减，可得（% -丫2）（% y 2）=2卩（％ -X 2）y 1 -y 2 _ 2p X 1 -X 2 y 1 y 2屮-七 _ 2p _ 2p _ p 捲一X 2y 1 y 22 y y °同理，对于抛物线X 2 =2py （p=0），若直线l 与抛物线相交于A 、是弦AB 的中点，则有k AB 二凶」二空0 =些2p 2p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零）a.在涉及斜率问题时,k AB2p y 1 y 2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为 M （x o ，y o ），B 两点，点 M (X o , y o ) 2）直线的斜率存AB =、：i +^卜1 _y2 =抛物线练习及答案21已知点P 在抛物线y = 4x 上，那么点P 到点Q (2, - 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之1和取得最小值时，点 P 的坐标为。

专题12 抛物线及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题12抛物线及其性质【考点预测】知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注：若在定义中有F l ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F ．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22(0)x py p =->，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->顶点(00)O ，范围0x ≥，y R ∈0x ≤，y R∈0y ≥，x R ∈0y ≤，x R∈对称轴x 轴y 轴焦点(0)2pF ，(0)2p F -，(0)2p F ，(0)2pF -，离心率1e =准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =焦半径11()A x y ，12pAF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+【方法技巧与总结】1、点00(,)P x y 与抛物线22(0)y px p =>的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）2002y px ⇔<．（2）P 在抛物线上2002y px ⇔=．（3）P 在抛物线外2002y px ⇔>．2、焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若22(0)y px p =>，则焦半径02pPF x =+，max2p PF =．3、(0)p p >的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论：（1）2124p x x =．（2）212y y p =-．（3）焦点弦长公式1：12AB x x p =++，12x x p +≥=，当12x x =时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p ．焦点弦长公式2：22sin pAB α=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．（4）AOB ∆的面积公式：22sin AOB p S α∆=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px =>的任意一条弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦的中点为000(,)(0)M x y y ≠，则（1）弦长公式：1212(0)AB AB x y k k =-=-=≠（2）0AB p k y =（3）直线AB 的方程为000()py y x x y -=-（4）线段AB 的垂直平分线方程为000()y y y x x p-=--6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(0)y Ax A =≠焦点为(,0)4A ，准线为4Ax =-（2）2(0)x Ay A =≠焦点为(0,)4A ，准线为4Ay =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16，准线方程为116y =-7、参数方程22(0)y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8、切线方程和切点弦方程抛物线22(0)y px p =>的切线方程为00()y y p x x =+，00(,)x y 为切点切点弦方程为00()y y p x x =+，点00(,)x y 在抛物线外与中点弦平行的直线为00()y y p x x =+，此直线与抛物线相离，点00(,)x y （含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2p A p ，，()2p B p -，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0py k=11、焦点弦的常考性质已知11()A x y ，、22()B x y ，是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN l ⊥，N 为垂足．（1）以AB 为直径的圆必与准线l 相切，以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；（2）FN AB ⊥，FC FD⊥（3）2124p x x =；212y y p =-（4）设BD l ⊥，D 为垂足，则A 、O 、D 三点在一条直线上【专题过关】【考点目录】考点一：抛物线的定义与方程考点二：抛物线的轨迹方程考点三：与抛物线有关的距离和最值问题考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题考点五：焦半径问题考点六：抛物线的性质【典型考题】考点一：抛物线的定义与方程1．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，其上一点(),4A m -到焦点F 的距离为6．求抛物线的方程及点A 的坐标．【解析】由题意，设抛物线方程为()220x py p =->，则其准线方程为2p y =，∴462p+=，得p ＝4，故抛物线方程为28x y =-；又∵点(),4A m -在抛物线上，∴232m =，∴m =±即点A 的坐标为()4-或()4--．2．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）下列方程的图形为抛物线的是（）A ．10x +=B ．2y -=C D ．2230x x y --+=【答案】ACD【解析】对于A ，方程10x +=化为1x +=(,)x y 到定点(0,0)的距离与到定直线1x =-的距离相等，且定点(0,0)不在定直线1x =-上，原方程表示的图形是抛物线，A 是；对于B ，方程2y -=(,)x y 到定点(1,2)-的距离与到定直线2y =的距离相等，而定点(1,2)-在定直线2y =上，原方程表示的图形不是抛物线，B 不是；对于C (,)x y 到定点(2,3)的距离与到定直线3410x y +-=的距离相等，且定点(2,3)不在定直线3410x y +-=上，原方程表示的图形是抛物线，C 是；对于D ，方程2230x x y --+=化为223y x x =-+，方程表示的图形是抛物线，D 是.故选：ACD3．（多选题）（2022·广东清远·高二期末）已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与2ny mx =在同一坐标系内对应的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】将对应方程化为标准方程得22111x ym n+=，2m y x n=，所以抛物线2my x n=的焦点在x 轴上，故排除D 选项，对于A 选项，由图可知0mn>，0m <，0n >，矛盾，故A 错误；对于B 选项，由图可知0mn<，0m <，0n >，满足，故B 正确；对于C 选项，由图可知，0mn>，0m >，0n >，满足，故C 正确；故选：BC.4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 上有两点A ，B ，若FAB 为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C 的标准方程是（）A ．2y =B ．28y x =C ．2y =或28y x =D ．24y x=【答案】C【解析】由题意得，当2AFB π∠=时，1282AFB S p p =⨯⨯=△，解得p =；当2FAB π∠=或2FBA π∠=时，2182AFB S p ==△，解得4p =，所以抛物线的方程是2y =或28y x =.故选：C.5．（2022·全国·高二课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为28y x =的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()1,1-．【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到抛物线的方程为28y x =，则焦点一定在x 轴上，故①必选，②不选．若选①③，由抛物线的定义可知132p+=，得4p =，则抛物线的方程为28y x =．若选①⑤，设焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()0p >，()1,1A -，112AF k p =-，1OA k =-，由1AF OA k k ⋅=-，得1112p =-，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =．由④可知4p =，故还可选择①④．故答案可为①③或①⑤或①④．故答案为：①③（答案不唯一）6．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185【解析】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，0p >，因为抛物线过点()6,5-，所以3610p =，可得185p =，所以抛物线的焦点到准线的距离为18m 5．故答案为：1857．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在坐标轴上，点P 在抛物线C 上，52PF =，若以线段PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线C 的方程为______．【答案】22x y =（答案不唯一）【解析】由题意，若抛物线的焦点F 在y 轴正半轴上，则可设抛物线方程为22x py =（0p >），()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由焦半径公式可知0522p y +=，圆的半径为54，得052p y -=，并且线段PF 中点的纵坐标是05224py +=，所以以线段PF 为直径的圆与x 轴相切，切点坐标为()1,0-或()1,0，所以02x =±，即点P 的坐标为52,2p -⎛⎫± ⎝⎭，代入抛物线方程22x py =（0p >）得5422p p -=⋅，解得1p =或4p =，即当点F 在y 轴正半轴上时，抛物线方程是22x y =或28x y =.同理，当点F 在y 轴负半轴时，抛物线方程为22x x =-或28x y =-，当点F 在x 轴正半轴时，抛物线方程为22y x =或28y x =，当点F 在x 轴负半轴时，抛物线方程为22y x =-或28y x =-．故答案为：22x y =（答案不唯一）.8．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点．若90ABD ∠=︒，且ABF的面积为C 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y =【答案】B【解析】∵以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，90ABD ∠=︒，结合抛物线的定义可得：AB AF BF==ABF ∴是等边三角形，30FBD ∴∠=︒．ABF2=4BF ∴=．又点F 到准线的距离为sin 302BF p ︒==，则该抛物线的方程为24y x =．故选：B ．9．（2022·全国·高二课时练习）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．212y x=【答案】C【解析】作AD l ⊥，BE l ⊥，垂足分别为,D E ，设l 与x 轴交于点G ，由抛物线定义知：BE BF =，3AD AF ==，设BF a =，则BE a =，2BC a =，1sin 22a BCE a ∴∠==，则6BCE π∠=，26AC AD ∴==，又33AC AF BF BC a =++=+，1a \=，1BE ∴=，23BE BC FGCF==，32FG ∴=，即32p =，∴抛物线方程为：23y x =.故选：C.10．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），若点M 到准线l 的距离为3，则该抛物线的方程为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2x 或y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x 或y 2＝8x【答案】D【解析】∵抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），∴202px =，可得04x p=.又点M 到准线l 的距离为3，∴432pp +=，解得p ＝2或p ＝4.则该抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .故选：D.11．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB 的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m【答案】B【解析】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．故选:B ．考点二：抛物线的轨迹方程12．（2022·全国·高二课时练习）点()1,0A ，点B 是x 轴上的动点，线段PB 的中点E 在y 轴上，且AE 垂直PB ，则点P 的轨迹方程为______．【答案】24y x =()0x ≠【解析】设(),P x y ，(),0B m ，则,22x m y E +⎛⎫⎪⎝⎭．由点E 在y 轴上，得02x m +=，则m x =-，即0,2y E ⎛⎫⎪⎝⎭．又AE PB ⊥，若0x ≠，则21012AE PB yy k k x⋅=⨯=--，即24y x =．若0x =，则0m =，此时点P ，B 重合，直线PB 不存在．所以点P 的轨迹方程是24y x =()0x ≠．故答案为：24y x =()0x ≠.13．（2022·全国·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，()()223412125x y x y -+-+-=，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.14．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，则点M 的轨迹方程为（）A ．22y x=B ．24y x=C ．22y x=-D ．24y x=-【答案】B【解析】因为动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，所以点M 到点(1,0)A 的距离等于它到直线1x =-的距离，即M 的轨迹为以点(1,0)A 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，所以12p=，解得2p =，轨迹方程为24y x =．故选：B ．15．（2022·全国·高二课时练习）若动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的坐标满足的方程是______．【答案】28y x=-【解析】双曲线2213y x -=的左焦点为F （－2，0），动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F ，准线为x ＝2的抛物线，其方程为28y x =-．故答案为：28y x =-.16．（2022·全国·高二课时练习）若点(),P x y 满足方程3412x y =++，则点P 的轨迹是______．【答案】抛物线【解析】由|3412|x y =++|3412|5x y ++=，等式左边表示点(),x y 和点()1,2的距离，等式的右边表示点(),x y 到直线34120x y ++=的距离.整个等式表示的意义是点(),x y 到点()1,2的距离和到直线34120x y ++=的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线17．（2022·全国·高二课时练习）与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹方程是______．【答案】212x y=-【解析】由抛物线的定义可得平面内与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹为抛物线，且()0,3F -为焦点，直线3y =为准线，设抛物线的方程为22(0)x py p =->，可知32p=，解得6p =，所以该抛物线方程是212x y =-，故答案为：212x y=-18．（2022·河北唐山·高二期中（理））已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为（）A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【答案】B【解析】把341x y =+-3415x y +-，3415x y +-可看做(,)x y 与(1,2)的距离等于(,)x y 到直线3410x y +-=的距离，由于点(1,2)不在直线3410x y +-=上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线，故选：B19．（2022·全国·高二课时练习）平面上动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，求动点M 满足的方程.【解析】因为动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，所以动点M 到定点()3,0F 的距离与M 到直线l ：30x +=的距离相等，所以M 的轨迹是以()3,0F 为焦点，直线l ：3x =-为准线的抛物线，此时6p =，故所求的点M 满足的方程是212y x =.20．（2022·全国·高二课时练习）已知点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，求点M 的轨迹方程．【解析】由题意知动点M 到(4,0)的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到(4,0)的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以(4,0)为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =.21．（2022·全国·高二课时练习）已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【解析】由题意知：点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为x ＝2，故点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .22．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为___________；若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为___________.【答案】24y x =221y x =-【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以()1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以1C 的轨迹方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+，所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =，所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-，所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-.故答案为：24y x =；221y x =-.考点三：与抛物线有关的距离和最值问题23．（2022·全国·高二课时练习）已知点()2,0P ，点Q 在曲线2:2C y x =上．(1)若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标；(2)求PQ 的最小值．【解析】（1）设()(),0,0Q x y x y >>，则22y x =，由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220,x x -=解得x＝0（舍去）或x ＝2．当x ＝2时，2y =±，只有x ＝2，y ＝2满足条件，所以()2,2Q ；（2）PQ ，其中22y x =，所以()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，所以当x ＝1时，min PQ =24．（2022·全国·高二课时练习）若M 是抛物线22y x =上一动点，点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，设d 是点M 到准线的距离，要使d MP +最小，求点M 的坐标．【解析】由题意，可知抛物线的焦点1(,0)2F ，由抛物线的定义有||||d MP MF MP PF +=+≥,所以d MP +最小值为||PF ，此时点M 为直线PF 与抛物线的交点，而直线PF 的方程求得为：4233y x =-，所以有242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4143x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍），所以14(4,)3M 25．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若()3,2A ，则PA PF +的最小值为______，此时点P 的坐标为______．【答案】72【解析】易知点A 在抛物线内部，设抛物线的准线为l ，则l 的方程为12x =-，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，则PA PF PA PQ +=+，当PA l ⊥，即A ，P ，Q 三点共线时，PA PF +最小，最小值为17322+=，此时点P 的纵坐标为2，代入22y x =，得2x =，所以此时点P 的坐标为()2,2．故答案为：72；()2,2．26．（2022·全国·高二课时练习）设P 是抛物线24y x =上的一个动点，点F 是焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；(2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线是1x =-．由抛物线的定义，知点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以问题转化为求抛物线上一点P 到点()1,1A -的距离与其到点()1,0F 的距离之和的最小值，如图，当A ，P ，F 共线时上述距离之和最小，连接AF 交抛物线于点P ，此时所求的最小值为||AF =（2）由题意()3,2B ，可知2243<⨯，故点B 在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点1P ，连接1PF ，此时11PQ PF =,当点P 与点1P 重合时，PB PF +的值最小，此时3(1)4PB PF BQ +==--=，即PB PF +的最小值为4．27．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-=上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1+【答案】AC【解析】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，对选项A ：由抛物线的性质可知：PF 的最小值为1OF =，选项A 正确；对选项B ：注意到F 是定点，由圆的性质可知：QF 的最小值为1CF r -=，选项B 错误；对选项CD ：过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知PF PM =，故PF PQ PM PQ +=+，PM PQ +的最小值为点Q 到准线1x =-的距离，故最小值为4，从而选项C 正确，选项D 错误．故选：AC.28．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，C 的准线l 与x 轴的交点为A ，当点P 的横坐标为1时，2PF =，则PF PA的取值范围是（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．22⎡⎢⎣⎦【答案】B【解析】因为抛物线C 的方程为()22 0y px p =>，所以其准线方程为2p x =-.因为当点P 的横坐标为1时，2PF =，所以122p+=，所以 2p =，故拋物线C 的方程为24y x =.设直线PA 的倾斜角为θ，PP l '⊥垂足为P '，()1,0A -，由抛物线的性质可得PP PF '=，所以cos PF PP PAPAθ'==，所以当直线PA 与抛物线C 相切时，cos θ最小.设直线PA 的方程为1x my =-，联立方程组214x my y x=-⎧⎨=⎩，得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，得1m =±，2tan 1,cos 2θθ==，所以cos 12θ≤≤，故PF PA ⎤∈⎥⎣⎦.故选：B29．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，P 为C 上的动点，直线PF 与C 的另一交点为Q ，P 关于点(4,12)N 的对称点为M ．当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为________．【答案】20x y -+=【解析】设A 为PQ 的中点，连接NA ，设抛物线C 的准线为l ，作QD l ⊥，AG l ⊥，PE l ⊥，垂足分别为D ，G ，E ．则2MQ NA =，2PQ PF QF PE QD AG =+=+=，()2PQ QM AG NA ∴+=+，又点N 到直线l 的距离为13，13AG NA ∴+≥，当G ，N ，A 三点共线且A 在G ，N 之间时，13AN AG NG +==，此时，点A 的横坐标为4A x =．PQ ∵过点()0,2F ，故设PQ 方程为2y kx =+，代入218y x =，得28160x kx --=()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=．当G ，N ，A 三点共线时，12288A x x x k +===，解得1k =，直线AM 的方程为2y x =+，此时()4,6A 点A 在G ，N 之间，13AN AG NG +==成立．所以当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为20x y -+=故答案为：20x y -+=30．（2022·天津一中高二期中）已知抛物线C ：22y px =的准线为1x =-，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为___________.【答案】【解析】由题意知，2p =，∴抛物线C ：24y x =.设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，∴MN 的最小值为.故答案为：31．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (2，1)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为____．【答案】3【解析】如图所示，过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，垂足为N ．易知F (1，0)，因为△MAF 的周长为|AF |＋|MF |＋|AM |，|AF ||MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，△MAF 的周长最小，最小值为2＋13=．故答案为：332．（2022·上海市长征中学高二期中）抛物线2y x =，其上一点P 到A (3，-1)与到焦点距离之和为最小，则P 点坐标为________【答案】(1,1)-【解析】因为点(3,1)A -在抛物线内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过抛物线上一点P ，作PQ l ⊥于Q ，过A 作AB l ⊥于B .||||||||||PA PF PA PQ AB +=+≥，故当且仅当,,P A B 共线时，||||PA PF +的值最小.此时点P 坐标为0(,1)P x -，代入2y x =，得01x =.故点P 的坐标为(1,1)-.故答案为：(1,1)-33．（2022·河南·高二期中（文））如图所示，已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的一个动点，点()1,1Q ，F 为抛物线C 的焦点，若PF PQ +的最小值为3，则抛物线C 的标准方程为______.【答案】28y x=【解析】过点P 、Q 分别作准线的垂线，垂直分别为M 、N ，由抛物线定义可知PF PQ PM PQ NQ +=+≥，当P ，M ，Q 三点共线时等号成立所以132pNQ =+=，解得4p =所以抛物线C 的标准方程为28y x =.故答案为：28y x=34．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知点()6,0A ，点P 在抛物线216y x=上运动，点B 在曲线()2241x y -+=上运动，则2PAPB的最小值是___________．【答案】6【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，设P 点坐标(,)x y ，则||4PF x =+22222||(6)(6)16436PA x y x x x x =-+=-+=++，由题意当||||15PB PF x =+=+时，225436P P x B x Ax +=++，令5x t +=，则5x t =-，222(5)4(5)36466141PAt t t PB t t t tt -++=+=+--=-，由基本不等式知41t t+≥t =时等号成立故2PA PB的最小值为6．故答案为：635．（多选题）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，(3,2)M -，F 为抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点，点P 在C 上，PA x ⊥轴于A ，则（）A ．当2p =时，||||PF PM +的最小值为3B ．当4p =时，||||PF PM +的最小值为4C ．当4p =时，||||PA PM -的最大值为1D ．当PF x ∥轴时，cos OPF ∠为定值【答案】BCD【解析】对于A ：2p =时抛物线2:4C x y =-，焦点()0,1F -，点(3,2)M -在抛物线外，所以||||PF PM FM +≥当且仅当M 、P 、F 三点共线且P 在MF 之间时取等号（如下图所示），故A 错误；对于B 、C ：当4p =时抛物线2:8C x y =-，焦点()0,2F -，准线方程为2y =，点(3,2)M -在抛物线内，设PA 与准线交于点N ，则||||PF PN =，所以()||||||||224PF PM PN PM MN +=+≥=--=，当且仅当M 、P 、N 三点共线且P 在MN 之间时取等号（如下图所示），故B 正确；||||||2||||||2||21PA PM PN PM PF PM FM -=--=--≤-=，当且仅当M 、P 、F 三点共线且F 在MP 之间时取等号（如下图所示），故C 正确；对于D ：抛物线2:2C x py =-，焦点0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =，当//PF x ，此时2P p y =-，则222p x p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得p x p =±，即,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如图取,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则PF p =，()2252p OP p ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以25cos 552PFp OPF OPp ∠==D 正确；故选：BCD36．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C37．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把2y =-代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.38．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中（文））若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则PF 的最小值为（）A ．1B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】由22y x =，得212x y =，∴122p =，则128p =，所以焦点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF 的最小值为18.故选：D ．39．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知抛物线28y x =，定点A (4，2)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如图，作,PQ AN 与准线2x =-垂直，垂足分别为,Q N ，则PQ PF =，6PF PA PQ PA AN +=+≥=，当且仅当,,Q P A 三点共线即P 到M 重合时等号成立．故选：B ．40．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（理））已知点P 是抛物线2:8C y x =上的动点，过点P 作圆()22:21M x y -+=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．1B 2C 3D ．32【答案】C【解析】设点P 的坐标为(),m n ，有28n m =，由圆M 的圆心坐标为()2,0，是抛物线C 的焦点坐标，有22PM m =+≥，由圆的几何性质可得PQ QM ⊥，又由22221213PM P P M Q QM=-=-≥-=PQ 3故选：C.41．（2022·全国·高二期中）已知抛物线的方程为24y x =，焦点为F ，点A 的坐标为()3,4，若点P 在此抛物线上移动，记P 到其准线的距离为d ，则d PA +的最小值为______，此时P 的坐标为______．【答案】5355+⎝【解析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，连接PF ，作图如下：根据抛物线的定义，d PH PF ==，数形结合可知，当且仅当,,A P F 三点共线，且P 在,A F 之间时取得最小值；即d PA +的最小值为AF ，又()()3,4,1,0A F ，故()2231425AF =-+=此时直线AF 的方程为：()21y x =-，联立抛物线方程24y x =，可得：2310x x -+=，解得35x -=35x +=15y =即此时点P 的坐标为355+⎝.故答案为：253552⎛ ⎝.考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题42．（2022·河南洛阳·高二期末（理））已知点()1,0A ，点B 为直线1x =-上的动点，过B 作直线1x =-的垂线1l ，线段AB 的中垂线与1l 交于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点()2,0E 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MOE △与NAE 面积之和的最小值.（O 为坐标原点）【解析】(1)如图所示，由已知得点P 为线段AB 中垂线上一点，即PA PB =，即动点P 到点()1,0A 的距离与点P 到直线1x =-的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，其焦点为()1,0A ，准线为直线1x =-，所以点P 的轨迹方程为24y x =，(2)如图所示：设2x ty =+，点()11,M x y ，()11N x y ,，联立直线与抛物线方程242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2480y ty --=，()()2244816320t t ∆=--⨯-=+>，124y y t +=，128y y ⋅=-，1112MOE S OE y y =×=V ，21122NAE N S AE y y =×=V ，所以1212112422MOE ANE S S y y y y +=+³=V V ，当且仅当1212y y =，即12y =，24y =-时取等号，此时1224y y t +=-=，即12t =-，所以当直线直线1:22l x y =-+，时MOE ANE S S +V V 取得最小值为4.43．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知抛物线C ：()220y px p =>上的点()()4,0A m m >到其准线的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知O 为原点，点B 在抛物线C 上，若AOB 的面积为6，求点B 的坐标.【解析】(1)由抛物线C 的方程可得其准线方程2p x =-，依抛物线的性质得452p+=，解得2p =.∴抛物线C 的方程为24y x =.(2)将()4,A m 代入24y x =，得4m =.所以()4,4A ，直线OA 的方程为y x =，即0x y -=.设()2,2B t t ，则点B 到直线OA 的距离222t t d -=，又42OA =由题意得22142622t t -⨯=，解得1t =-或3t =.∴点B 的坐标是()1,2-或()9,6.44．（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，若FMN 是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．【答案】22y x =或26y x=【解析】抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设点M 为第一象限的点，因为点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，FMN 是边长为2的正三角形，所以当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的右边时，点M 的坐标为2p M ⎛+ ⎝，所以2212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得2230p p +-=，解得1p =或3p =-（舍去），所以抛物线的方程为22y x =，当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的左边时，点M 的坐标为2p M ⎛- ⎝，所以2212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简得2230p p --=，解得1p =-或3p =，所以抛物线的方程为26y x =，综上，所求的抛物线方程为22y x =或26y x =故答案为：22y x =或26y x=45．（2022·全国·高二单元测试）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过抛物线上一点P 作x轴的平行线交y 轴于M 点，抛物线的准线交x 轴于点N ，四边形PMNF 为平行四边形，则点P 到x 轴的距离为___________.（用含P 的代数式表示）【解析】由題意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，,02p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设(P x ，四边形PMNF 为平行四边形，||||,PM NF ∴=∴,x p =∴点P 到x .46．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率54e =，且双曲线C 的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线围成的三角形的面积为3，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】根据题意，2514c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，可得2916b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为34y x =±，抛物线的准线方程为2p x =-，设准线与抛物线的交点分别为M ，N ，则,23,4p x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可解得3,28p p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理3,28p p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2133322416OMNp p Sp =⨯-⨯==，解得4p =.故选：D ．47．（2022·四川师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由双曲线的离心率为2知，3ba=3y x =，又抛物线的准线方程为2p x =-，则设渐近线与准线的交点为3(,22p A --，3(,)22p B -，三角形AOB 的面积为133(322p p p⨯⨯=（0p >）解得2p =，故选：C48．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C49．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知点()0,1F ，点()(),0A x y y ≥为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足1AF AB +＝．(1)曲线C 的方程(2)若,G H 为曲线C 上异于原点的两点，且满足0FG FH ⋅=，延长,GF HF 分别交曲线C 于点,M N ，求四边形GHMN 面积的最小值．【解析】(1)1AF AB +＝，∴点A 到直线1y =-的距离等于其到点()0,1F 的距离，∴点A 轨迹是以F 为焦点的抛物线，∴曲线C 方程为：24x y =.(2)由题意知：直线,GM HN 斜率都存在，不妨设直线:1GM y kx =+，()11,G x y ，()22,M x y ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()241GM k ∴==+；设直线1:1HN y x k =-+，同理可得：2141HN k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴四边形GHMN 面积()2222111811822S GM HN k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2212k k +≥（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号），()82232S ∴≥⨯+=，即四边形GHMN 面积的最小值为32.50．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期中（理））设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .（1）求曲线w 的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值.【解析】（1）由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，322p =，即3p =，∴2:6w x y =.（2）设3:2AC y kx =+，由223,069026y kx k x kx x y⎧=+≠⎪⇒--=⎨⎪=⎩.设()11,A x y ，()22,C x y ，236360k ∆=+>121269x x kx x +=⎧⎨=-⎩()261AC k ==+，∵1l 与2l 互相垂直，∴以1k -换k 得2161BD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22111616122ABCD S AC BD k k ⎛⎫==⨯+⨯+ ⎪⎝⎭()221182182272k k ⎛⎫=++⨯+= ⎪⎝⎭≥，当1k =±时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.51．（2022·全国·高二期中）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)证明：设1(,2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.。