第二章：流体静力学

３．四分之一的圆板半径为Ｒ，如图 2－3 中Ｚ轴为铅直方向，试求该板单侧上静水总压力。
∫ ∫ ∫ 解： P =
dpidA =
R rzixdz = r
r
z
R2 − Z 2 idz= 1 γ R 2
0
0
3
４．如图 2－4，直径为 d＝1.5 的圆管，已知管轴线上静水压力（表压）p0 = 1.471×104 pa ，
[ 管内为水。如果管壁为铜，其许用应力为 σ ] = 98.06 ×106 pa ，
1)试设计管壁厚度σ 。
2)试求单位管长管壁所受拉力，
解：（１）求拉力
p
=
1 2
⎡⎢⎣(
p0
−γ
d)+ 2
( p0
+
r
d 2
)⎤⎥⎦
=
p0 d
= 1.471×106
×1.5
=
2.21×106 N
（２）设管壁拉应力为σ ，则 2σδ = p0d
求：闸门能自动开启时，圆柱自重Ｇ与Ｈ，Ｒ的关系。
解：临界状态，浮力应与圆柱自重相等，即
Pz = G
∴G
=
Pz
=
γ
⎡⎢⎣(H
−
R) × R +
1 4
π
R
2
⎤ ⎥⎦
×
1
H B A
8.测压装置如图 2-8 所示，活塞直径 d=30cm,重 20N,
图 2-7
油的密度 ρ1 = 900kg / m3 ，水银密度 ρ2 = 13600kg / m3 ，不计活塞摩擦和泄漏，当活塞底
方向：铅直向上。
作用点：通过 γ V 的重心。对于均质流体，则是V 的形心。
5．浮性与稳性，船舶正浮时，排水体积和浮心坐标的计算，流体密度变化对船舶浮态的 影响。 本章这三节内容主要是留给同学课余自学的内容，主要掌握浮性，稳性有关基本概念，
船舶正浮状态时其排水体积和浮心坐标的计算以及流体密度变化时，船舶排水体积和浮心坐 标的计算，主要掌握概念和计算方法，不必记住这些公式。
积的形心到自由液面的高度，。
铅重分力： Pz = γ V ， V 为压力体
合力大小： P = p2x + pz2
合力方向： tgθ = pz px
关于压力体的计算： 淹没于静止流体中的物体，如果与液体接触的物体部分表面上各点的压力在铅垂直方向 的分量处处向上，则压力体等于这样一个铅直柱体：以这部分物面边界为底，水平面为顶所 围成的铅直柱体。由此计算得出铅垂方向的压力向上。 反之，与液体接触的物体部分表面上各点的压力在铅直方向的分量处处向下，计算压力、 体的方法同上，只是计算得出压力的方向铅直向下了。
而
hc
=
yc sin 45
=H
所以
hd
= 10 + bh3 /12 sin2 45 hc A
= 10.033m
θ
Leabharlann Baidu
o
H
闸门
y
h b
图 2-9
驳船横剖面
H
b a 图 2-10
10. 图 2-10 所示为某驳船横剖面图右半分，AB 为 1/4 圆弧，半径为 1m, 已知 H = 4m ，
求：单位船长 ABC 曲面板上(BC 铅直线)的总压力。
第二章：流体静力学
一、内容总结
本章研究流体处于静止状态或相对静止状态（流体质点之间没有相对运动）下流体的平 衡问题主要内容包括静止流体的基本概念，静止流体作用于物面上的总压力的计算以及合力 作用点的计算，打“*”号的三节，作为船舶与海洋工程专业学生的自学内容。
1．欧拉平衡微分方程
针对静止流体，根据牛顿第二定律 ΣF = 0 导出。所考查的受力体是一微分体积（或
Pa
o
h A
H
hD
P
A hc
b
图 2-2
也可以利用力矩定理求，即合力对Ｏ轴之矩等于诸分力对Ｏ轴之距：
先求平板上合力对Ａ－Ａ轴之距：
pη0'
=
(h0
− h)P
= γ hσ
×
H 2
+γ
H 2
σ
×
2 3
H
η0'
=
(3h + 2H )H 3(2h + H )
即η0
= η0'
+η
=
h+
(3h + 2H )H 3(2h + H )
按材料力学方法得
σ
=
p0 d
2[σ ]
= 11.25mm
O
x
c d
R z
H b
θ
R
a
图 2-3
图 2-4
图 2－5
５.图 2－5 所示为一挡水曲面闸门（二维曲面 ba）,尺寸如图，求：与水接触单位宽度闸门
上所受静水总压力。
解：水平方向的总压力为曲面 ba 在水平方向投影面积上的
总压力：
px
=
γ (h
−
1 2
R sinθ )R sinθ
铅垂方向的总压力对应的压力体为面积 abcda
所围（单位宽度）：
pz
= γ [(h −
1 2
R sinθ )R(1 − cosθ ) +
θ π R2 360
−
1 R2 sinθ 2
cosθ ]
单位宽度闸门上静水总压力：
p = px2 + pz2 ６．设一物体平衡于两种流体的分界面处，如图 2－6，流体密度 ρ1 > ρ2 ，物体在 ρ1 流体
p + ∂p dy 这是因为（ ） ∂y
A）该面上的压力应为 p + dp ，而 dp = ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz ，由于该面上坐标只有 ∂x ∂y ∂z
y 方向变化，而 dx=dz=0，故应有 dp = ∂p dy ∂y
B ） 由 于 点 A （ X ， Y ， Z ） 的 压 力 为 P （ X ， Y ， Z ）， 利 用 多 元 函 数 的 泰 勒 公 式
端与 U 形管中液面高差 H=0.6 m 时，求：U 形管内两液面高差 h。
解：活塞底端的压力由活塞的重量产生：
p
=
20
πd2
=
848 pa
4
等压面方程： p + ρ1gH = ρ2 gh
得： h = p + ρ1 H = 46.06cm ρ2 g ρ2
9．图 2-9 所示的矩形闸门，已知：闸门形心 H=10m
即
(V + V2 ) − V = V2
同理，淹没于密度为 ρ1 流体中这部分物体的压力体为V1 ，
则合力＝V2 ρ2 g + V1ρ1g = (ρ2V2 + ρ1V1 )g V2 ρ2 g + V1ρ1g = (ρ2V2 + ρ1V1 )g
７．图 2－7 为圆柱Ａ为闸门，可绕Ｂ点转动，已知水深Ｈ，半径Ｒ，圆柱单位长度。
C）dy 平面上的压力大些。
D）质量力的方向是指向 dy 平面的外法向。
2. 在什么情况下等压面为水平面？试举例说明等压面为水平面，曲面的情况。
3．什么情况下质量力有势？
4.静止流体中一点处的压强与（
）无关。
a)自由面上的压强 b)流体的种类 c)作用面的方向 d)重力加速度
5.封闭容器内盛有液体并有一浮体，容器内仍存在自由面，现在从容器向外抽气，则物体的
一种表示： p = P0 + γ h 它代表静止流体中一点处的压力。
另一种表示： p1 γ
+ z1
=
p2 γ
+ z2 ，读者可以在静止流体，质量力只有重力（X=Y=0，Z=-g）
条件下对方程 dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) 进行积分得出。 这一方程说明位置高的位置（即
Z 值大）压力小，反之亦然。 利用流体力学原理可以制作测压仪表，较常用的有水位计，U 形管测压计，多管压力计，
２．如图 2－2 为一铅直矩形闸门，宽为 b，长为Ｈ，
图 2-1
试求闸门所受静水总压力，以及合力作用点离
水的面高度。
解：合力 P
= γ hcσ
=γ
H 2
σ
= γ bH (h +
H) 2
作用点的位置：
η0
= ηc
+ Icξ ηcσ
= (h +
H ) + bH 3 /12 2 (h + H )bH
2
= h + (3h + 2H )H 3(2h + H )
f (x, y,⋅ ⋅ ⋅) =
f
(
x0
,
y0
,
⋅
⋅
⋅)
+
⎡ ⎢( ⎣
x
−
x0
)
∂ ∂x
+(y −
∂ y0 ) ∂y
+
+
1 2!
⎡ ⎢(x ⎣
−
x0
)
∂ ∂x
+
(y
−
y0
)
∂ ∂y
+
⎤2 ⎥
f
x = x0
+
⎦
y − y0
⎤
⎥ f x= x0
⎦
y − y0
略去高阶小量（二阶以上）得出 dp = ∂p dy ∂y
倾斜微压计等。 计算压力时，要正确确定等压面，如果流体仅处在重力场中，同一种流体连．通．的水平面便
是等压面。 3．静止流体对平板的作用力及压力中心
工程中多数情况下， p0 = pa ，即自由面上的压力为大气压力，故可直接利用公式
p
= γ hcσ
计算平板上的总压力，而合力作用点即压力中心由式η0
= ηc
解：
px
=
γ(R 2
+
H )R
= 10000(1 2
+
4) ×1 =
45000N
Pz
=
γ (H
×1×1+
1 π R2 4
×1)
=
47850N
总压力： p =
px2
+
p
2 y
实际情况由于水平方向左右对称， x 方向合力为零，只有铅直方向的压力即浮力。
四、思考题及练习题
1．利用微元体方法推导欧拉平衡微分方程时（见教材图 2—1）在 dy 平面上，压力为
称微元体），此种方法成为微元体法，以后章节将多次用到这一方法。微分体积可以在方便 的坐标系下建立，其形状同样视其方便而定。例如在直坐标系下建立，其形状可以是六面体 或四面体，视其方便而定。微元体法导出的静力学平衡方程，将静止流体力学的规律用偏微 分方程的形式描述出来，换言之，这一方程就是静止流体力学的数学模型。 平衡微分方程有三种形式：
pB − γ 水 H − γ 水 a − γ 水 h = p3 = p2 ，
01
2
45
6
3 h
7
又∵ p2 + γ 水银 h = p6 对于５－６为等压面，即 p5 = p6 ∴ pA − γ 水a = pB − γ 水 H − γ 水h + γ 水银h
A H
a B
从而 pA − pB = (γ 水银 − γ 水）h − γ 水 H = 34674N / m2
+
I cξ εηcσ
计算。
静止流体作用于平板上的总压力的方向：垂直于平板并指向平板的内法线方向。
4．静止流体对曲面的作用力，浮力
水平分力：
Px = γ hc(x) Sx
Py = γ hc( y) Sy
式中：Sx , S y 分别表示曲面物体在 x，y 方向的投影面积，hc(x) , hc( y) 分别表示投影面
二、重点，难点
重点： 1，微分体积法建立平衡方程。 2，静压分布规律。 3，等压面概念及应用。 4．压力体的求法，浮力的本质，平板，曲面上合压力的计算。
难点： 微元体法，压力体的计算。
三、例题
１．图 2－1 为差动式比压计，水银柱高差 h＝0.36m，其余液体为水，Ａ，Ｂ两容器位置高
差Ｈ＝１m，已知 γ 水 = 9806N / m3 , γ 水银 = 133362N / m3 ，
dU = ∂U dx + ∂U dy + ∂U dz
∂x
∂y
∂z
静止流体的平衡微分方程式的说明： （1）压力增加的方向与质量力作用的方向一致，压力梯度与质量力平衡。 （2）P=const 时，dp=0 称为等压面，其重要性是流体的质量与等压面垂直。 （3）对于不可压缩流体，质量力有势时，流体才处于平衡。 2．静止流体的基本方程式
中的体积为V1 ，在 ρ2 流体中的体积为V2 ，物体形状为柱体，
求单位长度柱体上静水压力之合力。 解：水平分力相互抵消，只有铅垂方向的压力分量，即浮力。
(１) 利用阿基米德原理计算浮力： (ρ1V1 + ρ2V2 )g
(２) 利用压力体方法计算
V
V1
ρ1
V2
ρ2
图 2-6
设物体上部流体的体积为Ｖ，显然，淹没在 ρ2 流体中这部分物体的压力体为V2 ，
如果一个物体淹没于液体中，一部分物面上各点的压力在铅直方向的分量处处向上，而 另一部分物面上各点的压力在铅直方向的分量处处向下，则压力体的计算方法也完全同上， 物体所受铅直方向的静水压力合力便是上述两部分压力的矢量和。
浮力：淹没于静止流体中的物体上，下表面的压力之差。
大小： pz = γV ， V 为完全淹没于液面中的物体体积。
问：（１）断面 0-1，1-1，2-3，4-5，5-6，6-7 哪些为等压面？哪些不是？
（２）求容器Ａ，Ｂ中心的压力差，即 pA − pB ＝？
解：（１）０－１，２－３，４－５，５－６为等压面，而１－２，６－７不是
等压面。
（2）对于等压面４－５有 pA − γ 水 a = p4 = p5 ，
对于２－３等压面有
矢量式 F = 1 ∇P ρ
————————（1）
综合式 dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz) ———————— （2）
力势式 dp = ρ dU
————————（3）
式中的算子“ ∇ ”见教材附录。 在直角坐标系下， dp = ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz ，
∂x ∂y ∂z
活塞
d
油液
Pa
H h
o
o
倾角θ = 45 h = 4m, b = 2m
图 2-8
求：1）闸门上所受静水压力的大小 2）压力中心位置（用深度表示）
解：1） p = γ 水hc A = 10000 × 8 × 2 × 2 = 8 ×105 N
2）
hD
=
( yc
+
Ic ) sin 45 yc A
= 8 + bh3 /12 sin2 45 hc A