圆周率π的计算及简单应用

圆周率π的计算及简单应用
一、π的来历
π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。

通常用希腊字母π来表示。

英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。

但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。

此后π才成为圆周率的专用符号。

π的历史是饶有趣味的。

对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。

实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。

直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。

后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。

然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。

他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。

但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。

在我国称这种方法为割圆术。

直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。

后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。

同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。

用
分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。

直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。

他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。

人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：
3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。

1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。

π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。

在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。

到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。

至2010年最新记录是2000万亿。

π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义
圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。

π也等于圆形之面积与半径平方之比。

因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

在分析学里，π可以严格地定义为满足0
x的
sin=
最小正实数x。

圆周率（π）一般定义为一个圆的周长（C ）与直径（d ）的比：d
C =π。

由图形的相似性可以知道对于任何的图形的d C 的值都相等。

这样就定义出了常数π。

但是也可以换一个角度--从求圆面积和半径的比来定义。

现说明如下：
任取半径为R 的圆，画出它的内接正n 边形，并把多边形的面积记作n S 。

显然，当n 无限增加时，内接正n 边形周长n p 接近于圆周长C ，n p 接近于圆周长；同时，n S 也接近一个确定值。

这个值叫圆的面积A 。

也就是说当n 无限增加C 时，内接正多边形面积组成的无穷数列,...,...,,543n S S S S 的极限是A 。

现在证明：圆周率π又是A 和R 的平方的比，即（1）2R A π=成立。

事实上，这时R D 2=,而n a n ,和园内接正n 2边形的面积n S 2之间，有
2/)2(2n n nRa S =和n n na p =)3(的关系。

其中（3）成立是显然的，下面证
明（2）也成立。

如左图画⊙O 的内接正n 2边形并连接它的中心
和顶点，这n 2条连线就把它分成n 2个三角形。

把
其中相邻的两个三角形记作,,OCB OAC ∆∆这时，AB
与AC 垂直相交于D ，于是有（4）AOB ∆的面积2/B A CD /⨯=。

而=AB n a 是圆内接正n 边形的一边，又R OC CD OD ==+。

因此，从（4）和（5）就可以得到OAC ∆)6(的面积OCB ∆+的面积AOB ∆=的面积ACB ∆+的面
积2/2/)(n Ra B
A CD OD =/⨯+=。

而圆内接正n 2边形是由n 个这样的相邻三角形组OCB OAC ∆∆,拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到2/)7(2R p S n n =。

当n 无限增加时，n S 2趋向于A ，n p 趋向于C ，所以)7(的两边就分别趋向于A 和2/CR ，而,2/2/2R DR CR ππ==这就得到)1(。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了π。

三、π的性质
π的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。

在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将π的历史分为以下三个时代：
（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求π的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明π是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。

这个时代求π值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求π的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。

下面要说的是π的性质，指的是π是一个什么样的数。

例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中，就提到了π是常数。

中国公元前的古书《墨子》中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；《周髀算经》中也有“径一而周三”的记载，也认为π是一个常数。

虽然古人一直笃信π是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。

多数国家的古人最早都认为π是整数3.在中国，出上述《周髀算经》等书籍之外，大约在1世纪的《九章算术》中也是这样认为。

在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。

例如，希伯来人的《两个编年史》中就有3
π的
≈
记载。

这种3
π的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。

不过古希
≈
腊是一个例外--因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用
而较准确的π值3.14.
无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。

他计算出边长为1的正方形的对角线长2。

但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。

在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。

14世纪。

数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将无理数纳入运算。

荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。

无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的π的级
数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到π的“莱布尼兹级数和”的公式，对π值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。

于是，认为π可能是有理数的希望逐渐消失。

事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信π是无理数了。

此后在超越数时期，人们又猜测π是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式01=+πi e ，终于证明了π是超越数。

下面分别给出π是无理数好超越数的证明。

π是无理数的证明
苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明π是无理数的人。

不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。

此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对π的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。

1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了π也是无理数。

他用欧拉的方法，并从欧拉发现的 ...141101611121+
+++=-e 和数学家布隆克子爵发现的
(25232114)
2
22++++=π 入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：
.../51/31/11tan ...,/101/61/2111x
x x x x x x e e x x --++==+-。

兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。

定理1 如果x 是0以外的有理数，则x tan 必然是无理数；反之，如果x tan 是0以外的有理数，则x 必然是无理数。

定理2 如果x 是0以外的有理数，则x e 必然是无理数；反之，如果x e 为1以外的有理数，则x 必然为无理数。

最后，他假设4/π=x ，则;1t a n =x 因为1是有理数，所以由定理1知道，4/π必然是无理数，因而π也必然是无理数。

不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。

下面给出π是无理数的两种证明方法。

证法一：
首先给出π一个定义。

定义 {}0cos ,0m in 2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。

按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为r π2，因此这样的定义是合理的。

下面证明π是无理数。

利用反证法。

设π是有理数，则π2也是有理数，于是存在正整数p ，
q ，使得q p =2
π。

由于),(0!∞→→n n p n
因此存在正整数N 使得1!<n p n π。

设f 是如下定义的N 2次多项式
,!
)1()(N X x x f N
N -= 则f 满足
,...)2,1)(1()1()(),1()()()(=--=-=k x f x f x f x f k k k
展开f 的表达式得
∑==N
N
n n n x C N x f 2!1)(。

对其求导k 次)20(N k ≤≤得
{}∑=-+--=N k N n k n n k x C k n n n N x f 2,max )()1)...(1(1)(。

若,0N k ≤≤显然Z f k ∈)0()(，因此由)1()1()()()(x f x f k k k --=，知Z f k ∈)1()(； 若N k N 2≤≤,显然Z C N k f k k ∈=
!!)0()(,因此显然Z f k ∈)1()(。

令∑=--=N j j j j N j x f q p x F 0
)2(),()1()(则利用Z f Z f k k ∈∈)1(,)0()(得到
Z F Z F ∈∈)1(,)0(。

进一步计算得
),
()()()1()()1()()
1()()1()()1()()(211)22(0)2(11)2(11010)2(0
2)22(2)(x f p x f q p x f q x f q p x f q p x f q p x f q p x F x F N N N N N N j j j j N j j j N j j N j N j j j j N j N j j j j N j
n πππ=+-=-+-=-+-=+-++=-+--+=--=-=+-∑∑∑∑
其中利用了f 是N 2次多项式，因此0)()22(=+x f N 。

再令,cos )(sin )()('x x F x x F x g πππ-=则
x x f p x x F x F x g N ππππsin )(sin )]()([)(22'''=+=。

且)]0()1([1
)0()1(g g F F -=+π。

利用Lagrange 中值定理得，存在)1,0(∈ξ，使得 πξξπξπsin )()(1)0()1('f p g F F N ==
+。

由f 的定义可知!1)(0N f <<ξ，于是!
1sin )(0N f <<πξξ，因此 1!
sin )()0()1(0<<=+<N p f p F F N N ππξξπ。

但已知,)1(,)0(Z F Z F ∈∈因此Z F F ∈+)0()1(,与上式矛盾。

这就证明了π
是无理数。

证法二：
定理 设,,,n b a 为正整数，令,!
)()(n bx a x x f n
n -=则有 （1）)()(x f x b a f =-；
（2）当b
a x x ==,0时，)20)(()(n k x f k ≤≤取值为整数；
（3）假设π是有理数，即b a b a ,,=π为即约正整数，则⎰π0sin )(xdx
x f 为整数，由此可知π不可能是有理数。

证明 （1）直接验算可得
)(!)(!)()(1!)]([)()(x f n x bx a n x b bx a b n x b a b a x b a x b a f n n n n n n n =-=--=---=-； （2）可由（1）得
;2...,2,1,)1)(()0(;2,...2,1,)1).(()()()()()(n k b
a f f n k x
b a f x f k k k k k k =-==--=显然0)0()(==f b
a f ， 由于0=x 是)(x f 的n 阶零点，于是0)()0()()(==b
a f f k k ，1,...2,1-=n k ；利用∑=-+-=n i n n i i n a x
b C n x f 011)(!1)(，当n i ,...1,0=时，1)1()!()(!
1)0(-++-=n i i n n a i n b C n f 为正整数，所以)0()(k f 和)()(b a f k 均为整数0)(),2,...,1,0()12(==+x f n k n ；
（3）假设π是有理数，即b
a =π，其中a,
b 为即约正整数。

用分部积分法并由（2）的结果，即知⎰π0sin )(xdx x f 为整数，事
实上，由于)(sin ),0(sin ),(),0()()()()(ππk k k k f f )2,...,2,1(n k =均为整数，且0)()12(=+x f n ， 经过分部积分得：
)]cos )(()sin )((...))(sin ())(sin ([)1(]sin )(..0))(sin (0))(sin ([)1(]))(sin (0))(sin (0))(sin ([)1(]))(sin (0)
)(sin ([)1()(sin )1)((sin )(2)12()22(')12(0)2()12(')12(0)12('')12(')12(0)12(')12(00
)2(π
π
π
π
π
ππ
π
ππ
πx x f x x f x x f x x f xdx x f x x f x x f dx x x f x x f x x f dx x x f x x f dx x x f xdx x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+-++--=++--=+--=--=-=----------⎰⎰⎰⎰⎰，由此可知⎰π0sin )(xdx x f 为整数；
另一方面，当b
a x <<0时，有
n n n n n n n n b
a n
b a b n x b a x b n x b a b x n x f )4(!1)4(!1)]([!1)(!1)(2
22
≤≤-=-=， 即n b a n x f )4(!1)(02
<<，于是)(0)4(!sin )(002∞→→≤<⎰n b a n xdx x f n ππ，这就表明⎰π
0sin )(xdx x f 不是整数，这个矛盾说明了π不是有理数，因此π是无
理数。

认识了π是无理数，从理论上彻底解决了求π精确值的问题。

从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位小数的值，但实际上永远不可能得到准确值--有无限多位。

π是超越数的证明 虽然在1822年，林德曼给出了π是超越数的证明，但其证明相当冗长。

后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。

下面用反证法来说明。

定理 π是超越数
证明：若π是代数数，则πθi =也是代数数，以n θθθθ,...,21=表示θ
的极小多项式的全部零点，记)(θden m =，由1-=θe ，则有
0)1)...(1)(1(21=+++n e e e θθθ （1）
（1）式也可以写成n 2个βe 之和，其中
n n θεθεβ++=...11， i ε为0或1.
假设这些β有l 个不为零，记l αα,...,1，那么（1）式写为
l q e e q n l
-==+++2,0...1αα。

设p 为充分大的素数，含多项式)(x f 为
p l p p lp x x x m x f )...()()(11αα--=-
和
∑∑⎰==-==l k l k u k k k du u f e I J 110)()(ααα
四、π的计算
π值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于π值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。

下面就分别以这四种方法来计算π值。

割圆术
古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。

阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长--
只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的π值。

如图所示，o 为圆心，AB 为⊙O 的外
切正6边形一边的一半，OA 为半径，
∠AOB =`o 30,O 是角∠AOB 的角平分线。

显然，此时有153
2653,2>==AB OA AB OB 。

把这两个式子相加，就得到153571>+AB AB OA 。

又AC
CB AC OA OB OA AC CB OA OB +=+=,或AC OA AB OB OA =+。

该式子与前面的153571>+AB AB OA 比较，就得到153
571>AC OA 。

从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。

同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。

利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到
<<412017633671223直径 边形周长96外切直径 边形周长96内接正<<π7222
1467314688<<。

由此可得出7/2271/223<<π。

事实上采用较简单的7/22，而不取71/223。

阿基米德首次科学而准确地确定7/2271/223<<π。

取π两位实用值为3.14或22/7。

从理论上指出了一种可以求得任意准确度的π值的计算方法——-割圆术即“古典方法”。

且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定π值的计算方法有异曲同工之妙。

分析法
随着微积分的发现，数学家们对π值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”--几何方法，而采用分析法来计算π值。

下面先来介绍分析法计算π值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。

1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出...
55331...664424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=π
，载于他的著作《无穷算述》中。

这是分析法计算π值正式诞生前的“前奏曲”。

1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：
)11...(9
753arctan 9
753≤<--+-+-=x x x x x x x 。

但其没有认识到发现的上述公式已经为计算π值开辟了一个新的时代。

如果设式子中的1=x ，就可以得到 (9)
171513114-+-+-=π。

由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。

但是，用莱布尼兹公式算π，则收敛太慢，工作量太大。

例如，要求出3.14要算628项。

而要求出π值的第六位小数，就不多不少正好取6102⨯项。

由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算π值。

1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：
...7
64253542332arcsin 7
52+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+=x x x x x 。

他设式子中的2/1=x ，就得到
...,2
764253254232321216753+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+=π
并用他计算出π的14位小数。

由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。

虽然牛顿计算π的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力——他的计算是用分析法算π值的第一次小试牛刀。

1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的3/1=x ，就得到夏普公式：
...)9
317315313311(3/16432-⨯+⨯-⨯+⨯-=π。

他用这个公式将π算到小数点后72位，其中71位正确。

在夏普之前分析法在提高π值位数上并无辉煌战果。

69年后的夏普用分析法把π值增加到72位，才开始了分析法大规模计算π值的实战历程。

其后令人眼花缭乱的各种算π值的分析法如雨后春笋。

这一漫长历程一
直持续了近300年--知道20世纪50年代之后。

1789年威加利用欧拉发现的公式：
7
1arctan 31arctan 2793arctan 271arctan 54+=+=π。

将π值计算到143位。

1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁.扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式：
99
1arctan 701arctan 51arctan 44++=π 将π值计算到后205位。

1948年弗格森利用高斯发现的公式：
1985
1arctan 201arctan 41arctan 34++=π。

将π值计算到后809位。

1949年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位π值，创造了人工算π值的最高纪录。

随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算π的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。

在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将π值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。

直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。

下面从分析法中具体举例如下：
例一：利用沃利斯公式
Wallis 公式几种表达式如下：
(1)
或
(2)
或
(3)
下面证明这个公式：
令
(4)
利用分部积分法
于是有关系式
(5)
从上式可知I0=1，I1=π/4.根据这两个初值条件有
(6)
或者
(7)其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知
(8)
将(9)式代入(8)式
即
(9)
其中
由式(9)可知W m>0且有上限，而
说明
W随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得m
其值
Wallis 公式得证。

例二 显然Wallis 公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis 公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。

在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：
在(4)式中，实际上令ϑcos =x ，则有ϑϑd dx sin =.式(4)变为
如果令ϑsin =x ，则只变换形式不影响结果。

可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。

令
(10)
注意这里的积分上限改成了4/π，因为4/2/πθπ>>的时候1tan >θ，将导致积分发散。

对(10)式做变换
于是有关系式
(11)
而初值4/0π=T ，观察规律有
...
总结规律得
(12)
其中...3,2,1=m 而从式(10)中可知
结合(12)式，得到
(13)
或者
(14)
显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis 简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。

例三 椭圆积分法
椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。

他在1914年“模方程和π的逼近”一文中，给出了14个计算π的公式。

其中之一，是关于椭圆积分变换理论和π的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM ”）
)396263901103(])!()!4([9801221
404n n n n n ⨯⨯=∑∞=π。

用“LM ”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM ”的一个有趣的“变种”是
)99263901103()!()4/3()2/1()4/1(221
2403+∞
=+⨯=∑n n n n n n n π， 这里)(n c 是递增阶乘，即)1)...(2)(1()(-+++=n c c c c c n 。

不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。

直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。

只取“LM ”的前两项就有
)3961263901103(])!1()!14([980122)3960263901103(])!0()!04([9801221
144044⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=π，
由此可以算出...14159.3...1415935.3≈≈π-得到了六位准确π值。

由此可见，“LM ”是一个收敛很快的公式。

例三 概率法
首先用概率法计算π值的是法国数学家蒲丰，该实验也被称之为蒲丰实验，而此类问题也被称为蒲丰问题。

我们先给蒲丰实验做一个通俗的说明。

假设下图中平行线距离为4厘米，针长2厘米。

将任意掷向向平
行线时，可能相交--有一端碰到平行线也
算相交，也可能不相交。

问题是，大量多次投
掷时，投掷总次数n 与相交次数k 的比值即
?/=k n
根据“公平竞争”原则，显然每一毫米长的针与直线相交的次数为20/k ，没2毫米则为20/2k ，等等--针与直线可能相交的次数与针的长度成正比。

当然，这个结论对上图所表示的任意形状的、总长位2厘米的针也适用。

不过，弯针可能有几处和直线相交，就必须把每个交点都算进去。

现在，改用用直径4厘米，周长π4厘米长的圆形针，任然将它投向上述平行线。

显然，每次投掷的必然结果是，和两条直线都相交（相切也视为相交）。

如果哦投掷n 次，则相交次数必为n 2次。

对比以上实验，并用上述可能相交次数与长度成正比的结论，就有n k 2/)4/(2=π，也就是π=k n /。

1777年，蒲丰在1760年写成的《或然算术试验》出版，书中给出了掷针问题的一般情况的解答。

如果向画有等距离且距离为a 的一组平行线投掷长为)(a l l <的直针，那么，直针与直线相交的概率为)/(2πa l p =。

以下证明这一结论。

如左图所示，设AD 与平行线中的任
意一条MN 相交，显然针不可能和两条线
相交，只有当且仅当2/)sin (ϕl BC s ≤=的时
候，针和MN 才相交。

又建立一个s 随ϕ变化的坐标系，同时
画一个长为π、宽为2/a 的矩形。

那么，这
个矩形的面积表示什么呢？不管线与针相
不相交，都有2/a BC s ≤=和πϕ≤。

所以，矩
形面积表示相交和不相交次数的总和即总投掷次数。

再在上图所示的位置画正弦曲线2/)sin (ϕl s =的半周。

显然，阴影部分内的点就表示线与针相交，而阴影部分的面积就表示相交的次数。

这就得到概率ππϕϕπa l a ld n k p 2)2(2sin 矩形米面积 / 阴影面积/0=÷===⎰ ，就是)/(2/πa l n k p ==。

这也证明了前述)/(2πa l p =，并且得到投针法求π的一般公式)/(2ak nl =π。

此时，如果向前面那样假设a l =2就得到k n /=π。

蒲丰实验引出过很多数学和其他学科的成果。

例如，著名的蒙特卡罗方法即统计方法，他的滥觞就是蒲丰实验。

再如，投针问题用频率代替概率，还提供了一种概率模型，计算这种模型的概率叫几何概
率。

此外，蒲丰实验还启发一门重要的数学分支--积分几何的诞生。

因此蒲实验的理论实践意义都十分重大。

五、π的应用
π是一个奇迹般的数字，数学公式、定理...中几乎无处不在，而随着数学的发展，它也会继续在数学以及其他学科的大海里继续漫游。

下面举例说明π在数学及其他学科当中的应用。

例一 π与曲线图形面积
有关圆或其中一部分的问题要涉及π，这已不足为奇，但求非圆或圆弧围成的图形面积时，也会出现π。

例如求心形线)0)(cos 1(>+=a a r θ 所围平面图形的面积A ，有
2
02022
3)cos 1(.2
12212a d a d r A πθθθπ
π=+==⎰⎰
出现π的原因，还是求面积过程中积分运算的结果。

再看一个一个名例：求正弦交流电t I i m ωsin =的平均值PJ I 。

这就
相当于求正弦曲线所围成的曲线图形面积。

如图所示正弦交流电的正
负半周对称，所以，在一个周期内交
流电的“平均值”为0，这种含义的“平
均值”没有任何意义。

而前述PJ I 则是先分别取正负半周的绝对值再
“平均”，这是有意义的；这种PJ I 又叫均绝值。

因此，要求它的PJ I ，就要先求得正半周的平均值。

可以算得电流i 的PJ I 是
⎰==202)2//(sin π
πωm m PJ I T tdt I I ，
即平均值是最大值m I 的637.0/2≈π倍；对电动势和电压也存在这倍数关系。

在这里，π又一次出现在计算结果中。

例二 π与旋转体体积
如图所示，任意曲线)(x f y =，他在区间
],[b a -上绕轴旋转，并与垂直于X 轴的两个
平面（这两X 个平面由a x -=和b x =绕X 轴
旋转而成）的一部分构成一个旋转体。

其
体积微元即阴影部分的体积就是dx y 2π，所以他的体积⎰-=b a dx x f V )(2π， 结果中必然含有π。

具体来说，计算如图所示星形线3/23/23/2a y x =+围成的星形绕X 轴
所产生的旋转体的体积V 。

由原星形线
方程可得33/23/22)(x a y -=，所以
105
32)(21033/23/2a dx x a V ππ=-=⎰。

可见，星形线旋转体的体积公式也含有π。

例四 π与伯努利难题
雅各布.伯努利对无穷级数很有研究，也求过一些无穷级数的和，但在求 (41312112)
22++++——“伯努利级数”时却一筹莫展。

在伯努利死后两年，欧拉用奇妙、大胆的类比求得这个和为6/2π。

以下是欧拉的求法：
假设有一个n 2次代数方程
0)1(...242210=-+-+-n n n x b x b x b b 。

（1） 式（1）有n 2个不同的根n βββ±±±,...,,21。

如果两个代数方程有相
同的根，而且常数项相等，那么这两个方程其他项的系数也应该分别相等，那么有
)1)...(1)(1()1( (22222212)
0242210n n n n x x x b x b x b x b b βββ---=-+-+-。

比较上式两边2x 的系数。

就得到 )1 (11)
(2222101n b b βββ+++=。

（2）
考虑三角形方程0sin =x ，他有无穷个根：,...2,,0ππ±±。

将x sin 展开为级数后，把方程两边除以x ，就得到
0...!7/!5/!3/1642=+-+-x x x 。

（3） 显然（3）式的根是：,...2,ππ±±。

本来（3）式的左方有无穷多项，与代数式（1）的左方明显不同。

但欧拉硬拿（1）与（3）类比，并对（3）运用（2），就得到
...)3(1)2(11!312
22+++=πππ。

这就是著名的 (413121162)
222
++++=π。

这就解决了伯努利难题。

欧拉采用的类比方法虽然巧妙、大胆，然而有失严密。

因为，虽然“一元n 次方程有n 个根”成立，但既无“一元无限次方程有无限个根”的定理，也不知道一元无限次方程与系数的关系。

欧拉个人也
认识到自己证明的不足，因而采用其他方法继续研究，最终找到求该级数和的严格方法，并发表在他的《无穷分析引论》中。

例五 π与伯努利多项式
三角π级数∑∞=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 中的傅里叶系数n a 和n b 可以用
⎰-=π
ππnxdx x f a n cos )(1
,...)2,1,0(=n 和 ⎰-=π
ππnxdx x f b n sin )(1 ,...)2,1(=n 来表示。

对每个自然数n ，我们把 n 次伯努利多项式)(x n Φ定义为
...6422)(6342211-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Φ----n n n n n n x B n x B n x B n x n x x 。

利用)(x n Φ的主要性质，可以直接确定)(x n Φ的各个傅里叶系数，并进而得到 ∑∞
=+-=Φ1212)2(2cos )!2()1(2)(n k k k n x n k x ππ； 设上式中的0=x ，可以得到欧拉求得的关于s 是偶数时的尼曼函数)(s ζ的公式 k k k k k k B k n k 21
2222)!
2(2...1...31211)2(πζ-=+++++=。

事实上，利用上述的k k k B k k 212)!
2(2)2(πζ-=及伯努利数，就可以求得：。