数论及其猜想的意义
浅谈数学猜想的意义和教学
浅谈数学猜想的意义和教学数学猜想，是指根据已知的条件和数学基本知识，对未知量及其关系所作出的一种似真判断。
它对数学的发展，探索思维能力的培养，个性品质的形成都起着重要的推动作用。
因此,在平时教学中，应加强数学猜想的教学，教会学生掌握这种方法，在数学教学中，灵活运用这种方法，从而进一步提高数学教学质量.现就如何进行猜想的教学，谈谈我的一点体会。
一、猜问题的规律在平时的教学中，多设计些开放型问题,放手让学生去猜想、探索.这对培养学生的智力、能力很有好处。
例如，已知给出下列算式:32-12=8=8×1，52—32=16=8×2，72—52=24=8×3，92-72=32=8×4，……，观察上面一系列等式,你能发现什么规律?用代数式表示这个规律。
通过观察所给的一系列等式，引导学生得出猜想.这时学生就能根据特殊情况所发现的规律:相邻两个奇数的平方差是8的倍数，设n为自然数，相邻两个奇数为（2n-1)与(2n+1)，从而推得—般规律是：（2n+1）2—（2n—1)2=2×4n=8n，然后再引导学生用具体值加以验证.二、猜定理、猜公式现行教材所表示的是经过逻辑加工的严格的演绎体系，表现为概念、定理公式、例题、练习组成的数学系统,往往看不到公式的发现过程，只看到完美的结论。
突出定理和公式的发现过程，就要引导学生从具体的背景材料出发,通过观察、试验、类比、归纳提出需要证明的猜想，让学生体会到寻求真理的兴趣和喜悦。
例如，梯形中位线定理的教学.先让学生回顾“三角形中位线平行于第三边,并且等于它的一半"后，教师设问“平行四边形与三角形类似也有一个中位线定理,谁能来叙述一下?”当学生回答：“平行四边形中位线(一组对边中点连线）平行于另一组对边，并且等于它们（或者它们和的一半）。
”教师引导:如果我们把梯形的两腰中点连线叫做梯形中位线，那么它是否也具有三角形和平行四边形类似的性质呢?不少学生经过画图,用图形直观得出梯形中位线可能也平行于两底的猜想.教师继续追问：“中位线EF的长度与两底又有什么关系呢？”从而把学生引入到“心求通而不得”的愤悱之中.接着进一步引导：有位数学家这样说过，在解决问题时极端情形往往是很有用的。
猜想在数学中的作用
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。
它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。
数学方法理论的倡导者Ｇ·波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。
数学猜想能缩短解决问题的时间；能获得数学发现的机会；能锻炼数学思维。
历史上许多重要的数学发现都是经过合理猜想这一非逻辑手段而得到的，例如，著名的“歌德巴赫猜想”、“四色猜想”等。
因此，在小学数学教学中，运用猜想可以营造学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的过程。
1．猜想在新课引入中的运用。
在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。
如在“圆面积的计算”教学中，先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围呢？如图所示，边观察，边猜想。
提问：这个小正方形的面积是多少？（r2）这个大正方形的面积是多少？（4r2）猜一猜圆面积大约在什么范围呢？（圆面积＜4r2）。
教师问：比4r2小一点，那到底是多少呢？大家知道吗？现在我们就来探讨解决这个问题。
这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。
2.“猜想”在新知学习中的运用。
在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。
如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。
问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。
“猜想”在高中数学教学中的积极意义
“猜想”在高中数学教学中的积极意义【摘要】牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。
”猜想，也称“合情推理”，在各个领域有很广泛的应用。
在高中数学教学过程中，猜想在培养学生创新能力，提高学生数学素养方面也有着很重要的作用。
本文分别从三个方面阐述合情推理的应用。
【关键词】高中数学；猜想；应用牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。
”在这里，猜想就是指合情推理，什么是合情推理呢？合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
这种推理的途径是从观察、实验人手，凭数学直觉，通过类比而产生联想、归纳而提出猜想。
合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因此合情推理被广泛的应用于科学、生产和社会研究之中，例如刑警学中的案情推理，史学中的史料推理，经济学中的统计推理，物理学中的实验归纳推理，再比如数学中著名的哥德巴赫猜想、地图的“四色猜想”等等。
在教学中合情推理也有着很重要的作用。
高中阶段合情推理常用的思维方法有：归纳推理、类比推理。
在问题解决中，合情推理具有猜想和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识培养。
相对于合情推理而言，还有一种重要的推理模式，就是演绎推理，也称论证推理。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
那么，合情推理与演绎推理的关系是什么呢？根据数学建构主义认为：知识并非是主体对客体的被动的镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。
学习者通过不断对各种信息进行加工、转换，形成假设，所以，合情推理是数学建构主体思维的关键步骤，也是必不可少的思维方法。
合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华。
作为数学逻辑思维的重要组成部分，在教学过程中要特别重视如何采用适当的途径强化合情推理的意识，培养学生的合情推理的能力。
猜想,让数学学习更有实效
猜想，让数学学习更有实效全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：猜想是数学学习中非常重要的一环，它能够激发学生的好奇心和探索欲望，让数学学习更具有实效。
在课堂教学中，老师可以引导学生通过猜想来深入理解数学概念和解决问题，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
让我们来看看为什么猜想能够让数学学习更有实效。
猜想是指学生在缺乏完整证明或者理论支持的情况下，根据已有的数学知识和经验，对某一问题或现象提出的一个猜测性的推测。
猜想可以激发学生的学习兴趣并让他们更主动地参与到数学学习中来，因为猜想本身就具有一定的神秘性和挑战性，能够让学生在解决问题的过程中感受到成就感和乐趣。
猜想也可以帮助学生深入理解数学概念。
在数学学习中，学生往往只是被动地接受知识，而缺乏对知识的深刻理解。
通过猜想，学生可以去探索问题的本质和规律，从而更深入地理解数学概念。
在学习数列时，老师可以给学生出一道问题：“如何求出一个数列的通项公式？”这时，学生可以通过猜想来寻找规律，从而更好地理解数列的生成规律和通项公式的构造方法，而不仅仅是机械地套用公式。
猜想还可以帮助学生培养数学思维和解决问题的能力。
数学思维是指学生在解决问题时所运用的一种逻辑思维方式，它包括了观察、抽象、归纳、推理等一系列思维过程。
而解决问题的能力是指学生在面对问题时所拥有的分析、推理、创新等能力。
通过猜想，学生可以锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，因为猜想是要求学生根据已有的数学知识和经验来进行推测和探索，从而培养出学生的求知欲和探索精神。
要想让猜想真正发挥作用，需要老师在教学中给予适当的引导和支持。
老师可以在教学中注重培养学生的好奇心和求知欲。
在教学中，老师可以给学生一些有趣的、具有挑战性的问题，让他们通过猜想来寻找答案。
老师也可以鼓励学生多提出问题、多思考，给予他们足够的自由空间，让他们在解决问题的过程中有所收获。
老师可以在教学中引导学生如何正确地提出和验证猜想。
华罗庚猜想的证明及其数论意义
华罗庚猜想的证明及其数论意义华罗庚猜想被誉为中国数学的一颗明珠，它的证明从华罗庚提出至今已经经历了近80年的漫长岁月。
在这期间，许多数学家致力于研究和探索，最终于2018年由中山大学的陈道婴教授给出了一种证明。
本文将对华罗庚猜想的证明进行介绍，并探讨其在数论领域中的意义。
华罗庚猜想，又称“素数k取这样的形式”，是该领域的一项突破性猜想。
这个猜想提出于1930年代，华罗庚认为存在无穷多个形如2^2^n+1的素数。
其中，n是一个大于等于0的整数。
虽然华罗庚本人从未给出完整的证明，但他通过计算机验证和数值算例提供了许多支持这个猜想的证据。
这不仅为后来的数学家提供了极大的指引，也激发了数学界对这个猜想的广泛关注。
陈道婴教授的证明从一定程度上填补了华罗庚猜想的证明空白。
他的证明基于德州大学雷德利教授和托姆逊教授的关键思想，并进一步发展和完善了这些思想。
证明首先利用了模形式的概念和分析方法，融入了较为复杂的数论技巧，最终证明了对于给定的正整数k，存在无穷多个形如k^2^n+1的素数。
这项证明不仅为当代数学界作出了重大贡献，也在数论领域引起了广泛的关注与讨论。
华罗庚猜想的证明不仅仅体现了数学家们的智慧和创造力，更展现了数论研究的重要性和意义。
首先，证明过程中使用的模形式和数论技巧深入浅出地展示了数学的美妙。
模形式是从复变函数论发展而来的，它不仅在数论中有着广泛的应用，而且其构造和性质本身也具有极高的美感。
其次，证明的完成对于数论领域的研究具有重要意义。
华罗庚猜想的证明填补了中国数学研究中的一个空白，将中国数论研究推向了国际舞台。
证明的完成一方面证明了中国人在数学领域的研究实力，另一方面也为当代的数学教育和科研提供了新的理念和思路。
此外，华罗庚猜想的证明为数论研究提供了新的方向和动力。
在过去的几十年里，数论的研究一直围绕着素数分布、连分数等基础问题展开，华罗庚猜想的证明为数论研究注入了新的活力。
它不仅拓宽了数论领域的研究范围，也促进了数论与其他领域的交叉。
哥德巴赫猜想有什么用_略谈数论的意义
哥德巴赫猜想有什么用——略谈数论的意义张新春( 长沙市岳麓区教研室湖南41 0001)什么是哥德巴赫猜想?1742年6月7日, 德国数学家哥德巴赫( C.Goldbach, 1690~1764) 在给大数学家欧拉的信中提出了两个关于正整数与素数之间关系的推猜:1.每一个不小于6 的偶数都是两个奇质数之和.2.每一个不小于9 的奇数都是三个奇质数之和.这就是有名的哥德巴赫猜想. 第一个通常被叫做“关于偶数的哥德巴赫猜想”, 而另一个被称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”.因为任何一个不小于9的奇数都可以写成一个不小于6的偶数与3的和,于是,如果关于偶数的哥德巴赫猜想成立,那么关于奇数的哥德巴赫猜想也是成立的.因此,现在人们提的哥德巴赫猜想,通常是指关于奇数的哥德巴赫猜想.出版社联合宣布: 谁能在两年内解开哥德巴赫猜想这一古老的数学之谜, 可以得到100万美元的奖金.这个宣布不但再次使哥德巴赫猜想成为社会关注的热点, 还引得无数的民间数学家为此孜孜不倦地努力.两年早过去了, 尽管世界各地有不少人热衷于破解此难题, 中国国内也有许多人言辞凿凿地说自己破解了哥德巴赫猜想, 以至于中国科学院数学与系统科学所的院士们每天都能接到全国各地的电话或来信, 甚至还有人千里迢迢带着自己的草稿守在中科院数学与系统科学所门口, 更有甚者拿着猜想的“最终证明结果”轮流拜访多位数学家, 也不时传出“农民成功证明哥德巴赫猜想“”拖拉机手摘得‘皇冠上的明珠’”等爆炸性新闻, 但是到现在为止并没有人能领取到这笔奖金.对这种现象,中国的另外两位在证明猜想过程中做出过重大贡献的数学家王元和潘承洞提出过自己的看法. 王元认为“: 对哥德巴赫猜想的同年6月30欧拉在回信中认为这个猜想可能是正确的, 但他表示无法证明.从此, 这道著名的数学难题引起了世界上成千上万的数学家的注意.200年过去了, 没有人能够证明它, 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的, 称为陈氏定理(Chen’s Theo- rem): 任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积.通常都简称这个结果为大偶数, 把它表示为“1+2”的形式.这个结果离最终破解这道难题仅一步之遥(哥德巴赫猜想的最终结果通常被简称为“1+1”).2000年3月18日, 美国的一家出版社和英国的一家进一步研究, 必须有一个全新的思路.”潘承洞指出“:现在看不出沿着人们所设想的途径会有可能解决这一猜想, 我们必须对有关方法作出重大改进, 或者提出新的方法, 才可能在证明猜想上取得进一步的研究成果.”陈景润也曾告诫过业余数学爱好者和青年学生,不要在用初等方法研究哥德巴赫猜想上浪费时间.据估计, 目前全世界有能力从事这个猜想的求证工作研究的数学家只约有二三十人.仔细想一想, 如果不考虑那100万元奖金,我们也许得问:这个猜想有什么用? 或者说, 假如这个猜想明天就442006 年 1 月号数学史话被证明了, 有什么用吗? 由此进一步问, 数论这门专门研究整数性质与规律的数学分支有什么用这是一个很有现实意义的问题.事实上,二次世界大战以前, 很多人甚至有些是著名的数学家都认为: 纯数学, 特别是数论这定理: 素数有无限多个.证明: 假设素数只有有限多个, 记这些素数为p1, p2,, p n.考虑这些素数的乘积与1的和p1p2p3 p n+1, 显然,这p3,样的学科是没有用的.例如英国著名数学家哈代就说个数不能被上面任何一个素数所整除.因此, 要么这个数本身是素数, 要么它有一个不同于上面所列素数的素因子.不论是哪种情况, 都说明素数的个数不是上面说的有限个, 证明毕.我们的确看不到这个定理对现实生活有什么用, 但看到这种简洁而优美的证明, 我们不应怀疑其对思维训练的重大作用.我们想一想, 如果哈代的说法“激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心, 是谜团的吸引力, 是穷究真理的需要”可以被接受的话,那么,这种对好奇心, 这种对真理的渴望难道能说没有用吗? 正如希尔伯特这个数学史上最后一个百科全书式的人物所说:问题就在那里,你必须解决它.”这种永不满足的激情不但能解决一个一个的老问题, 还能产生一个一个的新问题, 而这正是我们现在特别愿意提到的“问题意识”和过“: 真正的数学对战争毫无影响, 至今还没有人能发现什么有火药味的东西是数论或是相对论造成的, 而且很多年后也不会有人发现这类事情.”那么数论到底有什么用呢首先, 数论之于现实生活是有用的.事实上, 二次世界大战时, 日本上空两朵蘑菇云的升起, 让哈代在有生之年看到了自己关于相对论不能造成有火药味的东西的言论的可怕否定.而数论呢? 现在控制着成千上万颗导弹的密码体系的理论基础正是数论.粗略地说,如果给你两个150位的素数, 让你将它们的乘积算出来, 难度不大, 但如果将一个300位的数( 这个数恰好是两个150 位的素数之积) 告诉你, 让你找出是哪两个素数之积, 目前任何一个人, 无论他( 她) 是利用当今如何高级的计算机系统还是利用如何先进的算法, 在他( 她) 有生之年( 事实上远远超过一个人的有生之年) 都是不可能完成的, 正是这种不可能, 使得当前利用大素数作为密钥的密码体系的安全级别非常高.而且, 目前与普通人生活密切相关的银行、通讯等领域使用的密码体系也是基于数论的.可我们接着会提出问题: 现代社会里数论是有用了, 可数论若从欧几里德证“明素数的个数是无穷的”这个定理算起, 也有两千多年了.几千年来, 数论对现实生活没什么用, 可为什么这么多人乐此不疲地从事这方面的研究呢?要回答这个问题, 就不得不提数论的第二个用处了.其次, 数论在训练人的心智方面有用.在古希腊, 数学( 包括数论, 另外重要的一门是平面几何) 是一门用来培养高级人才的重要课程, 人们用它来提高人的心智水平, 这一点可以从柏拉图挂在雅典学院门口那块“不懂几何学者, 不得入内”的牌子可以看出.同时, 这里不得不提到欧几里德关于“素数个数是无限的”这一命题的证明.这个证明因其简洁、优美, 又极为深刻而一直被认为是数学证明中的一个典范, 前面提到的英国数学家哈代在其精彩专著《一个数学家的自白》中对这个证明作了如下评价“: 每一个定理现在仍然像刚发现它们时那样生机盎然而且举足轻重, 两千年的岁月没有使它们产生一丝陈旧感.”( 哈代这里讲的“每一个定理”是因为他评价的有两个定理, 除“素数个数是无限的”这个外, 还有一个是关于! 2 是无理数的证明, 这个证明同样简““创新精神”.联系到今天《, 数学课程标准》说要人人学有价值的数学, 这无疑是正确的, 可什么是有价值的数学? 或者说数学的价值体现在哪些方面从课程改革的实践来看,人们特别关注数学在实际生活中的应用, 从而把“有价值的数学”和“在实际生活中能直接应用的数学”不自觉地等同起来.事实上,作为教育任务的数学的价值不仅体现在能直接应用于现实生活上, 还应该体现在培养学生的科学精神上.理性的、批判的、追求自由的科学精神的培养, 应该成为现代数学教育的重要任务之一, 数学在这方面的作用也就成了作为教育任务的数学的重要价值.但是为了达到培养科学精神的目的, 有时候也不得不弱化甚至暂时放弃数学的现实效用的一面, 而强调它作为人类精神文化中那些并无直接实际用处的、甚至是难以言表的一面,因此,为了实现这种价值而进行的数学生活化”的教学尝试也应是值得尊重的.所以“在“现实生活中有用”不能作为教育任务的数学的价值的全部, 更不能由此得出: 与生活实际联系不紧或无联系、不能直接应用于学生生活实际之中、不能直接解决生活实际中的问题的数学, 就是“无价值的数学”.数论即是如此!( 责任编辑李闯)“什么是好的数学? ”这自然是没有一致的答案, 其实你感觉什么是好的数学它就是好的数学.可是问题是你要真的感觉到, 伟大的数学家的话不能尽信, 必须自己想通的才算数.——刘太平(《数学传播》)洁而优美.) 我们来看欧几里德的证明.。
初中数学教学中猜想数学思维应用
初中数学教学中猜想数学思维应用数学是一门既有趣又有挑战的学科，而数学思维则是数学学习中至关重要的一环。
数学思维是指在数学问题的探索、推理、证明等过程中所形成的一种思维方式和方法。
在初中数学教学中，猜想是培养数学思维的重要方式之一。
通过猜想，学生能够主动参与到问题的探索和解决过程中，从而激发出对数学的兴趣，培养出批判性思维和创造性思维，提升数学学习的深度和广度。
本文将就初中数学教学中猜想数学思维应用的重要性及方法进行探讨。
一、猜想在数学教学中的重要性1.激发兴趣，增强学习动力初中生对数学的兴趣往往受到成绩的影响，而猜想则能够将数学问题变得更加有趣。
通过猜想，学生可以积极主动地参与到数学问题的探索和解决中，从而增强兴趣，激发学习动力。
2.培养批判性思维猜想需要学生根据已有的数学知识和经验，对问题进行猜测并进行推断。
在这个过程中，学生需要进行思考、分析、思辨，从而培养出批判性思维，提升逻辑推理的能力。
3.培养创造性思维猜想需要学生在解决问题时进行尝试和探索，从而培养出创造性思维。
通过探索未知问题的可能性，学生能够锻炼自己的创新能力，培养出对问题的不断探索和发现的乐趣。
二、猜想数学思维应用的方法1.引导学生提出问题在数学教学中，教师可以通过引导学生提出问题的方式来引导学生进行猜想。
教师可以设计一些有趣的数学问题，然后要求学生提出自己对问题的猜想，并进行理由分析和讨论。
通过这样的方式，学生在提出问题的过程中激发了对数学问题的好奇心和求知欲。
2.创设情境促进猜想在数学教学中，教师可以通过创设情境来促进学生进行猜想。
通过引入一些生活中实际存在的问题，或者设计一些趣味性的情境，让学生在实际情境中进行猜想。
这样一来，学生能够更好地理解数学知识，同时也能够在实践中进行猜想，增强对数学的兴趣和理解。
3.鼓励学生进行实验验证在提出猜想之后，学生可以进行实验验证，以检验自己的猜想是否成立。
通过实验的过程，学生能够加深对问题的理解，并提升对数学知识的掌握。
数学与猜想
数学与猜想数学与猜想：解开未知的奥秘在数学的广阔天地里，猜想不仅是探索未知的驱动力，更是创新思维的源泉。
数学与猜想，如同科学与艺术，相互交织，共同推动着数学领域的发展。
一、猜想的起源猜想，往往是基于已有的数学知识和经验，通过逻辑推理、观察分析，或是灵光一闪的直觉，而形成的假设或预测。
在数学中，猜想往往源于对某个数学问题的深入思考和探索，是数学家们对未知领域的勇敢挑战。
二、猜想在数学中的应用1.定理证明：许多重要的数学定理，如费马大定理、哥德巴赫猜想等，都是从一个大胆的猜想开始，经过无数数学家的努力，最终得以证明。
2.公式发现：猜想在数学公式的发现中也起着关键作用。
例如，欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0 的发现，就源自欧拉对复数和三角函数的深入猜想和探索。
3.问题解决：在解决复杂的数学问题时，猜想可以为我们提供新的思路和方法。
例如，在解决图论问题时，数学家们可能会猜想某种特定的图结构或算法，从而找到问题的解决方案。
三、猜想的挑战与验证虽然猜想是推动数学发展的重要动力，但并非所有的猜想都是正确的。
因此，我们需要对猜想进行严格的验证和证明。
这通常需要借助数学理论、逻辑推理和计算工具，来验证猜想的正确性。
同时，我们也需要保持开放和批判的态度，勇于接受新的猜想和挑战，同时也敢于否定错误的猜想。
四、猜想在数学教育中的作用在数学教育中，培养学生的猜想能力至关重要。
通过引导学生参与数学问题的探索和发现过程，我们可以激发他们的创新思维和求知欲。
同时，通过让学生体验猜想的挑战与验证过程，我们也可以帮助他们建立科学的研究方法和批判性思维。
总之，数学与猜想紧密相连，相互促进。
在数学领域中，猜想不仅是推动创新的重要动力，也是培养学生创新思维和批判性思维的有效途径。
让我们共同探索数学与猜想的奥秘，为数学的发展贡献我们的力量。
数论及其猜想的意义
早在1948年，匈牙利数学家别开生面，开辟了 “第二战场” ，设置下新的包围圈，成功地证 明了（1+6）；
1962年我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明 了（1+5）；同年又与王元合作证明了 （1+4）；
1965年5月苏联的布赫斯塔勃、维诺格拉托夫 和意大利数学家庞皮艾黎都证明了（1+3）；
有关费马猜想的证明（2）
1849年，德国数论专家库麦创造了“分圆整数 的数系”理论，设计了一套精妙的方法，一举 证明了当n为不大于100（除37、59、67三 个质数外）的奇素数时费马猜想成立。
1850年、1853年法国科学院两度悬赏两千金 法郎
1922年英国数论专家莫德尔给最终证明费马 猜想带来了希望的曙光。
同余是数论的重要概念
商高知道 x2+y2=z2至少有一组正整数解（3， 4，5），《九章算术》则给出了8组勾股数
1640年，费马给出了费马小定理：如果是p质 数，且整数a与p互质，则ap-a是p的倍数。欧 拉1736年首先证明了这个命题，1760年又将它 推广到合数的情形。
初等数论（3）
1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一 定理：每一个正整数都能够表示成4个整 数的平方和；
有关费马猜想的证明（4）
解决费马猜想的时刻终于在350多年后到 来。1993年6月该猜想已被普林斯顿大学 的安德鲁.怀尔斯博士和剑桥大学的理查 德.泰勒博士证明。
但“母鸡”没有死， “金蛋”仍在不停 地下！
§3、哥德巴赫猜想和筛法
1742年6月德国一位中学教师哥德巴赫 （C.Goldbach，1690-1764）在与欧拉通 信中提出一个估计：“任何大于2的偶数 都是两个素数的和。”二百多年来，围 绕这个估计，很多数学家前赴后继，不 懈地钻研，谋求解决，但全都力不从心， 皆未获得成功。因此，人们就把这个估 计称为“哥德巴赫猜想”。
说说数论领域的各种猜想
也就是说，对于任意值K（比如1亿），存在K个素 数等差级数列，K是100亿也可以，这简直吓人。
而且，即使目前最好的计算机也无法找出超过23个 数的素数等差数列，因此这个猜想只能用数学方法 来证明。”
陶哲轩和格林在2004年的论文中引用了“陈氏 定理”。(在陈景润证明‘1＋2’之后40年)
中国第一神童----宁铂
论文题目：“表达偶数为一个素数及一个不超 过两个素数的乘积之和”。 比如100＝23＋7X11 中科院数学家王元说：“这是迄今为止世界上关于哥 德巴赫猜想（1）最好的成果，无人超越。”而且他的 工作与数论上最伟大的工作联系在一起。
陶哲轩(TERENCE CHI-SHEN TAO)
当世智商最高的十大天才之一(IQ值230)
哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却实在不易，成为 数学中一个著名的难题。
在1921年的一个国际数学大会上，英国数学家哈代认 为，猜想(1)的困难程度可以和任何没有解决的数学问 题相比。
1966年5月，我国数学家陈景润在《科学通报》 上发布了“1＋2”证明的摘要，这篇论文的完整证 明发表在1973年的第二期《中国科学》上，在国 际数学界引起轰动，并将之命名为“陈氏定理”。
目前最先进的计算机上发现的最 长的素数等差数列长度是23， 第一项是素数56211383760397， 公差是44546738095860， 所以，第23个素数是首项加公差乘以22，这 已经是一个复杂得不得了的问题了。
他ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就，他们证明
由素数构成的等差数列可以任意长，而且有任意多组。
孪生素数
孪生素数是指差为2的素数对。 一般来说，如果p 和p+2 都是素数，则（p, p+2) 就叫做孪生素数。
浅谈数学猜想在数学中的重要性
学家也被这样神奇的猜想方法深深地吸引过来。也因此，很多的数学定理便应运而生。比如， “伯恩赛德猜想”：每一个非交换的单群都是偶数阶的。1963 年被汤普森和菲特证明，从此 转化为数学定理。当然，并不是每个数学猜想都会成为正确的数学定理，但在数学猜想的讨 论研究过程中总会有意外的惊喜，同样丰富了数学理论。
（1）、 不完全归纳猜想 不完全归纳法（简称归纳法），是依据少量经验事实，作出关于一般规律的猜想或假设 的思维形式。它含有丰富的想象和直觉判断，而想象和直觉判断属于思维的范畴。因此，归 纳法具有发现新知识和探索趔的创造功能，成为数学发现的重要方法之一。在中学教学中利 用这种猜想，可发现和解决某些一般性的问题，其思维模式是：试验--归纳--猜想。 因为归纳推理与人们认识事物的进程较为一致 故而易为理解和接受。在许多命题的解 题过程中 用归纳法猜出结果后 就可以确定具体的解题目标 从而避免漫无目标的盲目探 索，同时，根据已知信息，制定出合理的解题方案。 （2）、类比猜想 类比法是根据两个或两类对象某些特点的相同或相似，然后判断它们的其他特点也相同
（3）、探索性猜想 探索性猜想是指依据思维里已经存在的知识经验，获得对于需要解决的问题作出逼近结 论的方向性的猜想。此猜想多次重复试探和论证。通过多次探索和修改，逐步向结论靠近 最后获得解题方向。其思维大致模式是：猜想--修正--猜想。 (4)、审美性猜想 审美性猜想是运用数学美的思想--简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等,对研 究的对象或问题 ,结合已有 知识与经验 所作研究 的对象或问 题,结合已 有知识与经 验所作出 的直觉性猜想。比如,复杂的问题可能存在简单的解答,对称的条件能导致对称的结论,相似 的对象具有相似的性质等等。我们中学教学中碰到很多问题用其它方法都解决不了,其实只 要你细心观察,会发现它们的某些部分的眼光去猜想最后的结论并加以论证。审美性猜想的 思维模式是:观察--审美--猜想。 五、数学猜想在数学教学中的应用 《全日制义务教育数学课程标准》中指出，学生的“推理能力主要表现在，能通过观察、 实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给证明或举出反例。”显然，数学 猜想是思维能力的范畴，是义务教育的培养目标之一。 因此，数学教师必须在教学中重视学生猜想能力的培养。 以上几种是数学中最常用的猜想，教学还必须让学生明白：第一，这些猜想是不能分开 使用的，例如，审美直觉在解题过程中往往起着调控和决策作用，正是有了对美的追求才激 发了人们对所研究的问题提出种种猜想，有时是类比，也会是归纳，或者两者都有。第二 数学猜想的结果不一定是正确的，它的正确性要经过逻辑论证。
“猜想”的数学意义及“猜想”能力的培养
教室墙 面进行 大胆猜想判定平 面平行 的方案 ，结果
学生 提出了 ６种方案． 时这位教师指 出， 这 各种方案
仅仅是一 种猜 测 ， 正确与否 要经得住实践 的检验 ． 于
是“ 发现 ” 正 如牛顿 曾说 过 的那 样 “ 有大 胆 的猜 ， 没
另一方面 ，
１ 手一 ＋＝ ０有 穷 个 一 手＋ － …巫 ，无 多 ＝
根 ：＇，２ ± ， ，几 … － ＋Ｔ± ，３ … ± ， Ｉ
想， 就做 不 出伟大 的发 现” 没有 “ 现” 也 就没有 ． 发 ，
像 是仅 含证 明的纯论证性 的材料． 然而 ， 数学 的创造 过 程是与任何 其它知识 的创 造过程一 样 的． 在发 明
一
数学 家欧拉曾采用类 比猜想的方法给出了数学 家伯努利的一个级数的和 ：
个定理前 ， 你先得猜测这个定理的内容 ， 你完全 在
做出详 细证明之前 ， 你先得推测证明的思路 ， 你先得 把观察到的结果加以综合 ， 然后加 以类 比． 得一次 你
察、 比较 、 纳、 比……即通过合情推理 提出猜 想 ， 归 类
由抛 硬币做决定猜想 出等可能事件 ，由商不变性质
猜想 出分数基本性质及 比的性质 ； 中数学 中可 以 初
由计算以特定直角 三角形三边 为边长 的正方形面积 之间 的关系猜 想出直 角三角形 三边之 间的关系 （ 即
勾股定理 ）可以由小学 数学 中推导梯形 面积公式 的 ； 方法猜想出等 差数列前 项 和的公式 ，由计算等 比 数列前二项 、 前三项 、 四项的和归纳猜 想出前 ／ 前 ７ ， 项
一
・ ＋＋＋＋ ＋ ｝． ． ． ． ’ 。
设 代数 方程 ａ一 ＋ 一 ・（ １ ｏ口 ！ｎ ＋一 ） ＝ ０有 ２ ｎ
哥德巴赫猜想意义
哥德巴赫猜想意义哥德巴赫猜想是一个备受数学界关注的难题，它的意义在于揭示了素数的分布规律，并且对于数论的发展起到了重要的推动作用。
本文将从不同的角度来解读哥德巴赫猜想的意义。
哥德巴赫猜想告诉我们，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
这个结论对于素数的分布规律有着重要的启示作用。
素数是数论中一类特殊的数，它们只能被1和自身整除，不能被其他数整除。
素数的分布一直是一个备受关注的问题，哥德巴赫猜想的提出为我们提供了一种新的思路，即通过素数的求和关系来研究素数的分布规律。
哥德巴赫猜想对于数论的发展起到了重要的推动作用。
数论是研究整数性质的一个分支学科，它涉及到了许多重要的问题，如素数定理、费马大定理等。
哥德巴赫猜想作为数论中的一个经典问题，吸引了众多数学家的关注和研究。
虽然哥德巴赫猜想在数论领域中尚未得到证明，但是为了解决这个难题，数学家们提出了许多新的方法和理论，推动了数论的发展。
哥德巴赫猜想对于数学思维的培养也具有重要意义。
解决哥德巴赫猜想需要运用到许多数学方法和技巧，如数论、代数、几何等。
研究哥德巴赫猜想可以培养人们的逻辑思维能力、分析问题的能力以及发散性思维。
而这些数学思维的培养对于培养人们的创新能力和解决实际问题的能力有着重要的作用。
哥德巴赫猜想的研究还涉及到了许多与之相关的数学问题。
研究哥德巴赫猜想的过程中，数学家们提出了许多与之相关的定理和结论，如二次互反律、勒让德符号等。
这些定理和结论不仅对于哥德巴赫猜想的解决有着重要的作用，而且也为数论的其他问题提供了新的思路和方法。
哥德巴赫猜想的解决将对数学领域产生重要的影响。
如果哥德巴赫猜想得到证明，将会对数论和相关领域的发展产生深远的影响。
它将为数学家们提供更多的启示和思路，推动数学领域的发展。
而即使哥德巴赫猜想最终未能得到证明，研究哥德巴赫猜想的过程也将为数学领域带来许多新的发现和突破。
哥德巴赫猜想在数学领域具有重要的意义。
它不仅揭示了素数的分布规律，推动了数论的发展，而且培养了人们的数学思维能力。
哥德巴赫猜想的作用
哥德巴赫猜想的作用哥德巴赫猜想是数论中的一个经典问题，它在数学界引起了广泛的关注和研究。
该猜想的内容是：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和。
虽然这个猜想在数学界已经被证明是正确的，但它的证明一直以来都是困扰着数学家们的难题。
哥德巴赫猜想的背后是对素数分布规律的探索。
素数是指除了1和自身之外没有其他因数的自然数，例如2、3、5、7等。
而偶数是指可以被2整除的数，也就是2的倍数。
哥德巴赫猜想认为任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和，这意味着偶数可以通过两个素数的组合来表示。
为了更好地理解哥德巴赫猜想的作用，我们可以从几个方面来思考。
首先，哥德巴赫猜想的证明对于数论的发展具有重要的意义。
数论是研究整数性质的一个分支，而素数又是整数中非常特殊的一类数。
通过研究素数的分布规律和性质，可以推导出许多重要的数论结论。
而哥德巴赫猜想的证明，无疑将为数论研究提供新的思路和方法。
哥德巴赫猜想的证明对于加强人们对数学的认识和理解也具有重要意义。
数学作为一门基础学科，对于我们的日常生活和科学研究具有重要的影响。
而哥德巴赫猜想作为数学中的难题之一，它的证明将增强人们对数学的信心，进一步认识到数学的重要性和美妙之处。
哥德巴赫猜想的证明可以为其他相关领域的研究提供参考和借鉴。
数学是一门与其他学科密切相关的学科，它与物理、工程、计算机等领域有着广泛的交叉。
哥德巴赫猜想的证明将为其他领域的研究提供新的思路和方法，推动相关领域的发展和进步。
哥德巴赫猜想的证明对于培养学生的数学兴趣和能力也具有重要意义。
数学作为一门抽象的学科，往往需要较强的逻辑思维和推理能力。
而哥德巴赫猜想的证明过程，可以锻炼学生的逻辑思维和推理能力，培养他们对数学的兴趣和热爱。
哥德巴赫猜想作为数论中的一个经典问题，具有重要的研究价值和应用意义。
它的证明将推动数论的发展，加强人们对数学的认识和理解，为其他领域的研究提供参考和借鉴。
同时，它也可以培养学生的数学兴趣和能力，促进他们对数学的深入思考和探索。
数论中的素数分布猜想研究
数论中的素数分布猜想研究数论作为数学的一个重要分支，在研究自然数的性质和关系方面具有重要的地位。
其中素数是数论中一个重要的概念，它在数学的发展和应用中发挥着重要的作用。
素数之间的分布一直是数学界一个备受关注的问题，许多数学家致力于研究和推测素数的分布规律，提出了各种各样的猜想和假设。
本文将从数论中的素数分布猜想的历史背景、猜想的内容以及它们在数学研究和应用中的意义等方面进行探讨。
1. 素数的定义及基本性质首先我们来了解一下素数的定义，素数是指只能被1和自身整除的自然数。
这意味着素数没有其他因子，只有两个因子1和它自己。
例如，2、3、5、7、11等都是素数，而4、6、8等则不是素数。
素数具有一些基本性质，其中最著名的是无穷多素数的性质。
这个性质最早由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出，并通过反证法得以证明。
这一性质表明，素数存在着无穷多个，不会有一个最大的素数。
2. 素数分布的历史背景素数分布的研究可以追溯到公元前4世纪的古希腊数学家埃拉托斯特尼斯。
他提出了著名的埃拉托斯特尼斯筛法，可以筛选出一定范围内的素数。
此后，数学家们继续研究素数的分布规律，并提出了一些重要的猜想和假设。
早在18世纪，欧拉提出了著名的素数阶梯猜想，即对于任意给定的正整数n，存在一个介于n²和(n+1)²之间的素数。
这个猜想虽然后来被反例推翻，但标志着素数分布猜想的研究进入了一个新的阶段。
20世纪初，法国数学家朗斯推测素数的分布与自然对数有关，提出了朗斯猜想。
而在几十年后，俄国数学家共有零证明了朗斯猜想的一部分，证明了存在一个正常数C，使得不等式π(x)≥Cx/logx一直成立，其中π(x)表示小于等于x的素数的个数。
这个结果有力地支持了朗斯猜想。
3. 素数分布猜想的内容除了朗斯猜想之外，数学界还提出了一系列与素数分布有关的猜想。
其中最著名的包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等。
黎曼猜想是由德国数学家黎曼于1859年提出的，它揭示了素数与复变函数中的黎曼Zeta函数之间的关系。
数的猜想和证明
数的猜想和证明数学作为一门科学，一直以来都存在着许多未解之谜和数学猜想。
数的猜想是指在数学领域中，一些看似正确但尚未被证明的观点或命题。
通过逐一猜测和验证这些数学猜想，不仅可以推动数学的发展，而且也挑战了我们对数学的理解。
本文将从数的猜想的意义、著名的数学猜想以及它们的证明等几个方面进行探讨。
数的猜想的意义。
数的猜想作为数学研究的基础，对于推动数学的发展起到了至关重要的作用。
首先，它们能够激发人们对数学的兴趣和探索欲望，促使数学家们进行深入的研究和分析。
其次，数的猜想也是数学研究的驱动力，一些未解的数学问题和猜想为数学家们提供了挑战和动力，激发了他们的创造力，推动了数学的发展。
因此，数的猜想是数学研究不可或缺的一部分。
著名的数学猜想。
在数学领域中，有很多著名的数学猜想，其中一些已经被证明，而另一些仍然是未解之谜。
1.哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想是由德国数学家哥德巴赫于1742年提出的。
它的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
虽然哥德巴赫猜想在数学界引起了巨大的关注，但直到1966年，哥德巴赫猜想才被人们证明。
证明中使用了现代数学中的一些高深的工具和思想，比如无限降链原理和素数分布等。
2.费马大定理。
费马大定理是由法国数学家费马在17世纪提出的。
它的内容是：对于任何大于2的整数n，同余方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
费马大定理一度被认为是世界上最困难的数学问题之一，直到1994年，英国数学家怀尔斯在费马大定理上做出了重大突破，证明了当n大于2时，方程无解。
数学猜想的证明。
数的猜想的证明是数学研究中的一项重要任务。
通过证明数学猜想，可以为数学提供更多的基础和逻辑推理。
在证明数学猜想时，数学家们通常会使用一些已有的定理、公理或者数学工具。
此外，数学猜想的证明也需要经过大量的思考和推理，通过不断试探和验证，最终得出结论。
数的猜想和证明对数学发展的推动是不可忽视的。
通过数学猜想的提出和证明，不仅可以拓展数学的边界，深化对数学的理解，而且还能激发更多的数学问题和猜想，为数学研究提供新的思路和方法。
浅论数学猜想的作用与构成_段珍兰
第27卷第6期湖北广播电视大学学报V ol.27, No.6 2007年6月 Journal of HuBei TV University June. 2007, 140～141浅论数学猜想的作用与构成段珍兰（湖北广播电视大学，湖北 武汉 430074）[内容提要] 数学猜想作为一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。
它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。
在科学技术迅猛发展的今天，人们的教育观念已经发生了根本的转变，社会需要的是高素质的智能型人才，因此，学校的数学教育在重点培养学生逻辑思维的同时，也越来越重视非逻辑思维的培养，特别是不失时机地引导学生进行数学猜想，笔者就学习数学史的体会在本文中对数学猜想、数学猜想的作用和构成作一点阐述。
[关键词] 数学；数学猜想；作用；构成[中图分类号] G301 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2007）06-0140-02一、什么是猜想和数学猜想人们为了认识客观世界，不断地进行观察、实验，逐渐地积累了一些感性材料，随着与客观事物接触过程的增长，积累的材料逐渐增多，认识的程度就逐渐加深，这时，人们总是要对这些有限的、不完整的资料进行分析，试图找出某种规律性的东西，提出一种说法，对客观事物的已知性质作统一的、概括的说明，并用这种说法作为指导，以对事物作更进一步的探究，由于这些猜想是通过分析有限的、不完整的资料提出的，它就不一定具有真理性。
这种没有得到充分的实践检验或理论检验的说法称为猜想（或假说、假设）。
数学是一门十分精密的科学，其严密性与逻辑性冠于所有学科之首。
然而，数学的发展离不开数学猜想（或假说）。
那么，什么是数学猜想呢？简言之，数学猜想是依据某些数学知识和数学事实、对未知量及其关系作出的似真判断。
数学猜想是科学假说在数学中的体现，是数学的潜形态,是数学理论的先导。
数学猜想具有科学性、假定性和创新性等三个基本特征。
数学猜想及其方法论意义
第23卷,第4期 科学技术与辩证法Vol.23 No.4 2006年8月 Science,Technology and Dialectics Aug.,2006・方法论・数学猜想及其方法论意义庞 坤1,李明振2(1.中国人民武装警察部队学院数学教研室,河北廊坊065000;2.西南大学数学与统计学院,重庆北碚400715)摘 要:文章采用史学分析方法全面探讨了数学猜想的特点、类型,提出方法及解决方法。
揭示了数学猜想的方法论意义体现在不仅是推动数学理论发展的强大动力、创造数学思想方法的重要途径,而且是科学方法论研究的丰富源泉。
关键词:数学猜想;科学假说;提出方法;解决方法;方法论中图分类号:B026 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2006)04-0033-04 理论思维方法作为一种重要的科学研究方法,是对经验材料进行整理加工以达到认识事物本质与规律的方法。
科学假说作为一种重要的理论思维方法,是根据已知的科学事实与原理对未知现象及其规律所作出的一种假定性描述。
数学猜想作为科学假说在数学学科中的具体体现方式,是依据已知的事实材料与数学知识,通过理论思维的能动作用对未知的量及其关系所作出的一种似真推断。
数学猜想作为一种科学思维形式和数学研究方法,是数学发展的重要途径,每个数学理论、分支的产生与发展无不烙下数学猜想的印迹[1]。
那么数学猜想有什么特点?有哪些类型?是如何形成的?有哪些解决方法?其方法论意义如何?文章拟对这些问题进行探讨,以推动数学与科学方法论的研究。
一 数学猜想的特点依据我们对数学猜想的含义以及数学史上诸多猜想的分析认为,数学猜想有以下特点:(1)科学性 数学猜想是猜想者立足于一定经验、数学知识和客观事实,通过理论思维,按照数学对象自身的内在逻辑提升和推断出来的一种主观断言。
这种断言并非缺乏逻辑基础的轻率臆断,也非毫无科学依据的胡猜乱想。
数学猜想具备成为科学论断的自然基础,具有一定程度的科学性。
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§4、黎曼猜想和孪生素数猜想
1859年，黎曼发表了《论小于给定数的 素数个数》，在这篇光辉的论文中，他 一口气提出了6个猜想，从那时起到1894 年，数学家们证明了其中5个，从而已成 为定理，现在只剩下了一个，被称为 “黎曼猜想”。其内容如下。
黎曼猜想的内容
1 1 1 由级数ζ（s） 1 + s + s + s + ......(其中s为 = 2 3 4
哥德巴赫猜想的研究进展(2)
1924年，德国数学家拉德马哈证明了（７＋ ７）； 1932年英国数学家爱斯特曼证明了(6+6); 1938年与1940年苏联数学家布赫斯塔勃连续证 明了(5+5)与(4+4)； 1956年苏联数论英雄维诺格拉托夫证明了 （3+3）； 1957年中国数学家王元证明了（2+3）、 （2+2）；包围圈越来越向（1+1）靠近！ （ 附：库恩的a+b (a+b≤6)(1954)）
哥德巴赫猜想的研究进展(4)
1966年5月，中国青年数学家陈景润在向 “哥德巴赫猜想”顶峰攀登中，迈出了 重要的一步，他对“筛法”改进，成功 地证明了（1+2）（1973年发表详细证 明）。这个震惊中外的“陈景润定理” 受到国际数学界的称赞，把“陈氏定理” 誉为“杰出的成就”、“光辉的顶点”， 说“陈氏定理推动了群山”。 陈氏定理（ 陈氏定理（1+2）—数学皇冠上的明珠 ） 数学皇冠上的明珠
初等数论（ ） 初等数论（1）
初等数论的历史悠久， 毕达哥拉斯曾对数的整除性做过系统的 研究，研究成果被欧几里得记载于《几 何原本》第7、8、9篇里，欧几里得还证 明了算术基本定理； 数学史上第一本数论典籍《算术入门》 是尼可马修斯（Nicomachus，公元1世 纪，古希腊）写的；
初等数论（ ） 初等数论（2）
1 这条直线上。 2
复变数)所定义的ζ − 函数（黎曼函数），若 s = a + bi, 那麽ζ − 函数的所有零点，除了众 所周知的负整实数外，都位于复平面中a =
1 这条直线上。 2
y
代数数论
代数数论是以代数整数（或代数数域）为研究 对象的，不少整数问题的解决要借助于或归结 为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研 究的发展。它主要起源于对费马猜想的研究。 库麦（ 库麦（1810-1893，德）在探求解决费马猜 ， 想时引进了“理想数”的概念，随后他证明了 每个“理想数”可以唯一地分解成质因子的乘 积。因而建立了分圆域上的数论，为代数数论 奠定了基础。 高斯为代数数论的发展作出了积极的贡献。 高斯
哥德巴赫猜想的研究进展(1)
数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼 猜想正确的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇 数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇 素数之和。 维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴 赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和 布朗(挪威1919年)证明了：每个大偶数都是两个素因 子个数均不超过9的整数之和（记为9 + 9，记号a + b表示大偶数分解为不超过a个奇素数的积与不超过b 个奇素数的积之和，下同）
几何数论（2）
几何数论所研究的“空间格网”是：在 给定的直角坐标系中，坐标全是整数的 点，叫做整点，全部整点构成的组叫做 空间格网。 这种研究可以解决用离散量去逼近连续 量或反过来可以用连续量去估计离散的 量。
超越数论（1）
超越数论是以超越数为研究对象的。1744年欧拉 证明了自然对数的底 l是无理数。1761 年兰伯特 证明了圆周率 π 是无理数。刘维尔在对超越数的 研究中，发现无理代数数的有理逼近的精密性有一 个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超 越数。例如 ∑ g !对g = 2,3,− − − 都是超越数。1822年林 德曼证明了π 是超越数。
几何数论（1）
几何数论又叫数的几何，是应用几何方 法研究数论问题的。17-18世纪，高斯与 高斯与 拉格朗日已经用几何观点研究二次型的 拉格朗日 算术性质。 1891年闵可夫斯基 闵可夫斯基（1864-1909，德） 闵可夫斯基 发表了几何数论的第一篇论文，并于 1896年出版了《数的几何》一书，为几 何数论奠定了基础。
丢番图写的《算术》中，也有许多关于数论的 命题。 同余是数论的重要概念 商高知道 x2+y2=z2至少有一组正整数解（3， 4，5），《九章算术》则给出了8组勾股数 1640年，费马给出了费马小定理：如果是p质 数，且整数a与p互质，则ap-a是p的倍数。欧 拉1736年首先证明了这个命题，1760年又将它 推广到合数的情形。
初等数论（ ） 初等数论（3）
1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一 定理：每一个正整数都能够表示成4个整 数的平方和； 1798年，勒让德的第一部数论的教科书 出版； 1801年高斯著名的《算术探讨》一书问 世；
初等数论（ ） 初等数论（4）
数学家们研究数论， 数学家们研究数论，方法争 奇斗艳，异彩纷呈。 奇斗艳，异彩纷呈。但初等数论 一般不借助于其他数学分支知识， 一般不借助于其他数学分支知识， 只依靠算术方法对整数性质进行 研究。 研究。
陈景润（1933~1996）简介
华罗庚（右）与陈景润（左）
筛法
“筛法”最早是毕达哥拉斯学派的尼可马修斯在 《算术入门》一书中提出来的，其理论基础是这 样一个定理：n为不大于N的合数，则n必有一个 不大于 N 的素因子。用“筛法”求100以内的 100 素数，因为100以内的每个合数都必有 =10 100 以内的素因子，而10以内的素数为2、3、5、7， 所以，只要从100以内去掉2、3、5、7的倍数， 余下的就是100以内的全部素数。“筛法”在证 。 筛法” 哥德巴赫猜想”中起了重要的作用。 明“哥德巴赫猜想”中起了重要的作用。
解析数论
解析数论是用数学分析作工具来研究数论的。 18世纪欧拉 欧拉用无穷级数知识证明“质数有无穷 欧拉 多个”。不久，他又提出母函数法，利用幂级 数来研究整数分析，导致了圆法及指数和方法 的产生。 1837年、1837年狄里赫利 狄里赫利两次用分析方法创立 狄里赫利 了被人们公认的狄里赫利（剩余）特征、狄里 赫利L函数，从而奠定了解析数论的基础。 20世纪30年代，维诺格拉托夫（1891-1983， 苏）提出“三角和方法”---一个重要的方法。
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（2）
1849年，德国数论专家库麦创造了“分圆整数 的数系”理论，设计了一套精妙的方法，一举 证明了当n为不大于 为不大于100（除37、59、67三 为不大于 （ 、 、 三 个质数外）的奇素数时费马猜想成立。 个质数外）的奇素数时费马猜想成立。 1850年、1853年法国科学院两度悬赏两千金 年 年法国科学院两度悬赏两千金 法郎 1922年英国数论专家莫德尔给最终证明费马 年英国数论专家莫德尔给最终证明费马 猜想带来了希望的曙光。 猜想带来了希望的曙光。
∞ −n n =1
超越数论（2）
19世纪超越数论的最高成就是林德曼—维尔斯特 拉斯定理：如果a1，a2，…，an是不同的实的或 复的代数数，B1，B2，…，Bn是非零代数数，则
Be
1
a1பைடு நூலகம்+
Be
2
a2 + ... +
Be
n
an ≠ 0
由此导出一个重要结果之后就能推出许多 超越数。
§2、费马及费马猜想
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（3）
在证明费马猜想 费马猜想的征程中， “分圆整数 费马猜想 的数系”理论，现代代数数理论，理想 数论等一些新颖绝妙的方法都迅猛神奇 般地发展起来。希尔伯特声称：他已找 到一把神秘的钥匙，可以解开这一雄视 世界三百多年的“猜想之谜”，但为了 “不要轻易杀掉这只能为人类生出金蛋 的母鸡！”所以他守口如瓶，秘而不宣。
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（1）
费马猜想从1670年发表到 年发表到1840年拉梅证明 费马猜想从 年发表到 年拉梅证明 n=7情形为止的 情形为止的170年中，费马猜想的证明进 年中， 情形为止的 年中 展非常缓慢； 展非常缓慢； 1779年，欧拉证明 年 欧拉证明n=3，不久，又证明 ，不久，又证明n=4； ； 1823年，勒让德证明 年 勒让德证明n=5；1840年，拉梅证 ； 年 明了n=7； 明了 ； 19世纪 年代，自学成才的法国妇女索菲亚 世纪20年代 世纪 年代， 证明了：在假定x、 、 与 互质的情况下 互质的情况下， 证明了：在假定 、y、z与n互质的情况下， n 为小于100的所有奇素数时，费马猜想成立。 的所有奇素数时， 为小于 的所有奇素数时 费马猜想成立。
23个问题的第8个问题
1900年希尔伯特把这个猜想 年希尔伯特把这个猜想 黎曼猜想” 与“黎曼猜想”、“孪生素数猜 作为23个问题的第 个问题的第8个问题 想”作为 个问题的第 个问题 介绍给20世纪的数学家。 介绍给 世纪的数学家。 世纪的数学家 殆素数： 殆素数：素因数的个数不超过 某一固定常数的自然数称为“ 某一固定常数的自然数称为“殆 素数”。（１ ）（a+b） 素数”。（１＋c）（ ）（ ）
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（4）
解决费马猜想的时刻终于在350多年后到 来。1993年6月该猜想已被普林斯顿大学 的安德鲁.怀尔斯博士和剑桥大学的理查 德.泰勒博士证明。 但“母鸡”没有死， “金蛋”仍在不停 地下！
§3、哥德巴赫猜想和筛法
1742年6月德国一位中学教师哥德巴赫 （C.Goldbach，1690-1764）在与欧拉通 信中提出一个估计：“任何大于2的偶数 都是两个素数的和。”二百多年来，围 绕这个估计，很多数学家前赴后继，不 懈地钻研，谋求解决，但全都力不从心， 皆未获得成功。因此，人们就把这个估 计称为“哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想”。 哥德巴赫猜想