数论及其猜想的意义

初等数论（ ） 初等数论（3）
1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一 定理：每一个正整数都能够表示成4个整 数的平方和； 1798年，勒让德的第一部数论的教科书 出版； 1801年高斯著名的《算术探讨》一书问 世；
初等数论（ ） 初等数论（4）
数学家们研究数论， 数学家们研究数论，方法争 奇斗艳，异彩纷呈。 奇斗艳，异彩纷呈。但初等数论 一般不借助于其他数学分支知识， 一般不借助于其他数学分支知识， 只依靠算术方法对整数性质进行 研究。 研究。
∞ −n n =1
超越数论（2）
19世纪超越数论的最高成就是林德曼—维尔斯特 拉斯定理：如果a1，a2，…，an是不同的实的或 复的代数数，B1，B2，…，Bn是非零代数数，则
Be
1
a1 +
Be
2
a2 + ... +
Be
n
an ≠ 0
由此导出一个重要结果之后就能推出许多 超越数。
§2、费马及费马猜想
哥德巴赫猜想的研究进展(1)
数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼 猜想正确的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇 数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇 素数之和。 维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴 赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和 布朗(挪威1919年)证明了：每个大偶数都是两个素因 子个数均不超过9的整数之和（记为9 + 9，记号a + b表示大偶数分解为不超过a个奇素数的积与不超过b 个奇素数的积之和，下同）
陈景润（1933~1996）简介
华罗庚（右）与陈景润（左）
筛法
“筛法”最早是毕达哥拉斯学派的尼可马修斯在 《算术入门》一书中提出来的，其理论基础是这 样一个定理：n为不大于N的合数，则n必有一个 不大于 N 的素因子。用“筛法”求100以内的 100 素数，因为100以内的每个合数都必有 =10 100 以内的素因子，而10以内的素数为2、3、5、7， 所以，只要从100以内去掉2、3、5、7的倍数， 余下的就是100以内的全部素数。“筛法”在证 。 筛法” 哥德巴赫猜想”中起了重要的作用。 明“哥德巴赫猜想”中起了重要的作用。
几何数论（1）
几何数论又叫数的几何，是应用几何方 法研究数论问题的。17-18世纪，高斯与 高斯与 拉格朗日已经用几何观点研究二次型的 拉格朗日 算术性质。 1891年闵可夫斯基 闵可夫斯基（1864-1909，德） 闵可夫斯基 发表了几何数论的第一篇论文，并于 1896年出版了《数的几何》一书，为几 何数论奠定了基础。
1 这条直线上。 2
复变数)所定义的ζ − 函数（黎曼函数），若 s = a + bi, 那麽ζ − 函数的所有零点，除了众 所周知的负整实数外，都位于复平面中a =
1 这条直线上。 2
y
哥德巴赫猜想的研究进展(4)
1966年5月，中国青年数学家陈景润在向 “哥德巴赫猜想”顶峰攀登中，迈出了 重要的一步，他对“筛法”改进，成功 地证明了（1+2）（1973年发表详细证 明）。这个震惊中外的“陈景润定理” 受到国际数学界的称赞，把“陈氏定理” 誉为“杰出的成就”、“光辉的顶点”， 说“陈氏定理推动了群山”。 陈氏定理（ 陈氏定理（1+2）—数学皇冠上的明珠 ） 数学皇冠上的明珠
几何数论（2）
几何数论所研究的“空间格网”是：在 给定的直角坐标系中，坐标全是整数的 点，叫做整点，全部整点构成的组叫做 空间格网。 这种研究可以解决用离散量去逼近连续 量或反过来可以用连续量去估计离散的 量。
超越数论（1）
超越数论是以超越数为研究对象的。1744年欧拉 证明了自然对数的底 l是无理数。1761 年兰伯特 证明了圆周率 π 是无理数。刘维尔在对超越数的 研究中，发现无理代数数的有理逼近的精密性有一 个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超 越数。例如 ∑ g !对g = 2,3,− − − 都是超越数。1822年林 德曼证明了π 是超越数。
哥德巴赫猜想的研究进展(2)
1924年，德国数学家拉德马哈证明了（７＋ ７）； 1932年英国数学家爱斯特曼证明了(6+6); 1938年与1940年苏联数学家布赫斯塔勃连续证 明了(5+5)与(4+4)； 1956年苏联数论英雄维诺格拉托夫证明了 （3+3）； 1957年中国数学家王元证明了（2+3）、 （2+2）；包围圈越来越向（1+1）靠近！ （ 附：库恩的a+b (a+b≤6)(1954)）
第八章
数论及其猜想的意义
数论的定义
所谓数论，就是以整数为研究对象，用 数的结构的观点，即一个数可用性质较 简单的其他数来表示的观点来研究数的 一门数学科学。因此可以说数论是研究 整数按一定形式构成的数系的科学。 数论是雅俗共赏的数学分支。
§1、数论发展简介 、
从研究方法划分， 从研究方法划分，数论可 分为初等数论、解析数论、 分为初等数论、解析数论、 代数数论、 代数数论、几何数论和超越 数论。 数论。
代数数论
代数数论是以代数整数（或代数数域）为研究 对象的，不少整数问题的解决要借助于或归结 为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研 究的发展。它主要起源于对费马猜想的研究。 库麦（ 库麦（1810-1893，德）在探求解决费马猜 ， 想时引进了“理想数”的概念，随后他证明了 每个“理想数”可以唯一地分解成质因子的乘 积。因而建立了分圆域上的数论，为代数数论 奠定了基础。 高斯为代数数论的发展作出了积极的贡献。 高斯
哥德巴赫猜想的研究进展(3)
早在1948年，匈牙利数学家别开生面，开辟了 “第二战场” ，设置下新的包围圈，成功地证 明了（1+6）； 1962年我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明 了（1+5）；同年又与王元合作证明了 （1+4）； 1965年5月苏联的布赫斯塔勃、维诺格拉托夫 和意大利数学家庞皮艾黎都证明了（1+3）；
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（3）
在证明费马猜想 费马猜想的征程中， “分圆整数 费马猜想 的数系”理论，现代代数数理论，理想 数论等一些新颖绝妙的方法都迅猛神奇 般地发展起来。希尔伯特声称：他已找 到一把神秘的钥匙，可以解开这一雄视 世界三百多年的“猜想之谜”，但为了 “不要轻易杀掉这只能为人类生出金蛋 的母鸡！”所以他守口如瓶，秘而不宣。
丢番图写的《算术》中，也有许多关于数论的 命题。 同余是数论的重要概念 商高知道 x2+y2=z2至少有一组正整数解（3， 4，5），《九章算术》则给出了8组勾股数 1640年，费马给出了费马小定理：如果是p质 数，且整数a与p互质，则ap-a是p的倍数。欧 拉1736年首先证明了这个命题，1760年又将它 推广到合数的情形。
初等数论（ ） 初等数论（1）
初等数论的历史悠久， 毕达哥拉斯曾对数的整除性做过系统的 研究，研究成果被欧几里得记载于《几 何原本》第7、8、9篇里，欧几里得还证 明了算术基本定理； 数学史上第一本数论典籍《算术入门》 是尼可马修斯（Nicomachus，公元1世 纪，古希腊）写的；
初等数论（ ） 初等数论（2）
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（2）
1849年，德国数论专家库麦创造了“分圆整数 的数系”理论，设计了一套精妙的方法，一举 证明了当n为不大于 为不大于100（除37、59、67三 为不大于 （ 、 、 三 个质数外）的奇素数时费马猜想成立。 个质数外）的奇素数时费马猜想成立。 1850年、1853年法国科学院两度悬赏两千金 年 年法国科学院两度悬赏两千金 法郎 1922年英国数论专家莫德尔给最终证明费马 年英国数论专家莫德尔给最终证明费马 猜想带来了希望的曙光。 猜想带来了希望的曙光。
解析数论
解析数论是用数学分析作工具来研究数论的。 18世纪欧拉 欧拉用无穷级数知识证明“质数有无穷 欧拉 多个”。不久，他又提出母函数法，利用幂级 数来研究整数分析，导致了圆法及指数和方法 的产生。 1837年、1837年狄里赫利 狄里赫利两次用分析方法创立 狄里赫利 了被人们公认的狄里赫利（剩余）特征、狄里 赫利L函数，从而奠定了解析数论的基础。 20世纪30年代，维诺格拉托夫（1891-1983， 苏）提出“三角和方法”---一个重要的方法。
费马是业余数学家 他近３０岁才在公务之余认真研究数学 “近代数论之父” 他和笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉 他和帕斯卡一起奠定了古典概率论的基础 费马谦虚、好静，生前很少发表自己的著作， 其成果主要写在阅读过的数学书的边沿和空白 处或写在给朋友的信件中，也有一些散落在旧 纸堆中。
费马猜想
费马猜想（或称费马最后定理，费马大定理）： 费马猜想（或称费马最后定理，费马大定理）： xn+yn=zn，n＞2没有整数解。这个猜想大约 没有整数解。 ＞ 没有整数解 年写在丢番图所著《 在1637年写在丢番图所著《算术》第二卷命 年写在丢番图所著 算术》 将一个平方数分成两个平方数之和” 题8“将一个平方数分成两个平方数之和”的旁 将一个平方数分成两个平方数之和 他写到： 将一个立方数分为两个立方数， 边。他写到：“将一个立方数分为两个立方数， 一个四次幂分为两个四次幂， 一个四次幂分为两个四次幂，或一般地将一个 高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。 高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。 关于此，我确信已发现一种美妙的证法， 关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜 这里空白的地方太小，写不下” 这里空白的地方太小，写不下”。但是他的儿 子在他去世后，翻箱倒柜， 子在他去世后，翻箱倒柜，也没有找出这个 美妙”的证明。 “美妙”的证明。
§4、黎曼猜想和孪生素数猜想
1859年，黎曼发表了《论小于给定数的 素数个数》，在这篇光辉的论文中，他 一口气提出了6个猜想，从那时起到1894 年，数学家们证明了其中5个，从而已成 为定理，现在只剩下了一个，被称为 “黎曼猜想”。其内容如下。
黎曼猜想的内容
1 1 1 由级数ζ（s） 1 + s + s + s + ......(其中s为 = 2 3 4
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（1）
费马猜想从1670年发表到 年发表到1840年拉梅证明 费马猜想从 年发表到 年拉梅证明 n=7情形为止的 情形为止的170年中，费马猜想的证明进 年中， 情形为止的 年中 展非常缓慢； 展非常缓慢； 1779年，欧拉证明 年 欧拉证明n=3，不久，又证明 ，不久，又证明n=4； ； 1823年，勒让德证明 年 勒让德证明n=5；1840年，拉梅证 ； 年 明了n=7； 明了 ； 19世纪 年代，自学成才的法国妇女索菲亚 世纪20年代 世纪 年代， 证明了：在假定x、 、 与 互质的情况下 互质的情况下， 证明了：在假定 、y、z与n互质的情况下， n 为小于100的所有奇素数时，费马猜想成立。 的所有奇素数时， 为小于 的所有奇素数时 费马猜想成立。
23个问题的第8个问题
1900年希尔伯特把这个猜想 年希尔伯特把这个猜想 黎曼猜想” 与“黎曼猜想”、“孪生素数猜 作为23个问题的第 个问题的第8个问题 想”作为 个问题的第 个问题 介绍给20世纪的数学家。 介绍给 世纪的数学家。 世纪的数学家 殆素数： 殆素数：素因数的个数不超过 某一固定常数的自然数称为“ 某一固定常数的自然数称为“殆 素数”。（１ ）（a+b） 素数”。（１＋c）（ ）（ ）
有关费马猜想的证明（ ） 有关费马猜想的证明（4）
解决费马猜想的时刻终于在350多年后到 来。1993年6月该猜想已被普林斯顿大学 的安德鲁.怀尔斯博士和剑桥大学的理查 德.泰勒博士证明。 但“母鸡”没有死， “金蛋”仍在不停 地下！
§3、哥德巴赫猜பைடு நூலகம்和筛法
1742年6月德国一位中学教师哥德巴赫 （C.Goldbach，1690-1764）在与欧拉通 信中提出一个估计：“任何大于2的偶数 都是两个素数的和。”二百多年来，围 绕这个估计，很多数学家前赴后继，不 懈地钻研，谋求解决，但全都力不从心， 皆未获得成功。因此，人们就把这个估 计称为“哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想”。 哥德巴赫猜想